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水素原子の量子力学
Made by R. Okamoto (Kyushu Institute of Technology) filename=hydrogen-summary090717a.ppt
目次
１ . 水素原子のスペクトルとその規則性
2. 水素原子のボーア模型ー前期量子論ー ３ . 静止した陽子から見た電子の運動
４ . シュレディンガー方程式
５ . 固有値：主な束縛状態（ E<0 ）のエネルギー準位
６ . 種々の量子状態（ E<0 、 E> ０）のエネルギー準位
2
１．水素原子のスペクトルとその規則性
2 1
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
7 -1 ex
exp 2 2 p
1 2
1.09677
1 1 1
; :
; 1, ( 2, 3, ) :
2, ( 3, 4, ) : 3, (
10
4, 5, ) :
4, ( 5, 6
1 m
1 1 .
, ) :
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
n n
n R
R n λ
λ
→
→
⎛ ⎞
∝ ⎜ − ⎟ <
⎝ ⎠
→
= =
= =
= =
=
= ×
=
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
"
"
"
"
離散的スペクトル 正整数
（線スペクトル）の経験則
ライマン系列 バルマー系列 パッシェン系列
ブラッケット系列
リドベリ（Rydberg）定数
3
２．水素原子のボーアモデル
二つの仮定：
量子条件：電子の(軌道）角運動量はh/(2π）の整数倍のみ許される。
振動数条件：電子は定常状態の場合には電磁波を放出(吸収）しない。
状態遷移の場合、その振動数fは二つの状態のエネルギー差 により、 E2－E1＝ｈｆ で与えられる。
力学的エネルギー＝運動エネルギー＋（電気的引力ポテンシャルエネルギー）
離散的なエネルギー
2 4
2 2 2
0
1 1 13.6 eV
4 2
( 1, 2, )
e n
E m e
n n
n πε
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ≈ −
⎝ ⎠
⎣ ⎦
=
=
"
問題点：電子の安定性を説明できない(仮定している）。
放出される光(色）の強さの違いがあることを説明できない。
「電子は原子核のまわりを、人工衛星のように、周回する」という 素朴な(しかし、誤りの）イメージが広まった。
4
量子遷移と光の放出・吸収
1s 2s
光子の放出 光子の吸収
2 1 2
9
2 1
13.6 eV
; ,
10.2eV, =121.6nm 121.6 10 m
n
hf E E hf ch E
n E E
λ λ
= − = ≈ −
− = = ×
－光子のエネルギー（hf）と波長λ,振動数f
5
３．静止した陽子から見た電子の運動
e p
1 1840 m
m ≈
x
陽子（proton）
電子(electron)
陽子
(x,y,z) r
第1近似で、陽子は静止していると仮定してよい。
質量比
y
z
6
４．シュレーディンガー方程式
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 ˆ
x y z r r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ ⎞
∇ ≡ ∂ + ∂ + ∂ = ∂ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠ − G A
=
2 2
2
0
1 ( , , ) ( , , )
2
e4
e x y z E x y z
m r ψ ψ
πε
⎡ ⎤
− ∇ − =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
( , , ) x y z R r Y ( )
m( , )
ψ =
Aθ φ
境界条件：
E<0(
束縛状態）の場合、
波動関数は無限遠方でゼロに近づく。
離散的なエネルギー、
空間的に広がる
(複素数の）波動関数
種々の行列要素の計算可能2 4
2 2 2
0
1 1 13.6 eV
4 2
( 1, 2, )
e n
E m e
n n
n πε
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ≈ −
⎝ ⎠
⎣ ⎦
=
=
"
7
2 1 2
2 1
2 1
1
2 4
3 2 2
0 1 2
2 2
1 2
2 4
3 0
7 -1
1 1 1 1 1
4 4
1 1 1
,
1 1
4 4 ;
1.09737318 10 m .
n n n n
e
n n
n n
e
hf E E
m e
ch c n n
R n n
R m e
ch c
λ πε π
λ
πε π
→
→
∞
→
∞
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
→ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
∴ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= ×
=
=
陽子質量を無限大と見なした近似 におけるリドベリ定数
2 1
eff 2 2
1 2
2 4
eff 3
0
7 -1 7 -1
exp
1 1 1
,
1 1
, ,
4 4
5965 10 m 10
1.09677
1.09677
m
n n
e p
e p
R n n
e m m
R ch c m m
R
λ
μ μ
πε π
→
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≡ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ≡ +
= ×
= ×
= 陽子質量の有限性を考慮すると
実験と理論との一致はかなり改善される！
8
５．固有値：主な束縛状態（ E<0 ）のエネルギー準位
2 4
1
2 1 2
0
1 ( 1, 2, )
4 2
e n
E m e
E E n
n πε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
⎝ ⎠
− "
= ( )
V r
r
エネルギーが主量子数nにのみに依存し、方位量子数 、磁気量子数 にはよらないこと。
エネルギーは量子数については縮退（縮重）している。
これはクーロン・ポテンシャルが球対称であることに起因する。
基底状態、すなわち、n=1の場合、 、角運動量の値はゼロとなること。
「常識」（＝ボーア模型の描像）とは違って、電子は決して回転していることにはならない。
の場合も、波動関数の方向依存性の大きさが離散的であり（＝方向が量子化されてい る）、古典論のように、単純に回転しているわけではない。
n=1
n=2
1
13.6 eV E ≈
r
0
－13.6 eV
,m Am
m
AA
= 0 A
≠ 0
A
9
６．種々の量子状態（ E<0 、 E> ０）のエネルギー準位
, n A
0 E
E>0
E<0
主量子数 方位量子数 電子は自由
電子は原子核に束縛されている
0 : 1:
2 : 3 : 4 :
s p d f g
=
=
=
=
= A A A A A
軌道 軌道 軌道 軌道 軌道 1s
2s 3s
2p
3p 3d
離散的エネルギー 連続的エネルギー
エネルギー準位
