入門：線形代数学とその物理への応用

目次

1.

物理学における行列とその固有値問題の応用例 ２．ベクトルとその性質

３．行列の加減と乗除と種類

４．固有値と固有ベクトルの計算（１）：実対称行列の対角化 ５．固有値と固有ベクトルの計算（２）：エルミート行列の対角化 ６．２つの行列の同時対角化の条件

入門：線形代数学とその物理への応用

Made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Institute of Technology)

Filename=linear-algbra-intro20190417.ppt ¹

１．物理学における行列とその固有値問題

古典物理学における応用例 ：

結合した二つ以上の振動系の運動方程式と規準振動

量子力学における応用例：

物理量に対応する線形演算子

（数学では線形作用素；linear operator)

、

2

２．ベクトルとその性質

( , ) (

x x y y x y

x y

A A A A

A A

A

≡ + =

≡    ≡

 

A e e

ケット-A,ket-Aと読む）

A

Ax

しかし、矢印でベクトルを記法は種々の計算には便利ではないので、

以後、

次元の成分をもつベクトル

を

行ｎ列の行列で表す。

ベクトル（

）とは大きさと向きをもつ量である。

以下、簡単のために、ベクトルと行列の最少構成である

次元ベクトル、

（

）行列を考えるが、ｎ次元に一般化することは容易である。

y

x

Ay

2.1 ベクトルの記法

* *

[ , ]; transpose

[ , ] ( )

T

x y

x y

A A T

A A A

≡ ≡

≡ A

ブラ-A,bra-Aと読む

転置行列

θ _tan ^y

x

A θ = A

ベクトルの傾き ベクトルの大きさ

2 2

x y

A ≡ A + A

括弧（

）

3

デイラック(P.M.A.Dirac)記法

以下、種々の応用を想定して、ベクトルの成分は一般に複素数であるとする。

x , x

y y

A B

A B

   

≡   ≡  

   

A B

x y

k kA

kA

 

=  

  A

= ^{x x} , = ^{x x}

y y y y

A B A B

A B A B

+ −

   

+  +  −  − 

A B A B

ベクトルの定数倍

２つのベクトルの和と差

ひとつのベクトルのエルミート共役ベクトル

† * *

(≡ ^t )* = A A_x, _y ; (*

A A

：複素共役）

2

つのベクトルの内積（スカラー積）

† * * * *

† * * 2

| ( ) , .

| ( ) | | .

x

x y x x y y

y

x x y y

A B A A B A B A B

B

A A A A A A

  

< >≡ ≡    = +

 

→< >= = + ≡

A B

A A A



 4

(† :ダガーと読む。dagger,短剣の意味)

| bra-A ket-B (

< A B>は と読む 発音する）．

３．行列の加減と乗除と種類

 ^{11 12}  ^{11 12}

21 22 21 22

( _ij) A A , ( _ij) B B

A A B B

A A B B

   

≡ ≡   ≡ ≡  

   

 ^{11 12}

21 22

( _ij ) kA kA

k A kA

kA kA

 

= =  

 

  ^{11 11 12 12}   ^{11 11 12 12}

21 21 22 22 21 21 22 22

A B A B , A B A B

A B A B

A B A B A B A B

+ + − −

   

+ =  + +  − =  − − 

ここでは、行列

を

の上に

記号をつけて表す。

行列の定数倍

行列の和と差

行列の積

  ^{11 12 11 12 11 12}

21 22 21 2

11 12 11 21 12 22

21 22 11 2 21 21 12 22 22

A A B B A B A B A B B

B

A

A A B A B A B A B

A B A B

     

≡  = +

    

    

+

+ + 

逆行列

  ^{1 1}  ¹ 1 0

; 1

0 1 A⁻ AA⁻ A A⁻  

= =   =

  

5

行列の積の順序は一般には交換可能ではない（非可換）

 

 

 

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

11 12 11

11 12 11 21 12 22

21 22 11 21 12 22

11 12 11 12 21 11 12 1 22

21 22 11 21 12 2

2

21 22 21 22 21 22 2

A A A A A A A

A A A A A A

A A A

B

B A

A

B B B B B

A

B

B B B B B B

B A A

A A A A A A

B B B B B

B B B B B

B

B

     

≡     = 

     

     

≡     = 

     

+ +

+ +

+ +

→

+ +

−   ^{12 21 11 12 12 22}

21 22

21 12 12 22 11 12

11 21 21 11 22 21 21 12 21 12

1 2 5 6 19 24 5 6 1 2 4

23 34 31

3 4 7 8 3 50 7 8 3 4 46

A A A A A A

A A A A A A

B B B B B B

B B B B B B

B A  

=  

 

           

= ⇔ =

           

       

− + − −

+

  

− −



−

      ², ³, ,   

n

AA ≡ A AAA ≡ A  A A ≡ An 2

0 1 2

( )

f x = +c c x c x+ +

同じ行列の積は同じ行列の べき乗と定義する。

行列の関数のべき級数展開

変数

の関数

）のべき級数展開

  

0 1 2

2

) 1

(

f A = c  + c A + c A + 6

行列の転置と対称行列

 ^{11 12}  ^{11 2} 

22

1

21 12 22

, ( ) _j

T T

ij i

A A

A A

A A

A A A A

A A

   

≡   → ≡   =

   

ある行列Ａの転置（

）または転置行列

一般には である。しかし、 であれば

という。

A^T ≠ A ^A^T = ^A A, _ji = A_ij

行列の転置の例：

 1  1

4 2

3 4

3 2

T

A   A  

=   → ≡  

   

対称行列の例：

 1  1 

4 5

5 4

5 5

S   ST   S

≡   → =   =

    7

複素行列のエルミート共役

共役転置

または随伴）

 ^{† 11* 21*} 

* *

12 2

11 12 †

2

*

21 22

, ( )

(† : dagger, )

ij ji

A A

A A

A A A A

A A A A

 

 

≡   → ≡   =

   

ダガーと読む。 短剣の意味

A^† ≠ A

ある

複素）行列のエルミート共役の例：



^† ^* 

2 3i 4 5i 6 7i 8 9i

2 3i 6 7i

( )

4 5i 8 9i

t

A

A A A

+ +

 

≡  − + 

− +

 

→ ≡ =  − −  ≠

一般に、ある行列とそのエルミート共役は等しくない

8

エルミート行列（自己随伴行列）

しかし、特に、 であれば、

行列

をエルミート行列

あるいは自己随伴行列（self -adjoint matrix

）という。

エルミート行列の例：



^† ^* 

2 4 5i 4 5i 8

2 4 5i ( )

4 5i 8

t

H

H H H

 + 

≡  − 

 + 

→ ≡ =  −  =

エルミート行列の対角要素は必ず実数になるが、非対角要素

^†  A = A　

9

ベクトルへの行列の演算

一般に、行列を左から列ベクトルをかけると、別のベクトルに変化する。

11 12

21 22

11 12

21 22

1 3 1 2

3

1 0 4

1 0

,

A x A x

y

x y

A y

A x

A A y

A A

 

  =

 

≠

 

  

 

 + 

 + 

  

 



  

 

  =

 

 

≠

 

 



  一般に

行列がベクトルに作用すると、

一般には大きさだけではなく、

ベクトルの方向も変化する！！

A

10

大きさの変化

1→ 1 +3 = 10

偏角の変化

tanθ = →0 tanθ = 3

４．固有値と固有 ベクトル の計算（１）：実対称行列の対角化



2

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

2

2

(2 ) 0

(2 ) 0

2 1

1 2 0

(2 ) 1 0

( 1)( 3) 0

1, 3

A

x x

y y

x y x

x y y

x y

x y

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

 − 

= − 

 −     

→ −      =   

 − =

→ − + =

− − =

→ − + − =

− −

→ =

− −

→ − − =

→ − − =

∴ ≡ =

実対称行列の固有値の計算

11

行列を作用させてもベクトルの方向が変化 しないような固有のベクトルが存在する！

λ

：固有値

x=y=0

という自明な解以外の解が存在する

ためには、係数行列の行列式がゼロであるべき

12

実行列の固有ベクトルと直交変換行列の計算

1 1

1

1 1

2 2

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

2

2 2 1

2 1

1 2 ,

( ) ( ) 1

(2 ) 0

(2 ) 0 ;

2 1

1 2 ,

( ) ( ) 1

(2 ) 0 1 1

( 2 1

1 1 2

2 ) 0

1

x x

y y

x y

x y

x y

x x

y y

x y

x y

x y

y

x y x λ

λ

λ λ

λ

λ

   

  =  

 

−    

 

  =  

− 

     

+ =

− − =

→ − + − = →

−    

 

  =  

− 

     

+ =

− − =

  

  = −

 



→ − + − = →



[ ]

    

  

1 1

2

1 2 1

2

2

1 0 0 1 , ,

1 0 0 3 0

T T

T

U x y

x U U UU I

U A y y

x

U y x

  

 

  

→ =

 

  ≡ →

 

 

= =  =

 

 

 

→ =  

 



固有ベクトルの規格性

固有ベクトルの直交性

直交変換

 0 i ^† 0 i  ^†

( )

i 0 i 0

A ≡  −  → A ≡  −  = A

   

　　はダガーと読む あるエルミート行列：

５．固有値と固有ベクトルの計算（２）：エルミート行列の対角化

固有値の計算法

2 2

2

1 2

0 i i 0

with 1 i 0

i 0

0 i i

1

1, 1

x x

y y

x y

x y x y

λ

λ λ λ

λ λ

λ λ

 −     

    =  

     

+ =

 + =

→  − =

→ = −

= −

→ = = −

同次連立一次方程式

x=y=0

という自明な解以外の解が存在する

ためには、係数行列の行列式がゼロであるべき

エルミート行列の行列要素は一般には複素数であるが，

固有値は実数である！

規格化条件

13

*_{ji ij} (* )

A = A

は複素共役

エルミート行列の固有ベクトルとユニタリ変換

2 2

1 1

1 1 1

1

1 1

1

1 1

2 2

2

2 2

2 2

1 1

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

1 1

* *

1 1

0 with 1

0

0 0 1 1

2 ,

0 with 1

0

0 0 1 1

2

i x y

i

x iy

ix y

x x

y y

x y

x x

y y

i

i x y

i

x iy i

x

y

x y x

y

i λ

λ

λ λ

λ

λ

 − 

= + =

 

 

+ =

→  − =

→ =   

 

 − 

= + =

 

 

+ =

→  − =

   

→ =



   

   

  

  

   

  

  →



  





− 

 

 

 





    

  

2 2

2 2

† †

1 1

†

1

1 0 0 1

0

1 1 2

x y

x U U UU I

U y

U U x

i i A

y

  

 

−

 =

   

≡   =   →

 

  = =

 

=  − 

→ 



固有ベクトルの規格性

固有ベクトルの直交性

エルミート行列のユニタリ変換による対角化

ユニタリ変換

1 1

1

x

λ ^{ }_{ }y

固有値 に属する固有ベクトル： 

2 2

2

x

λ ^{ }_{ }y

固有値 に属する固有ベクトル： 

列ベクトル

列ベクトル

行列の固有値問題＝行列の対角化問題

同時固有ベクトル、同時対角化が可能である条件

二つの行列が交換可能であれば

15

      



  

 



( )

( )





[ , ] 0

f and ,

1 1 1 i A a a a

a A a

a

B a B A a a

a AB a

B a B a

B a a B a

A B A A

a a

B

A

b

= B

→ =

→ =

=

→

∝

→

∴

=

=

=

≡ −

６．２つの行列の同時対角化

ここで，bの値を計算する．

同時対角化＝2つの異なる行列が共通の (固有）ベクトルにより対角化されること





 ^{11 12}

21 22

: :

* *

* *

a A

a A a

A A

A a a a a

A A

     

=     =  

   

 



行列 のある固有値，

行列 のある固有値 に 属する固有ベクトル，





 B a b a

a a B a b a a

a B a

b a a

=

→ =

→ =

の両辺の

それぞれと左から との内積を考える．

参考書

和達三樹「物理のための数学」、岩波書店、2000年。

特に、２章と3.1

節。

押川元重、坂口絋治「基礎線形代数

三訂版）」、

年。

Nielsen, Chuang,

量子コンピュータと量子通信１

(

量子力学とコンピュータ科学

、コロナ社、

年。

特に、2.1

節 線形代数。

16