1次元量子系の調和振動子

1 次元量子系の調和振動子

目次

§ 1 古典的な調和振動子ー単振動ーの特徴と基本的性質

§ 2 単振動の微分方程式

§ 3 量子調和振動子のハミルトニアンとシュレディンガー方程式

§ 4 量子調和振動子の解

§ 5 量子調和振動子の別解法ー昇降演算子の方法ー

made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Institute of Technology)

§ 1 古典的な調和振動子ー単振動ーの特徴と基本 的性質

( ) sin( ) cos( ')

x t = A ω δ t + = A ω δ t +

2 f f 2 ω ω π

≡ → ≡ π

振幅（ amplitude ） 角振動数

Ａ

ω

振動数 f

k

x

m

§ 2 単振動の微分方程式

2 2

2

2 2 2

2

[ 0, 0; ( )]

1 1

= 2 2

1 1

, ( , / )

2 2

m k x x t

H mv kx

p m d x kx

d

m x p mv k m

m t

ω ω

= − > > =

→

+

= + = ≡

ハミルトニアン 　　

ニュートンの運動方程式

§３ 量子調和振動子のハミルトニアンとシュレ ディンガー方程式

2 2

( ) 1

U x = 2 m ω x

X

ハミルトニアン

シュレディンガー方程式

波動関数についての境界条件

 ^{2 2 2 2}

2

1

2 2

H d m x

m dx ω

= −  +



2

1

2 2

H d m x

m dx ω

= −  +

 ( ) ( )

H ψ x = E ψ x

§４ 量子調和振動子の解

2 2

( ) 1

U x = 2 m ω x

1

(

), ( 0,1, 2, , )

n n

E n n

E

ω ω

= + = ∞

∆ =

 



1

0 2

E =  ω

X

離散的エネルギー、等間隔

零点エネルギー

波動関数

2 2

2

( ) exp ( / ) ; / ( ), ( ) :

n

2

x x H x b b m H x

b x

ψ ∝ ^  − ^  ⋅ ≡ ω

 

 



波動関数がポテンシャル壁内に浸透している！

§ 5 量子調和振動子の別解ー昇降演算子の方法

1次元調和振動子のハミルトニアン







 

2

1 1

, , (5.1)

2 2 2 2

x

x

d p d

H m x m x x x p

m dx ω m ω ^ i dx ^

= − + = +  = = 

 

  

ここで，ハミルトニアンの無次元化を行う：

    

2 2

2

2 2

1 (5.2)

2 2 2 2

x x

H p p m

m x x

m m

ω ω

ω ω ω ω

   

 

= + =     +     

    

次に，無次元の演算子

(

     

     

,

, (5.

i i

2 2

2 2

3)

m m

a x p a x p

m m

m

ω ω

ω ω

ω

≡ + ≡ − 

   

 

調和振動子ハミルトニアンの別表現と交換関係

  

     

†

† †

1 , (5.7) 2

[ , ] , [ , ] (5.8)

H a a

H a a H a a

ω

ω ω

 

=   +  

→ = = −

 

  

昇降演算子

 



 

†

1 1

0

†

1 , , (5.9)

0 (5.10)

( ) (5.11)

n n n n

n n

a n a n

a

n a a

ψ ψ ψ ψ

ψ

ψ ψ

+ −

= + =

=

=





