速度と加速度ー 2,3 次元系ー

速度と加速度ー 2,3 次元系ー

１．時間に依存するベクトルの微分係数（導関数）

２．速度ベクトル ３．加速度ベクトル

４．2次元系における座標表示の種類

4.1直交直線座標における速度・速さ、加速度 4.2等速円運動における位置、速度、加速度 4.3（参考）平面極座標における速度、加速度 4.4直交直線座標と基本ベクトル系

4.5極座標と基本ベクトル系

５．３次元系における他の座標表示

Made by R. Okamoto (Kyushu Institute of Technology), filename=velocity-accel-23dim-summary090420.ppt

時間に依存するベクトルの微分係数（導関数）

( ) A G = A t G

0 0

( ) ( ) ( )

lim lim

t t

dA A t t A t A t

dt ^{Δ →} t ^{Δ →} t

+ Δ − Δ

= =

Δ Δ

G G G G

時間に依存するベクトル

ベクトルの時間についての微分係数（導関数）

( ) Δ A t G

( ) A t G

( )

A t G + Δ t

( )

d A B dA dB

B A

dt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⎜ ⎟ ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

G G G G

G G

ベクトルの内積の微分

速度ベクトル

( ) r G G = r t

0 0

( ) ( ) ( )

lim lim

( , , )

t t

x y z

dr r t t r t r t

v dt t t

dx dy dz

i j k v v v

dt dt dt

Δ → Δ →

+ Δ − Δ

≡ = =

Δ Δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =

G G G G

G

G G G

位置ベクトル

速度ベクトル：位置ベクトルの時間についての微分係数（導関数）:

( ) ( ) ( )

r t r t t r t

Δ G ≡ G + Δ − G

変位ベクトル

2 2 2

( )

( )

( )

v ≡ v + v + v

速さ

velocity

speed

加速度ベクトル

2 2 2

(

) (

) (

)

a ≡ a + a + a

加速度ベクトル：速度ベクトルの時間についての微分係数（導関数）

加速度の大きさ

0 0

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

lim lim

( , , )

t t

x y z

x y z

dv v t t v t v t

a dt t t

dv dv dv

i j k

dt dt dt

d x d y d z

i j k

dt dt dt

a a a

Δ → Δ →

+ Δ − Δ

≡ = =

Δ Δ

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

G G G G

G

G G G

G G G

直交直線座標における速度・速さ、加速度

( , ); x y x = x t ( ), y = y t ( )

2次元系における位置 x方向の速度

y方向の速度

0

( ) ( ) ( )

y

lim

t

y t t y t dy t

v y

t dt

Δ →

+ Δ −

≡ ≡ ≡

Δ

速さ(speed) 2 2

( )

( )

v ≡ v + v

x方向の加速度

0

( ) ( ) ( )

lim

x x

t

v t t v t dv t

a v

t dt

Δ →

+ Δ −

≡ ≡ ≡

Δ

y方向の加速度

0

( ) ( ) ( )

lim

y y

t

v t t v t dv t

a v

t dt

Δ →

+ Δ −

≡ ≡ ≡

Δ

0

( ) ( ) ( )

x

lim

t

x t t x t dx t

v x

t dt

Δ →

+ Δ −

≡ ≡ ≡

Δ

直交直線座標系をデカルト座標系ともいう。

等速円運動における位置、速度、加速度

( , ) : ( ), ( )

cos , sin

r r r t t

x r y r

θ θ θ

θ θ

= =

= =

s = r

θ

d dt

ω

θ

位置

中心角θラジアンの扇形の弧の長さｓ

円運動：半径 ｒ 一定の運動

等速円運動：角速度一定、速さ一定の円運動 角速度

0 0

( ) t t ( : )

θ = ω θ + θ

0

0

0

0

[ cos( )]

sin( ),

[ sin( )]

cos( ),

x

y

d r t

v dx r t

dt dt

d r t

v dy r t

dt dt

ω θ ω ω θ ω θ ω ω θ

= = + = − +

= = + = +

2 2

0

2 2

0

cos( ) ,

sin( ) ,

x x

y y

a dv r t x

dt

a dv r t y

dt

ω ω θ ω

ω ω θ ω

= = − + = −

= = − + = −

（参考）平面極座標における速度、加速度

( )

( )

r

dr dr

v r r

dt dt

v r d

θ

dt

θ θ θ

= = ≡

= ≡

( )

2

a

r r

a _θ r r

θ θ θ

= −

= +

(eG_r :r )

が増える向きの単位ベクトル

速度ベクトル

加速度ベクトル 位置ベクトル

(e^G_ϑ :θが増える向きの単位ベクトル)

r G = re G r

v G = v e r r G + v e _{θ ϑ} G

a G = a e

G + a e _{θ ϑ} G

平面極座標における速度、加速度の式の導出

er

e e ,

e e^r

d d

dt dt

d dt

θ θ

θ

θ θ

θ

⎛ ⎞

= ⎜⎝= ⋅ ⎟⎠

= −

G G G

G G

( ) ( )

r e e e

e e

r r r

r

d d dr d

v r r

dt dt dt d

r r

t θ

≡ = = ⋅ + ⋅

= +

G G G G

G

G

G

( )

(

) ( )

v e e

e e e e e

e 2 e

r

r r

r

d d d d

a r r r r r r r

dt dt dt d

r r r

t r

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

≡ = + = + ⋅ + + +

= − + +

G G G

G G G G G G

G G

準備：基本ベクトルの時間変化率

速度ベクトル

加速度ベクトル

θ

e ( )G^r t

e (r t + Δt)

G 1× Δθ

e (t)θ

G

r r r r

0 0 0

e (t+ t)-e (t) e (t+ t)-e (t) 1 e (t)

lim lim lim

e (t)

t t t t t t

d dt

θ

θ

θ θ

θ θ

θ

Δ → Δ → Δ →

Δ = Δ Δ = Δ ×

Δ Δ Δ Δ Δ

= ⋅

G G G G G

G

θ

1× Δθ

e ( )

t G

e (θ t + Δt) G

e (t)θ

G

直線直交座標と基本ベクトル系

e

e

e

e

x, y r, θ

x = r cosθ y = r sin θ

直交直線座標の場合，

どの位置でも基本ベクトル

（座標軸向きの大きさ１のベクトル）の 向きは同じである。

X

ｙ

平面運動などの極座標による記述において、速 度の成分を時間微分しても、対応する加速度の 成分に等しくない；

e

e

e

e

極座標の場合，

位置により基本ベクトル

（座標軸向きの大きさ１のベクトル）

の向きは変化する。

　この座標軸の時間的変化の効果 が余分な項として不可される。

X

ｙ

a

r -r

v

r

極座標と基本ベクトル系

5. 3 次元系における他の座標表示

e , e , e

G G G

sin cos , sin sin , cos

x r y r z r

θ φ

θ φ

θ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

2 2 2

2 2

,

tan ,

tan

r x y z

y x

x y

z φ

φ

= + +

=

= +

5.１ 3 球座標系（次元極座標系)の位置ベクトル; (ｒ,θ,φ）

半径、二つの角度が増加する方向の単位ベクトルをそれぞれ定義する：

位置ベクトルの表現

e

r G = ⋅ r G

注意：球座標系の場合、一般には、動径ｒだけではなく、

単位ベクトルの向きも時間とともに変化する