プール沸騰冷却超電導体の熱安定性

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

プール沸騰冷却超電導体の熱安定性

久保田, 裕巳

https://doi.org/10.11501/3147914

出版情報：Kyushu University, 1998, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

σ

フOーノレ沸騰冷却超電導体の熱安定性

平成10年7月

久保田 裕巳

号 記 次 要 自 主

1

V

1 緒舌

2 理論

2. 1 静的熱安定性 2. 1. 1 基礎方程式

2. 1. 2 静的平衡の古典的理論の比較

(1) Steklyの基準

(2) Maddockらの等面積理論

(3) 最小回復領域(MRZ: Minimum Recovery Zone) (4) 最小伝播領域(MPZ: Minimum Propagating Zone)

2. 1. 3 最小伝播領域(MPZ)

( 1) 境界条件

(2) 数値計算

(a) 離散化

(b) 冷媒温度と超電導の臨界温度 (c) 特性発熱

(3) 計算結果および考察

(a) MPZ平衡を導く動作電流の範囲

(b) MPZ平衡における温度分布 (c) 最小伝播領j或(MPZ)

(d) 蓄積エネルギ-

2. 1. 4 最小回復領域(MRZ)

(1) 境界条件

(2) 数値計升

1 1 3 5 6 6 6 7 7 8 0 0 0 3 3 7 0 o o -- qJ qd qJ I- -i 1i Il -- 1i 1i Il -- 1i ηL q，L つん つu q乙 つム qd qu つd

(a) 離散化

(3) 結果および考察

(a) MRZ平衡を導く動作電流の範囲 (b) MRZ平衡における温度分布 (c) 最小回復領域(MRZ) (d) 除去エネルギ-

2. 1. 5 周期解

(1) 境界条件

(a) MPZ領域 (b) MRZ領域

(2) 数値計算

(a) 離散化

(3) 結果および考察

(a) 周期解における温度分布 2. 1. 6 結言

2. 2 動的熱安定性

2.2. ₁ 基礎方程入

2. 2. 2 動的最小回復領域(Dynami c MRZ)

(1) 初期条件， 境界条件および発熱条件

(2) 離散化

(3) 計算結果および考察

(a) 温度応答

(b)クエンチングとリカバリーの境界の探索

(c)クエンチングとリカバリーの境界近傍における計算結果

( i ) 加熱条件'iniの影響

( ii ) 非加熱長さxmIの影響

(iü ) 動作電流jの影響

30 31 31 32 36 38 40 42 42 42 43 43 44 44

49

51 51 54 54 56 60 60 62 64 64 66 66

(iv) 安全性判別図 71

2. 2. 3 動的最小伝播領域(Dynamic MPZ) 74

(1) 初期条件， 境界条件および発熱条件 74

(2) 離散化 76

(3) 計算結果および考察 76

(a) 温度応答 76

(b) クエンチングとリカバリーの境界の探索 78 (c) クエンチングとリカバリーの境界における計算結果 82

および加熱条件の影響

( i )動作電流I二0.7における計算結果(τ1mの影響) 86

( ii )動作電流j二0.7における計算結果(Xiniの影響) 91

(副)動作電流i= 0.635における計算結果(τ1mの影響) 97 (iv)動作電流i = 0.635における計算結果(Xiniの影響) 99

(v )動作電流jの影響 102

(d) 安全性判別凶 103

2. 2. 4 ニオブ薄膜超電導体の熱安定性の数値計算 112

(1) 初期条件， 境界条件および発熱条件 112

(2) 離散化 115

(3) 数値計算に使用した定数および特性 116 (a) 冷媒温度と超電導導体の臨界温度 116 (b) 超電導導体の臨界電流密度および臨界電流 116

(c) 超電導導体の無次元発熱 116

(d) 冷却特性 116

(e) 超電導導体の熱伝導卒 119

(f) 超電導導体の比熱 123

(4) 計算結果 125

2. 2. 5 結言 125

3 実験 132

3. 1 ニオブ薄膜超電導体の熱安定性の実験 132

3. 1. 1 実験装置および実験方法 132

3. 1. 2 実験結果 136

(1)ニオブ薄膜超電導体の温度応答 136

(2)ニオブ薄膜超電導体の抵抗変化 136

3. 2 ニオブ薄膜超電導体より液体ヘリウムへの伝熱特性の測定 136

3.2. 1 実験装置および実験方法 136

3. 2. 2 伝熱特性の測定結果 141

3. 3 考察 141

3. 4 結言 148

4. 総括 150

参考文献 152

謝辞 155

付録 156

A 1 静的熱安定性計算結果(MPZ) 157

A2 静的熱安定性計算結果(MRZ) 167

A3 特性長さおよび特性時間の大きさ 176

A4 動的熱安定性(ニオブ薄膜)実験データ 178 A5 熱伝達特性測定データ(ニオブ、薄膜) ¹⁹²

号記要主

A :超電導導体の断面積

[m2J

C :超電導導体の比熱

[ム]

CB :冷媒温度での超電導導体の比熱

[kgJK]

C : 超電導導体の無次元比熱

[-]

e :特性発熱

[-]

G :超電導導体の単位表面積、 単位時間あたりの発熱

出l

g :超電導導体の無次元発熱

[-]

/ :動作電流

いl

Isc.B :冷媒温度での臨界電流

[A]

:無次元動作電流

[-]

lSC.B :冷媒温度での無次元臨界電流

[ム]

KB :冷媒温度での超電導導体の熱伝導率

[ニl

k :超電導導体の無次元熱伝導率

[-]

Lx :超電導導体のX方向の長さ

[m]

ι

[-]

N :X方向の格子点の数

[-]

m :xJ5向の格子点の変数

[-]

P :超電導導体の断面周長

[m]

Q :超電導導体の単位表面積、 単位時間当たりの冷却

[21

Qm以 :核がIj騰での極大熱流束

[ZJ

q :超電導導体の無次元冷却

[-]

S :時間

[s]

S :加熱時間

[s]

SCh :特性時間

[s]

T :超電導導体の温度

[K]

T β :冷媒温度

[K]

1'0 :臨界温度

作]

:超電導導体の無次元温度

[-]

tB :無次元冷媒温度

[-]

to :無次元臨界温度

[-]

X :超電導導体に沿ってとった座標

[m]

Xch :特性長さ

[m]

X :加熱長さ

[m]

X :無次元座標

[-]

X

1m :無次元加熱長さ

[-]

H :超電導導体の単位体積、 単位時間当たりの加熱量

[21

η :無次元加熱量

[-]

p :超電導導体の密度

[2]

Q :比抵抗

[n.m]

τ :無次元時間

[-]

τ 1m :無次元加熱時間

[-]

- 添字 -

ch :特性を表す添生

lnl :初期条件を表す添字

。 :超電導導体の臨界点

SC.B :冷媒温度での超電導導体

X :X方向

1. 緒舌

Kamerlingh Onnesによる1908年におけるヘリワムの液化成功および1911 における超電導現象の発見以来， 超電導の研究は目覚しい進歩を遂げ，

超電導の応用分野も非常な広がりをみせている. 超電導マグネットを用い た応用分野のうち身近なものでは， 核磁気共鳴(NMR: Nuclear Magnetic Resonance)画像化装置はすでに実用化され医療の分野等で使用されており，

磁気浮上列車 (リニアモーターカー)も実用化間近かである. また， 十月j 超電導マグネットによる核融合炉の実現は， 人類の長年の悲願であり将来 のエネルギー問題の切り札として期待されている. この核融合炉の実現に 焦点を合わせ様々な取り組みがなされてはいるが， いまだ多くの解決すべ き問題が残されている. その一つに超電導マグネットの冷却安定化が挙げ

られる.

従来の超電導マグネットの安定化理論は， 静的平衡に基づく静的熱安定 性を取り扱っており，冷却設計には， St.eklyの基準l)， 最小回復領

域

Minimum Recovery Zone) ， Maddockらの等面積理論2)および最小伝播領域 (MPZ: Minimum Propagating Zone) 3)の各基準が専ら使用されている. し かし， これらの基準は個々に提唱されており， 全体を総合的に{府敵する試 みはなされていなかった. また， 様々な動作条件に晒される現実の超電導 マグネットを， このような静的基準をもとにしては安全でしかも経済的な 設計がだ、きるとは考えがたく， これに変わる動的な安全性基準が必要にな ると思われる.

本研究では， まず2章において，静的熱安定性と動的熱安定性の2つの観 点、からプール沸騰冷却超電導体の熱安定性の理論的体系化を試みる. また，

静的熱安定性と動的熱安定性の相互の関係、も検証する.

静的平衡に基づく静的熱安定性に関しては， まずNbTiを超電導体として 選び， 数値計算によりこれらの各基準の相互関係を比較吟味し静的平衡理

おいて， それぞれの平衡を導く動作電流の範四， 混度分イ11， 1午訪日エネルギ ーあるいは高温領域の広がり(臨界温度あるいは分流開始淑度よりr�可し\温 度の領域)または低温領域の広がり(臨界侃度あるいは分流開始nri.!_n士より 低い温度の領域)を数値計算結果より吟味するととにより行う.

また， 古典的安定化理論とは少し異なるけれど， 興味深い， .f111論と可能 な周期解による周期的温度分布についてもふれることにする.

動的熱安定性に関しては， 先に行なった静的熱安定性のMRZおよびMPZに

対する動作電流の領域において， それぞれ非定常熱伝導方程式を現実の熱 擾乱を想定した初期加熱条件とともに数値的に解し\て， 動的条件下の超電 導体の応答を温度やエネルギーの観点より吟味し， 静的平衡理論との関係 を明ら かにする. その際， 現実の熱擾乱を想定した初期加熱条件には， 時 間的， 空間的になるべく広範囲の条件を設定する. さらに加熱量を様々に 変化させ， 導体の超電導状態が壊れて常電導状態となり遂にはクエンチ (quenching)に至る かあるいは超電導状態に回復する(recovery)かを調べ て， その境界の条件 (しきし\値)を探る. また， そのしきし\値をもとに，

動的MRZおよび、動的MPZに対する安全性判定図を作成する.

以上は数値計算のみによる超電導体の熱安定性の検証であるが， 次に実 験的検証を行う. 具体的な実験に関しては次の章で述べるとして， この章 の最後に実験と同じ系で数値計算を行う. 但し， 数値計算は計算の対象と する超電導体がニオブ、薄膜超電導体に変わる点と境界条件が多少変わる以 外は先の動的MPZと同様である.

最後に， 3章で、超電導体の熱安定性の実験に関して述べる. 具体的には，

ヘリウムのプール沸騰により冷却されるニオブ超電導体に対して， 日李・ グロ ともに矩形状の発熱がある条件で実験を 行い， 先の計算結果と比較検討し て熱安定性を検証する.

2. 理論

2. 1. 静的熱安定性

従来， 静的平衡に基づく静的熱安定性の古典的理論は， Stck]yの基准l)， 最 小回復領域(MRZ) ， Maddockらの等面積理論2)および、最小伝係領域(MPZ)3)の各 基準が専ら使用されているが， これら基準を総合的に術服し， これら相互の関 係を詳細に一貫して検討する報告は見当たらない. そこで， これらの静的平衡

に基づく静的熱安定性理論の相互の関係を， 数値計算により， 明らかにする.

それに先立ち次項において， どのような系を対象とするかを明らかにするため に， 基礎方程式をまず述べる. ついで， 静的平衡に基づく静的熱安定性理論の 相互の関係を， 数値計算により， 具体的に述べることにする.

図2. 1 (a)に超電導体上の温度分布の例を示す. 高温領域は常電導領域と分流 領域に分けられる. 温度分布は基本的には左右対称のものを検討するので， 今 後は主に中心より片側半分の領域を考える.

さて， 図2. 1 (b)は， 導体の温度Tに対して， 発熱Gおよび熱除去Qの特性 を示すものであるが， GおよびQは冷媒に接触している単位面積について表し ており， さらにその値に導体の熱伝導率を乗じである. ここに， TLおよび乃は KQ曲線およびKG曲線の， それぞれ低温側および高温側の交点における温度 である. また， TLは陰影部の2つの部分の面積が等しくなるような温度であり，

九は超電導体の分流開始温度， 九は導体の低温端の温度である. 静的熱安定性 の古典的理論における， 最小回復領域(MRZ)， Maddockらの等面積理論および 最小伝播領域(MPZ)の各基準は， いずれも等面積理論ではあるが動作電流は 異なり， それに応じてThや九が変わってくるが， 詳細は後述する.

2. 1. 1 基礎方程式

図2. ₁ (a)に示すような十分に長い導体を考える. この導体の熱伝導率をK、

current

ド

sharing su percon d u ctin

reglon reglon

reglon normal

」ovoコ刀coυ

切-0

ω」コザ何」ω己ES

end cold reglo

hot

X

。

of symmetry end

center hot

X

Schematics of hot region along conductor of co-ord inate

ongln

Fig

(a)

Th

Ts

Tc

T ^min To T

。 。

ご一〉一ぢコちc oo-ωε」ω工戸、2 3=丘二 一コεg」の83」 コω志一oout cコ

」ω己一句〉Oεω」芯ω工℃CのCOZ句』ωcω。芯ω工

Heat generation and heat removal

Fig.2.1 (b)

位時間当たりの発熱をG、 導体の単位表面積、 単位時間当たりの冷却をOとす ると， 導体断面内の温度分布を考慮、しないで一次元的に論ずることにすれば，

導体の対称中心から距離Xの点の温度Tは， 次の熱伝導方程式により表され る.

云 (

^去 ) ^づ

境界条件は次の章で述べる. 発熱Gに関しては， 次のように仮定する. すな わち， 図2. 2 のように， 冷媒温度九における臨界電流をIsc，B， 臨界温度を九と し， この間の臨界電流対臨界温度の関係は直線的であると仮定する. つまり，

導体を流れている電流が動作電流Iであるとき， 分流開始温度は九となり，

九三T三九の導体部分は超電導の状態， 九壬T三1'aのそれは分流状態， T三九 のそれは常電導の状態となる.

そこで， 発熱Gは， ある任意の温度における超電導電流をIscとすると，

G二

三

と表される. ここに， Qは基材の比抵抗である.

式(2. 2)中のIscは，

TB三T三TS 二Isc二1

九三T豆九: fSC --f(九^1. -T) -I (九-T) (九一九

)

T三九 : Isc二O で求められる. (図中の太線)

また， 分流開始温度ζは次式で与えられる.

九一九 I 丸一九 Isc.B

(2. 2)

(2. 3)

(2.4)

次いで， 冷却Qに関しては， 大気圧における飽和液体ヘリウムのプール沸騰 の典型的な伝熱特性として， 以下九二4.2Kとして熱流束Q [W/m2]と温度

(過熱度) (T一九) [K]の関係を次のように与える.

normal reglon

aTE、円Md

nH川町nH

e・

川O

汀剖g

HuhH凸U nド qu

nH Au HU a'EL C 門uunH

sl ue

ISC.B

operating current I

E C 一九

A

B アt nu

D

Q的 ~ VF」ω」」コO 。czoコ℃C00」ωaコω

ア TS

temperature

c s ，，，，

Superconducting current Fig.2.2

O三(Tーら)三1 l�(T一九)三3 (T -TB)三3

3 6 3 34U 、、.，ノ、、，，ノ、、，，ノ九九九一一一

Ti T4 Ti 〆，.‘、〆，.‘、、〆，.‘、

4 4

ベJハU

ハU ζJ ti --A QJ

一一一一一一

ハピ ハU~ ハピ

(2. 5)

こ れ らは， T=ら+1 = 5.2K におい て極大熱流東になるこ と， および T二九+3二7.2Kにおいて極小熱流束になることを意味する.

次に， これら式(2. 1)から式(2. 5)を， 式(2.6)から式(2. 11)の無次元変数を イ吏って無次元化する.

T-TB

Ta -TB ^{(2. 6)}

X二一一-X Xch

X_L 2二KBA

(

)

仰 PQmax

(2. 7)

(2.8)

k二 KK B

g二

￡

(2.9)

(2. 10)

e Qfsc B2 PAQmax q=

三;

(2. 11)

(2. 12)

I

Isc.B ^{(2. 13)}

j - fsc

C Isc.B

ここに、 KBは冷媒温度における導体の熱伝導率， Qmaxはプール沸騰の極大熱 (2. 14)

流束であるが， 式(2.5)によりQmax二104W/m2を採用することになる• Xchは，

断面積A， 熱伝導率KB' 長さXchあたり温度差(丸一九)に対する熱伝導伝熱 KBA

(

)

X B が， 同じ長さXch' 周長Pの導体がバーンアウト熱流束Qma)(で放

熱する場合の伝熱量XchPQmax �こ等しくなる場合のその長さに相当し， Xchを特 性長さ(characteristic length) 4)，5)と呼ぶことにする. またeは任意の長さ (Lとする)の導体が電流lsc.Bの全部をジュール発熱す るときの発 熱量 D.Ll �� n 2

J

ジュール発熱の強さを表現しており， 以下特性発熱(characteristic heat generation) 4)，5)と呼ぶことにする eは自然対数の底ではない.

無次元化の結果は， 以下のようになる.

計三J+g川

無次元発熱g(t)は，

g

ここに， iSCは， 次のようになる.

むさ;1三1s i sc = i

Is三f三10(= 1) i sc = 1- 1

f三l ISC二G

Is = 1-i

一方， 九二7.2Kとして冷却特性を無次元化すると，

O豆t三1/3 1/3三f三l

t三l となる.

q = 12.98/2333 q二0.2rl465 q二0.2/0673

(2. 15)

(2. 16)

(2. 1 7)

(2. 18)

(2. 19)

これら無次元発熱g(/)， 無次元冷却q(/)および超電導体の母材である銅の無 次元熱伝導率k 6)を図2. 3に示す. また， 発熱特性は， e = 1に対して式(2. 16) を示したものであり， 任意のeに対しては， 縦軸の値を e倍すればよいことに なる.

、AH一〉一目。コちC

00

ふ〈

一応ε」 ω ￡ ℃ωN=cE」OC 8

6 1

2 3 nu nu nU A1E AιE AIE

。。c=000ちωN一一ωε」oc

bcozc」ωcω。℃ωN一一ωε」OC

101

100

normalized temperature

Fig.2. 3 Normalized generation g(り， normalized cooling q(りand

normalized thermal conductivity k的used in calculation

2. 1. 2. 静的平衡の古典的理論の比較

前項では， 対象とする系の基本的な特性を基礎方程式に基づき説明してきた が， ノド項では基礎か程式を数値解析して， 静的平衡の古典的理論であるStekly の基準， 最小回復領域(MRZ)， Maddockらの等面積理論および最小伝播領域 (MPZ)の各基準の相互の関係を比較検討することにする.

、;{J 2. 4に， (a) Steklyの基準， (b)最小回復領域(MRZ)， (c) Maddockらの等

面積理論および(d)最小伝播領域(MPZ)について， 温度分布および発熱・冷却 特性を模式的に示す. 左の縦軸は無次元の温度，t(x) ，を示す. また， 右の縦軸 は発熱(kg)・冷却(kq)特性であり， 陰影を施した2つ の面積はそれぞれ等 しい. ここに， 無次元温度tLおよびんは， それぞれkg . kq曲線の低温側， 百 温側の交点である. また， 無次元温度tcおよびんは， それぞれMRZおよびMPZに おける等面積基準を満たす低温端・高温端温度である. なお， 無次元温度tsは 分流開始温度である. それぞれの基準を検討して行くことにする.

(1) Steklyの基準

Steklyの完全安定化は基本的には， 軸方向の熱伝導を考慮せず， 同一温度に ある導体に対して， 熱擾乱によりたとえ導体全体が臨界温度に達しでも安定で あることを目指している. Stekly は，安定化の議論には安定化係数(Stability Parameter)と呼ばれる係数を導入することが有効であるとしている. ここに，

導体の比抵抗を.0， 導体の冷媒温度における臨界電流をIsc.B' 熱伝達係数をh，

導体の周長をP， 導体の断面積をA， 臨界温度を1'a及び冷媒温度をζとして，

安定化係数αを次のように定義している.

α Qfsc，B2

hPA(九一九) ^{(2. 20)}

o 10

。

X

。

(a )

主守

t h= tA

�

010 ^X

。 。

(b)

長。町

f戸tA

�

tc=O

\

X

。

010

。

(

)

I ζkq

会対必1 ，目

� ・

�

tc=O _\

0・0 _x

。 。

(d)

Fig.2.4 Normal i zed tempera ture

t(x) k(t)g(t)

k(りq(りin

t c =th = f，。

bv-6V4

α<1 の場合に は， 図2. 5 (a)に示されるように， i ⁼ 1であっても全ての温度 域での冷却が発熱を上回り完全に安定である.

α>1の場合は， 次のように領域を分けている.

0< i <

長

で安定である. (図2. 5 (b) :領域i)

会

1 < i :動作電流はすべて母材内を流れ常電導へ転移する.

(図2. 5 (b) :領域iii)

この理論を図2. 1 (b)のような冷却及び発熱特性に適用すると図2. 4 (a)とな る. なお， この時の動作電流をlSTEとする• Steklyの基準においては線軸方向の

熱伝導を考えていないため， 導体全体が同一温度にあるとしている. そのため 現実の導体とは異なり， またこの基準による設計は安全側に偏りすぎると思わ れるが， 安定性の理論としては何ら問題はないと思われるので， 以後は検討し ない.

(2) Maddockらの等面積理論

孔(2. 15)において，

r二k(t) Z

とおくと， 同式は次のように表される.

d二k(t){q(t ) - g(t)炉

(2. 21)

(2. 22)

α>1

とア

メq

む】

l〆|

o 1

(a) S t ek 1 y ( i ₌ 1 )

α>1

q

bd 寸i

g ¹¹ 0.5

í= 1/α

1

。

。 1

(b) Stekly (α> 1)

bG

。 。

(c) Maddock

Fig. 2. 5 Schema tics for Stekl y' s and Maddock' s theorem

十分に長い俸において， 低温端でt= t" 高温端でt=んとすると，

rl川iIω叫l

円川山Ih

r rdr

[�r2]二1:2

⁽

^)七(

⁾

⁽

^)}t

となる.

この式は図2. 5 (c)において， kが温度に依らないとすると斜線部AとBの面積 (2. 23)

が等しいことを示しているとMaddockは述べている.

この平衡を満たす動作電流は1つの特性発熱に対して唯一存在し， その系の 有値と考えられる. この時の動作電流をÎMADとする. この理論を図2.¹ (b)に おける冷却及び発熱特性に適用すると図 2. 4 (c)のようになる. この場合エ1

(2. 23)は， 次式のようになる.

I:A

⁽

^{){q(/) -}

⁽

^)炉

(3) 最小回復領域(MRZ)

動作電流ÎSTEとÎMADの聞の領域(この領域の動作電流をlA1RZとする)において は， 図2. 4 (b)に示すように， 0三tc :s;tLを満たす低温端温度tcおよび高温端温 度以こん)に対して次式の当面積基準の式が成立する.

ハU 一一 d'f d 、.1・，.y、、l/ 4'' 〆'aEE‘、 g 、、‘.，，ノd''F 〆'aEE、 qa r aF ，、 . . 、 、、，，，ノ ・ 4'g 〆'SSE--‘、、 'K AM F』E 『 f d

この場合の導体の温度分布はx=oに対して対称で， 対称中心x=oにおいては 低温端温度tcであり， 高温端ではん(こん)に漸近するような温度分布となる.

なお， この平衡温度分布において導体が超電導の状態にある領域の長さを販 小回復領域(MRZ:Minimum Ricovery Zone)という. この名称は， この領域の長 さ(MRZ)がこれ以上長くなると導体は超電導の状態に回復するという最小の 長さを示すことに由来する.

(4) 最小伝播領域(MPZ)

WJ作電流がlAi4.Dより大きくなると(この領域の動作電流をjλfPZとする)，

2. {1 ^{(d)に示すように，}

IL豆1

Ic

r k(/){q(付(1)}dl

この場合の導体の温度分布もx=oに対して対称であり， 対称、中心x=oにおい ては高温端温度1hであり， 低温端では0に漸近するような温度分布となる.

なお， この平衡狙度分布において導体が常電導の状態にある領域の長さを最 小伝播領域(MPZ:Minimum Propagating Zone)という. この名称は， この領域

の長さ(MPZ)がこれ以上長くなると導体全体が常電導の状態へ移行するとい う最小の長さを示すことに由来する.

以上， 各理論を検討してきたが， (l)Steklyの基準および(3)Maddockら の等面積理論においては， 冷却特性が決められると， 動作電流はただ1つ 定まるが， (b)最小回復領域(MRZ)および(d)最小伝播領域(MPZ):ではそ うではないという特徴がある.

以下では， 最小伝播領域(MPZ)および最小回復領域(MRZ)に対して，

計算例を述べることにするが， Steklyの基準は， 先に述べたように何ら問 題無いと思われるので検討しないことにする. また， Maddockらの等面積 理論は， 図より最小回復領域(MRZ)と最小伝播領域(MPZ)の境界に相当 する(そ・れぞれにおける特異解)ので， それぞれに含まれるものとして，

独立には取り扱わないことにする.

2. 1 . 3 最小伝播領域(MPZ)

(1)境界条件

境界条件は， 以下の様になる.

dX

dT， IX=o

T/x=oこえ Tlx→∞=ら

(2. 27)

(2. 28) (2. 29)

ここに， 式(2. 28)の高温端温度丸は， 以下の等面積の条件より求めたもので ある.

f K(T)む(T) - Q(T)初二。

。

(2. 30)

ここで， 式(2.6)から式(2. 14)を用いて無次元化を行うと， 境界条件は，

ま _/

_{=0 =}

ι=0 =

t/x→∞二O のようになる.

(2)数値計算

(a)離散化

(2. 31)

(2. 32) (2. 33)

式(2. 15)を離散化する7) なお， 離散化を行うにあたり， 検査体積の設定は 2{] 2. 6のように行なった.

jtd

j

dL

(k�)e _dx'e -(k�)w二 [x(q-

g)J:

' dx

ke(tE一tp) kw(tp-tw)

- p 二(q-g)(Xe-xw)

& み

αptp二aEtE +αwtw + _b

(2. 34)

(2. 35) (2. 36) (2， 37)

a� 二 一一二一一k_ .

C (&-)e'

。P =α�E+' α�W

a..， 二 一一K 一笠-

" (&-)w

b = (q ^-g)(xe -xw)

格子点の番号は， ^X = 0 より m= 1.2_3_...と決める.

佑子点m= 1 (断熱， t=lh)においては，

keI(tEI_�lpJ _ { /Y �\ (xe -xw) 二 (q^-g) '-�e 2

この場合には， tp1 =んなので， 直ちに1E1が求められる.

格子点m=2においては，

ke (t E2 - 1 P2 ) k w ' w (t P2

r二 �

ðx (長

(2. 38)

(2. 39) (2. '10)

(2. 41)

(2. 42)

m二lの結果より， tp2 = t EIおよびtW2 = tpl(=th)として既知であるので1E2が求 められる.

同様にしてm=3以降のm=Nの場合も次のようになる.

ke(t ^{EN -}tpN)人(tPN^rw - 1WN)

c ^m 二(q-g)(xe一九) (2. .43)

ここに， m=N-lの結果より， 1 Pn二1E(N-I)および1Wn= 1 P(N-l)として既知であ

るのでtEnが求められる. これにより一度の計算で各点の温度はすべて求めら れる. ただし， 境界条件の式(2.33)に対してNは無限大であるが， 実際はtpN が， tpN三10-6となる時点で計算を終えた.

(b) 冷媒温度と超電導の臨界温度

冷媒としては， 大気圧における飽和液体ヘリウムを考え る. したがって，

T ⁼ 4.2Kにおいてt=Oである. 超電導導体としてはNbTiを想定し， その臨界温 度を7.2Kとする. したがって， この温度で無次元温度は式(2.6)により，

tこ10 = 1となる. 以下の計算では， この条件は共通とする.

( åX)w ( åX)e

lk卜Ill-­

W

E

fV(

Fig. 2. 6 Grid and control volume

(c) 特性発熱

計算に使_用す る_特性発熱eにつ いて検討する. 衣 2. 1 に， 数将_領の導 体につ いて特性発熱eを計算した結果を示す. なお， conduclor 1およびHについて

は， 文献 7)巾の名称、_{と同じであるが，} conduclor八からCは医別のためこちら でつけた名称である. conduclor C (非市販品)については， conductor Bと 同一素線(Vakuumschmelze社製)で得られた最高の電流密度の場合の例で、あり，

一般にはこれほどまでは大きくないと思われる. そこで， 特性発熱eの変化の 範囲はlから100とする.

(3) 計算結果および考察

(a) MPZ平衡を導く動作電流の範

MPZ平衡における高温端の無次元温度Ihおよび発熱(kg)と冷却(kq)曲線(膜

沸騰部分)との高温側交点温度1.'1 (図2. 4 (d)参照)を， 図2. 7に， 無次元動作 電流iに対して特性発熱eをパラメータにして示す. ここに， 交点温度んは向

。パにおいて Maddock's equilibrium と付記した 実線より上側に分岐した 部分で あり， 川I 2. 3_に示すよ う_に， 式(2. 10)においてl

sc二Oとした式と式(2. 19)の膜 沸騰部分の式との_根として， 次式により得られる.

ん=(三一y/0⁶⁷³ ;2/0 ⁶⁷³ (2. 44) 0乞

一方， Maddock's equilibriumと付記した点線より下側に分岐した部分が，

MPZ平衡における_高狙端の無次元温度 んを示すととになる. この図では， いず_れ

の特性発熱e _において も， 無次元動作電流i が小さくなるに し たが_って， Ihは 徐々に大きく， んは小さくなりそれぞれの特性発熱eに固有の動作電流におい てん₌ん_となる

. したが_って， 動作電流が最小のこの点では， Maddockの平衡 が成り立っ_と同時にMPZ平衡が成立していることになり， Maddockの平衡が

Table 2.1 Sample calculation of the characteristic hc日t gcneration e

Reference

Critical current at九

Isc.B [A]

Resistivity of stabi lizer:。

[Q . ^m]

Diameter of Conductor

:D[m]

Cooled perimeter of

Conductor: P _[m]

Cross sectional area: A [m2]

Burnout heat flux of boiling heat transfer:

QnIQ'C ^[W/m2]

Characteristic Heat generation:

α:C B/PAQ閉山〕

Conductor

260

2.4 x 10-10

0.5 x 10-3

1.57 X 10-3

0.196 x 10-6

104

5.27

Conductor Conductor Conductor Conductor

E A ^{B C}

8) 9)

1020 1178 251 1130

2.4 x 10-10 4.2 x 10-10 2.4 x 10-10 2.4 _x 10-10

2.45mm × 1.0 x 10-3 0.4 x 10-3 0.4 x 10-3 1.4mm

(rec- tangular)

7.7 x 10-3 3.14 x 10-3 1.257 x 10-3 1.257 x 10-3

3.43 x 10-6 0.785 x 10-6 0.126 x 10-6 0.126 x 10-6

104 104 104 104

0.945 23.65 9.35 193.5

斗�4ご

ε102 コ

�

4コ

コ

ω

...，

0 ・= c

0.

...，

ro

equilibrium MPZ 自101

2

ω

コ

g 100

0.

ε ω

斗�〈主

cozoωω」ω一←c

句-

0

ω 工戸 ℃ C ω hH ，Tt

ち10-1

工二

ω」コ 戸市ω」ω♀ε2

current ⁱ 0.6

operating 0.1

normalized

Fig.2.7 �ormalized temperature at higher intersection of 9 and q curves， tA and - normalized

temperature at hot end temperature， th in MPZ

なお， 高狙端の無次元温度Ihおよび交点温度んは， それぞれ， 特性発熱eが

小さくなるにしたがって， 大きな動作電流側に分布する傾向を示すが， これは?

発熱が小さいほどMPZ平衡を許容する動作電流が大きいということである.

さて， 特性発熱eに固有の， ん こ んが成立する最小の動作電流とその特性発

熱eとの関係を見ることにする. 図2.8に， その最小の動作電流を特性発熱e に対して高温端の無次元組度らとともに示す. この図より， 特性発熱eが大き くなるにしたがって， この動作電流は小さくなっているが， これは， 前述のよ うに特性発熱eが冷却に相対的な発熱の大きさを表すということより当然の結 果と言える.

(b) MPZ平衡における温度分布

図2. 9に， 特性発熱e=lで， 動作電流i二0.65，0.7，0.8，0.9の場合のMPZ平衡にお ける温度分布の例を示す. との図より， 動作電流が小さくなるほど高温端の温 度が高くなり， また高温の領域も広がる傾向を示している. つまりこれは， 動 作電流に対応した固有の温度分布が存在し， しかも動作電流が小さいほど全体 的に高い温度分布が可能となることを表している. 図中の実線の直線t。は温度 分布の各曲線上で温度が臨界温度となる点の軌跡、を示したものであり， また破 線の曲線tsは温度分布の各曲線上で温度が分流開始温度となる点の軌跡を示し

たものである. なお， 臨界温度は， 動作電流に関係なく一定(10 ^{= 1} )であるが，

分流開始温度は， 動作電流が大きくなるにつれ減少する(式(2. 18)) .

(c) 最小伝播領域(MPZ)

内I2. 10に， MPZ平衡における混度分布において， 臨界温度あるいは分流開 始温度より高い温度の領域の大きさを， 特性発熱eをパラメータとして， 動作 電流の関数として示す. 図中実線は臨界温度(九二1)より高い温度の領域の大

ごω』550仏53-vgH04

th

ハUAυ 唱EI 'EEA ハυ唱aI

. ，.."".

ロS・M・H30∞口問料。-Mω乱。

100 102

e

101

characteristic heat generation

ハU ハυ 唱EEA

Fig.2.8 Operatjng current and hot end temperature as function of characteristic heat generation in Maddock's equilibrium -

ハU

ヴム

11

Aυ 、ω』コ定包仏戸口ω判官N一-cg』Oロ

e ==1

1二0.65

to (==1)

:critical temperature ts :currentsharing

temperature

5 10 15

normalized distance企om hot end

Fig.2.9 Distribution of normalized temperatureヲt(x)

in

equilibria for

of critical tem peratu re to

of current sharing temperature ts location

location

50 5 101

nU 4l

qJ』

ハu nu nu

z

hデ一

)OH

ふ

cω日

0 工 1

ω oc

gω一万万ωN一一応ε」OC ε0」』

0.05 10-3

0.5 100 current operating

10-1 normalized

Ranges of the hot region in MPZ Fig.2.10

での領域の大きさとは， 導体の中心から片側の領域について表わしており， し たがって， 実際の大きさはこれらの2倍である. これらの破線および実線の領 域が示す値は， これ以上大きくなると平衡が保てなくなり， ついにはクエンチ に至る最小の領域を示しており， その意味で， との領域の大きさを最小伝矯領 域(MPZ)という. さて， 特性発熱σに対するそれぞれの曲線は， 定性的には似 ており， 共通の特徴として， まず， 低い電流側の極限では実線と破線の二つの 曲線は合流して ζ償l紬に垂直なある漸近線' に近づ き ながら無限に大きくなる ことが挙げられる. 次に， 高い電流側の極限では二つの曲線は分離して， 実線 (温度が超電導の臨界温度を越えている領域の大きさ)は， 1より小さい動作 電流でO�こなり， 破線(温度が分流開始温度を超える領域の大きさ)は， i二l を漸近線として無限大に近づくことも特徴と考えられる. なお， 高い電流側で 実線がlより小さい動作電流で0に近づくのは， 図2. 9において大き い電流に対 しては， 温度分布の曲線と直線10(= 1)との交点が存在しないことに対応する.

さて， 前に述べた ‘横軸に垂直なある漸近線' は， 特性発熱eに対して固有 であり， この時の動作電流の値は， (a)で考察したMPZ平衡を導く動作電流の 範囲における最小動作電流(この時fh=t.4)と一致する. つまり， ‘横軸に垂 なある漸近線' は前に述べたいDに相当し， このときMaddockの平衡が成り 立っと同時にMPZ平衡が成立しており， この低い電流側の極限では実線と破線 の二つの曲線は合流してこの漸近線(ÌUAD)に近づ き ながら無限に大きくなる ことが， Maddockの平衡の特異さを表している.

(d) 蓄積エネルギ-

これまでは， 専らMPZ平衡における温度分布およびそれより派生する特性を 評価してき たが， 最後にMPZ平衡において導体に蓄積される冷媒温度に相対的 な熱エネルギーについて考える. この蓄積エネノレギーを， 以下の式で計算する.

Estat二ρ�Xch(九ーら)CBCsω (2. 45)

但し， E()=ρ�Xch(九-Ts)Cs (2. 47)

ここに， この式で表される蓄積エネルギーは， 式(2. 46)の積分範囲が半無限で あることにより， 導体全体に蓄積されるエネルギーの1/2 としている. また Eo(二ρ�Xch(九一九)Cs)は特性長さXchだけの導体を冷媒温度九から臨界温度九 まで加熱するのに要するエネルギーで、ある.

州2. 11に， このεSlalを， 特性発熱eをパラメータとし， 動作電流iの関数と して示す. この図の各曲線の小さな動作電流側はMaddockの平衡に対応し， 大 きい動作電流側は， 曲線がj 二 lまで伸びている. 小さな動作電流側で， 蓄積エ ネノレギーがMaddock平衡における最小電流に相当する動作電流を漸近線として 無限に大きくなっていることは， 興味深い結果であるが， 前の図2. 10におけ る高温の領域が同様に低動作電流側で無限に大きくなっていることに対応して おり， これもMaddock平衡の特異性を反映している.

νち0ちhumwE

νち0ちちの三

νち0ちちの三

νち0℃ちの三

v-ooちちのて/一

/

50

101 5

定制 ωω

ω」コ戸市立ωa

ε

NnL25

工vmwD』0

ωωωυ×ω

、AO」ωcω℃ω」OVω

てコω N

ε

，_ o c

100

0.5 0.5

current operating

0.1 normalized 0.05

Normalized stored energy in excess of

bath temperature，

(i) in

Fig.2.11

2. 1. 4 最小回復領域(MRZ)

(1) 境界条件

境界条件は， 以下の様になる.

dX

dT， /x=o -

T/x=oこえ

T

/

(2. 48)

(2. 49) (2. 50)

ここに， 式(2.49)の低温端温度乙は， 以下の等面積の条件より求めたもので ある.

f K(T)じ(T) - Q(T)初=。

ここで， 式(2.6)から式(2.14)を用いて無次元化を行うと， 以下のようにな る.

d/

dx 凶

(2. 52)

t

/

t

/

(2) 数値計算

(a)離散化

孔(2. 15)の離散化方法は， 2.4.2における方法と同様であるが， 境界条件 の 部分は以下のようにする.

格子点の番号は， _x

=

=

kel (t EI一/pl)= (q -g) ^{\ -�} (Xe-e xw ) 2

ここに， 1 PI二Icなので， 直ちにIE1が求められる.

1名子点m=2においては，

(2. 55)

ke(tE2 -Ip2) kW(tP2 - wI ， )

& - L- _{w -} =(q-g)(Xe一九) (2. 56)

m = 1の結果より， P'2 = 1 EIおよびIW'2二IpJ=IJとして既知であるので1E'2が求1

められる.

同様にしてm=3以降のm二Nの場合も次のようになる.

九(tEN -1 PN)人(1PN - 1附)

〉

m =N-1の結果より， 1 Pn二IE(Nー1)およびIWn= Ip(Nー1)として既知であるので tEnが求められる. したがって， ここに各点の混度はすべて計算出来ることにな る. ただし， IpNが， IpNさんとなる時点で計算を終了した.

(3) 結果および考察

(a) MRZ平衡を導く動作電流の範

図2. 12に， MRZ平衡における低温端の無次元温度tcおよび発熱(kg)と冷却 (kq)曲線(膜沸騰部分)との高温側交点温度ん(図2. 4 (b)参照)を， 無次元動 作電流iに対して特性発熱eをパラメータにして示す. ここに， 交点温度んは 同図においてStekly's cri t.erionと付記した点線より上側に分岐した部分であ り， 図2. 4に示すように， 式(2. 10)においてら=0 とした式と式(2. 19)の膜沸 騰部分の式との根として， 前に述べた式(2. 44)により得られる.

Stekly's cri lerion と付記した点線より下側に分岐した部分が， 式 (2. 25)を満たすMRZ平衡における低温端の無次元温度1cを示すことになる. この 川では， し\ずれの特性発熱eにおいても， 無次元動作電流lが小さくなるにし

動作電流においてに =んとなる. したがって， 動作電流が最小のこの点では，

Stcklyの基准が成り立っと同時にMRZ平衡が成立していることになる.

なお? 低nl�出の11民次元温度tcおよび交点温度んは， それぞれ， 特性発熱eが

小さくなるにしたがって， 大きな動作電流飢Ijに分布する傾向を示すが， これは 前節でMPZ'こ関して述べたように， 特性発熱eが冷却に相対的な発熱の大きさを 表すということであるから， 発熱が小さいほどMRZ平衡を許容する動作電流が 大きいという結果であり合理的である.

最後に， 図2. 12におけるe=lの結果を取り出し， これに前項のMPZ領域のl同 温端の無次元温度thおよび交点混度んを追加して， MPZ領域およびMRZ領域を含 む広い動作電流範囲においてん， fcおよび んを図示したのが図2. 13である.

MRZ領域においては， 低温側の交点温度t^Lを境に分 岐 していたtcおよびら が Steklyの線上で集約されることおよび， MPZ領域においては， thおよびfベが Maddockの線上で、集約されることが確認できる.

(b) MRZ平衡における温度分布

図2. 14に， 特性発熱e=lで， 動作電流j二0.5，0.55，0.6の場合のMRZ平衡におけ る温度分布の例を示す. この 図より， 動作電流が小さくなるほど低温端の温度 が高くなっているが， 逆に， 交点温度んは低くなる傾向を示している. つま りこれは， 動作電流に対応した固有の温度分布が存在し， しかも動作電流 が小 さいほど， Steklyの基準が成り立っと同時にMRZ平衡が成立する温度tc(=ら)

(この場合はtcこん= 1)に限りなく近づくことを表している. 図中の実線の直 線f。は温度分布の各曲線上で温度 が臨界温度となる点の軌跡、を示したものであ る.

喝さ市.:;

ε102

O .こ

C コ

� ...c 4O -d

L=

MRZ

ω.-

亡コ

equilibrium

ω ω

� C

ちEトd ¹⁰¹

.パu e z a AEE m o r 0

1 n

nu AEE ℃C ω ℃一00 芯ω」コ刊の」 ω aε2

4四dc c

c..ω

'- ω� コ

..c ω

�

包10U ω ε

�

九mトu

C・l

O「

hu d - - d 叶川

M 駅 - 斗 \→

θ 一

/r

tA

Stekly's criterion n

OJ - Mn

n・110 口b

a'目、

nucleate boiling

0.6

operating current i

.Fig.2.12 Normalized temperature at higher intersection of

g. an

�

MPZ-Region

dF r ，， ，， ， ， aF a' aF a' J a' ，， 戸 ，， ，， tA \ / a i t r ，， 〆 ，， a' ，， a'

\---�-�--:

'門川1 11 ・司、 ，T't i

‘、 、 、 、 、 、 、、 、 、 、 h

50

0.1

1.0 Region MRZ­

vち0℃℃mwE

current operating

normalized

ハU 一 εコ一」心二一コσ L I

NnL2522Eω♀ε2Eω日0ζ JJεコ一」ハ主一コσωN広三c一ω」コ芯」ω己E2万戸-』ω豆00

心Cozoωω」 2c一 」ω〉〉O 一』ovc一o a

ω￡芯ω」三の」ω

a ε2

J c ozoωω」ω吉一』ovc一O丘ω￡刊のω」三郎」ω

a Eg

e=1

〉一 v-muv

mw

Fig.2.13 Normal.ized temperatures at higher intersection of 9 and q

，curves， tA ， normalized temperatures at cold end 九 ， and normalized temperatures at '

hot end，ら in� MRZ and MPZ

今3

11

、ど55ωハ門戸口33N-刃包』Oロ

e二1 tA(==2.395) ⁱ

0

6

ら(==1.849) ・・・・・・・・・・0

---圃-

0.5

to (==1)

:critical temperature

5 ^{唱EI ハリ} 15 20

normalized distance

Fig.2.14 Distribution of normalized temperatureフfβノフ

in

equilibria for

=

(c) 最小回復領域(MRZ)

図2. 15に， MRZ平衡における温度分ギIÎにおいて， 臨界泊度あるいは分流開 始温度より低い混度の領域の大きさを， 特性発熱eをパラメ ー タとして， 動作 電流の関数として示す. 図中実線は臨界混度(t 0二1)より低い温度の領域の大 きさを， 破線は動作電流により低い温度の領域の大きさを表わす. 似し， ここ

での領域の大きさとは， 導体の中心から片側の領域について表わしており， し たがって， 実際の大きさはこれらの2倍である. これらの破線および実線の領 域が示す値は， この大きさを超えると導体は超電導の状態、に回復できるという 最小の領域を示してお り， その意味で， との領域の大きさを最小回復領域

(MRZ)とい う. さて， 特性発熱eに対するそれぞれの曲線は， 定性的には似て おり， 共通の特徴として， まず， 大きい電流側の極限では実線と破線の二つの 曲線は合流して ‘横軸に垂直なある漸iLî線' に近づきながら無限に大きくなる ことが挙げられる. 次に， 小さな電流側の極限では二つの曲線は分離して， 破 線(温度が 分流開始温度より低い領域の大きさ)は， 動作電流が小さくなるに つれ急速に0になっているが， 実線(温度が超電導の臨界温度より低い領域の 大きさ)は， そうはならず， 特性発熱eに対して ‘ある固有の動作電流' まで 有限のイ直を保っている.

さて， 前に述べた大きい電流側の ‘横軸に垂直なある漸近線' は， 特性発熱 eに対して固有であり， この時の動作電流の値は， (a)で考察した MRZ平衡を導 く動作電流の範囲における最大動作電流(この時tc ⁼ 0 )と一致する. この動

作電流はいDに相当し， このときMaddockの平衡が成り立っと同時にMRZ平衡が 成立している. したがって， まえにMPZ平衡に関して考察したように， このこ ともMaddockの平衡の特異さを反映する結果となっている. また， 小さい電 流側の ‘ある回有の動作電流' とは， Stekly の基準が成り立 つ動作電流 (iSTE)であり， このとき同時にMRZ平衡が成立している. なお， これ以下の動 作電流では， 冷却特性が発熱特性を上回り， 無条件に安定となる.

一一一一

--location of current sharing temperature

\\ 戸hu

a---

ヘペペリ //

nu

lli--ili--ii nu -- にJV ， .，.iヘパパペ :・-- Hけ叶川川川けHけけ，

nu

lli--ilili-- θ nu

101

nU 4t 司Jι ハU ハu

nu

(N\NKラ乙OHVヘhucω豆00 EO」』ωocgω一万ちのN一一ωε」OC

0.5 100

current

operating

0.05 normalized

Ranges of cold region in MRZ Fig.2.15

(d) 除去エネルギー

最後にMRZ平衡において導体に蓄積される熱エネルギーについて考える. こ の諸積エネルギーは， 前章で述べたMPZ平衡の場合の蓄積エネルギーの考え方 では? 当然無限に大きくなり? 動作電流および特性発熱eの影響は比較出来な くなる. そこで， 一様な温度th (高温側交点温度:この時th

二

積される熱エネルギーから， どのくらいエネルギーを ‘除去' するとMRZ平衡 において導体に蓄積される熱エネルギーとなるかを求めるとととする.

この除去エネルギーを， 以下の式で計算する.

Dstat ρ�Xch(To - TB)CBðs加 (2. 58)

丸Iこ

そ

^削

但し， Eo =ρ�Xch(丸一九)CB ^{(2. 60)}

ここに， この式で表される除去エネルギーは， 式(2. 52)の積分範囲が半無限 であ ること により， 導体全体除 去 エ ネ ル ギ ー の1/2 としている. また E(=ρ�Xch(九ーら)CB)は特性長さXchの導体を冷媒温度らから臨界温度九まで 加熱するのに要するエネルギーで、ある.

図2. 16に， このδ5附を， 特性発熱eをパラメータとし， 動作電流jの関数と

して示す. この図の各曲線の大きい動作電流側はMaddock平衡での動作電流 I凶Dに漸近しながら無限に大きくなり， 小さい動作電流側は， Steklyの基準が 成立する動作電流1STEに漸近しながら次第に小さくなっていく. この大きい動 作電流側で， この除去エネルギーがMaddock平衡における電流に相当する動作 電流を漸近線として無限に大きくなっていることは， 前の図の図 15におけ2.

る低混の領域が同様に高動作電流側で無限に大きくなっていることに対応して し1る.

uち0万万町三

v-υo刀ちの三 v-υo刀ちの三

v-υ0万一υの2 v-υ0万円)mwE

∞ \

� ¹⁰²

仁も

N立さ

C

� 101

� コ

ro s....

ω cl.

E

...，

100

�

u

匂ー・

万百

〉、20)

s.... 、トー

ω o

c

てコω N ro

εc

s....

c

100 10-1

normalized operating current i

bath temperature，

ð

MRZ

2. _{1. 5} 周期解

これまで， Maddockらの等面積理論を始めとする�r!lt[均な静安定性即論 について， 数値解に基づく温度分布や蓄積エネルギ一等を比較検討するこ とにより， それらの相互の関係を体系的に考察してきたが， これらとは 違った別の静的 平衡が理論的には存在する. ここで ‘Fg論的には' と|析 わったのは， このような平衡は現実の超電導マグネットの冷却システムの で起こりうる現象とは考えがたし\からである. しかしながら， 純粋に理 論的に見た場合には興味深い解であるので， 以下に計算例を含めて考察し たい.

さて， 高温端あるいは低温端の温度の観点からこれまでのMaddockらの 等面積理論を始めとする古典的な静安定性理論について眺めてみると， い ずれの場合も高温端あるいは低温端のどちらかの温度が， 発熱曲線と冷却 曲線の高温側の交点温度(t Aまたはん)か低温側の交点温度(t二0)のい ずれかにそれぞれ相当しパ1ずれの 平衡の場合もこれらの温度が等面積の 基準を満たしていなければならなかった. ところが， この周期解の場合は，

その条件があてはまらず， 高温端温度(/h')/低温端温度(tc' )の組み 合わせが多く存在することになる11)，12) 図2. ₁₈ (a)および図2. ₁₉ (a)に そのうちのいくつかを示す. ただし， この場合も図中の幾種類かの陰影を 施したそれぞれの2つの面積同士は同じであるという条件はかわらない.

図2. 17に， これら高温端温度(Ih' )および低温端温度(Ic' )の組みム わせを示す. Maddockらの等面積基準をみたす動作電流iMAD (= 0.634 )

(点線 ) を境に ， こ れ よ り小さ い動作電流のMRZ領域 ( i二0.6，i = 0.55， i = 0.5 ) お よ び大き い動作電流のMPZ領域 ( i二0.635，i= 0.65，i = 0.7)と分かれて示されている. MRZ領域では， I h'と tcfの温度差が一番大きくなるMRZ平衡の場合から， 温度差がなくなるIL (= Ih'二Ic')まで分布している. 一方， MPZ領域では， I h 'とfcfの温度差が

吋--.14こ

s-ω

号

^2.0

ω c..

ε

0.5

cold end temperature fc'

1.0

てコ

� ^1.0

日0工

Fig.2.17 Hot end temperature， t'h ，and cold end temperature，に-

which satisfy the equal aria theorem

で分布している

(1)境界条件

(a) MPZ領域

境界条例二は， 以下の様になる.

dT，

dX IX=ü

-

Tlx=ü =斤

ここに， 式(2. 62)の高温端温度TL1は， 以下の等面積の条件より求めたもので ある. 但し， 1ンを先に決定する必要があるが， 行は， 0::;乙，::; ^{TLを満たす任} 意の温度を採りうる. また， 逆に， 九三7;J三乙を満たす高温端温度T;Jを先に 決定し， 次式によりえ'を求めることも出来る.

f ^{K(T)む(T) - Q(7ゆT=。}

ここで、 式(2. 6)から式(2. 14)を用いて無次元化を行うと， 以下のようにな る.

dt

-_dx 1

IX=V

^= o ι。=

等面積の条件:

f k(t)伝(1) ^{- q(ゆt=O}

(b) MRZ領域

dT，

'x IX=O -^v

Tlx =o = 乙!

(2. 64) (2. 65) (2. 66)

(2. 67) (2. 68)

ここに， 式(2. 61)の低温端温度1ンは， 式(2.56)の等面積の条件より求めたも

のである. 但し， Th'を先に決定する必要があるが， Th'は， TL�Th'三乙を満た す任意の狙度を採りうる. また， 逆に， 0 三Tン壬TLを満たす低温端温度Tンを先 に決定し， 式(2. 56)によりTifを求めることも出来る.

ここで、 式(2.6)から式(2.14)を用いて無次元化を行うと， 以下のようにな る.

お=0

1

1

(2) 数値計算

(a) 離散化

式(2. 15)を離散化する方法は， 2.4.2における式(2.27)より式(2. 37)までと 同様であり， MPZ領域およびMRZ領域ともに境界条件以外は変わらない. 境界条 件の部分は， MPZ領域では以下のようなる.

格子点の番号は， X = 0 より m = 1，2，3，・・・と決める.

格子点m二1 (断熱， t二1h' )においては，

kel(tE1 -tp1) ^{_ í� _\} (xe -xw)

& =(q-g)

ここに， tp1 = th'なので， 直ちにらlが求められる.

格子点m=2においては，

ke (t E2 -t P2)

一

み

(2. 71)

(2. 72)

m二1 の結果より， 1 P2二1ElおよびIW2 =tp1(=th')として既知であるので1E2が 求められる.