0.05 normalized

Ranges of cold region in MRZ Fig.2.15

(d) 除去エネルギー

最後にMRZ平衡において導体に蓄積される熱エネルギーについて考える. こ の諸積エネルギーは， 前章で述べたMPZ平衡の場合の蓄積エネルギーの考え方 では? 当然無限に大きくなり? 動作電流および特性発熱eの影響は比較出来な くなる. そこで， 一様な温度th (高温側交点温度:この時th

二

^{ん)の導体に蓄}

積される熱エネルギーから， どのくらいエネルギーを ‘除去' するとMRZ平衡 において導体に蓄積される熱エネルギーとなるかを求めるとととする.

この除去エネルギーを， 以下の式で計算する.

Dstat ρ�Xch(To - TB)CBðs加 (2. 58)

丸Iこ

そ

⁼

^削

^{fhc(I)d (2附}

但し， Eo =ρ�Xch(丸一九)CB ^{(2. 60)}

ここに， この式で表される除去エネルギーは， 式(2. 52)の積分範囲が半無限 であ ること により， 導体全体除 去 エ ネ ル ギ ー の1/2 としている. また E(=ρ�Xch(九ーら)CB)は特性長さXchの導体を冷媒温度らから臨界温度九まで 加熱するのに要するエネルギーで、ある.

図2. 16に， このδ5附を， 特性発熱eをパラメータとし， 動作電流jの関数と

して示す. この図の各曲線の大きい動作電流側はMaddock平衡での動作電流 I凶Dに漸近しながら無限に大きくなり， 小さい動作電流側は， Steklyの基準が 成立する動作電流1STEに漸近しながら次第に小さくなっていく. この大きい動 作電流側で， この除去エネルギーがMaddock平衡における電流に相当する動作 電流を漸近線として無限に大きくなっていることは， 前の図の図 15におけ2.

る低混の領域が同様に高動作電流側で無限に大きくなっていることに対応して し1る.

uち0万万町三

v-υo刀ちの三 v-υo刀ちの三

v-υ0万一υの2 v-υ0万円)mwE

∞ \

� ¹⁰²

仁も

N立さ

C

� 101

� コ

ro s....

ω cl.

E

ω

...，

100

�

u

匂ー・

万百

ωi二

〉、20)

s.... 、トー

ω o

c

ω ωωωο×ω

てコω N ro

εc

s....

c

o

100 10-1

normalized operating current i

Fig.2.16 Normalized energy deficit in excess of

bath temperature，

ð

stat(i)， in

MRZ

2. _{1. 5} 周期解

これまで， Maddockらの等面積理論を始めとする�r!lt[均な静安定性即論 について， 数値解に基づく温度分布や蓄積エネルギ一等を比較検討するこ とにより， それらの相互の関係を体系的に考察してきたが， これらとは 違った別の静的 平衡が理論的には存在する. ここで ‘Fg論的には' と|析 わったのは， このような平衡は現実の超電導マグネットの冷却システムの で起こりうる現象とは考えがたし\からである. しかしながら， 純粋に理 論的に見た場合には興味深い解であるので， 以下に計算例を含めて考察し たい.

さて， 高温端あるいは低温端の温度の観点からこれまでのMaddockらの 等面積理論を始めとする古典的な静安定性理論について眺めてみると， い ずれの場合も高温端あるいは低温端のどちらかの温度が， 発熱曲線と冷却 曲線の高温側の交点温度(t Aまたはん)か低温側の交点温度(t二0)のい ずれかにそれぞれ相当しパ1ずれの 平衡の場合もこれらの温度が等面積の 基準を満たしていなければならなかった. ところが， この周期解の場合は，

その条件があてはまらず， 高温端温度(/h')/低温端温度(tc' )の組み 合わせが多く存在することになる11)，12) 図2. ₁₈ (a)および図2. ₁₉ (a)に そのうちのいくつかを示す. ただし， この場合も図中の幾種類かの陰影を 施したそれぞれの2つの面積同士は同じであるという条件はかわらない.

図2. 17に， これら高温端温度(Ih' )および低温端温度(Ic' )の組みム わせを示す. Maddockらの等面積基準をみたす動作電流iMAD (= 0.634 )

(点線 ) を境に ， こ れ よ り小さ い動作電流のMRZ領域 ( i二0.6，i = 0.55， i = 0.5 ) お よ び大き い動作電流のMPZ領域 ( i二0.635，i= 0.65，i = 0.7)と分かれて示されている. MRZ領域では， I h'と tcfの温度差が一番大きくなるMRZ平衡の場合から， 温度差がなくなるIL (= Ih'二Ic')まで分布している. 一方， MPZ領域では， I h 'とfcfの温度差が

吋--.14こ

s-ω

号

_s-

^2.0

ω c..

ε

ω

0.5

cold end temperature fc'

1.0

てコ

� ^1.0

日0工

Fig.2.17 Hot end temperature， t'h ，and cold end temperature，に

-which satisfy the equal aria theorem

で分布している

(1)境界条件

(a) MPZ領域

境界条例二は， 以下の様になる.

dT，

dX IX=ü

-

^{v (2. 61)}

Tlx=ü =斤

^{(2. 62)}

ここに， 式(2. 62)の高温端温度TL1は， 以下の等面積の条件より求めたもので ある. 但し， 1ンを先に決定する必要があるが， 行は， 0::;乙，::; ^{TLを満たす任} 意の温度を採りうる. また， 逆に， 九三7;J三乙を満たす高温端温度T;Jを先に 決定し， 次式によりえ'を求めることも出来る.

f ^{K(T)む(T) - Q(7ゆT=。}

^{(2. 63)}

ここで、 式(2. 6)から式(2. 14)を用いて無次元化を行うと， 以下のようにな る.

dt

^I

-_dx 1

IX=V

_

^= o ι。=

^{th I}

等面積の条件:

f k(t)伝(1) ^{- q(ゆt=O}

(b) MRZ領域

dT，

'x IX=O -^v

Tlx =o = 乙!

(2. 64) (2. 65) (2. 66)

(2. 67) (2. 68)

ここに， 式(2. 61)の低温端温度1ンは， 式(2.56)の等面積の条件より求めたも

のである. 但し， Th'を先に決定する必要があるが， Th'は， TL�Th'三乙を満た す任意の狙度を採りうる. また， 逆に， 0 三Tン壬TLを満たす低温端温度Tンを先 に決定し， 式(2. 56)によりTifを求めることも出来る.

ここで、 式(2.6)から式(2.14)を用いて無次元化を行うと， 以下のようにな る.

お=0

^{(2. 69)}

1

1

^x=o = tc' (2. 70)

(2) 数値計算

(a) 離散化

式(2. 15)を離散化する方法は， 2.4.2における式(2.27)より式(2. 37)までと 同様であり， MPZ領域およびMRZ領域ともに境界条件以外は変わらない. 境界条 件の部分は， MPZ領域では以下のようなる.

格子点の番号は， X = 0 より m = 1，2，3，・・・と決める.

格子点m二1 (断熱， t二1h' )においては，

kel(tE1 -tp1) ^{_ í� _\} (xe -xw)

& =(q-g)

ここに， tp1 = th'なので， 直ちにらlが求められる.

格子点m=2においては，

ke (t E2 -t P2)

一

k ^w (1 _三P2 -1 W2) WL 二(q-g)(xe -x�J

み

(2. 71)

(2. 72)

m二1 の結果より， 1 P2二1ElおよびIW2 =tp1(=th')として既知であるので1E2が 求められる.

ke(t EN -1 PN) 人(仇 -1附)

附 = (q -g)(Xe -Xw) (2. 73)

m二N-1の結果より， Ipl1 = IE(N_I)およびIWI1 = 1 P(N _1)として既知であるので

IE円が求められる. したがって， ここに各点の温度はすべて計算出来ることにな る. なお， MRZ領域では， この境界条件において， 1 h I→/Cfと置き換える.

(3) 結果および考察

(a) 周期解における温度分布

� 2. 18 (a)および図2. 19 (a)に， MPZ領域およびMRZ領域における幾種類かの /cfと/ho の組み合わせの例として， それぞれkg . kq曲線の模式図を示す. また，

、�2. 18 (b)および図2.19 (b)に， その場合の温度分布の計算結果の例を示す.

� 2. 18(b)は， 動作電流が貯Z 平衡が成立する範囲(jM4DU三1)の場合の計

算結果例であり? IJとん'の温度差が広い方の極限(④)はMPZ平衡の場合の温 度分布に等しくなるが， 一方温度差が狭い方の極限は発熱および

冷

^{却曲線の低}

温側 の 交 点 温 度ILの 均 一 温 度 分 布 と な る様子が よくわかる . ま た ， 2.19 (b)は， 動作電流がMRZ平衡が成立する範囲Ci ^s悶S

結果例でで、あり， tc'とfhfの温度差が広い方の極限(④)はMRZ平衡の場合の温度 分布に等しくなるが， 一方温度差が狭い方の極限は発熱および冷却曲線の低温

側の交点温度ILに等しい均一温度分布となる.

.，.

④ ( h

。ミhbv、 ^/I�

。 。

(a) _③

①②③ ④

O. 725 0.585 O. 284 0

O. 78686 O. 78686 O. 78686 O. 78686

0.85 1.0 1.8

2. 117

(MRZ)

kq kg

Fig.2.18

(

^a

)

Example of hot end temperature，

th�

and cold end temperature， tc'， which satisfy the equal area theorem

3

<.D αコ

<.D

、\5

市二』

/ ③

θ= 1 i =0.65 2

いω」

コ芯」ω♀ε2

humUN=ωE」OC

15

ドキュメント内 プール沸騰冷却超電導体の熱安定性 (ページ 48-57)