拡 張 ベ イズ 法 に よ る舗 装 弾 性 係 数 の 逆解 析 に 関す る基 礎 的研 究
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(2) 2.拡 張 ベ イ ズ 法 に よ る舗 装 弾 性 係 数 の 逆 解 析 ベ イズ法 は測 定 情報 と未 知パ ラメー タの事前 清報を用 いて,測 定後 のパ ラメー タ を推定す る方法 であ る.拡 張ベ イズ法 は,ベ イ ズ法 に測 定の情報 と事前情 報 の不確 定性 を十分 に考慮 して発 展 させ た方 法で あ り,近 年 地盤工学 や地下水の分野 におい てよ く使 われてい る11),12). アス ファル ト舗装 は,一 般的 にアス ファル ト混合物 と 粒 状 の路盤 で構成 されて い る.ア ス ファル ト混合物 の弾 性係 数 は配合 条件や 温度 に強 く依存す るもので ある.よ って,測 定現 場の温 度デー タな どを利 用 してアス フ ァル ト混 合物の事前情報 が得 られ る13).ま た,粒 状 路盤 の弾 性係 数は粒状}材料 の材質 お よび安定処 理方法 な どにかか. 図‑1た. わみの コンター図(計 算例). わる もので あ り,測 定 され る舗 装 に関す るデ ー タベー ス を利用 して路盤 の事前情報 を得 ることが可能 であ る13). このよ うな こ とか ら舗装 の逆解 析の 問題 におい ては拡 張 ベイズ法 を利用す る ことが有効で ある と考 え られ る. (1)拡 張ベイズ法 による舗装弾性 係数の逆 解析 問題 の定 式化 拡 張ベ イ ズ 法 に よ る舗 装 の逆 解 析 は,測 定 た わ み の情 報 お よ び各 層 弾性 係 数 の事 前 情 報 を も とに して 舗 装 各 層 の 弾性 係 数 を解 析 す る もの で あ る.各 層 弾 性係数Eは,式(1)に. 示す 評価関数Jを 最小 にす ることに. よって求 め られ る16). 図‑2事. 前 情報の コンター図(計 算例). (1) ここで,β はた わみ情報 と弾性 係数 の事 前情報 との相 対重 み係数 で ある(以 下,事 前 情報 の重み係数 と呼ぶ). また,DはFWDに. よ る測 定 た わ み,Zは. み のベ ク トル で あ り,Mは. 計算たわ. 各 層 弾性 係 数 の事 前 情 報. で あ る.事 前 情 報 は,こ れ ま で の経 験 を ふ ま えて舗 装 の構 成 材 料 お よび 測 定 時 の 気 温,路 面 温 度 な どに よ っ て決 め られ る. 式(1)にお けるRD‑1は たわみ の重み係数 であ る.同 様 に, RM‑1は 各層 弾性係数 の事前 情報 の重み係数 で あ る.RM‑14. 図‑3拡 張ベイズ法の概念図. は,舗 装 を構 成す る各層材 料 の物性 のば らつ き具合 に よ って決 める10). この評価 関数Jの 最小化 問題 は通常,非 線形最小二乗法 あるい はカル マンフ ィル ター法11),14)な どで解 くことがで きる.こ こで は,非 線形 最小二乗法 を用 いて行 った14).. め方 はい くつかが提案 され てい る15). 舗装 弾性 係数 の逆解析 は,図‑1に 示 す計 算例の よ うに 直 交性 に乏 しいた めに,逆 解析 の解 は不安定 とな り,たわ み誤差 によって逆解 析の結果 が ば らつ くことが分 かって い る.そ のた め,拡 張ベイ ズ法 による逆解 析では,図‑2. (2)拡 張ベイズ法 による逆 解析 における最 適 βの確定 事前 情報 の重み係数 βは,一 般 に情報 量基準 によって 決 め られ るもので ある.各 種の情報基 準 によって,そ の決 ―16―. に示す よ うな事 前情報 を加 えて,安 定 した解 析結果 を求 めるこ とを 目的 とす る..
(3) 拡 張ベ イ ズ法に よる舗 装 の逆解 析にお いては"逆 解 析 弾性係数 は,図‑3に 示す よ うに事 前 情報 の分布 と測定 た わみ に よっ て推 定 され る弾性係 数 の分布 が 重 な る部分 (共通部分)に よって推定 され るもので ある と概 念 的 に 考 え られ る.こ の共通部分 は,測 定 たわみ と事前 情報 に含 まれ る舗 装の弾性係 数 に関す る共通情 報 量で あ り,一 般 に,測 定たわみ及 び弾性係 数 の事前 晴報 に基づ きベ イ ズ 法 によって推定 された舗 装 の各層 弾性係 数の分散,い わ ゆる事 後分散 で表 され る.し たがって,本 研 究では,舗 装 弾性係 数 の事後分 散 を逆解 析について の情報量基 準 とす る.こ こでは,情 報量指数1は,次. のよ うに事 後分 散SE. の 自然対数 で表す ことにす る. (a)β=0.1. (2). 舗装 の弾性係 数 の事前情報 お よび 測定 たわみ の情報 が 与 え られた場 合,舗装各 層弾性 係数 の事 後分 散SEが 式(3) に示す よ うに得 られ る11),14),16). (3). こ こ で,. H={∂z/∂E}E. =E. σε2=(J/n)E=E Ε:Eの. ベイズ推定値. n:た. わ み セ ンサ ー の数. m:舗 ま た,舗. (b)β=0.3. 装の層の数. 装 弾 性 係 数 の 事 後 分 散SEの. 大 き さは 一 般 に. 事 後 分 散 行 列 の 絶 対 値￨SE￨で 表 せ る.式(3)に. よ り,. ｜SE￨は次 の よ うに 書 け る.. (4) こ こで,￨HTR‑1DH+βR‑1Mはm×m行. 列 式 で あ る.し た. が っ て,こ の 事 後 分 散SEに 基づい て 舗 装の逆 解 析に お け る情 報量 指 数1は 式(5)の よ うに書 け る. (c)β=4.0. (5) 図‑4β. に伴 う情 報 量 の 変化(計. 算 例). 図‑4に 示す計 算例の よ うに,β が大きい場 合は,事 前 情 報の影響 が大 きい 逆 解析結 果はそ の影響 によって,事. と した場合"最 適 βを得れ ば 解 の安定性 を保 障 し,た わ. 前情報 の 中心 に引張 られ,逆 解析 の情報 量指数1が 小 さ. みか らの情報 を最大 限に利用 す ることがで きる.. くなる.一 方,β が小 さい場合 には事前情報 の影響 が失わ れ,い くつ かの極小 点が現れ るた めに,逆 解析値 が極小点 に落ちて,逆 解析の晴報量指数1が 急速 に小 さくな る.し たがって,事 後分散 を舗装 の逆解析 におけ る情報量基準. (3)計 算例 本研究 に使用 した測 定デー タは,第2回FWD共. 通試験. の測定結果で ある.こ の共通試験 は1993年3.月30日 ―1―. と.
(4) 図‑5A工 区の舗装構造及び解析モデル. 図‑6FwDに. よる測定結果. 表‑1各 層弾性係数の事前情報. 31日 に建設省 土木研 究所の走行試験 場で行 われた7).最 大荷重,セ ンサー の個数,位 置,た わみ測定方式 な どが異 な るFWD装. 置 を集 めて各種 類の工区の測定が行われた.. その うち,A工 区は,ア ス ファル ト安定処理 路盤 及び砕石. 図‑7β に伴 う情報量指数1の 変化. 路盤 を有す るア ス ファル ト舗 装 であ る.こ の舗 装構造 を 図‑5に 示す.各 装置 に よるたわみ の測定 は計7回 行 われ, 1回 目のデー タを除いた6組 のデ ータを平均 してそ の点 の 測定結果 とした. ここでは,A装 置 の測 定デー タを用い てA工 区を逆解 析 す る.A装. 置 による測 定結果 を図‑6に 示 す.解 析モデ. ル は,図‑5に 示す よ うな3層 弾 性モデル である.仮 定 し た表層 は10cmの アス ファル ト混 合物 層 と10cmの アス フ ァル ト安定処理層で構成 され,路 盤 は30cmの 砕 石路盤で ある.路床 は 山砂 を含む ロームで ある。各層の事前情報 は アス ファル ト舗装要綱 を参考 に し,表‑1の よ うに設定 し た17)。 逆解 析結果 を図‑7,8に 示す.こ の解 析結果 よ り,仮 定 され た事前情報 の重 み係 数 βが大 きい場 合に逆解 析 した 表 層,路 盤 弾 性係数が事前情報 の影響 を強 く受 けてお り, 路床 弾 性係 数が この影響 を受 けていないのが確認 された. βが小 さくな る とともに測 定た わみ の情報 が逆解 析結 果 に及 ぼす影響 は大 き くな り,情 報量指数1も 上昇す る.β が0.3の. ときに情 報量指数Iは最 大 となった.そ の後 β. が小 さくなる とともに事 前情報 の影響 が小 さ くな り,情 報 量指数Iが 速やか に減少す る ことを示 してい る. なお ここで,β の最適値 につい て説 明 してお く.拡 張べ ―18―. 図‑8A工. 区の逆解析結果.
(5) 図‑9各. 図‑103層. 装 置に よる測定 結果. イ ズ法 を用 いる舗装 の逆解 析において は,舗 装 の構成 た. 表‑2拡. の解析 モデル. 張ベイ ズ法 によるA工 区の逆 解析結果(3層). わみセ ンサー の位 置及び各 装置 に よる測 定たわみ の誤差 によって最適 βが必ず 一定の値 とな らない そのため,各 問題 に当た って βの最適値 を求 めるこ とが必要 であ る. 3.拡 張 ベ イ ズ 法 に よ る舗 装 弾 性 係 数 の逆 解 析 の信 頼 性 拡張ベイ ズ法 に よる舗 装弾性係 数の逆解 析は測定たわ みお よび各 層弾性係 数 の事 前 情報 に基づ いて行 うもので ある.し たが って,逆 解析結果 の信頼性 は実測たわみ の精 度 と各層 弾性 係数 の事前 情報 の精度 に依存 してい る.実 測たわみ はFWDに. よ る測 定値 で あ り,測定装置の種 類な. 表‑3最. 小 二乗 法に よるA工 区の逆解 析結 果(3層). どの違 いに よっ て各 装置 で測 定 した結果 には測定誤差 が 存在す る.ま た,舗 装の弾性係 数 に関す る事 前情報 は舗装 の材 料構成 測定 時の気温 な どに基 づい て総 合的 に判断 す るもので ある.し たが って,拡 張 ベイズ法に よる逆解析 結果 の信頼性 を把握 す るため に,た わみ の測 定誤差 お よ び事 前情報 の変動 が逆解 析結 果 に及 ぼす影響 を調べ るこ とが必要で ある. (1)実 測たわみの誤差が逆 解析結 果に及ぼす影響 ここでは,第2回FWD共 各種FWD装. 通試験 でのA工 区におけ る. 置の測定結果 を用 い,拡 張 ベイ ズ法 に よって. A工 区を逆解析す る.各装 置の逆解析結果 を比較す ること に よって,た わみ の測 定誤差 が逆解 析結果 に及 ぼす影響. い てA工. を評価す る.ま た,拡 張ベ イズ法に よる方法 の実用性 を評. 報 を図‑10,11に 示す.. 価す るために,最 小 二乗 法 によって も同様 に行 い,結 果 を 比較 した. 各装置 の測定 たわみ を図‑9に 示 す.測 定たわみ の装置 間の変動係数 は4.0〜7.5%で あ る.こ れ らのデー タを用. 区の逆解 析を行 った.逆 解析モデル 及び事前情. 拡 張ベイ ズ法 に基 づいた3層 モデル と4層 モデル の逆 解析結果 を表‑2,4に 示す.表 中の 「*」が付 いたB装 置 の砕 石路盤 の弾 性係 数 は他 の装置 よ りも大 きい が,各 装 置の逆解析結果 はほぼ 一致 してい る.. ―1―.
(6) 数 は9800MPa,10cmの. アス ファル ト安定処理砕 石の上. 層路盤 が8000MPaで. ある.そ れ らを二層 に換算 した等値. 換算 弾 性係 数が8900MPaで ある.3層 モデル では これ ら のアス ファル ト混合 物 とア ス ファル ト安定処理 砕 石を一 層 と した表層弾 性係 数が9000MPaで もの とほぼ等 しい. あ り,4層 モデル の. これ らの ことか ら,拡張 ベイズ法 によ. る3層 モデル と4層 モデル の逆 解析結果は ほぼ等 しい と 言 える. 最小 二乗 法に基づいた3層 モデル と4層 モデル の逆解 析結果 を表‑3,5に 示 す.表 中の 「**」 が付 いた装置の 逆解析は収束せず,ま た,「*」 が付 いた装置 の逆解析結 果は他 の装置 と著 しく異 な る. 図‑114層. 拡張ベ イズ法 に よる逆解 析結果 と比較すれ ば,最 小二. の解 析モデル. 乗法 による結 果は変動係数が大 き く,3層 モデル と4層 モ 表‑4拡. デル の結果 が大 きく異 なってい る ことが明 らか になった.. 張ベイズ法に よるA工 区の逆 解析結果(4層). 以 上の ことか ら,拡 張ベイズ法 に よる舗装 の逆解 析は 最 小二乗法 と比較すれ ば 安 定 性が高 く,た わみの測定誤 差に よる影響 は少 な くな ると考 え られ る. (2)事 前 情報の変動に よる逆解析結 果の影響 次 に事前情 報の変動 が逆解 析 に与 え る影響 につい て検 討 す る.こ こでは,こ れまで の逆解 祈結果 のば らつ き具合 に よって3層 変動 させ,A装. モデル の逆解 析にお け る各 層の事前情報 を 置 の測定デ ータを用いてA工. 区の逆解 析. を行 い,各 事前情 報 の変 動 によ る逆解析 結果 の影 響 を検 討す る. a)表 層の事前情報の変 動に よる影響 表‑5最. 小二乗法 に よるA工 区の逆解析結果(4層). 表層 の事前 情報 の変 動 に よる逆解析 結果 の影 響 を調 べ るた め,路 床 と路盤 の事前 情報 を一 定 とし表 層 の事 前情 報 を5900〜7800MPaの. 問で変動 させ,逆 解 析 を行 った.. 逆解析結 果 を図‑12に 示す.表 層 弾性係 数の事前情 報 を 5900〜7800MPaと. した場 合,逆 解析で得 られ た結果 は表. 層弾性 係数 が8500〜9300M鉱. 路盤 弾性孫 数 が175〜167. MPaで ある.路 床 弾性 係数 は74MPaと. 変わ らない. この. 解析 結果 か ら,表 層 弾性係数 の事前 情報 の変 動 は表 層お よび路盤 弾性係数 の逆解 析結 果に影 響 を及 ぼす.し か し, この影響 は小 さく,実 用 には 問題 に な らない こ とが分 か った. b)路 盤の事前 情報の変動 による逆解析結果の影響 この解 析 結 果 よ り,測 定 た わみ の変 動係 数 が4.0〜. 路盤 の事前情 報 の変動 による逆解 析結果 の影 響 を調 べ. 7.5%の 場 合では逆解析弾性係数 の変動係数 はア スファル. るため,表 層 と路床 の事前情 報 を一 定 と し路盤 の事前情. ト混合物 の表層,ア スフ ァル ト安定処理 の上層 路盤 お よ. 報 を150〜440MPaの. び路床が7%以 下で あ り,砕石路盤 が17〜24%で あった.. 間で変動 させ,逆 解析を行 った.逆. 解 析結果 を図‑13に 示 す.. これ らの結果 のば らっ きは実用 に対 して十 分で ある と考. 逆 解析 で得 られ た結果 は表層 弾 性係 数 が8900〜7900. え られ る.. MPa,路 盤弾性係数 が150〜220Mpa路 床 弾性係数が75 〜74MPaで ある.路 盤弾 性係数 の事前情報 の変動 に よる. また,3層 モデル と4層 モデル の逆解析結果 を比較 す ると,路 床 と砕 石路盤 の逆解 析結果 はほぼ等 しい.4層 モ デルで は,厚 さ10cmの アス ファル ト混合物 の表 層弾性 係 ―20―. 逆解 析結 果 の影響 は小 さい.
(7) 図‑12表. 図‑13路 盤 の事前情報 に よる逆解析結果 の影 響. 層の事前情 報に よる逆解析結果 の影 響. c)路 床の事前情報の変動 による逆 解析結果の影響 路床 の事前 情報 の変動 による逆解 析結果の影響 を調べ るた め,表 層 と路盤 の事前情報 を一 定 と し路床 の事前 情 報 を34〜103MPaの. 間で変動 させ,逆 解 析を行 った.逆. 解析 結果を図‑14に 示す.得 られた逆解析結果 は完 全に同 じで ある.こ の結果 よ り,路床の事前 情報 の変動 は表層, 路盤 及び 路床 の各層 弾性係 数の逆解 析結果 に対 して影 響 を与 えない ことが分 かった. 以上 の解析結果 よ り以下の ことが言 える. 拡張 ベイ ズ法 によ る舗 装弾性係数 の逆 解析 においては, 路床 の事前 情報 は舗装弾性係 数 の逆解析 結果 に影 響 を与 えない.表 層 と路盤 の事 前 情報 の変動 に よる影響 は多少 ある.し か し,こ れ らの影響 は小 さく,実 用 には問題 にな. 図‑14路. らない 4.結. 床 の事前情 報に よる逆解析結 果の影響. 論. (3)拡 張 ベイズ法によ る舗 装弾性係数 の逆解 析におい て は,事 前 情報 の変動 は逆解 析結果 に影 響 を与 えて い. 本文 は拡 張ベイ ズ法 に基 づいた舗 装弾性係 数 の逆解 析 方法の適 用性 につい て検討 し,第2回FWD共. る.し か し,こ れ らの影響 は小 さく,実 用 には問題 に. 通試 験 のA. 工 区の実測デー タを例 に して舗装 弾性 係数 の逆解析 を行 い,逆 解 析 にお け る実測 たわみ の誤 差 の影 響 と事前 情報 の影響 について考 察 した.本 研 究の結 論をま とめ ると以 下 の とお りである. (1)拡 張ベイズ法 による舗装 弾性 係数 の逆解析 は,測 定. な らない 舗 装弾性係 数 の逆解析 では,事 前 情報 を利 用す る拡 張 ベイ ズ法 を使 用す るこ とに よ り,結 果 の信 頼 性及び 実用 性 の向上 に とって有効 で あると考 え られ る.し か し,こ の 方法 を実用化 させ るために は,適 当な事 前情報 システ ム の構築 が今後 の研 究課題 と して残 され てい る と考 え られ. たわみ と舗装 に関す る事前 情報 を有効 に利 用で きるた. る.. め,最 小二乗法 による逆解析 よ りも解 の安定性 が高い (2)拡 張 ベイズ法 に よる舗 装弾性係数 の逆 解析結果 は, 装置 間の変動 係数が小 さい また,3層 モデル と4層 モデル による逆解析結 果 もほぼ等 しい.こ れ によ り,. 謝 辞:本 研 究で用いたFWDに. よる測定デー タはFWD. 研 究会か ら提 供 して頂いた もので あ り,こ こに感 謝 の意. この解析方法 は実用性 がある と考 え られ る.. を表 します.ま た,本 研 究 を行 うに当た り岐阜 大学の本城 勇介助教 授に は有 益な御助 言 をい ただ き,併 せ て感謝 の. ― 21―.
(8) Second International Conference on Road&AirfieldPavement. 意 を表 します.. Technology,Singapore,1995. 9). 参考文献 1). 丸 山暉 彦, 阿 部 長 門, 雑 賀義 夫, 姫 野 賢治:. FWDに. 2). pp.61‑68,. InternationalConferenceonAsphaltPavements,1992. 10) Tu, W. X, Maruyatna,T., Takahashi, O. and Hayashi,M:. 1994.. Theuse. Reliabilityin FWD back-calculatedmoduli,SecondInternational. of FWD deflection data in mechanistic analysis of flexible. Conferenceon Road &AirfieldPavementTechnology,Singapore,. Himeno,K, Maruyama,T.,Abe, N. andHayashi,M:. pavements,Third InternationalConferenceon Bearing Capacity ofRoadsandAirfields,Trondheim,Norway,1990. 3). 松 井 邦 人, 佐 藤 直 俊: Gauss‑Newton法,. 1995. 11) 本城勇介: 拡 張ベイズ法 を用 いた軟 弱地盤 上の盛土 の逆解 杭. 舗 装構 造 の逆 解析 の ため の改 良 12). 土 木 学 会 論 文 集, No.478/ V‑21, pp.141‑. Sivaneswaran, N., Kramer, L., and Mahoney, I:. modulibackcalculation procedure,Nondestructive Testingof PAVEMENTS and Backcalculation ofModuli,STP1198,pp.3951, 1995.. 1991. Y. J., and Lytton, L.:. backcalculated. pavement. Accuracy. and consistency. layer moduli, Transportation. of 14). Research. Kasabara,A, Kubo,H., and Sugawara,T.: Estimationof in situ. 15). Deflectometerdeflectionbasin, Proceedingsof 6th International. 16). 17). USA,1987. 7). FWD研. 8). Kameyama,. S., Himeno, K, Maruyama, T. and. Uniqueness. of backcalculated. 鈴木義一郎:. 情報量基 準による統計解 析入門, 講談 社サ. 武 者 利 光 ,岡 本 良 夫:. 逆 問 題 とそ の 解 き方,. オ ー ム社,. 1994.. Conferenceon Structural Design of AsphaltPavements,Vo1.1, FWDに. 地 盤 工 学 に お け る逆 解 析3. 逆 解 析 の 手 法, 土. イエ ンテ ィフィク, 1995.. elasticmoduli of pavementstructurallayer with Falling-Weight-. 究 会:. 佐 藤 忠 信:. と基礎, 43‑5(448) , pp.67‑72. Record 1293, pp.72-85, 1991.. 6). 1988.. 13) Rada,G. R, Richter,C. A and Jordahl,P. : SHRP's layer. technique, Transportation Research Record 1293, pp.93-101,. Chou,. 本 城 勇 介, 森 嶋 章: 地 下 水 浸 透 解 析 モ デ ル のパ ラ メ ー ター. 集, 第400/ III‑10, pp215‑224,. Advanced. backcalculation using a nonlinear least squrares optimization. 5). 日科技連 ・第7回 計算 シンポジ ウム, 1993.. 推 定: 推 定 の 不 確 実生 徒 そ の 予 測 へ の 影 響, 土 木 学 会 論 文. 144, 1993.. 4). Reflectionof model and. measurementerrorson stiffnessestimates,Proceedingsof the 7th. よる. 舗 装 の構 造 評 価 お よび 補 修設 計 シ ス テ ム の 開 発, 土 木 学 会 論 文 集, No.484/ V‑22,. Matsui,K, Inoue,T. and Sampei,T.:. 日本 道 路 協 会:. ア ス フ ァル ト舗 装 要 綱, 1985.. 関 す る研 究(そ の2) , 1995.. moduli. Nishizawa, T.:. of pavement. structure,. BACKCALCULATION OF PAVEMENT USING EXTENDED BAYESIAN Weixin TU, Teruhiko MARUYAMA,. LAYER MODULI METHOD. Osamu TAKAHASHI. FWD testing and backcalculation have been conducted on pavement evaluation for many years. However, none of the existing backcalculation procedure is guaranteed to give reasonable moduli values for every deflection basin measured. To increase the precision of the backcalculation moduli, a new backcalculation procedure based on ExtendedBayesianMethod(EBM) was describedin this paper. The advantageof EBM is to utilizeprior informationof pavement layers,as well as deflectionfor backcalculation of pavement. The practical backcalculation of FWD common test measurements indicatesthat the layermoduli of pavementcan be estimatedproperlyby this procedure, and the results are stable and reasonable. Finally, the influenceof priorinformationon backcalculatedresultsis also discussed.. ― 22―.
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