Tokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
自己教育力を
高
め るた めの授業 一数学的
コ ミ ュ ニ ケーショ ン活動
を通 して， 現実
的な事象
を自
ら発展的
に考察する 一現
実的
な
事
象
を グ
ラ
フ
化
す
る
ジ ェ ッ ト コ ー ス タ ー の動
き 共立女子中
学校
久
保 良宏1
． は じ め に関数の
指導
の難
しさにっ いて は， これ まで に多 く
の指摘
がなされ
てお り， これを改善
す るたあの研究が数
多く発表
されて い る。 しか しなが ら， これ らの研究の 多 くは，指導法
に か かわるものであ り，関数を生徒が どの ように理解し， これ を捉えて い るかの実 態を明ら かに した ものは少
ない （国宗
，1987
；礒田，1990
）。 一方
，数学
の社会
的有用性が求
め ら れて い る現在，数学
を社会
や自
然といっ た現実的
な事象
と結
びつ けて指 導する必要性 も強
調 されてい る （長崎
，1997
，1998
，1999
，2000
）。そこ で
筆 者
は，生徒
の発
達におけ る関数の理解 を，特
に現実的
な事象
に着 目 して調査し た （久保1998a
）が ， その結
果， すで に数学
の舞台
にあが っ て いる場
面での関数
の理解
は学年
とと もに理解
が深
まるが 現実的な事象 と関数
とを関連
づけて考察することは、学
年間において それほ ど大き
な差
は ないとの知見を得
た。 その要因
の1
つ には、 日常
の数学
の授業において ，関数
を現実的
な事 象 と関
連づけて指導
され る場
面が少 ない ことが考
えら れ よう。しか しなが ら，
学
習指導要領の改訂
に より数学
の授業時
間数
が激減する中
では，教科書
の 内容を消化す
ることにだけに時間
がさかれ
現実的
な事象 を題材
に した授業
が軽視
され て しまう・晒 己がある。 また，数学的処
理 が これまで以上に重 視され，数
学的
な考え方が軽視
されることが予
想 される。例
えば，変
化の割合 を極限
で考察す
る微
分の考 え方 は 数学
の世界
だけに止 まらず
，多
くの様
々な問
題 を解決す
る上で必要
であると思われるが，高等
学校で は指導時
間の制約からか， 微分が数学
的文脈
（純
粋数学的）の中
で指導
され，時
と して機械的
な処
理能力
に重点がおかれて しまう傾向がある。 筆者はこ うした問題点
の 解決 策の1
つ と して ，直観的
な考察
であ
っ て も ，中学段階
から変化
の割
合を社会的文脈の 中で 捉え る指導が 必要
であ り， それには先に記 した ように， 現実的
な事 象 と数学
（関数）
を関
Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlversrty of Solenoe
連づけた
授業
展 開が重要
で あ る と考
え た。・
また
指導
法に着 目す
れば 数
学の指導 とい うと， 教師
か ら生徒
へ の知識
の伝
達や技能
面 の 習熟に重点
が おか れ る傾 向があるが， こうした指導
では 生徒
が主体的
に授業
に取 り組 み 生徒 自 らが数学を発見 したり，発展的
に考察す
る といっ た自己
教育
力を高め る指導に はっ なが らない と考
え られる。 そこ で筆者
は、 これ まで に 「話 し合
い活動」 を活
発にす
る ための雰囲気
づくり
につ いて考察
した研究 （久愾1991
）を さ らに発展
させ，数学科
の指導
にお け る 「数学的コ ミュ ニ ケーショ ン活動」 に着 目 して研究 を進め た （久保1998b
）。 こ の研究
では数
学的コ ミュ ニ ケーシ ョ ン活動
を，「
数
学を使
っ て 自分の考えを，友だち が納
得できるよ うに論理的
に表
現す
ることにより， 自分の考え をより深めてい く活動。 さ らに，これが生 徒間
において積極
的に行われ 相手の考えを理解 しよ うと努
め な が ら友
だ ち同士の連帯
意識
が高
ま る中で， 生徒の数学の知識や考え方が深め られ 生徒
にとっ て新 しい数学
がっく
られて い く活動
」 と定義 し， 授業実践を通 して， こう した活動
が活発にな る指導法の工夫にっ いて明らかに した が、筆者
は、 こ の よ うな指導法
が、生徒
の自
己教
育 力を高め る上で有効である と考えてい る。そこ で，
本
授業
研究
で は こ う した研究 を踏 まえ ，内容
では社
会的文脈の 中で 微分 を も視
野に入れて 「関数」 を捉え ， 指導法において は 「数学
的コ ミュ ニ ケ ー シ ョ ン活動
」 に焦点
を おい て授 業実践を行 う。2
．考鮴
オ
開 発（
1
）教材
開発の視
点筆者
は 現実的
な事象
と関数 とを関連づける教材
の開
発には，次
の点
に着
目す
る必要
が ある と考
え た。 （久保1998a
）一
一モ
il
卸
…
・…
モ
il
卸
一
… 一本授業
で は 関数
の表
現と して は関数
のグラフに焦 点
をあて， 上 記アの a ， イの a に つ い て考察 させ る。すなわち，
「ア．
現実的
な事象
から関数 （
a ．グ
ラフ）を発
見す
る。 」，「イ．関
数
（a
．グラフ）か ら現実 的な事象
を解釈す
る 。 」 である。 一149
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
（
2
）
教材
ジェ ッ トコースタ ーの動
きにつ いて考えてみ よ う。横
軸に時間，縦軸
にス タ ー ト地点
か らの走行距離を
とり ， ジェ ッ トコ ース ターの動 き をグラフに表す
。 （3
）教材観この
教
材に は2
次
関数
程度 まで の関数の内容
が内在
して い るが， 具体的
な数値
は全 く与 えて いないた め，表や式
からこ の グラフを描
くことを目
的には してい ない。現実的
な事象
か ら，生徒
の経験や感覚を通 してグラフを描
くこ とが できるかに着 目
する。学校教育
に お け るテ クノロ ジーの 導入によ り， グラ フを直観的
に理解す
る必要
性が高
まっ て いる （西村 ，2000
）が，数学
の系統性
や数学
理論
の必要性
と同様
に，直観的
な考察
も関数概念を培
う意
味
で有効
であ る との 立場であ る。 具体的
には，例
えば
ジェ ッ トコ ースタ ーが下 りて くる ときの様 子を グラ フ に表す場合， 変化の割合か らグ ラフ の形状が直線には ならない ことを 理解
で きるか，1
回転
した とき （ルー プ）， その 時間と走行
距離
の 関係は どのようなグラ フ にな るか等
々 にっ い て考察させ たい。 ジェ ッ トコース タ ーに着 目した理由は， ジェ ッ トコ ースタ ーの動 きを グラフ化する際生徒
は理解
に困難
を示す
こと （宮
川，1998
；西村
，1999a
，b
）や， 遊 園地の乗 り物
は， 生徒
にとっ て興味
・関心 が1高
く ， さらに発展的な考察が可能
であ る （松嵜
他1998
）とい う報告
が参考
になっ て いるが，何
よりも，速
さの変
化が明確であり， これを生徒の経験 （乗 っ た経験
，見
た経験
な ど）か ら考察
で きるとい うことにある。また ，
本時
は授業
研究
という制約
か ら，1
時
間で完結
可能
な教材
と して設定した。なお， 縦
軸
に走行
距離ではな く， 高さをとっ て グラフ化した方が ジェ ッ トコ ース ターの ア ッ プダウン の様
子が よくわかる （西村，1999
）。 しか し， 本時
で1
よこの ことを発展的 な考察段 階で生徒に気がつ かせ たいとい うことか らあ えて， 走行距
離
を縦軸
にとっ て い る。3
．学
習 指
導
案
（1
） テーマ ；ジェ ッ トコ ース ターの動
きにつ いて考
え て み よう。授
業者
；久
保良宏
（2
）実施年月
日 ；平成
12
年
6
月
10
日 （土）4
時限 （ll
時30
分
か ら12
時20
分 ） （3
｝対象学校
・学年
・組
；共立女子中学校
2
年
1
組 （
女子
47
名
） （4
）単元
；関数
の グラフ（
学習指導要領
の学年
にお け る指導内容
に は と らわれない） 既習事項 ；中学1
年におい て， 比例 ・ 反比例につ い て学 習して い る 。また， こ の ク ラス の約半数は，前
年
度 （中
1
）1
月に，課題学習
の筆者
のTokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlversrty of Solenoe
授業
で，「ジェ ッ トコース ター
気
分のモ ノ レー ルの意味
につ い て考
えよう」とい うテ ーマ で
授業を行
っ て おり
， こ こ で は， モ ノ レ ール のカー ブの半径
，斜度
につ い て学習
してい る。（
6
）学級所見
；明
るく素直
で積
極
的
なクラスで あ る。担任教師 （
小川由美子）
の 日常
の指
導
か ら，疑問
や意
見な どをき
ちん と発表
しよう
とす
る雰囲気
があ る。 またt数学
につ いての興味
や理解
の度合
い に は大 き
な差があ ると思わ れるが， この差 が数
学
的コ ミュ ニ ケ ーショ ン活動
を活
発化す
る上で有効
である と考
えてい る。 （7
）本時
の指導
本時
の目
的ジェ ッ トコ ース ターとい
う
生徒
の身
近にある乗
り物
の動 きを，表
や式
か らではな く，生徒の経験か ら直観 的にグ ラフ化
す
る活動
を通 して直線
と は別
の グラフの存在を数学的
コ ミュ ニ ケーショ ン活動
を通 して発見す
る。 さらに， こ の発見
か ら生徒 自
らが，別の
視 点
や別
の場面
で同様
な考察
を しようとす
る。本時
の流れ1
） ジェ ッ トコ ース ターの コース につ い て意見を出し合 う。2
）ジェ ッ トコ ース ターの動 きにつ いて意見
を出
し合
う。3
）ジェ ッ トコース ターが上っ てい
く場面
，下
りて くる場面につ い て，時
間と走行距
離
の関係
に着
目 して グラフ化
し，意見交換
をす
る。4
） そ の後のジェ ッ トコースターの コ ースを頭
に描
き， これを グラフ化する。5
） その グラフを発 表 しあいなが ら， どの ようなコ ースを頭
に描
い てい るかを考
える 。6
）
5
）
で考
えた グラフを現実的な場面
に戻した ときの問題 点
を出
し合
う。7
） 別の視点
からグラフを描
い たり，別の場面で の考察 を行 う。8
）こ の授
業
でわかっ たことを，友
だちの考
え と関
連づけてまとめる。〔
9
） 遊園地の乗 り物
から観覧車
に着目
し，時間
と高
さの関係
を示
した サ インカー ブの グラフか ら， こ の乗 り物が何かを考
察
する。 〕（
9
）は宿
題として課
す。 ）評価
項
目とその観点
a ． ジェ ッ トコースタ ーが上っ て い く
状
態は，比例
のグラフに な ることがわかるか。〔
知識
〕b
． ジェ ッ トコースタ
ーが下
りていく状
態を グラフ化
したとき， コ ース と同様
な右下
が りの グラフ にはならない ことを， これ まで
学習
か ら的
確に指摘
で きるか。〔理
解
・
表現〕
c ． ジェ ッ トコ ース ターが
下
りてい く挽態では， グラフが直
線にはならない ことを， −151
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
これ までの
学習
か友
だちが納得
できるよ うに指
摘で きるか。 ま た， こうした考
えを理 解で きるか。
〔
考
え方
〕d
． ジェ ッ トコースターが下 りて い く状態
では， グラフが曲
線にな ることを， これ までの
学習
か ら友
だちが納得
できるように指摘
できるか。ま
た こ う した考
え を理解できるか。
〔
考
え方
〕e ． ジェ ッ トコース ターが下りて い く
状
態の グラフを，別の現実的
な事象 （
例
えば
，自由落下
）か ら考
えよ うとす
るか。〔
態度〕
f
．ア ッ プダウンを繰
り返 した状
態や ルー プの状
態での グ ラフが描
け るか。〔考え
方
〕g
．ア ッ プダ ウンを繰
り返 した状態 とルー プの状態のグラフ とを比較
して どん なことがわかるか。
〔態度 ・考え
方
〕h
．別
の視
点や別の場
面で，同様
な考察を
しようとす
るか。〔態
度
〕i
． こ の授業
でわかっ たことを， 友だ ちの考
え と関連づ けてまとめ ることがで きるか。 〔理解 ・魅渡 〕準備
ワー クシー ト
（
男1舐 参
照）， ビデ オ （実 際の ジェ ッ トコ ース ターを撮影 したもの 。 た だ し， 生徒
の 反応によ っ て は視聴しない場合 もあ る。 ）Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo University of Soienoe
指導過 程 学習のね らいと 学 習 活 動 留意点 及 び，評 主 な 発問 （生徒の予想される反応 ） 価項 目とその 観点 導
1
．ジェプトコースターのコース ・乗っ た り見たり した経験か ら意見を出さ せる 。 ☆ 積 極 的に話 し合 入 「ジェ ッ トコース ターの ア．上っ てい っ て急に下りていき ます 。 い に加わ ろ う とす コ ース は どのよ うになっ イ，ア ップダウンが 連続しています。 るか 〔態度〕5
てい るだ ろ うか ？」 ウ，回転する場合 もあ ります。 ・ループ （回転） 分2
．ジェッ1
コースターの動 き ・速さ に着目 させ， 自由に意見を 出 させ る。 な どの特別 なコー 「ジェ ッ トコース ターの 亀 上っ て い くときは ゆっ くりだ け ど，下りて い く ス にっ いての意見 速さ は どの よ うに変 わっ 時は，すごく速い。 を期待した い 。 て い くのだろ うか ？」 オ．止 まっ て しまう位ゆっ くりな時もあ る。 展3
．ア ップ ダウン の状態 ・ワークシートに自由にグラフを か かせ る。 ☆ 上 りは 比例にな 開 のグラフ化 カ，目盛りはどのよ うにとるのですか？ ることがわ か る1
「横軸に時 間，縦 軸に走 キ．速 さが わ からない とグラフが か け ませ ん。 〔知識〕 行距離を とっ て， 上っ て ク．で も，だいたいの様子はグラフに できます 。 ・カ，キにつ い て15
い くと きの状態 を グラフ ケ．上っ て い くと きの速 さ は同じです 。 は必要 な生 徒には 分 で表してみ よ う。 」 コ ，すると， 比例の グラフ にな りま す。 例を示す。 」・齟齟一」，．〒．「■−．．．幽．L齟…．．．．．．．1r■r．．一一．．幽．一．，T11■π．．■■一．．．一一．．一．齟齟一一r■■■■■■■●幽■」幽幽幽」．．．．．．．．．丁冒r■■r．幽．齟．．幽囓9曹■．．一．．．「．．．．一．．．幽．一齟r，， 「下りて く る と き は どの サ，ジェ ッ トコ ースターの コ ース と同じように，右 ☆コ ース の図 と グ ようなグラフ になるだろ 下が りの直線になります。 ラフが一致 しない うか ？」 シ．それ は，高 さを縦軸にとっ た場合です。 こと， また直線の セ．縦軸は距離だか ら，右 上 が りの急 な直線です。 グラフ には な らな ソ．だんだん速 くなっ てい くん だ か ら，直線には な い ことがわかる らないと思います。 〔考え方〕 タ．こん な グラ・・な ると思・ 甑／
・ツ の発言が出な チ．私の は少し違います。 い場合は，教師か 「これ （チ） は どの うよ ツ．て っ ぺん で はものすごくゆっ く ら新たな発問をす うなこ と で しょ う ？」 りにな るっ て ことですか ？ る 。 展4
．そ の後のグラフ ・1
での意見を参考に自由に考え，黒板に書 か せ る ☆その後の グラフ 開 「では ， こ の後はどの よ テ．勝手に コースを考えて い い の ですか ？ を考え よ う とするH
うな グラフにな るだろ う ト．私のはこれ まで の グラフが連続していきます。 か 〔態度〕 か ？コ ース を頭に浮かべ ナ．私 も同 じです 。 ・二 のよ うに，横20
て考 えてみ よ う。 」 二 ．私は， グラフが横軸 と重 な りま した。 軸と平行な グ ラフ 分 「ト，ナ，二 は どのよう ヌ． トは ア ップダウン の繰り返 しだ と思います 。 につ いても考え さ なコースを考えたので し ネ．私 もトと同じですが， 私は ループを考 え ま した せ たい。 よ うか ？」 ノ．二 は，止 まって し まっ た状態です。 ■「．．■一．．一一．．．幽幽．幽幽齟，．¶，．，「．．．．．一．．齟幽一齟一齟一幽．一．．一．．．．「．．．．．．一．．甲．．．，，，■■噛匿r「r■−−■■■一一一■■■，，P曾，，・・rr．幽．．・一一．」一幽〒冒r■■．．■．．．．．一．．齟．齟幽幽・・一 一153
一 N工 工一Eleotronio LibraryTokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
5
．こ の グラフ の 問題点 ・展開∬ でわ かっ たことを確認するQ 幽匸 ☆アツ プ ダ ウンの 「この グ ラフか ら，どの ハ ．同 じグ ラフで も，考 えているコ ースが違います 状態とループの状 ようなコ ース になっ て い ヒ．二 のように，上がっ て下が っ て，す ぐに止 まっ 態 が グラフでは同 るかわか りますか ？また て しまうの で は面白くあ りません。 じであ ることが わ どの よ うな ジェ ッ トコ ー フ．こ のグラフでは，アッ プ ダ ウンの様子が よ くわ か る 〔考 え方〕 スターが みんなに は楽し か りません。 高さを縦軸にとるべ きです。 ・ヘ フは発 展 的 い のか な ？」 へ 後楽園遊園地のような，上っ てか ら後ろ向きに （展開皿）な考察 引 き返 して いくジェ ッ トコースターが楽しいと思 段階で重要であ る います。 グラフは右下に のびて いきます。 が， こ こ では深入 ホ．で も，縦軸に走行距離を とって り しない。 ，例と いるか らこの グラフ は 間 違 えです。 して示 してお く。 展6
．別の視点か らみ る ・これ までに出された考 えを参考に，新た な視点か ☆場面や条件を変 開 「縦軸にと る ものを か え ら グ ラフを考え る。 え るな どして発展 皿 たりする と，別の グ ラフ マ ．縦軸に高さをと る とア ップダウン の様子が よく 的に考察 しよ う と が かけそ うです。 また， わかると思います。 する 〔態度〕5
遊園地の別の乗り物で も ミ．で も，ループの様子はグラフ には 表 れ ませ ん。 ・次に何を考えて 分 同 じよ うな考 えか らグ ラ ム．縦 軸 を 走 行 距 離では な くて，ス ター トか らの道 みたいか という生 フが かけそうです。 の りにすれ ば どうですか？ 徒個々 の態度を重 さて，次にみん なは ど メ．そ うすれ ば へ のような引き返す場合 も表せま 視したい。 んなこと を考えてみ たい す。 ・個々 の課題の解 か な ？ モ．観覧車の動 き もグラフに で き ますか ？ 決には あてない。 ま7
．こ の授業でわか っ た ・わか っ たことをワークシートにまとめ る。 ☆自分の考えの変 と こと ヤ．グラフはコースとは別の形になる。 容を，友だ ちの考 め 「さて，今日の授業で ど ユ ．下 りると きのグラ フは， 曲線になる。 え と関連づけて記 と ん なことが わ か りま した ヨ．走行距 離÷時間が グ ラフ の形に関係する。 す 〔理 解 ・態度〕 宿 か ？」 ラ．ループとアッ プダウン のグ ラフは同じ形にな る ・ヤ，ユ ，ヨ1
撮 題 リ．ジェ ッ トコースターの動きを知るには，いろい 低限 生徒全員に 「友だちの どんな考え が うな視点か らグラフをかいてみ る と よい。 納得してほ しいこ5
参考になりま した か ？」 ル 横軸になにを取るかによっ てグラフが違う。 とがらで あ る。 他 分 レ．高さを考えた方が，面白そうだ。 の考え と の関連に 「どん な感 想 を持ち ま し ロ．こういうの も数学の授業なのか と不思議に思っ も着 目したい。 た か ？」 た。 −匿匿一．．「．−匿「「「−．．■−．「．．冒．．．．．一．．．．．一．．．一一一一．．．．．．一齟一．．．．．．一．一．．． ．．一一一一幽．．．一一一幽．．．，齟，幽，．．一一．．幽一一一幽¶，■，，， ．．−一一rr國−幽．．． 〔宿題〕 展 開 皿で生徒個々が 設定した課 題 を宿題 とする。 ・生徒の反応 が授 ただ し， 授業者と して， 次のよ うな課題を用意してお く。 業者の意 図 した通 「遊園地の乗 り物の中で， 右の ようなグラフにな るの はどんな乗 り物でしょうか ？」 そ の動纛
．ノ 駈
丶
’ 時間 時間 りに は進 ま ない場 合は，用意した課 題を宿題 とする。Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlversrty of Solenoe
4
．…
鰈
実 践
（1
｝授業記録
似下
，S
は生徒
の意見T
は教師
の発問
であ り，番号
は発 ぜられた順
に記 してある。 同一の生徒の発言で重要なもの は， 本人の了承を得て，実名をあげて記すことに した。 〕T1
：ワー クシー トの裏
に，今
まで乗
っ たことのあ る， あるいは， 見たことのあるジェ ッ トコースターのコ ースを
書
いてみて ください。S1
：私
のはス プラッ シュ マ ウンテ み たい に落
ちて い くん です
。S2
：回るのも
ある よね。 でも
，上がっ てか ら落
ちていく
の が普
通かな。（
上
がっ て，下が るコ ースを描いた生徒が多かっ た。 ）T2
：で は， （ワー ク シー トの ）お もてを出
して。 ではジェ ッ トコース ターが
上
っ て いって， 高い所にきたら
落
ちて い くというのに しよ う。T3
：ここで問
題です
。時
間と走
行距離
の関係を
グラ フ にしてみ ようという訳だ よ。は じめ， ジェ ッ トコ ース ター上が っ てい
く
よね。 ガリガリガリっ て感 じかな。S3
：エ ー 。 トコ トコ トコ だよね。T4
：な るほ ど。 トコ トコ トコ っ て上がっ て い くのね。 じゃ あ， その時の速
さっ てどうな っ ると思 う ？S4
：遅い。S5
：同
じ速さ。T5
：遅いよ ね。 遅いん だ けど同
じ速さ。 これにつ いて は調べ てみ たん だ け ど， 同じ 一定の速
さで トコ トコ トコ っ て上
が っ て い くん だ っ て。S6
：最後の方
はゆっ くりじゃ ないの ？T6
：そ うか。最後
はね。 で も最後
の方
までは一定の速さ。その ときの グラフ って どうなるかなあ ？これは前にも勉強 した よね。
S7
：直線
，T7
：な るほど。 それかいてみて よ。 （約2
分 ）T8
：で は次。今
こ こまできま した。 その後のグラフ っ て ど うな るで しょ う？ちょっ とかい てみて。S8
：え 一。難
しそう。S9
：先生。 止 まっ てい る時
間は どうするんですか ？T9
：ヱ ー。 止まっ て る時
間があるの ？SlO
：そうそう。 とま
るよ ね。S11
：一番上
にきた ら，止
まっ て，落
ちて くんです
よ。 一155
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
T10
：ア ー。 どこで止 まるの。Sl2
：だか ら，上の所
で。T11
：あれ 止 まっ てるの？S13
：富
士 急の はそう
だよ。T12
：じゃ あ。 そ う考
える人は，その ことも考
えて グラフに してよ。 （生徒
は周 りの友
だち と相
談しな がらグラフをか きは じめ た。横
軸
に時間 縦軸
に走行距
離
を とることを確
認 して，S14
（
瀧）
を指名
し，板書
させ た。 ）T13
：S14
（瀧） はこ ういうグラフをかいて くれ たんだ けど私 も
こう
い うグラフだよっ て いう人
何人位
いるか な ？ （同
じ生徒
はいなかっ た。 ）Sl5
：それ違
う。T14
：エ ー。 これ間
違っ て んの ？S16
：下
が っ て いるか ら。T15
：下
が っ ちゃいけないの ？ 〔S14
（
瀧
）〕 ．f’
＼
S17
：わかん ない け ど。 逆走 して るん じゃない の ？上がるんだよね。S18
：先
生。 それ間
違っ て ます
。 （瀧本
人か ら， 間違
い であ る との発言
が あっ た。 ）T16
：でも
， こういうグラフになることはない のか な あ ？横軸
を時
間にして縦軸を
…。
S19
：高
さにす る。Tl7
：縦軸を高さにするのか。S20
：あ一。 そ うかそうか。T18
：なる ほど。 こういうグラフも
かけるんだね。先生
が縦軸
を高
さっ て言
えばよかっ たんだ。 これは
横軸
が走行距離
なんだね。 では，別の グラフをかいた人はいないか な あ ？S21
（
石丸
）を指名
した。生徒
か ら頑張
れ との声援
が起
こる。 ）Tl9
：み ん な これ見て ください。S21
（石丸
）の は右
が上に上 がって るよね。 さっ きみんな上がれ ばい い っ て
言
っ て た よね。こ この
所
（x 軸
に平行
の所）は違
うけど， 私 もこん な グラフだ よっ てい う
人
，何人
いる？（か な りの生
徒
が手
を挙
げた。 ）T20
：じゃあ， こ こ の所
（X
軸
に平行
の所
）は ど うなっ て るの ？S22
：止 まっ てる。〔
S21
（石丸）〕
／ ！T21
：アー，止
まっ てるの ね。 止 まっ て るのをこ う表 したの かあ ？誰
か説明
して ください。S23
：時間は たっ てるけど… 。 場所 は変わっ てないか ら… 。T22
：ウー， わかっ た人。Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlversrty of Solenoe
（かな りの 生
徒
が理解
を示
した。 ）今
，時間
はたっ てるっ て言
っ たの ね。 それで こ こ で止
まるのね。 ジェ ッ トコ ース ターが実
際
に止 まるのか しらないけど，それで …？
S24
：距離は変わ らない。T23
：な る ほ ど。 それで また （グラフ は）
ビュ ー ンと上が っ て い くんだね。 それど う して ？S25
：速度
があがるか ら。T24
：速度
があが るか ら。 う一ん。 それじ
ゃあ，私
もそうだ よっ てい う人
は？納得
っ て いう人
？（数 人 しか
手
が挙
が らなか っ た 。 そこ で納得
してない という
S26
（金
子 ）を指名
した。）
S26
（金 子）：だから， …。 その
後
の所
で …。
T25
：どこをいっ て るの ？こ この所
（右上
に延 びた直線
）， それとも
こ こ （κ軸に平行
），それ と
も
全部
？（
S26
は はっ きりと自分
の考
えを述べ ること はで きなかっ たが
何
か おか しいとの感想を持っ たようだっ た。 ）
T26
：それ じゃ あ。 こ のグラフ じゃ ない と思 う人はい るか な？（
S27
（新井
）を指名して板書
させた）
さて， 興味津々。 どんなグラフが
出
て くるん だろ う ？（
S27
（新井
）の グラフを見て， 生徒か ら歓声 が起こ ったが， わからない との
声
も聞こえた。 ）T27
：S27
（新井
）の グラフを見て，納得
っ て い う人。 それとも
わ かん ないなあという人は ？（
歓声
があがっ たも
の の，自分
の考
えが明確
にはなって いないようだっ た。
）
今， ア ー っ て
言
っ た人はわ かっ た ん だ よ ね。S28
：先生。下
がっ て いるとき
の速度
は一定 なんですか ？S29
：だっ て， ジェ ッ トコ ース ターっ て機械
で動
いるんで しょ。T28
：へ 一。 ジェ ッ トコ ース ターっ て機械
で動
い てん だ あ …。
（笑いが起こる。 ）
〔
S27
（新井
）〕 ／ノ
S30
：先生。 でも
ね，下
りるときに， 速 度が速くな れ ば新
井さん （S27
）のが正 しい け ど 一定の
速
さだっ た ら違 うで しょ。T29
：そ うか。下
りる とき，速
さが違
うん だ っ たら新井 （
S27
）
の よう
にな る し，速
さが 一定なら
石丸
（S21
）のようにな るっ て い うだ ね。S31
：そうだ よね。 それによっ て違 うよ ね。T30
：では，自分
の経験
からどうで しょ う ？乗
っ たこ とが あるとか，見
た ことがあるとか？ 一157
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
S32
：ジェ ッ トコース ターには2
種類
あるんです
よ。 スペ ース マ ウン テ ンなんか は一定
の速
さで， 回転す るの は速 くなるですよ。T31
：ジェ ッ トコース ターにつ い て の認識が違 うよ うだね。 ジェ ッ トコースターっ て どうなっ てるの か， ちょ っ と
周
りの人
と話
してみてよ。（
生徒
は， ジェ ッ 、トコ ース ターの話
で盛り
上 が っ て いた。 その間を利
用 して， ジェ ッ トコ ース タ ーの ビデオを
視
聴す
る用意
を した。 ）T32
：み ん など うなっ た ？実はね，先生
ジェ ッ トコ ースターの ビデオを用
意 してき
た んです
。 これは先生
の友
だ ちが撮っ て くれたも
んなんだ けどね。T33
：これを見てみよ う。（
視聴
開始
）S33
：こ の ジェ ッ トコース ター遅いん じゃない。S34
：速い よ。T34
：ほら， だん だん落 ちていく
だろ う。 こ こ で ビュ ー ンとくるん だ よね。S35
：やっ ぱ速い よ。S36
：そ うだよ。速
くなっ てるよ。T35
：どうか な。 速 さは変わっ て るの ？S37
：速
くなっ てい く 。T36
：じゃあ， グラフ は どっ ちなの ？新
井 （S27
）のでい いの ？S38
：いい よ ね。T37
：みん な納得
でき
た ？（
首を傾げ
る生
徒が何
人かい た。）
それで は， こ こ の所 （曲線の部
分
）を考
えてみ ようよ。直線
で はない こと はわかりました。 では どうして曲線にな るの ？こ こん とこね。
誰
かみんながわかるよ うに説明
して くれないか な。S39
：は じめは ゆっ くりだ から…。 それで，
行 く距離
が …違
う 。まだ速
度
はゆっ くりだか ら，時間
は長 く
て，行
く距離
は短 くて， で だんだん行 く距離
が
長
くなっ て，時間
が短 くなる …？
T38
：え一。 みんなわかっ た ？では インタビュ ーしてみよ う。さっ き
納得
してな かっ た人も
いたよね。S40
はどう
かな ？S40
：う一ん。 よ くわか らなかっ た。S41
：私
も。（
わからない とい う友
だちの声
を聞
い てS42
（岡
田）
が挙手
した。 ）S42
（岡
田）：先
生。 黒板に出て書
いて もい いです
か ？S43
（岡田）：だか ら， 曲線
だとよく訳
が わ か らなくなっ ちゃ うん じゃ〔
S42
（岡田）〕ノ
Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlverslty of Solenoe
ないかな あっ て思っ て … 。
こ
うす
ると，徐
々に速 く
なっ ているっ て ことがわかると思っ て。S44
（木原
）：同
じ同
じ。T39
：カクカ クにす るのか。S45
（岡田）：そうじゃな くっ て …？カ クカ クに
す
る と徐
々 に速く
なっ てい るっ てこと がわかっ て ・。 ・ ？？S46
（木原
）：そ うそうそう。曲線
っ て思
いっ かなかっ た か ら， は じめああ
いう風
に考
えて たんだけ ど で
も結局
ああ（
曲線
）になるんだなあっ て …。
S47
（岡
田）：だか らジェ ッ トコース ター は徐々 に速
くなっ て い くけど， そ うした らよ く意味
が わ からな くなっ て しま うか ら， ま
ず
，少
しず
っ速
くなっ て い くことを考
え たの。T40
：なる ほど。木原
（S44
）もそ う考
えたの （岡田 と同 じ） ？S48
（木
原）：あれ （
曲線）
は思い っ かなかっ たか ら…。
T41
：するとは じめ はカ クンカ クン で考えてみ た らどうですか ？こうね。 カ クンカ クン …
？
S49
（遠藤
）：も
っ と細
かく
した ら …。
T42
：えっ 。 どうい うこと， ど ういうこと ？S50
（遠藤）：それを もっ と細 か くしたら丸 くな る。T43
：細
かく
っ てい うの は どうい うこと言
っ て んだろうねえ。S51
：だか らテ ンテ ンテ ンテン っ て …。
S52
：カ クカ クカ クカ クっ て ・… 。T44
：こ こん とこ （カクカクカ クの1
っ の直線を指
して） ？S53
：そ うそ うそ う。T45
：な る ほど。 みんなわかっ た ？S54
：ウーン ・ ・ 。。（理
解
した生徒 も
いたが，納得
して いない生徒
の見 られた。 ）T46
：ではここ （直線
か ら曲線
に移
る部分
）はどう
なっ てるの ？新井
（S27
）， こ こ は急に こうな るの ？S55
（新井
）：え 一 と。 だか ら …。
S56
（木
原 ）：フニ ュ ーっ て。T47
：フニ ュ ーっ てど うい うこと ？黒板
で説
明 して。S57
（木原
）：え一。 ど うしよ う。 だか ら， カ クカ ク じゃな くっ て， ゆ るや か な … 。（
木
原が イメー ジしたグ
ラフを教師
が板書
した。）
（
木原）
そ うそうそう。 一159
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
T48
：ど う？こ こ の所
（変曲点の部分
）はフニ ャ リンコーっ て感 じか な。T49
：こうい うことかな ？（
黒板
に書
かれたコ ースとグラフを対
応させて，変曲点
の部分
がジェ ッ トコ ース ターの
最高地 点付
近であることを確認
した。）
S58
：ゆっ くりにな っ て速 くなる。T50
：す
る と， さっ き， ジェ ッ トコ ースターが止 まると考えた人 はこ こが横
（X
軸に平行
）になっ て， 止 まらない とい う人は こ こん とこが
微
妙なん だ ね。 （x
軸に平 行で はないなめ らかな
曲線
）。S59
：うん。T51
：なるほど。 ではこ こまではい いかな。では， こ こまでの ことをワー クシー トに
書
い てみて。 周 りの人の も見てあげてね。グ
ラフか くの，難
しいよね。（
は じめ に描
いたグラフを消
さないよう
に指示
して グラフを
か かせ た。 しば
ら く時
間を
与
え た後
）T52
：もうい いかい。 では次。みんな は じめにジェ ッ トコ ース ターの コ ースを
書
い ても
らっ た よね。 こ こ （黒板
）で は， 上が っ て，
下
が る所
までの図
が書
か れて いるん だけど，当
然こ の先
があるはずだよね。 これで
終
わ っ ちゃ うジェ ッ トコ ース ター じゃ っ ま らないよね。そ こ で， み ん な だっ たら， こ の先 はど うなっ て た らい い と思 うかな ？とい うことを
頭
に描いて， こ の後のグラフ （曲
線後
の グラフ）をかい てく
ださい。S60
：え一 ！T53
：その グラフか らどんなコースを頭
に描
いたか とい うのをあて てみ よ うという訳だ よ。S61
：う
お一 ！それ
す
ごいね。T54
：さて， み ん な は どん なコ ースを頭にうかべ て どん なノ グラフをつ くるのか な ？
T55
懲
響貅文
灘 縣
嵩
鬻
謙
）け ど
私
もこん な グ ラフをかいた よっ て い う人は ？（半数以 上は同 じようなグラフだっ たが，
時
間の 関係で，まだグラフが
描
けてい ない生徒
もいた。 ）T56
：まだ グラフがかけ
ていない人 も
い るん だけ ど， みん な，2
人が どん なコ ースを頭に描いたのか考えてみて ください。2
人
の考
えた コースをみんなであて てみ よう。S64
：登っ て下
りていく
？ 〔S63
（松岡
） 〕／
Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlversrty of Solenoe
S65
：で も，速 さの差が違 う
？T57
：で は聞
い てみよう。 先生は2
人
が考 えた コースは
同
じだ うんだけ
ど， みんなは ど う思 う ？S66
：あ
一， 違 う。T58
：藤沢 （
S62
）のは回るんだね。 ルーフ っ てやっ だな。これに
対
して松岡（
S63
）のは回んない の ね。で
も
， これっ ておか しくない？だ っ て，グラフ は同
じなんだよ。S67
：う一ん ？T59
：だっ て （コ ースが）違 うんだよ 。S68
：まるい部分
をの ばせば同じ？？？T60
：どうい うこと？S62
（
藤
沢）：／
＼
ρ
y
S63
（
松岡
）：／
へ
丿
へ
S69
：ルーフ の丸い所
を半分
に切
っ たら…。
半分
に切
ると松岡
さんの にな る。S70
；先生。 ルー プの で 上の所にきて速 く
なっ たらめちゃく
ちゃ怖
い じゃないですか 。だか ら回る ときの速度 はかわらないん じゃないで
す
か？S71
：バ ケツ に水
入 れて， 回す
の と同じで， え 一と遠心力
だ っ け。 それ と関係
が あっ て，上で ゆっ くりになっ た ら …
。
161
：上で ゆっ くりになっ た ら，水
がこぼれて ビシャ ビ シャだね 。あのね。 ジェ ッ トコ ース ターっ てい うの は， 高い所 まであが るで しょ。 すると， そこ
で
手
をはな した感
じでこ のジェ ッ トコース ター， 何 も力
を加
え られな くて落 ちて くん だっ て。 その ま ま回っ たり
す
るん だ よ。S72
：え 一 ？ア メ リカの ジェ ッ トコース ターっ て て っ ぺ んで止 まるのあり
ます
よ 。S73
：そうそ う。 イン ドネシ ア の に もある。S74
：え 一？T62
：アメ リカ や イン ドネシ ア のは知らないけど ， ディズニ ー ランド
のにはそんなの ないよ。S75
：先
生。 回 るの と上
がっ て下
が るの とで， ゆっ くりに な る ときのグラフは微妙
に違
うんじゃ ない ですか ？
T63
：なるほど。 こ こ でちょ っ とまとめておく
けど，微
妙 な部分
はあ るか もしれない けれど2
人のコ ースは どっ ち も，速 くなっ て下
まで い っ てゆっくり
になっ て また上がって またビュ ーン と速 くなる。 その繰 り返 しになっ て るっ て ことなん だよね 。 わ かっ た か なあ。
T64
：時
間があ とちょ っ となん だけど ではワー クシー トの最後
の所
，「わ かっ たこと」
「わか らなかっ たこと」 それか ら 「
次
に どん なことを考
えてみ たいか」を書
いて下
さい。（
約
5
分
）〔
チャイム〕 一161
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryTokyo University of Science Tokyo University of Soienoe
ワークシートか らの生徒の反応 〔まとめ （動加凝 と， わ舳 だ とt 考えを進騒上で参 輸こなった友だちの考え疑）〕
1
．．速度の違いは 曲卿）なめ らかか 急がでいろいろ違 うのがお もしろいと思っ たし なんがF
思講こ思 っ た。2
コースが違っ ても 速さ力洞 じな らば グラフ は同じにな る。 （藤沢さん と松岡さんのグラフが参考）3
藤沢さん と松岡さんのグラフが司じなことが私にとっ て 今日の新しい発見だっ 畆 最切に自分が書L、 たグラフ とほん と うのグ ラフと違 うのに ビッ ク リした。4
．ジェ ッ トコースター切 コースでおち るときのグラフで曲線にな るという考え方が思いっか なかっ たけど 新井さん囃 でわかっ た。5
回るコースで も上がっ て下が るコースでも同 じことが わかっ た。 上 がっ て下が る場合は 上よりも下の 方が 速しb
6
．速度 は 落 ちた りすることで変わり，そ の速度によっ てグラフの角度 も変わ ることが わかっtl
。 最後に でた回転や普通に登 り降り した時の違いが よ くわか らなかった 。7
．金子 さんの遠L
・力のことはよ くわ かっ たけ ど やっ ぱり ， 上の方でおそくなっ たら危ないから，そん な 危ないジェ ッ トコースターは乗っ たことがない ので 私は正 しいと思っ た。 ＆ 上から落ちる ときは 同 じ速さで はな く，だんだん速くなっていくということが分かっ た、新井さんの 意見で この こと力汾 かっ た （ビデ オでも）。 ループめ ときと普通に登 り下りするときの区別ガ グラフで はよく分からな かっ た。9
．グラフを書くと き，直線とは限らない。 坂を下がる時 速魔がつ く。 時間 と走行距離を考え る時 その ことを考えな くてはいけなし10
．ジェ ッ トコースタr の塒間と走行星跏 グラフを 最初はまちが えたけど 他D
人¢ 慮見を聞いて よ くわかっ た。 でもコースが 違 うというのが少しわからなかっ た。11
．下り坂の1
瑠ま 速さはだん だん 加漣してい くんだ というグラ フ （お れ線みたいな グラフ〉を考えt
。 岡 田さんや木原さんの意見を参考にしたら なめらか な曲線に近いグラフが書けた。IZ
ループめ部分の遊歿力〜かわるか カ・わ らない のかが わから劬 ・っ たけ ど 金子さんのバケツを持って 回すと水が落ちないという考えで ちょっ とわかっ たよ うな気がした。13
落 ちると き，グラフ上では曲線になることがわ かっ た。 でも，コ ースが違うの にグラフが鰍ているのは よ くわか らなかっ た 。14
．加題 しη ・く所を細か く時間で区切っ た ものを 最 険に曲 線でっな げ るというのはわ か っ た。15
ジェ ッ トコースターは落ち るとき，機械の力 じゃな くて自鮒 ζ動いて い る。 グラフが似ていても，コー スカ漣 うこともある。16
．木原さんの意見で 丸 くな るところが分かりやすかっ た。 回 るジェ ッ トコースタr の速さが どうなって いるのhY
こよっ てグラフもちがうのだと思っtC
e グラフを見てジェ ッ トコースターのコースが分か るのは おもしろいと思っ た。17
．いっでもジェ ッ トコースターは 止まらずに少しずつでも動いているので グラフで書くと， ゆる勅 ・ なカーブの連続だと いうこと力汾かっ た、 あと，確hY
こ回巨云する時は速さが 違 うよ うに感 じるけど それ は きっ と自分のL
の中での怖さによると思っ た。Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo University of Soienoe
la
グラフが同 じでも 実は形はちがっ た。 それにっ いてお どろいた、 新 井 さんの由線 にな る という意 見は なる ほど と思う た，19
．速さが変わ る時 グ ラフが まる くな ることに納得できた。 ルーフ のよ うにまわるのは 距離 がもどる こ とにならないの かなあと思っ た。20
．速さが変化するということも考えた上で解かなければいけない といことがわかっ た。 とんなコースも 似た よ うな ものだと思っ た， 久保先生が なんで ジェ ッ トコ ース ターを選 ん だのかわ かっ た。21
．距離帆 、っ しょな ら，グラフは似たよ うなグラフ になる。 ほとん どの ジェ ッ トコースターが同じグラフ な らどれに乗っ て もこわくない？ジェ ッ トコースターの 蹙本」はみない っ しょ。22
グラフカ伺じような感じで も 考えて いるコ ースは違うことがある （わかっ たこと）。 ジェ ッ トコース ターは じょじょに速くなっ たり遅 くなっ たりする （わかっ たこと）。 ループ嬾 は どうなっ ているの かなあと思っ た （わ か らなかっ たこと）。 聡 ジェ ッ トコースターのグラフ の場合 走行距離と時摺駟）線は下がらない こと力汾かっ た。 高さだっ か ら 慟 ｛っ ても大蟻 齢 碇 になること眇 なし、ということも鋤 ・夷91
．グラフだけでは コースを予想、しても1
っ に決めることはできなLb25
．ジェ ッ トコースターの落ちる時の速さ は同じではな馬 まわるコースと上がっ て落ち るコースはグラフ で表すと同じにな る。26
．ジェ ッ トコース ターは 落ちる時に速 さが 違 うことが 分かっ た、私はそん な事を考えたこと もなかっ た ので すごく楽しかっ た。 野．わかっ たこと：ジェ ッ トコースターに は場所に よっ て速度力違 うし グラフは これ が 正 しいといえるも のはないと思っ た。 わから劬 ・っ た こ と ：機械なのに 上りと下りで莚皺力違っ てしま う働 ・？28
．速度ガ速くなると，時間が短 くな るので グラフは急になる。 逆に 埀醸 力邏 くなると，時間は長くな るのでグラフはな め らhY
こな る。 だんだ ん速度が変わ ることを表すためには 曲線で表す』線は点で でき ているので カクカ クで考え るとよく分か る。29
．1
腑 の部分を， はじめカ ク カ クで考えた のがわかりやすかった。 ノレ ーフの部分を広げ る と （のばすと） 普通のコースと同じになるのが わかった。 ジェ ッ トコ ースターが下がるときは グラフが急になる ことが わかっ た。 鉛．回転した時と，普通に上 がって 下が る時 と速さが違 うのか違わない のか わか らなしh
ジェ ッ トコ ースタ ーが落ちる時 速さが一定で はなく ， 速くな ることを知っ た。 今度は彬 の ジェ ッ トコースターに乗っ て 調べてみたい。31
．ジェ ッ トコースターカ轡 云する時に どうしてグラフカ轢 乾 繰 り返 しにな るのか がよく分からなかっ た。 毘 なん となく， わ かっ た ようなわか らなかっ たような… 。 木原さんが 上がっ た時 曲線石表すのに 気がつ いたのがすごかっ た。 滋 は じめは ジェ ッ トコースターが止ま る時と平らになると思って いたけれ ど 木原さん な との意見を聞 いていた ら， 「そ うかなあ … 。 」 という気にもなっ て きtt
。 で も本当の所はどうなのかなあ？34
．コースが違っ て も，速度洲 司じよ うな場合には グラフは同じだ と分かっ た。 一163
一 N工 工一Eleotronio LibraryTokyo University of Science Tokyo University of Soienoe
置 ジェ ッ トコースターの速さにつ いて は 今まで考えた た ともなかっ たけれ ど この授業で，ゆっ くり走 るとき と，びゅ うん と走 ると きが あ るのが わかっ
