生徒の発達における関数の理解に関する調査研究 : 現実的な事象のつながりからみた関数の理解の発達(<特集2>第9回授業研究会 研究授業)

NII-Electronic Library Service 理数研

　

授

業

研究会

資料

　　　　 生 徒

の 発

達

に お け る 関 数 の 理

解

に

_関

す る 調 査 研

究

一 現

実

的な

事象

のつ ながりか らみ た関数の理解の発達 一 共立女

子中学校

　

久

保

良宏

1

．

本

調

査

研

究

の 目

的

　

生

徒

が現 実的な事象か ら関数を発見したり関数か ら現実的な

_事象

を

解釈す

るこ とは，

数

学の場面におい て 関数 を発見 したり解釈するこ _とより も

難

しい の では ないか と思わ れ る。 しか もそれ は， 前者にっ いての 指

導

が日

常

の

授業

で充

分

になされて いないか らでは ないか と

_考

え られ る。

　

そ こ で，

　

「数学の 場面におい て 関数を発見するこ とは学

年

と ともに理 解が深まるが， 現 実 的な

事

象 と関数 とを

関

連づ_けて

_考察

_{することは，}

_学年間

_で

_{大 き}

_な

_差

_{は ない 」という}

_仮

_説 を立てた。

　

本 調査研究の _目的は，現実的な事象か ら関数 を発見 した り，逆に， グラフ_{， 式 表}とい う関数の 表現 か ら現 実的な事象 を解釈するとい う “

_関数

” と “

_社会

や

自然

” といっ た現

実

的な

_事象

との

_関係

に

_{着 目}

した

_調

査

問

題 を

開

発 し，

調査

分析

を

行

い，

上

記の

仮説を検

証 し， 中学校及び高等学校の関数指導の問題 点を明 らかにするこ とにあ る。

　

なお， 本調査研究では， 先行研究 と して，

国宗

（

1987

），

磯

田（

1990

）

，

宮

川

（

1998

）の

論

文 を参考にして い る。 D _また，

本

研究は

筆者

の

_所属す

る

研究会

での

_議論

が

背

景にあ る。 2）

2

． 調 査 の

方

法

（

1

）

　

調査 用

紙

　

生

徒

が

関数

と現

実的

な

事象

をどの ように捉え理

解

し て いるかを明らかに

す

るた めに，

次

の

2

っ の視 点から 調

査

問題

を

開発す る。

　

1

） 第

1

の視 点：数学 と現実 的な事

象

　　

ア．

数学

の

_場面

か ら

関数

を

読

み取る

　　

イ．現

実的

な

事象

か ら関

数を

発見する

　　

ウ．関数か ら現実的な

_事象

を解

釈

する

　

アはすで に数 学の _舞台にあがっ てい る

場面

であ ア イ ウ a

問　

3

問　

4

問

8

，

10

b

問 　

1

問 　

6

問 　

5

C

問　

7

問　

2

問　

9

一

₁₇₂

一 N工 工一Eleotronlo _Llbrary

NII-Electronic Library Service るが， イ，ウ_との_比

_較

の ために これを

設

けた。

　

2

）

第

2

の

_視点

：関

数

の

表

現 　 　a ． グラフ 　

b

．式 　 　

c

，表

　

そして， こ の 第

1

の

視

点

第

2

の

視点

を

組

み

合

わせて

前

ペー ジの よ

う

な

［

アー

a］

〜

［

ウーC

_］

の

9

っ の カテゴ _リー_を

_考

_える。

　

調査用

紙

は， この

9

っ のカテ ゴ リーの いずれ かにあて はまる

10

題 （ウーaは

2

題 ）の調査

問

題と，

生徒

が

数

学にっ い て どのような意識 を

持

っ てい るかを

問

う

6

つ の

質問

か らなっ て い る。 これ らは全て

中高校

の どの

学年

に

も共

通であ り， その ため調査

問

題の

中

には

未

習の関 数

関係

やグラフや

式

などが

含

まれて い る。

　

なお，

他

の

大規模

調査と比

較

す るた めに， 調

査

問題の中には国立教育研 究所 「基礎

学

力 調査」

（

1992

）の _問

_題

2

_問が

含

まれてお り， また質問 は 「

IEA

　

第

3

回

国際数学

・理

科教

育

調 査」 （

1996

）の生徒

質

問紙の一部 を用い て いる。 3）

　

回答方法は， 調査 問題は

5

肢選択，質問は

4

肢選 択である。 また調査

時間

は

約

30

分

で あ る。 （

2

）　 調査対象

　

調査対象

1

ま 東京都の

2

っの私立中学高等学校 （

A

校，

B

校）の _生徒であ り，　

A

_校

_は， カ リキュ ラム， 及び， 教 師の人事面において完全 な中高 一

貫

教

育

が ゆ るや かに

実施

されて い る学校

　

B

校は， 完全な中

高

一

_貫

_教

_育校

_である 。

各学校

の

中学

1

年

か ら

高校

3

年ま

での 生徒を調査対象と したが， 高校

2

，

3

年にっ いて は 理 系 （

i

）と

非

理

系

（

li

）に

分

けて 調査を

行

う。 た だ し，

B

校

においては， 学 校の 事情により，

高

3

， 及び

高

2

理

系

の調査 は

実施

して いない。 （

3

｝ 分析の方法

　

各

調

査

問

題

につ い て， 学年別 （中

1

〜

高

3h

）_の反応

率

を

算出す

る 。

　

さらに

中

1

か ら

es

　

3

　

li

ま_{で の}

隣

り

合

う

学年及

び

高

2

_の

i

_，　

li

，

高

3

の

i

，　

li

の正

答率

の 差にっ い て

5

％有意水準で カイ

2

乗検

定 を

行

う。

　

なお，

質問

の

結果

につ いての

分析

は，

細 幅

の 関係で 別の機会に報告 したい。

3

．

　

研

究

の

結

果

（

1

）

　

調査 時期と調査対 象生徒数

　

調査の

_時期

は

A

校

が

平成

10

年

9

月初旬

，

B

校

が

平成

10

年

12

月下旬

で

あ

る。

　

調

査

対象

生

徒数

とその

_数

_ぽ

_表

一

1

の_{通 り}であ り，

A

校

692

名，　

B

校

764

名の

合計

1456

名

を

対象

とした。

　

な お，

本論

では調

査

問題の

結

果 と

分析

につ いて述べ ，

質問

につ い ての

結果

と

考察

は，

紙

面 を

別

に して述べ _る。 一

₁₇₃

一 N工 工一Eleotronlo _Llbrary

NII-Electronic Library Service 表一

1

調査

対

象 生

徒

とその_数

中学

1

年

A

校

B

校

95

名

166

名

中学

2

年

A

校

B

校

92

名

168

名

中学

3

年

138

名

160

名 理

系

A

校

B

校

168

名

鯀

A

校

B

校

21

名

高校

1

年

A

_校

B

校

94

名

195

名

高校

2

年

非

縣

A

校

B

校

62

名

75

名

高

校

3

年 非

縣

A

校

B

校

22

名

（

2

）　 調査問題 調査問題 （

2

節で考

察

する

質

問 も

含

む）は， 次

頁

の 通 りである。 一

₁₇₄

一 N工 工一Eleotronlo _Llbrary

NII-Electronic Library Service ． 「 　 1 　 　 ． 1 餉 1 　 　 　_。 ゆ ニ レ 耐 野 ゆ p ニ コ 壌 e ＞ 　、 曲 幻 e 日 vQN 。 ゆ 弔 砲 坦 麺 翻 駁 ゆ 刃 p ρ 刊 「 〉 　 痴 噸 e 偶 る 掣 eN 　 　 　 　 。 ゆ． 噌 W 壥 e 属 琶 垣 e ＞ 　． 欄 鵡 eO 鎚 N 　 　_。 二 尽 忖 巧 り ゆ 雌 凵 ； る 坦 e ＞ 　． 蜘 刈 e 綴 る N 　 　 　_。 ゆ 盻 「 曇 粳 釈 N ｝ 臼 心 り 却 ◎ “ け δ る 埋 e ＞ 尸Nrv コt 嶋 1 「 　　　　　．．．．．． 〉 No ＼、丶_＼． 々σ 眠 　 　 胸 覆_． 。 二 憎 如 吋 樽 P 曜 心 脚 P ぐ 趨 〇 一 Φ 灸 昏 e 旧 〜 尸 S 録 ． 困 却 り ゆ 吋 二 心 灸 h い 黙 eU 。 極 悩 ⊃ 給 る 【 い 抵 湿 “ ％ e 樟 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 需 認 羅 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　_（ 。 ぐ 卸 悩 9 総 並 臨 嶺 e ＜ 麗 ． 並 蛾 叶_【 渾 瓰 ． 姻 朴 仔 ） ＜ 田 砲 「 ご コ く 二 響_． ρ ド 」 遡 蔑 砲 齢 鰲 西 二 」 竺 く 屮 ♂ レ 」 遡 興 飽 目 蘓 屮 姻 肚 cっ 拏 坦 − 砲 「 ご 並 く ゆ ニ レ 」 遡 瞳 φ e 目 凝 ． 砲 二 」 さ く 乎_」 レ 」 遡 暝 姻 O 蠡 P 姻 丗 q 鄭 匝 　 　 　 　 　 　 　 　 　_． 3 杓 聰 V レ 」 く 旧 腎 示 嘱 e 慧 ． 並 以 罪 ゆ 癒 ” 】 謎 e 悼 出 e 嶷 曖 柳 駿 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 脚 想 e ζ 嫡 廿 凶 　．   鄭 霞 〕

N工 工一Eleotronio _{Library 　Servioe} 08 尸 ． 頃 　 　 80 卩 ． サ 　 　 80 ， aっ 　 　 08 ． e導 ℃ _cヤ・ 8 ． ・ ． ， ， 鴎． のo 四 卜 o 引 頃 り 頃． o 旧 PoN 〉 凵 射 口 鴫 艘 曜 畄_， O 彊 e 申 曾 ℃ 曾 O 鵠 ． 尸 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 二 棚 μ 配 觚 P 呼 阯 幗 　． P 受 噌 O 　 　 　 　 　 　 　 　_尸 Φ 灸 晋 e 渦 〜 一 e ト 困 鋼 旧 懾 旦 P 盻 U 卜 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 恒 蝿 ⊃ μ 13 一 10 刊 e 仰 刈 飼 唯 P 粥 　 　 　 　 　 　 　 　 四 瞳 竃 e 》 勺 N 　、 切 勺 畏 ⊇ → E ＞ 尠 醐 寵 e 塩 　 　 　 　 　 　 　 　 e 申 ． ｛ N 砲 鋩 圖 捉 い 艘 Pn 眠 皀 ー ハ “ 叺 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　_。 恒 P い Ψ V 二 P 曜 碧 P 蕊 媚 e 尉 1 ． P 匡 O 峭 O 逓 P 懾 畫 四 e 奄 ⊃ 並 ． 並 帽 萋 1 （ “ 鰍 e 笹 鞭 叩 電 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 〜 謖 巨 〕 」 一 ＋ mX 一 ＋ Nx 　 　 一 ＋ 一 INx 　 　 尸 ー 「 訟 ゆ 盻 」 「 翻 ゆ 櫓 」 「 諏 ゆ 盻 」 「 駁 ゆ 噌 」 「 凝 ゆ 揖 」 尸Pt　ev）t 旧 ・ 　 。 ． 一 即 “ 喫 惚 P 呼 国 轣 ． P ぐ 趨 o 卩 心 る 丹 e り 〜 一 e 慰 則 e φ ゆ 悩 加 レ 総 ρ 幻 o 屮 　， レ 」 刃 湘 19 擬 鍾 e 醇 e12 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　。 貝 2 悩 曲 P 遭 　 　 　 　_． る 。。 8 る 曾 e ト ． 刃 ゆ ‘ ＜ 姻 一 心 る 曾 9 刊 　 　 　 　_． 喚_尸 ‘9 る ↑ e ト ． 却 ゆ 轟 く 飽 O 愛 “ 曾 e 刊 　 　 ． 》 彊 「 ー ’9_’ Q 曾 e ト 一 幻 噂 ＃ く 砲 一 − 心 桑 曾 e 覗 　 　 ． 》 脅 。っ 1 邸 る ↑ e 」 − 一 却 ゆ ＃ く 如 四 1 Φ’ 倶 曾 e 爿 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　。 卜 描 ⊃ 電 セ 爬 娵 榊 ゆ 恒 　 　 　 細 欄 心 還 並 ゆ 曜 劍 困 悔 欄 長 e 飜 ． 却 い ％ e 粹 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔_尸 調 巨 〕 ． （ 「   」 並 n 壇 　。 3 初 聖 V レ 」 ＜ 闢 砲 呻 眠 ． 眇 賭 膤 週 ． （ 「 O 」 尊 驪 O 圏 e 犖 匝 ） K い へ ． 「 の 」 犁   喧 ． 「 マ 」 判 ＝ 姻 ） 丗 卦_り 一 嶷 畉 ゆ 鑒 弔 嶷 霞 驪 踵 e り 　． 私 慢 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 極 レ 中 O ρっ 二 “ 二 喫 ． コ 誼 酋 即 婁 　 ◎ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 二 杓   V ド 喫 榊 卩 JU 園 砲 噌 り 喫 」 恥 朴 μ P 懾 仁 り φ レ 帥 椏 二 艶 ニ レ o 恥 、 英 極 懾 ⊃ 頤 刔 ゆ 心 4e ゆ 二 暑 二 P 昏 恥 契 懾 楚 ド p 紹 μ 靄 誼 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 二 杓 袒 〉 〕 ， ぜ 即 P ψ 囎 、 P ぐ 籾 p 【 心 灸 仔 e 申 。 朴 怪 9 癒 Y “ 州 e ヨ 『 鰻 い 剛 小 灸 仔 e マ 〜 ［ 　_． 刃 e ψ 稀 鮒 〇 一 小 る 仔 e の 〜 冖 掣 ゆ 襞   。 尸 」 枸 詑 VPJ ＜   ” 示 柘 二 縛 喫 製 諠 砲 弋 ’9 即 讐 ． 9 翼 旺 沖 麩 e 崋 鹸 ． レ で 極 掣 即 塾   　 　 　_厂。 ’ 袖 聖 V レ ∂ 即 嬰 P ぜ 准 V 邦 ． ｝ 飛 ぐ 掴 惴 9 心 賦 匪 掣 ” 一 黶 岱 e 紳 韻 鍾 襭 購 e リ 　 e ［ く 匝 丹 萋₋ ⊂隠 Ouo   ］

圓

一

₁₇₅

一

NII-Electronic Library Service 漁 P 酔 田 ー マ ー 　 　 　 　 　 　 　 。 ゆ 麺 〉 國 る 拘 朋 Q 捜 e い エ 、 h 　． 並 P 暫 ， 頃 　 　 　 　_。 ゆ 電 U 湊 慶 」 暉 e_己 「 曜 E 藁 い ヱ 入 h 　一 並 PH 却 O 　． 寸 。 ゆ 二 P ⊃ → コ 響 回 一 困 刊 匝 配 製 い − 入 h ． 埜 P 慨 魯 心 萇 卜 ． °5 　 　 。 二 解 U 怐 製 O 謝 e い Z ハ h 　． る 代 e 曲 却 eO ρ ⊃ ％ 卜 ． N 　 　_。 嚀 二 P2 響 回 斗 困 」− 瞬 圧 鍾 い 並 ハ h 　． 琶 P 悦 ヤ 心 る ト 　． 卩 「 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 二 怐 幇 曜 一 P ぐ 鮒 〇 一 “9 る 什 e 頃 〜 一 e ト 即 e 炉 二 」 周 ． P 二 〇 巳 於 〜 」 嬢 e 爿 h い 尽 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　_。 ト 螂 コ 如 巨 10 柘 e 仰 、 刈 ゆ 恒 凵 卜 恥 黙 四 瞠 窓 e 　 　 刈 悔 寵 弔 謹 壇 二 茸 S （ 〈 ） い ユ 八 狛 ． ⊃ 勺 砲 恤 確 eP 　 　 悦 （ 〈 ） い ー ハ h 心’ 飛 旧 智 巳 馨 卩 翼 ． 細 謹 歯 り 一 思 攣 　 　 。 “ 当 」 悩 崎 レ 曜 龍 P 二 〇 U 嘲 憎 霜 e （ 〈 〉 い エ λ he 　 　 ∩ 二 e 仔 eU 。 恒 悩 ニ レ ニ P 二 〇 弋 憎 V 剥 る （ 終 ゆ 嘱 　 　Ψ Q く ） い 」 λ h り → 曜 配 e Ψ ． 並 12 一 叫 躍 竃 e 掣 圓 痢 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 °。 頃 邑 1 ρっ ー 「 一 　 　 　 　 　 。 ゆ 総 P 単 ne 殉 魍 紀 臼 9 軸 二 幻 煦 ． 尊 怐 層 e 曲 刈 哩 90 薦 U 旧 裂 ， 鴎 冖 … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ・ 綿 総 p 鯉 頃 e 諠 歯 ゆ 套 『 忖 逼 野 ゆ 顧 踉 ・ 三 … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 ゆ 如 〉 剛 細 鍾 O 契 る 謹 壇 ． 掣 餐 踏 ゆ い 埋 e 却 U 諦 尸 　_“「． 　… 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 ゆ 喧 PD 曜 犁 費 晋 ゆ 縞 鞭 e ゼ U  _尸 　． N 　． … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 二 奏 ‘9 £ 剿 赴 杓 製 ゆ 頑 槻 ． 「 　 　 　 　 　 〇 二 絢 如 曜 蜘 冊 P 晩 旧 鯛 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 翼 丿 悦 ⊃ 喬 轟 る 刃 U ゆ 盻 V 臼 瞳 匪 10_’ 一 紹 鼬 　 　 Ψ ％ 鵜 ． 型 U 誕 e ＞ 刃 一 契 」 悩 2 四 簿 膩 舗 刃 齪 砲 ミ ー 醤 69 桑 引 圜 e ミ beEO8 恟 崕 　_． b 鮒 O ［   る 督 S 頃 〜 冖 e 」 − 砲 刃 り ゆ’ q 轟 29 粂 帽 eU 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一 X 頃 11 》 尋 ゆ 飼 却 ゆ 抑 鞭 E 》 11 一 竃   ” 小 る レ ＄ ⇒ 郭 コ 細 鮗 姻 ミ ー 結 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　_、 皿 ゆ 電 二 麺 二 P 二_． 璽 e 哩 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 欝 調 誕 〕

N工 工一Eleotronio _{Library 　Servioe}

」 〇 四 　 の m ト 　， マ O 宀 　_． の 8 卜 ‘ 　 　 5 　 　_． 　 　 ■ ： ： ρり 9N 卜 一 寸 鎌 e 畿

趨

甜 e 糞 出 ρ 尸 O 　， N o   ． 尸 　 … 。 二 怐 如 曜 駟 P 常 口 脚 、 P 弋 艘 OP ’9 る 仔 e り 〜 一 e 」 − 姻 坦 ゆ 悦 逆 レ 帰 凵 ← 。 ト 慨 ⊃ 如 凵 “ ％ e 構 e 靼 コ 瞳 謹 e 邸 諏 椅 e 韓 慮 “ 臣 幻 鉦 e 襲 快 悶 、 幻 ゆ ト 凵 ＃ 踏 侭 囈 P ￥ 窺 巳 鰯 如 ‘ 申 　一 ⊃ 摯 砲 殿 杓 凶 H 和 轟 出 “ 卜 　． り 一 10 崛 e 図 e 仰 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 卜 認 霾 〕 　 　 　_… 　 　 　 　 　 　 』 × マ 〉 ・ m 　 」 N × ゆ x マ ヤ 寸 … 　 　 　 　 　 周 NX 尸 11 ＞ 　． °っ 　 　 　 NX 智 × 一 11 ＞ 　． 囚 　 　 　 NXN × 冖 11 》 　_F． … 　 　 　_一 ． ・ ・ … ． … ： ． ： ． ． ． ・ … … ． … … … … ． ・ ・ … … ・ ・ … ・ ・ … ・ ． ・ ・ …． …． … ． ． ． … ・ ． ． ． ． ． ・ ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 団 　_。 二 憫 “ 耐 袍 レ 吹 留 ． P ぐ 触 O 尸 Φ 灸 丹 e の ー 尸 e ト 困 情 ゆ’ 一 レ ⊇ 榔 〉 ⊃ 日 砲 瞳 課 S 》 対 N 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 。 ” 」 」 悩 ゐ P ⊃ 郷 P 個 砲 瞳 駅 e 母 〉 刈 N 　． レ 」 刈 題 〉 皰 袖 陵 e 搾 e 翻 却 認 e 転 　． 回 浸 W 鍼 回 ゆ 霜 　． 鍾 ぐ 悔 宀 粂 痴 　 　 。 紀 」 悩 」 け 尋 り ゆ レ 湫 詣 砲 怐 燮 e 搾 e 翩 袖 翼 o 事 ． 曜 絆 勺 ゆ ゆ 穀 “ 曜 悩 」 肩一 ‘ 室 週 回 O 側 ． 鍾 ミ 切 十 皐 唸 ． 12 一 e い 懾 ⊇ ー− 一 堽 レ ρ 羇 り 一 ゆ ％ ゆ 沿 申 Vq 鴫 b 刃 ぐ 顧 曲 困 踏 e り 。 叔 」 懾 ⊃ 壮 W 湛 eN い 令 e 曜 轤 翻 副 ． P 擡 e 凄 侭 日 静 翻 叔 eE 旧 る 榔 噴 e 倒 一 P 琶 尸 る 恤 勵 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 O 頃 E 〕 「 「 ． 」 Ut ヒ マ 一

₁₇₆

一 齟 」 」 o N P 广 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　_。 二 W 繕 曜 和 P 啝 留 P ぐ 閥 〇 一 。 灸 恒 P ＃ 淘 e 頃 〜 尸 e 尽 怨 ト い 黙 二 噌 ρ 唄 い ρ U ト 攣 e Ψ ． 刈 極 踊 Uh い 抵 鯉 卵 絶 還 σ 艘 e 踏 鯉 ． μ o 喝 砲 謎 譽 喫 o 賀 e ’9 る 匪 く 皀 温 軽 、 困 巨 竄 U 舞 娠 叩 　 　 　 　 　_。 畏 ∂ 懾 翩 ニ レ 」 り 紹 顧 エ ー 』 KO 払 」 無 り 一 倉 喫 ゆ 悦 到 掣 寄 o］ S 尽 ． ゐ 製 レ ⊥ 1 加 Ke 艘 − 龜 e 申 ． b 椴 砲 ユ ー bK ぐ 蟹 《 翼 並 冊 冒 e Ψ 。 紀 」 悩 ⊃ 駅 翌 砲 寄 く V 硬 研 贇 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 マ 黜 躍 〕

NII-Electronic Library Service ロ_． 1 ゆ 生 K_． マ 　 　 　 　 　 曲 曇_，   　 　 　 　 二 心 卿_， 尉 　 　 　 　 二 ’9 働 K_， ” … 。 ’ q 柯 P 二 79 惘 る 朴 P 舶 な る 射 鎌 並 捉 麺 唸 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 製 認 冨 」

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ゴ 　 　 　 　 　 　 。 二 扣 録 層 細 P 堂 留 ． b 藕 〇 一 即 e ρ 二 JH 。 ’ O 卜 P 韋 ‘ ＜ e 勾 ． 並 e ゆ 鐸 15 一 函 録 い 崛 e 仰 ． 却 ゆ 恒 且 h い 黙 砲 瞳 誣 e 怐 賭 e 蚤 ρ ＜ 弔 竃 壇 ． 荊 刔 e ” 。 飼 悩 曲 二 P ‘ く 画 曇 O ト 劇 D 匝 論 庸 凵 葛 り 。 b 悦 ⊃ 盻 る 韋 ご 《 e5 淫 怕 凰 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 〔 9 目 讐

N工 工一Eleotronio _{Library 　Servioe}

… 二 如 喬 鱒 ゆ Ψ 〉 翼 “ 場 》 　 　 二 “ Q 暎 ゆ 申_． 的 　 　 16 頤 ゆ 申_． N 　 　 −0 瞬 串 Ψ V 嵋 0_， 一 目 。 二 翌 」 娘 幣 並 ゆ ‘ 悌   る 瀞 ρ 遇 申 鞐 翻 一 巌 卑 　 § 　 　 　 。 ゆ 緯 P 『 O 属 製 朝 恋 嘱 想 尋 ゆ 挿 司 超 o 創 副 幡 e 乍 9 凵 町 腐 尸 。 ゆ 如 V 曲 K 馳 代 曜 響 e 姻 窶 知 憑 ゆ 掣 h 喫 坦 砲 蚤 ． 讐 媼 享 嘱 裾 e 町 爬 一 　 　 　 　 　 　 　 。 ゆ ニ レ 」 竈 戯 型 型 U 咽 着 慶 堰 ． 暢 一 碯 菰 劇 紹 e 町 村 一 　 　 　 。 ゆ ニ レ 」 醸 封 選 愚 巳 鰹 旧 S 旧 顕 e 諺 煮 咽 ． 製 個 詐 骨 期 e 町 侃 一 　 　 　 　 　 。 ゆ’ 一 レ 」 風 封 迦 壺 凵 副 ロ e 鵠 曽 咽 、 並 醐 轟 斡 圃 e 町 侃 尸 尸Nm ℃ 旧 … 二 穏 轟 躓 順 申 V 凝 0 邯_， マ 　 ニ 如 “ 踵 80 申_．   　 い 曄 10 申_． N 　 い 曄 い 申 V 柘 0_， 二 σ 禦 5 髫 ρ 皀 ＃ 製 P 督 e 爬 矧 ． コ 朴 諏 　【 ε 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 「 … 二 緑 喬 躅 ρ 申 V 翼 0 悩_． ℃ 　 　 二 卸 喬 騨 ー0 申_．   　 　 ー0 瞬 ー0 Ψ_． 創 　 　 ー6 瞬 10 申 V 蝿 0_． 冖 … 。 ゆ 獪 P 諺 騨 二 」 憎 皐 型 朴 凝 　〔 9 「 ’ 」 却 ＃ 騨 い Ψ 〉 擬 p 悩_． 噂 　 　 二 昂 喬 脚 10 申_． 円 　 　 ゆ 碗 ρ 申_、 個 　 　 16 瞋 16 Ψ V 結 0_． ＝ 。 翼 OV 二 翼 並 聾 鎖 冖 N ｝ 「 二 静 尋 瞬 か 申 V 提 い 悩_， 叩 　 二 “ 毳 瞬 “ 申_． “・ 　 ゆ 嘆 80 申 N 　 心 瞬 沿 申 V 結 o_， 二 。 ’ 一 」 峠 コ 慧 製 e 塾 翻 　 … 　_。 二 扣 麺 曜 即 P 曜 麗 ． P ぐ 繭 O 尸 砲 e ρ ゆ 悩 犁 レ 繪 。 燕 恒 悩 二 瞋 U い 妬 e 勾 レ ニ O り 層 竈 緝 e 寒 ． 型 肥 “ 電 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 三 謖 置 。 二 怐 如 吋 漁 P 掌 田 5 隣 0 冖 Φ る 音 e 旧 〜 尸 e 寒 細 却 り ゆ’ 臼 揖 Φ 轟 “ e11 娼 〔 羃貫鶏 §§8880o　 　o § o 　　oo oo 　 　o 霞 6 め   ご 　 ギ 　d 　ぜ r：6 鷹 ） 卩 〜　　頃ヨ 8 マ　　o 畍　　OP （ e　冩 腕 o 頃 oo 頃　　oooo 　　o 卵 ） ”四 創 マ 鳩 宀　　o 渦 o 旧　 　o 膏 邸 一一  N 　 　的 “ ロ 。 柯 P 中 申 ゆ ＃ 心 £ 瑛 ⊃ 嵋 ” 層 燭 e 慰 ． 亘 帽 寵 卿 耗 e 匠 ゆ 膾 　 　 　 　 　 〔  調 至 一

₁₇₇

一

NII-Electronic Library Service （

3

）

　

調査

問

題の

_結

_果と

考察

　

調

査

問

題の

_{学校段階学年}

_別の正答率は， 表 一

₂

_{の通 りである} 。 〈， 〉， へ v は，

5

％

有

意

水

準で カ イ

2

乗検定 を行い，

有

意差 が認め られた

場合

に記してある。 また， 各問題の反

応率

は

表

一

3

の _{通 り}である。 　 　 　 表 一

2

　学 年 別 の 正 答 率 （％ ） 問 　 　 　題 杉 別 　 璽択

_焉

中 1 中 2 中 3 高 1 高 2 高 3 A 校 i59 問 題 3 曲 線の ヴラフ 　 （アーa） グラ フ 施 数 学 いろいろな 関 数 ii 　 　 　 83 ＜ 100 27＜ 51＜ 57＜ 83 　 　 　 82 ＜ IOO 「 46 B 校 ii 　 　 　26　＜　　37　　　46　＜　　56　　　　＞ 53−　　　　　　 一一 A 校 i ア_・ 数 学 か ら 関 数 問 題 1 プラ，淋 ッウス 　 （アーb） 数 学か ら 式 1 次 関 数 ii95 　 　 　 99　 　100 83　＜　　94　＜　　99　　　97　　　　＞ 　 　 　 94　 96 B 校 　 i ．　． ii7662 　　　72　＜　　88　　　86　　　　 −一 　 　 　 ＞ 73　 　一 i 問 題 7 マ，チ 棒 の 数 　 （アーの 数 学 か ら 表 1 次 関 数 A 校 ii96 　 　 　 98　 　100 93　 97　 94　 99 　 　 　 94　 91 B 校 i83ii 82　　　85　　・88　　　．90　　　−　　　　一 　 　 　 〉 了1　 一 A 校 i 問 題 4 電 車 の 動 き 　 （イーa） 現 実 から ヴラ7 いろいろな 関 数 ii41 　 　 　 52 ＜ 81 14＜ 26　 38〈 59 　 　 　 ＞ 40　 　55 i B 校 ii12912 τ315 弛 ： i イ_・ 現 実 か ら 関 数 問 題 6 旗 を 折 る 　 （イーb） 現 実 か ら 式 いろいろな 関 数 A 校 闘 65 　37　　＜53　　 63　　 73　81＞　 86 　 　 　 6可　 77 B 校 i2 了 ii 　 　 　 一 一 11〈 19 〈 43　 40 　 　 　 　＞ 23　 一 i 問 題 「 2 A 校 li91 　 　 　 92　 　95 85　 90　 92　 93 　 　 　 90　 100 舛 シーの 料 金 　 （イーの 現 実 か ら 表 し、_ろいろな関 数 i 　 　 　 一 56　　　73　〈　　88　＞　80　　　　−　　　　　一 　 　 　 ＞ 6等　 一 B 校 ii74 A 校 i 問 題 8 ゴン防 の 動 き 　 （ウーa） ヴラフ 勧 現 実 し、_ろ1・_{うな関 数} ii78 　 　 　 83　 95 6了　　　73　　　80　　　81　　　v　　　　v 　 　 　 69　 　73 B 校 iii50 　 　 　 　一 ＿ 36＜ 52　 62　 5了 　 　 　 ＞ 41　 一 A 校 「 95 問 題 10 入 れ 物 　 （ウーa＞ グラフ から現 実 1 次 関 数 7 葬1 　 　 　 97　 100 94　　　92　　　96　　　95　　　　＞ 　 　 　 90　 96 B 校 i ウ_・ 関 数 か ら 現 実 ii 了了 　 　 　 　一 一 76 ＜ 85＜ 93＞ 84 　 　 　 ＞ 48　 一 A 校 i 問 題 5 本一ル　を 落 とす 　 （ウーb） 式 か ら 現 実 2 乗 に 比 例 li70 　 　 　 92　 100 39　　　45　　　55　〈　93　　　　v 　 　 　 ＞ 77　 100 B 校 i50 面 31　　　29　〈　了4　　　70　　　−　　　　一 　 　 　 ＞ 44　 　一 A 校 i 問 題 9 水 道 料 金 　 （ウーc） 表 か ら 現 実 いろいろな 関 数 ii18 　 　 　 20　 24 24　　　17　　　19　　　23　　　　　　　　　v 　 　 　 　I6 ＞　0 B 校 iii26 　 　 　 　一 一 33　 33 ＞ 20　 22 　 　 　 24　 　一 注



i は _高

2

，

3

の 理 系 ，

ii

は 高

2

，

3

の 非 理 系 ／ 〈 ， 〉 ，　 v ， 〈 ：．

5

％ で 有 意 一

₁₇₈

一 N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service 最 暈 珂 酬 雪 罸 N　冖卩り 寸−〇 N 炉　　 o のONoト 冖 酬   o 　尸mh _鬻8oo　一唱り 創 卜 o 周 降 oq Φ 一〇一 一〇一一 030− N 薦 馬 一〇つ ：ニ ：＝ ：＝ やり _靄 ・o 　零o 　暉o 　聊_に・o 卩 Gワ 詔 ・o 　凾ρ ・m 　・o 　冒o 　． no 　曾_Σ ・の　．o 　膠_芻・o 　． 邇 ． 「 ． 「 ． ， 亅屯 」9 ． ， 匿 凾 ． 10匝 ・ ■ ・ ■ ， 冒 ．一 ． ．＿ ，一 們 ₉ ・o 　．頃　蹲o 　暉_と8・o 　． の の　Po 　． 8 ・Oro 冒o 　． 自り 0 　99 ・三 ・苺・認・o 　． 阨 電 ■ 鹽 ■ 鹽 ． 随 ． ． ． ． − ． 1囗_匡 ・ ． ● の ・ ． ；二 ：＝ ：； N 矩 的冖 一N 両卜　一 oo冖冖 鴫ゆゆ 　冖 一ρ  Noつ 吋 N 煙 旧卜 尸一 頃  m 冖 o ヤ 一』　冖 の oo ト _N 匝 mN 　冖 冖冖冖頃 nnNNo 一博_{N 丼 …}2N 　一一 一 ・＿ 「罸 LF N9 ・ 一　　・OD 　．0 　鹽 畠 ’o 　， Nm 　p く丶」− ₁₃・ト　．N 　・ 冖　　・ N 噂　．_巴 ・OD 　・ 8 ・_譌・ 一　　噸 1屯 ■ ． ・ 凾 ． ． 匝 ． 冒 ● ● ■ ．． 1° ド　o．．．一． ． ， ， o ． 广．． 庵 N冖  NNoomm 冖冖 o   o卜寸つo oo

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翼

仔 冖〇　一 oq一り冖ONN 蕊霧 一頃 寸N 頃 N お 鰹 鉢 鯔 鯔 鯔 鯔 鯔 冨 鯔 軽 運 鯔 鯔 鯔 鯔 8 鯔 嬋 鯔 躑 躑 鯔 頃 ＜〔o 〈 ロ⊃ く〔n ＜ロ自 くm くm 飄 くα】 ＜ m くo⊃ くoa 〈m ＜ oコ _覈 くの くm ＜α】 ＜  く o⊃ く  粤 _{冖 No り 寸}   厳軻α 蕚 ｝ N   寸 山 _屡図o 琶 一 N ρ り _＠ 旧 _展飼囗 （ e   e

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蕪

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9

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踏

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昌

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₁₇₉

一 N工 工一Eleotronio _Library

NII-Electronic Library Service

 

数学

の

場

面か ら関数 を読み取る問題

　

問題

1

（ブラ ックボッ クス），

問

題

3

（

曲線

の グラフ）は， 学年 間で 正答率に

有

意差が あ るが 問題

7

（マ ッ チ

棒

の

数

）は

B

校高

2

　

li

を除き ， どの学年 も

80

％以 上の正

答率

であ り， また

有

意差は認められない。

　

問題

1

，

3

の

結

果から， 数 学の

場

面で は

学年

とと

も

に理

解

が深 まるとの見

方

がで きよ う。 特に問題

3

（曲線のグラフ）はこれが

顕著

であ る。

　

問題

3

の _生

_徒

の_反応

_率

_をみ る と， 関

数

にっ い て全 く未学 習の

中

1

の反 応は

多様

であ り，

中

2

は選

択肢 r2

』

を

正答と した生徒が

30

％

前後

と

高

い。 また

中

3

か ら高

2

で は

r2g

が 減

少

し

r4

』が増加する傾向がある。 これはグラフや

変域

といっ た関数の学習の

有

無に

関

係 して いると思 われる。 一

_方

　

r5

』 を選 んだ生

徒

は

中

1

を除い て どの

_{学年 も}

ほ とん どい ない ことか ら， 視

覚

的に

判断

で きる グ ラフの増減につ いて は理解で きて い る と

考

え られ る_。

 

現実 的な

事象

か ら関

数

を発見する問題

　

問題

4

（電車の 動き） は

A

校では学年間で

_有

意差があ り，また， 問題

6

（

旗

を折 る） は

A

校

B

校

とも

顕著

では ないが有意差が認め られた。 一

方

問

題

4

の

B

_校

は正答率が

10

％

前後

と

低 く

，逆に_問題

2

_（タ クシーの_{料 金）は}

B

_校

の一_{部 を}

_除

_き正

答率

が

70

％以上であり， 有意 差は認め られ ない。 また問題

6

の

A

校で は

中学

L

　

2

年

では

有

意

差

が認め られたもの の，

A

校におい ては学年と ともに理解が深 まる とはいえ ない と

考

え られ る。 た だ し，　

B

校 においては

中

1

か ら

中

3

において

有

意差があ るが

中

3

か ら

高

1

で は

有

意

差

が認められな い こ とは興味深い ところであ る。 一方 問題

4

（電

車

の

動

き

）

は，

B

校

では どの学年 も正 答率

10

％前後と低い ので分析しに くいもの の，

A

校で は有意差が

顕著

に現れて い る。

　

A

校

における

問

題

4

の

_生徒

の_反

_応

_{箪 をみ ると}

r1

_{』 （正}

_答

_）は

_高

2

_{でや や}

_{低 く}

_なるもの の，学年が進むにつ れてその_率は増加 し， 逆に

r5

』 は

高

2

，

3

の 理

系 （

i

）で は，

高

2

でや や

高

くな るもの の_学年と ともに減少 して い く。 そ して その

分岐 点

が

中

3

になっ て いる。 電 車の動 きを

直線

と

考

えた

r4

』

rSg

の合計では

高

2

，

3

の理

系

に

着

目

す

ると学

年

が 進 むにつれて減

少

して い く。 曲線 と

考

えた

r1

』

r2

』

　

の

合計

では

中

学で は

増

加 し，

高校

では高

2

の _非理系を除い て

55

％〜

81

％であ り， これらの生

_徒

は電車の動 きを現実場面 に て ら して

考

え ようとする

姿勢

が見 られる。 また，

縦軸

を

距離

ではな く速さ と考えた

r2

』

r5

』 の合計

1

よ

_高

3

理

_系

を

_{除 く}

と

高校生

で も

30

％以

上

とか なり高い_数にの _ぼっ てい る。 問題

4

は数学の舞 台にあがっ て いる問題ではないが 速 さ，距離

時間

とい う

数学

で

学

習 する内

容

との かかわ りが

深

い の では ないか と

考

え られる。

 

関

数

か ら現

実的

な

事

象を

解釈

する

問

題

　

問題

5

（ボ ールを落 とす）や

問

題

9

（

水

道

料金

） は 学年間で正

答率

に

_若干

の

_有

意差が あっ たが 問題

8

において は，

B

校

で若干の有意差が あっ た ものの

A

校

では

学年間

におけ る

有

意差 は全

く

認 められ ない。 一

方

問題

10

で は

A

校

で は

学年間

で

全

く有意 差が ないも 一

₁₈₀

一 N工 工一Eleotronlo _Llbrary

NII-Electronic Library Service の の，

B

校

で は

有

意差が認め られ た。 しか し，正

答率

をみ ると

B

校

の

高

2

非

理系以外はど の

_{学年 も}

75

_％以

上

で_{あ り}，

中

学 生でも理解できない 内

容

ではないと考え られる。 なお，こ の

_値

は

基礎

学力調査 （

小

6

対象

）の

_{結果 （}

正

_答率

64

_％）よりはかな り

高

いもの になっ て い る。

　

A

校

にっ いて

問

題

10

の

_結

_果を問題

8

_（ゴン _ドラの動 き）の

_結果

と比

較

してみると

有

意差 がない

点

で は

共

通して いるが， 正

答率

で

20

％

も

差が あ る学

年

もある。 これ は変

化

の

割合

が 一

定

か否かに も関係 してい ると

考

えられる。

問題

8

の

生徒

の反応

瘁

をみると，

観覧車

の

速

さは一定であるの に，

時間

と

高

さの _関係を示した問題

8

の グラフ_{か ら}，

速

さが

変化す

ると 解釈 した

r2

』

r5

』 の

合計

は中

1

か ら高

3h

の順に，

8

，

6

，

3

，　

6

_，　

4

_，

10

_，　

O

，

0

（％）であ り， どれ

も高

い

_数値

ではない が， 高

2

まで は

学

年における

大

きな差はみられない。 また

r1

』 を選 ん だ生

徒

は

5

〜

23

％であり ，

学年

進

行

に よる減

少

の

傾向

はみ られなかっ た。

　

一方 若干の有意 差が認められた

_問

題

5

の_{反 応}

_瘁

_をみ る と， 変化の割合 が 一_{定である と}

す

る

r1

』や

r2

』の_合

_計

_は

_学年

_{が進 むに}

_従

っ て減

少す

る

傾

向にあるが

特

に

中学

と

高校

の _間で顕著に現れて いる。 これは記

す

まで

も

な く既習の 関数の学習に

影響

がある と思わ れ る。

　

また， 問題

9

（水道

料

金）の生

徒

の反応

率

をみると，

実際

に

使

われてい る水道

料

金

算出

の た めの_資料を

_問

題に した に

_も

かか わ ら

ず

， これ

を

正 しく解釈できた生

徒

は

極

めて

少

なか っ た_。 最 も多い反応率 は

r5

』 であ り，

従

量

料

金が

1

  あ たりの金 額であることを読み取 っ てい ない_。

極

めて現実的な

場面

であるが， これを正 しく

解釈

した

生

徒は少な く ， さ らに

学年

によ る

大

きな

_有

意差は認められなかっ た。

4

．調

査

結

果 か ら の 示

唆

　

本

研究で は， 生徒は

数学

の

場面

に比べ 現

実的

な

場

面と関

数

とを関連づけて

考察す

るこ とは， 学年 間において大 きな差はない とい う

仮説

を

検

証 す るために調査 を

行

っ た。

　

その結果， こ の仮

説

が

次

の ように

検

証された と

考

え られる。

　

まず 生

徒

が

現実的

な

事象

から関

数を

発見

す

る場合には 数

学

の

_学習

と

_関係

があると思 われるグラフ の発

_見

におい ては学年 進行 とと もに正

答率

が上がるが

他

の

_表

_{現 （}

_式

_表

_） で は

学年進行

に

関係

が ないそ して，

関数

か ら現

実的

な

事象

を

解釈す

る

場

合に

1

よ 学年が進 むにつ _れて

生徒

の解釈の変

容

が認 め られない。

　

一方 数学の場面か ら

関数

を読み取る

場

面では， 学年が進むに

従

っ て正

答率

が

高 く

なる。

　

これ らの

_原因

の

1

っ には， 日常の授業において

関数

を

現

実

的

な

事象

と

結

びっ けて考察す る

場面

が

少

ない ことが

考

え られよう。

数学

の

有

用

性

を示

す

ために も， こうした

授業

が日

常

的

に展開されることが必

要

である と

思

われ る。 筆 者の今後の _課題と して は，

本

研

究

で明らかになっ た

仮説

に

対

し， さ らに現

実的

な

事象

一

₁₈₁

一 N工 工一Eleotronlo _Llbrary

NII-Electronic Library Service と関数とのか か わりの どの よ うな

場面

において生

徒

は

困

難 さを

示

すかの_{仮説 を立}て， これ を検証するこ_とに_あると

考

えて いる。

　

なお，

本

調査

研

究は

A

校

　

B

校

の

2

校におい て実施 したが

A

校のみにつ い ての

分析

につ い て は 平成

10

年度

（

1998

年

）の

_第

31

_回日

本数学教育学

会数

学

教

育

論

文

発表 会におい て発表 した。 4）_{さ らに} ，

B

校

の

分析を加

え た

も

の

を筆者

の

研究報告書

に

示

した。 5）

　本稿

は， これを さらに加

除

修正 した もの であ る。 〔注， 及び， 引用 ・ 参考文献〕

1

）  礒

田正

美

， 志

木廣

， 山中和人 『関数の活用の

仕方

と

表

現

技能

の発

達

に関

す

る調

査

研

　

究

』，

仕方

と表

現

・ 技

能

の発達に関する調査研究_」

r

日本数学教育学

会

誌_』

第

72

巻

第

　

1

号，

1990

．

pp

．

48

−

59

．

　

  国宗

進 「

_関

_数の

_課

_{題解決場面}にお ける子供の

_考

_え

_方

_」

r

_日

_{本数学教育学会誌}

_』

_第

69

　

巻

第

9

号

．

1987

．

_pp

．

4

−

13

． 　   宮川健 「テ ク ノロ ジーに よる関数関係の理解の _改善に関する一考察 一 事象の グラ

　

フ

_化

に おけ るミス コ ン セ プシ ョ ンに

焦点を

あて て 一 」

r

日

本数学教育学会誌

』

第

80

　

巻

第

1

号

，

1998

．

pp

．

9

−

₁₄

_．

2

）文部省科学 研究費補助金

r

算数 ・ 数学 科における総合的な学習の 開発研究_』

　

（代

表

_：

　

長崎栄

三

1997

〜 ）に次のような研

究

発

表

がある． ・_久

_保

_{良宏 「現実的な}

_事

_{象を数学を通 して考察}

_す

_る学習につ い て」 ・

_永

_田

_潤

一

_郎

_{「 『水の値段を調べ よう ！』 の授業報告}一_{数学でみる経験を重視した授業}

　

の

_構築

を

_目指

して一」 ・

西村圭

一 「ジ_{ェ ッ} トコ ース ターの グラフ 」 ・

_牛場

_正則

_r

_調査

_問

_題

_集計結果

_」

3

）

 

国立

教育

研

究所篇 r第

3

回

国際数学

・理

科教育調

査

国内報告書

』

東洋館出版社

1996

．

　

  国

立教

育

研究所編

r

基礎 学力調

査

一

第

一

次報告書

』国立

教育研究所

．

1992

．

4

）久

保

良 宏 「_{現実 的な事象}のつ なが りか らみた関数の理解の発達に関す る調査研 究」

r

　

日

本数学教育学会数学教育論文発表会論文集

』，

199

＆

pp

．

117

−

₁₂₂

_．

5

）久保

良宏 r生徒

の

発達

からみ た

数学科中高

一

貫教育

の

_可能性

とカ リキュ ラム に

関す

る

　

研

究 一

関数領

域におけ る中学校カ リキュ ラム』， 平

成

10

年度

　

国立

教育

研

究所科学

　

教

育

研究セ ンター同研究員

　

研究報 告書，

1999

．

11

． 一

₁₈₂

一 N工 工一Eleotronlo _Llbrary