Fisher 情報計量 階数 1 非コンパクト型対称空間の熱核と

階数

1

Fisher

伊藤 光弘 (筑波大学大学院数理物質科学研究科)

佐藤 弘康 (筑波大学大学院数理物質科学研究科)

宍戸 雄一 (茗溪学園中学校高等学校)

日本数学会 秋季総合分科会 平成 19 ^年 9 ^月 21 ^日

東北大学

確率測度のなす空間と

Fisher

(X, h)^{：向きづけられた} n-^次元完備 Riemann ^多様体 dv^：h ^{から定まる体積要素}

P^k(X) := n

µ = p dv p ∈ L²_k(X), p > 0, R

X µ = 1o

：確率測度のなす空間

T_µP(X) ' n

τ = q dv q ∈ L²_k(X), R

X q²/p dv < +∞, R

X τ = 0o Fisher ^{情報計量（}P(X) ^上の Riemann ^計量）：

g^F(τ¹, τ²) = Z

X

q₁ p

q₂

p µ,

τⁱ = q_i dv ∈ T_µP(X), µ = p dv (P(X), g^F) ^の性質（T. Friedrich ’91^）

¶ ³

(1) g^F の断面曲率は一定で，その値は 1/4^．

(2) Diff₊(X) ^は (P(X), g^F) ^{に等長的に作用する．}

(3) 測地的に完備ではない．

µ ´

(1)

Poisson

(X, h)^{：単連結，完備，}n-^{次元負曲率多様体}

∂X^：X ^{の理想境界} (∂X ' S ⁿ⁻¹)

p_o^：Poisson ^核（θ ∈ ∂X ^に対し，p_o( · , θ) ∈ C⁰(X ∪ ∂X \ {θ})^） ϕ : X 3 x 7−→ p_o(x, θ)dθ ∈ P(∂X) ^：Poisson ^核写像

定理（伊藤-^宍戸）

¶ ³

(X, h)^：階数 1, n-次元非コンパクト型対称空間

=⇒ Poisson ^{核写像は相似的：}ϕ^∗g^F = ρ²

n h，さらに極小的埋め込み．

ここで，ρ ^は (X, h) ^{の体積エントロピー：}ρ(x) = lim

r→∞

1

r log Vol (B(x; r))^．

µ ´

証明のポイント Poisson ^核 p_o ^と Busemann ^関数 b_o ^{との関係：}

p_o(x, θ) = exp (−ρ b_o(x, θ)) .

(2)

熱核写像

(X, h) ^{の 熱核} k ∈ C^∞(R₊ × X × X)^： (1) k(t; x, y) = k(t; y, x)

(2) lim_t→∞ k(t; x, y) dv(y) = δ^x(y)^：Dirac ^測度 (3)

∆x + _∂^∂_t

k(t; x, y) = 0 (4) k(t; x, y) = R

z∈X k(t − s; x, z) k(s; z, y) dv(z)

(5) X = G/H ^のとき，G-^不変性：k(t; xH, yH) = k(t; x⁻¹y) ϕ^t : X 3 x 7−→ k(t; x, y) dv(y) ∈ P(X) ^{：熱核写像}

主定理（伊藤-^佐藤-^宍戸）

¶ ³

(X, h)^：Euclid ^{空間か階数} 1 非コンパクト型対称空間

=⇒ ^{熱核写像は相似的：}ϕ^∗_t gF = C(t) h^（C(t) ^は t ^{に依存する定数）}

• Euclid ^{空間の場合，}C(t) = 2/t^．

µ ´

(3)

主定理の証明

Euclid ^{空間の場合}

• ^{具体的計算}

階数 1 非コンパクト型対称空間の場合

• γ ∈ Isom(X, h) ^に対し，γ^# =

γ⁻¹_∗

とおくと γ^# ◦ ϕ^t = ϕ^t ◦ γ^．

• γ^{# は} (P(X), gF) ^{に等長的に作用}

γ ∈ Isom(X, h) ^は (X, ϕ^∗t g^F) にも等長的に作用する．

• ^階数 1 ^{対称空間の性質：「任意の} v¹ ∈ T_x1X, v² ∈ T_x2X^（ただし |v¹| = |v²|^）

に対し，γ(x₁) = x₂ ^かつ dγ(v¹) = v^{2 を満たす} γ ∈ Isom(X) ^{が存在する」}

h ^と ϕ^∗_t g^F は定数倍の違いしかない．

(4)

定数

C (t)

S^∞(X) := n

f ∈ L_k²(X) R_X f ² dv = 1o

：L²-^{ノルムから定まる計量} gL² をもつ

Ψ : P(X) −→ S^∞(X) ^を Ψ(µ) = √

p^（ただし µ = p dv^{）で定義すると} Ψ^∗gL² = 1

4g^F Besson-Courtois-Gallot

¶ ³

(X, h)^：階数 1, n-次元非コンパクト型対称空間，X/Γ ^{はコンパクト．}

Φ^：X × X ^上の Γ-^{不変な正値関数，}R

X Φ(x, y)² dv(y) = 1^． Φ^t : X 3 x 7−→ Φ^t(x) = R

X Φ(x, z)² k(t; z, · ) dv(z)1/2

∈ S^∞(X)

とおく．このとき，t ≥ t^{0 ならば，}Φ^∗t gL² ≤ Φ^∗_t⁰gL²．

µ ´

Φ(x, z) = √

k(s; x, z) ^{とすると，}

Φ^t(x) = Z

X

k(s; x, z) k(t; z, · ) dv(z)

!1/2

= p

k(t + s; x, · ) = Ψ (ϕ^t₊^s(x))

(5)

系（C(t) ^{の単調非増加性）}

¶ ³

(X, h)^：階数 1, n-次元非コンパクト型対称空間，X/Γ ^{はコンパクト．}

このとき，t ≥ t^{0 ならば，}C(t) ≤ C(t⁰)^．

µ ´

(6)