遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の 適 用

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遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の 適 用

GAApproachtoCentipedeGame

高 橋0郎

IchiroTAKAHASHI

1は じ め に

Rosentha1(1981)に よ っ て 提 示 さ れ た ム カ デ ゲ ー ム は 二 人 の プ レ ー ヤ ー が 交 互 に ゲ ー ム を 終 了 さ せ る(S)か 継 続 さ せ る か(C)を 選 ぶ ゲ0ム で あ る.ま ず,先 手 で あ る プ レ ー ヤ ー Aは 第1期 にSかCを 選 ぶ.Sを 選 ぶ と,ゲ ー ム は 終 了 す る.Cを 選 ぶ と,第2期 に な り, 今 度 は プ レ ー ヤ ーBがSかCを 選 ぶ.Sを 選 ぶ と ゲ ー ム は 終 了 し,Cを 選 ぶ と,ま た プ

レ ー ヤ ーAの 手 番 に な る.こ う し て,T期(T は 偶 数)ま で ゲ ー ム が 繰 り返 さ れ る.今 期 自 分 が ゲ ー ム を 終 了 させ る と,自 分 は パ イ の 大

き い 部 分 を 手 に 入 れ 相 手 は 小 さ い 部 分 を 手 に 入 れ る の で,来 期 相 手 が 終 了 さ せ る よ り 自分 の 取 り分 は 大 き く な る.お 互 い に,協 力 し合 っ て ゲ ー ム を 継 続 さ せ れ ば,パ イ の サ イ ズ そ の も の を 大 き く さ せ,双 方 の 利 益 に な る の だ が, 合 理 的 に 自分 の 利 得 を 最 大 に な る よ う に 振 舞 ま っ て し ま う の で,パ イ が 最 小 の 第1期 に ゲ ー ム が 終 了 し て し ま う.こ れ が,ゲ ー ム 理 論 の 代 表 的 な 解 概 念 で あ る ナ ッ シ ュ 均 衡 に お け る プ レ ー ヤ ー の 振 舞 い で あ る.し か し,最 終 期 ま で 継 続 し な い ま で も,か な り先 ま で ゲ ー ム が 継 続 す る と い う の が 直 観 の 教 え る 所 で あ る.こ の パ ラ ド ッ ク ス は 一 体 ど こ か ら生

じる の だ ろ うか.

そ れ を考 え る手 が か り と して,遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム(GA)に よ る シ ュ ミ レー シ ョ ン を 考 え る.GAを 動 学 的 な進 化 ゲ ー ム と して解 釈 した 場 合,人 間 の模 倣 や,学 習,実 験 とい っ た 要 素 を繁 殖,交 配,突 然 変 異 に対 応 させ る こ とが 可 能 で あ る.し た が っ て,GAの シ ュ ミ レ ー シ ョン の た ど り着 い た先 は,実 際 の 人 間 の プ レー ヤ ー の 行 動 や 選 択 を予 測 して い る の で は な い か と考 え られ る.そ こで,ナ ッシ ュ 均 衡 解 に 見 ら れ る よ う な 行 動 が シ ュ ミ レー シ ョ ン に よ っ て得 られ るか 否 か を調 べ る こ と は 興 味 深 い.こ の小 論 は,GAを 用 い た ム カ デ ゲ ー ム の シ ュ ミ レー シ ョ ン を行 い,そ れ を ナ ッ シ ュ均 衡 解 と比 較 す る.得 られ た 結 果 は, 交 叉 確 率 と突 然 変 異 確 率 が と もに極 め て小 さ い 範 囲 を 除 い て,ゲ ー ム は最 終 期 近 く まで 継 続 す る と い う直 観 に 一 致 す る もの で あ る.こ の シ ュ ミ レー シ ョ ン結 果 は 人 間 の 思 考 に揺 ら

ぎ と い っ た 要 素 が 多 少 で もあ る と,ム カ デ ゲ ー ムの ナ ッシ ュ均 衡 の現 実 妥 当 性 は 疑 わ し い こ とを示 唆 して い る よ うで あ る.

ま た,動 学 的 な 進 化 ゲ ー ム の 立 場 か ら ナ ッ シ ュ均 衡 を解 釈 した と きの 暗 黙 の 前 提 の 現 実 妥 当 性 に も言 及 す る.そ の 前 提 と は,戦 略 の 評 価 に あ っ た っ て,他 人 の 経 験 を知 る こ とが で き,し か も自分 の 経 験 と同 じウ ェ イ トを も

42季 刊 創 価 っ と い う こ と で あ る.

第2節 は,ム カ デ ゲ ー ム の ナ ッ シ ュ 均 衡 サ ブ ゲ ー ム 完 全 均 衡 を 簡 単 に ふ り か え る.第3 節 は,ム カ デ ゲ ー ム に 関 す る 実 験 経 済 学 の 知 見 を紹 介 す る.第4節 で,動 学 的 進 化 ゲ ー ム と解 釈 し直 し たGAシ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 概 略 と,シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 設 定 を 述 べ る.第5 節 は シ ュ ミ レ ー シ ョ ン結 果 と そ の 解 釈 を 試 み

る.第6節 は,結 び に あ て ら れ る.

ナ ッシ ュ均 衡 とサ ブゲ ーム完全 均衡

図1は,T‑6の と き の ム カ デ ゲ ー ム で あ る.ム カ デ ゲ ー ム は,ゲ ー ム の 解(ナ ッ シ ュ 均 衡)が,直 観 に 合 致 し な い と い う 意 味 で 逆 説 的 な 有 限 ゲ ー ム と し て よ く知 ら れ て い る.

図 か ら 明 ら か な よ う に,右 端 の 二 つ の 終 点 (terminalnodes)が パ レ ー ト効 率 的 な 利 得 を 与 え る の で あ る が,後 述 す る 唯 一 の サ ブ ゲ ー ム 完 全 均 衡 に お い て も,ま た,す べ て の ナ ッ シ ュ 均 衡 に お い て も,ゲ ー ム は 第1期 で 終 了 し て し ま う の で あ る.各 プ レ ー ヤ ー は,

お 互 い にCを 取 り続 け る こ と に よ っ て,よ り大 き い 利 得 を 獲 得 で き る の に,相 手 が あ る 期 にSを 取 る な ら ば,自 分 が そ れ よ り も 一 期 だ け 早 くSを プ レ イ す る こ と に よ っ て 利

経 済 論 集VoLXXVII,No.3・4

益 を 増 や せ る こ と か ら,最 初 に 動 く プ レ ー ヤ ー が,ゲ ー ム を 即 座 に 終 了 さ せ て し ま う と い う最 悪 の 結 果 に な っ て し ま う の で あ る.

OsbornandRubinstein(1994)に し た が っ て,ム カ デ ゲ ー ム の 純 戦 略 ナ ッ シ ュ 均 衡 と サ ブ ゲ ー ム 完 全 均 衡 を フ ォ ー マ ル に 分 析 して み よ う.す べ て の ゲ ー ム の 履 歴 の 集 合 は,長 さ がtの 流 列C(t)=(C,C,̲,C)(o<t<T)1)

とCを ト1回 繰 り返 し た 後 に,一 回Sを と る と い う 流 列s(t)=(c,̲,c,s)(1<t<T)か

ら な る.Aを 最 初 に 動 く プ レ ー ヤ ー とす る.

あ る 履 歴 に 対 し て,ど ち ら の プ レ ー ヤ ー の 手 番 か を 教 え る 関 数 をP(c(t})と す る と,tが 偶 数 で,T‑2以 下 な ら ば,P(c(t});五 で あ

り,tが 奇 数 な ら,P(c(t))=Bで あ る.T‑

2以 下 のtに 対 し て は,プ レ ー ヤ ーP(c(t}) の 利 得 は,s(t+1)よ りs(t)が,、s(t)よ りs(t

+2)が 大 き い.プ レ ー ヤ ーAの 利 得 は,S(T) よ りS(T‑1)が,s(T‑1)よ り0(T)が 大 き い.ま た,プ レ ー ヤ ーBはS(T)よ りC(T) を 好 む.こ の ム カ デ ゲ ー ム は た だ 一 つ の サ ブ ゲ ー ム 完 全 均 衡 を 持 つ.こ の 均 衡 に お い て は, す べ て の プ レ ー ヤ ー は す べ て の 期 に お い て, Sを 選 択 す る の で,ゲ0ム は 第1期 に 終 了 し

1)t=0は,ま だ ゲ ー ム が 始 ま っ て な い と き の 履 歴 で あ る.

A

C

B

図1ム カデ ゲ ー ムの樹

ABA

CC

B

1,10,32,2

塊=Ok。 ≧1ka=1

kb>̲Okb=Okb>1

1,4 1〜 ≧2

kb=1

3,32,5 1ca‑2k、=3 kb≧2kb=2

内﹂り﹂4==

4りk﹁k︒

JULYl998高 橋 一 郎:遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の 適 用 て し ま う.こ の 結 末(outcome)は,あ ら ゆ る

ナ ッ シ ュ 均 衡 の 結 末 と 同 じ で あ る.こ の こ と を み る た め に,ま ず,C(T)が 結 末 に な る ナ ッ シ ュ 均 衡 は 存 在 し な い こ と に 注 目 す る.次 に,

も し,第t期 に,プ レ ー ヤ ーi(ti=A,orB)が Sを 選 ん で,ゲ ー ム を 終 了 さ せ た と 仮 定 す る.

も し,t>2な ら,プ レ ー ヤ ー ブ≠iが ト1期 にsを 選 ぶ こ と に よ っ て 利 得 を 増 や す こ と が で き る.し た が っ て,い か な る 均 衡 に お い て も,プ レ ー ヤ ーAは,第1期 にsを 取 っ て い る は ず で あ る.こ の こ と が,プ レ ー ヤ ー Aに と っ て 最 適 に な る に は,プ レ ー ヤ ーB

は 第2期 にSを プ レ イ し て い な け れ ば な ら な い.ナ ッ シ ュ 均 衡 の 概 念 は,そ れ 以 降 の 期 に お け る プ レ ー ヤ ー の 行 動 に 何 の 制 約 も課 さ な い の で,プ レ ー ヤ ーAと プ レ ー ヤ ーBが そ れ ぞ れ 第1期 と 第2期 にSを と り さ え す れ ば,い か な る 戦 略 の 組 み 合 わ せ も ナ ッ シ ュ 均 衡 に な る2).

混 合 戦 略 ま で 拡 張 す る と,プ レ ー ヤ ーB は,第2期 以 降 にSを と る 確 率 が 小 さ い 限

り,ナ ッ シ ュ 均 衡 に な る が,プ レ ー ヤ ーA は 確 率1で,第1期 にSを と る と い う 戦 略

2)簡 単 な 計 算 か ら,純 戦 略 ナ ッ シ ュ 均 衡 は,

ESS(EvolutionaryStableStrategy>に は な ら な い が,NSS(NeutrallyStableStrategy)に

な る こ と が 示 せ る.

の他 は ナ ッシ ュ均 衡 は な い3).

3実 験 経 済 学 か ら の 知 見

43

こ の よ う な プ レ ー ヤ ー の 行 動 に 関 す る 標 準 的 な ゲ ー ム 理 論 の 予 測 は,実 際 の 人 間 の 行 動 と異 な る の で は な い か と の 疑 念 が 表 明 さ れ て き た4).実 際 確 率1で 第1期 に プ レ ー ヤ ー AがSを 選 ん で 終 了 す る と い う ナ ッ シ ュ 均 衡 の 予 測 は,ム カ デ ゲ ー ム の 実 験 か ら 得 ら れ る デ ー タ と は 整 合 性 が な い よ う で あ る 。 McKelveyandPalfrey(1992)は,662の ム カ デ ゲ ー ム の 実 験 を 行 っ た.彼 ら の 実 験 し た ゲ ー ム は 図2一 図4の 三 種 類 で あ る.各 ゲ ー ム の 終 点(terminalnodes)は4期 ゲ ー ム(高 利 得 ゲ ー ム を 含 む)で は5個,6期 ゲ ー ム で は7個 あ る が,左 か ら1,2と 番 号 を ふ る.

表1の 物 は,ゲ ー ム カ㍉ 番 目 の 終 点 で 終 了 し た こ と を 示 し て い る.総 数662の う ち,第 1期 に 終 了 し た ゲ ー ム は37し か な く,し か も, プ レ ー ヤ ー が 合 理 的 な ら ば 決 し て 起 こ り得 な

3)こ の 均 衡 に 対 応 す るEES(EquilibriumEvolu‑

tionarilyStableSet)を 構 成 す る こ と が で き る

が,こ こ で も,ゲ ー ム が 確 率1で,即 座 に 終

る こ と に は 違 い な い.

4)た と え ば,Binmore(1990)やKreps(1989)を 参 照 、

A

C

B

図2

.40$

.10$

.20$

.80$

C

4期 ゲ ー ム

・ CC

1.60$

.40$

.80$

3.20$

6.40$

1.60$

侶

A

C

季刊 創 価 経 済 論 集

図3高 利得ゲーム

ABAB

CC

1.60$

.40$

B

C

.sod 3.20$

6.40$

1.60$

3.20$

12.80$

図4:6期 ゲ ーム

ABAB

CCC

Vol.XXVII,No.3・4

25.60$

6.40$

0.40$

0.10$

o.zo$

1:1'.

1.60$

0.40$

.80$

3.20$

6.40$

1.60$

3.20$

12.80$

25.60$

b.40$

表1実 験 結果

実 験 ゲ ー ム の 数 nz n2 π3 n4 吻 ^{ns ?27}

4期 281 20 ioa 104 43 14 ^{皿 一}

高利得 ^{100 15 37 32 11} 5 ^{一 一}

6期 281 2 18 56 lay 71 22 4

い は ず の 「最 後 ま でCを と っ た 」 と い う ゲ ー ム が23に 上 る こ と が 読 み と れ る.

図 か ら 明 ら か な よ う に,彼 ら の ゲ ー ム は, オ リ ジ ナ ル なRosentha1(1982)の ゲ ー ム を 変 更 し た 乗 数 バ ー ジ ョ ン で あ る.各 期 に あ る プ レ ー ヤ ー が ゲ ー ム を 終 了 さ せ た と き に は そ の プ レ ー ヤ ー は パ イ の う ち 大 き い 部 分 を と り, 他 の プ レ ー ヤ ー は 小 さ い 部 分 し か 手 に 入 れ ら れ な い 点 は オ リ ジ ナ ル の モ デ ル と 同 じで あ る が,ゲ ー ム が 継 続 し た と き に は,先 手 と 後 手 の 利 得 が 丁 度,前 の 期 の2倍 に な っ て い る の で あ る.実 験 は,評 判 の 確 立 な ど の 効 果 が 入 り込 ま な い よ う に,プ レ ー ヤ ー が 同 じ相 手 と

は 一 回 しか プ レ イ し な い よ う に,そ して こ れ が コ モ ン ノ レ ッ ジ に な る よ う に 注 意 深 く デ ザ イ ン さ れ た.ま た,被 験 者 は 直 接 の 対 面 で な く,自 分 の 選 択 を コ ン ピ ュ ー タ の 端 末 に 入 力 す る こ と で 行 い,対 戦 者 と の コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン な どSかCか の 決 定 以 外 の 要 素 が 入 ら な い よ う に 配 慮 さ れ て い る.こ こ で,彼 ら の 実 験 結 果 を,Zauner(1994)が 要 約 し て い

る の で 要 点 の み 紹 介 す る.

・第ti期 に ゲ0ム が 終 了 す る 確 率fは ,通 常 の ゲ ー ム の 予 測 で は,五=1,f=O,i>

1で あ る の に 対 し て,プ レ ー ヤ ーAの う

JULY!998高 橋 一 郎:遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム の ム カ デ ゲ ー・ム へ の 適 用45

ち 最 初 の 期 にSを と っ た 被 験 者 の 割 合 は,4期 ゲ ー ム で は,7%,高 利 得 ゲ ー ム で は,15%,6期 ゲ ー ム で は,わ ず か に1%で あ っ た.(表3)

nil

・p2=f/Σ 蓋 は,第i期 に プ レ ー ヤ ー がS

1=1

を と る 確 率 で あ る.こ の 確 率 はiと と も に 増 加 し て い る.(表2)

・表2は ,ど の ゲ ー ム で も絶 対 劣 位 の 戦 略 を と る プ レ ー ヤ ー が い る こ と を 示 して い る.(4期 ゲ ー ム で は1‑,,1.25,高

利 得 ゲ ー ム で は1p4=0.31,6期 ゲ ー ム で は,1一 ヵ6=0.15)

・被 験 者 は 後 半 の ゲ ー ム に お い て よ り高 い

確 率 でSを 選 ぶ.わ ず か に 例 外 は,6 期 ゲ ー ム の 意 思 決 定 点5に 見 られ る だ け

で あ る.(表4)

こ れ ら の 実 験 結 果 と 整 合 的 な 不 完 備 情 報 モ デ ル をMcKelveyandPlfrey(1992)は 提 示 し

た.ま ず,効 用 が 自 分 の 受 け 取 る 貨 幣 の 額 だ け で は な く,相 手 の 貨 幣 の 額 に も依 存 す る よ う な 利 他 的 な プ レ ー ヤ ー が あ る 割 合 で 被 験 者 の な か に い る と仮 定 す る.こ の プ レ ー ヤ ー は 最 後 ま でCを と る こ と を 好 む.こ う す る と, 他 の 利 己 的 な プ レ ー ヤ ー ま で も,そ の 利 他 的

な プ レ ー ヤ ー と 同 じ行 動(つ ま りC)を,と

表2導 出 したSの 確 率

実 験 血 飽 角 p4 拓 飴

4期 o.07 1 a.s5 0.75 ^{一 一}

高利 得 ^{0.15 0.44 0.67 0.69 一 一}

6期 0.1081 !1. 0.21 0.53 0.73 1

表3各 終点 に お けるデ ー タの比 率

実 験 五 f2 捻 f4 あ f万

4期 a.071 0,356 0,370 0,153 0,049 ^{一 『}

高利得 ^{0,150 0,370 0,320 0,110 0,050 ̲一}

6期 0,007 0.1064 0,199 1:' 0,253 0,780,014

表4低 利 得 ゲ ー ムの 前 半 と後 半 に お け るSを と る確 率

実 験 ^{ゲ ー ム} 血 琵 角 p4 佑 飴

4期 1‑5

6‑10

11.

(145) 11:

(136)

0.32 (136) 0.49 (125)

0.57 (92) 0.75

(69)

0.75 (40)

!

(17)

一

一

一

一

一

一

一

一

6期 1‑5

6‑10

111

(145) 0.01 (136)

11・

(145) 0.07 (134)

1 (137) 0.25 (124)

0.43 (112)

0.65 (93)

0.75 (64) 0.70 (33)

1 (16)

1・1

(lo)

46季 刊 創 価 る こ と に よ っ て,対 戦 相 手 に 「私 は 利 他 的 な プ レ ー ヤ ー だ か ら,次 期 もCを と り ま す よ 」 と伝 え よ う と す る.こ う す る こ と に よ っ て, 相 手 に もCを と る こ と を 促 し,結 果 的 に, 高 い 利 得 を 獲 得 す る こ とが 可 能 に な る か ら で

あ る.ま た,Zauner(1994)は,利 得 に 標 準 正 規 分 布 に 従 う 撹 乱 項eを 加 え,こ れ が 私 的 情 報 で あ る と き に は,や は り 実 験 結 果 と 整 合 的 な 均 衡 が 得 ら れ る こ と を 示 した.

二 つ の モ デ ル は と も に モ デ ル の 外 部 に何 ら か の 撹 乱 を 組 み 込 む こ と に よ っ て,直 観 と一 致 さ せ よ う と す る 試 み で あ る.McKelvey andPalfrey(1992)に お い て は,利 他 的 な プ

レ ー ヤ ー の 存 在 を 入 れ,Zauner(1994)で は, 利 得 に 撹 乱 を 付 加 し た.確 か に,前 者 の 実 験 で は,被 験 者 に 支 払 わ れ る 報 酬 が 少 額 の た め, お お ら か な 利 他 的 な 行 動 を 排 除 す る こ と は 難

し い だ ろ う.

し か し,実 際 の 人 間 は,Kreps(1990)の 描 く よ う に 考 え て 行 動 す る の で は な い か と 思 う.1(repsの 推 測 を,図1の ゲ ー ム に 即 して, 述 べ よ う.第 ユ期 に,Sを 取 っ て も,そ こ か ら得 ら れ る 利 得 は!で し か な い の に 対 し て, Cを 取 る と,相 手 が す ぐ(第2期)にSを と る 最 悪 の 場 合 で も,0だ か ら,わ ず か に1の 利 得 を 損 す る だ け で,相 手 が た っ た 一 回 だ け で も,Cを 取 っ て くれ れ ば,損 害 は 生 じ な い.

う ま く い け ば,右 端 に 近 い 所 ま で い け る か も し れ な い.「 う ま く行 け ば,大 き な 利 益 が 期 待 で き る.し か も,ギ ャ ン ブ ル の コ ス トは 小 さ い の だ か ら,こ こ はCを 取 っ て 相 手 が ど う 出 る か み よ う」 と 考 え て,Cを 選 ぶ の で は な い か.以 上 がKrepsの 推 測 で あ る,こ こ で は,自 分 の 利 得 の み を考 え る プ レ ー ヤ ー で あ っ て も,Cを と る こ と が 「合 理 化 」 さ れ て

経 済 論 集Val.XXVII,No.3・4

い る.こ の よ う な 「先 読 み を し て 」 考 え る 知 性 の モ デ ル 化 は 大 変 に 興 味 深 い の で あ る が 本 論 分 の 範 囲 を 超 え て い る.

わ れ わ れ は,適 応 的 に 学 習 す る 単 純 な プ レ ー ヤ ー を 考 え る こ と に し よ う.McKelvey andPalfrey(1992)の 実 験 で は,被 験 者 は 相 手 を 毎 回 変 え て 数 回 ゲ ー ム を 行 う の で あ る が,表4か ら わ か る よ う に,前 半 の5回 と後 半 の5回 を 比 べ る と,Sを と る 確 率 は 後 半 に お い て 高 く な っ て い る.つ ま り,プ レ ー ヤ ー は ム カ デ ゲ ー ム に 対 す る 理 解 が 深 ま る と, ゲ ー ム 理 論 が 予 測 す る 方 向 に 選 択 が 変 化 す る こ と が み て と れ る.そ れ で は,も っ と,学 習 が 進 む と,い っ そ う ナ ッ シ ュ 均 衡 や サ ブ ゲ ー ム 完 全 均 衡 に 近 づ く の で あ ろ う か.そ れ と も, こ れ ら の 均 衡 と は,や は り大 き く異 な る 行 動 を と る の で あ ろ う か.学 習 が 極 限 ま で 進 ん だ 状 況 に い た る ま で 実 験 を 繰 り返 す こ と は 資 金 の 制 約 か ら 難 し い だ ろ う.ま た,McKelvey andPalfrey(1992)の 利 得 は,Rosentahl(1982) の 想 定 し た ゲ ー ム と利 得 の 構 造 が 異 な る こ と は の べ た が,利 害 の 背 反 の 側 面 が 強 す ぎ る よ う に 思 え る.こ の 点 を み る た め に,図1の ゲ ー ム の 利 得 を2倍 し た も の と実 験 で 用 い ら れ た 6期 ゲ ー ム(図4)の 利 得 を プ ロ ッ ト して み た の が 図5で あ る.45度 線 に 沿 っ て 右 上 に 延 び て い る 程 利 害 が 一 致 し て 協 力 が し や す く,そ れ か ら乖 離 して い る 程 利 害 が 背 反 す る.一 見 し て 明 らか な よ う に,Rosenthal(1982)の ゲ ー ム が 協 調 に よ る 利 益 が 利 害 の 背 反 す る程 度 に 比 し て 大 き い の に 対 し て,McKelveyand Palfrey(1992)で は,利 害 の 対 立 の 程 度 が 際 立 っ て 大 き い,パ ラ ド ッ ク ス は,完 全 情 報 ゲ ー ム で は,お 互 い にCを 取 り 続 け る と い う協 調 に よ る 利 益 が 極 め て 大 き い 状 況 下 に あ っ て

JULY1998高 橋 一 郎:遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の 適 用 47

12 塾10賠

1020

プ レ ー ヤ ーAの 利 得

一 ・一 オ リ ジ ナ ル モ デ ル ー一・一一 乗 数 倍 モ テ ル

も,即 座 にSを 取 る と い う 行 動 し か 解 に な ら な い とい う 点 に あ る.こ の 意 味 で,資 金 と 時 間 の 制 約 か らMcKelveyandPalfrey(1992)

は,乗 数 モ デ ル を 選 ん だ わ け だ が,オ リ ジ ナ ル に 近 い 協 力 の 利 益 が 大 き い と い う利 得 の 設 定 で,学 習 が 十 分 進 ん だ と き に,プ レ ー ヤ ー が ど う行 動 す る か を 突 き止 め る こ とが 重 要 で は な い か と 思 わ れ る.

4GAに よ る シ ュ ミ レ ー シ ョ ン と 進 化 ゲ ー ム

遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム(GeneticAlgorithm;

GA)は,生 物 の 進 化 を 模 倣 し た 確 率 的 な 最 適 化 あ る い は 探 索 の 手 法 で あ る5).こ の 節 で は,各 プ レ ー ヤ ー の 取 る 戦 略 を 遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム に し た が っ て,シ ュ ミ レ ー トす る.各 プ レ ー ヤ ー が 利 用 で き る 戦 略 は 遺 伝 子 に コ ー

5)Holland(1975)やGoldberg(1989)を 参 照 さ れ た い,

デ ィ ン グ さ れ て い る.利 得 の 大 き い 遺 伝 子 は 子 孫 を殖 や し,環 境 に適 合 し な い 遺 伝 子 は 子 孫 を 残 せ な い.遺 伝 子 は,突 然 変 異 を起 こ し, ま た,他 の 遺 伝 子 と交 配 し て,新 し い 種 類 の 遺 伝 子 が 生 ま れ る.

次 の よ う な 解 釈 が で き る.い ま,遺 伝 子 は ウ ィ ル ス の 形 で 存 在 し て い る とす る.プ レ ー ヤ ー は,あ る 相 手 と ム カ デ ゲ ー ム を 行 い,一 つ の ゲ ー ム が 終 る た び に ウ イ ル ス の 充 満 す る 控 室 に 戻 る.そ こ で,あ る 一 つ の ウ ィ ル ス に 感 染 す る.ウ ィ ル ス と 戦 略 は 一 対 一 に対 応 し て い て,宿 主 の 頭 脳 は 完 全 に ウ ィ ル ス に 支 配 下 に お か れ る の で,プ レ ー ヤ ー は 控 室 を 出 て, こ の ウ ィ ル ス の 命 ず る ま ま に 次 の 対 戦 相 手 と 新 し い ゲ ー ム を プ レ イ す る.控 室 で は,オ ス と メ ス の ウ ィ ル ス が 交 配 し,二 つ の 遺 伝 子 を 受 け 継 い だ 新 種 の ウ ィ ル ス が 誕 生 す る し,ま た 突 然 変 異 も生 じ る.一 方,プ レ ー ヤ ー は ゲ ー ム の 結 果 に 応 じ て 栄 養 を補 給 す る.勝 っ た プ レ ー ヤ ー は,た く さ ん 食 事 を と り,負 け た プ

4g季 刊 創 価 レ ー ヤ ー は 栄 養 を 補 給 す る こ と が で き な い . 宿 主 が ど れ だ け 栄 養 を と っ た か に よ っ て ウ ィ ル ス の 栄 養 状 態 も 決 ま り,そ れ に応 じ て ウ ィ ル ス の 繁 殖 状 態 が 決 ま る.

突 然 変 異 は,誰 か が,今 ま で と違 っ た 新 し い ゲ ー ム の プ レ イ の 仕 方 を 考 え 出 す こ と に 対 応 し,交 配 は 二 人 の プ レ ー ヤ ー が 意 見 交 換 を して,互 い に 相 手 か ら 学 ん で,相 手 の ア イ デ ア の 一 部 を 採 り入 れ る こ と に 対 応 し て い る.

大 き い 利 得 を も た ら す ウ ィ ル ス が,多 数 の 子 孫 を 残 せ る こ と は,有 利 な 戦 略 が 模 倣 や ロ コ ミ で 人 々 の 問 に 広 ま っ て い く こ と に 対 応 して い る.こ の よ う に,考 え る とGAで ム カ デ ゲ ー ム を シ ュ ミ レ ー シ ョ ン す る こ と は ,他 人 の経 験 か ら学 習 し た り,利 益 を 得 た 人 の 真 似 を し た り,あ る い は,新 し い 戦 略 を 考 え 出 し た り す る プ レ ー ヤ ー の 行 動 の 重 要 な 部 分 を か な り う ま く 近 似 さ せ て い る の で は な い か と 思 え る.し た が っ て,ム カ デ ゲ ー ム をGAで シ ュ ミ レ ー トす る こ と は,こ の よ う な 適 応 的 な 行 動 を す る プ レ ー ヤ ー が 結 局 は ど う い う 行 動 を と る の か を 知 る 一 つ の 手 が か り に な る の で は な い か と思 え る.

シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 対 象 と して,各 プ レ ー ヤ ー の 意 思 決 定 点 が2"‑2個 か ら な る ム カ デ ゲ ー ム を 考 え る.こ の と き,各 プ レ ー ヤ ー の 戦 略 は,nビ ッ トの ス ト リ ン グ で 表 す こ と が で き る.ま ず,各 プ レ ー ヤ ー の 第k番 目(k‑

0,̲Zn‑2)の 意 志 決 定 点 で,初 め てSを 取 る 戦 略6)をkで 表 し,最 後 ま でCを と り つ づ け

経 済 論 集Vo1.XXVII,No.3・4

初 にSを と っ て ゲ ー ム を 終 了 さ せ て し ま う か ら,二 人 の 利 得 は 働 に よ っ て 決 ま り,簡 単 な 計 算 か ら(u+1,u+1)に な る こ と が わ か る.u>vな ら ば,Bが ゲ ー ム を 終 ら せ る こ と に な り,二 人 の 利 得 は(v,計3)で 与 え ら れ る.

図1は,n=2の と き の,ム カ デ ゲ ー ム の 樹 を 表 し た も の で あ る.k、 とkbは,そ れ ぞ れ, プ レ ー一ヤ ーAとBの 選 ぶkの 値 を 示 し て い る.

以 上 の よ う な 設 定 の も と で 次 の よ う な ア ル ゴ リ ズ ム を 実 行 す る .

・Step1 .ま ず,そ れ ぞ れPOP ̲SIZE個 の 個 体 か ら な る プ レ ー ヤ ーAと プ レ ー ヤ ーBの 初 期 集 団 のk、 とkbを 乱 数 発 生 に よ り決 定 す る7).こ れ を 第1世 代 と す る.

・Step2 .プ レ ー一ヤ ーAの プ ー ル に 入 っ て い るi番 目 の 個 体 と,プ レ ー ヤ ー・Bの プ ー ル に 入 っ て い るi番 目 の 個 体 が マ ッ チ ン グ し,ム カ デ ゲ ー ム を 行 う.こ の 操 作 を す べ て の 個 体 に つ い て 行 い,全 て の

プ レ ー ヤ ー の 利 得 を計 算 す る.

・Step3 .得 ら れ た 利 得 に 基 づ い て,各 プ レ ー ヤ ー の プ ー ル ご と に,選 択,交 配, 突 然 変 異 の 操 作 を 行 う.選 択 は,ルLッ

る 戦 略 を2n‑1で 表 す.こ う す る と,長 さn ビ ッ トの 遺 伝 子 の 十 進 数 の 値 が 戦 略 に な る.

い ま,プ レ ー ヤ ーAとBの 取 る 戦 略 の ペ ア が(%,v)な ら ば,Aが 先 手,Bが 後 手 で あ る か ら,利 得 の ペ ア はuGvな ら ば,Aが 最

6)こ の よ う な 戦 略 は 複 数 個 あ る.た と え ば,k+

1番 目 の 意 思 決 定 点 で の 振 る 舞 い の 違 い に よ っ て 異 な る 戦 略 が 考 え ら れ る の だ が,実 際 の 振 る 舞 い は,ま っ た く 同 じ な の で 同 じ 戦 略 と み な す.こ こ で,今 ま で の 説 明 と 異 な り,第0 期 か ら ゲ ー ム が 始 ま っ て い る こ と に 注 意 さ れ た い.

7)よ り正 確 に は,タ イ プAの プ レ ー ヤ ー ,タ イ プBの プ レ ー ヤ ー と い う べ きで あ る.

JULY1998

ト方 式 に よ る8).交 配 は,C ̲RATEの 確 率 で 起 こ り,ビ ッ ト ・ス ト リ ン グ に対 す る 一 点 交 叉 に よ っ て 行 う.突 然 変 異 は, M̲RATEで 起 こ る.こ こ で は,整 数 方 式 の 突 然 変 異 を 考 え る こ と に す る.こ こ

で は,突 然 変 異 が 起 き た と き に,現 在 の 戦 略kか ら,ど れ く ら い 離 れ た 数 値 に な る か を 示 す パ ラ メ ー タ を 考 え,こ れ を Nと す る.戦 略kに 突 然 変 異 が お き る と kに,同 確 率 で,1か らN+1ま で の 整 数

が 選 ば れ る.次 に,確 率,0。5ず つ で, 選 択 し た 整 数 値 を 加 え る か,差 し引 く と

い う操 作 を す る.た だ し,変 化 後 の 値x が,0<x〈2n‑1を 満 た さ な い と き に は, 突 然 変 異 が 起 き な か っ た こ と と す る9).

こ う し て 新 し い 世 代 が 得 ら れ た の で,世 代 数 に1を 加 え る.こ れ が 最 終 世 代 で あ

れ ば,ア ル ゴ リ ズ ム を 終 了 さ せ,そ う で な け れ ば,Step2.に 戻 る.

高橋 一 郎:遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デ ゲ ー ムへ の適 用

同 じkを もつ 戦 略 で も対 戦 相 手 のkの 値 に よっ て,異 な る利 得 を得 る の だが,同 一・の 戦 略 が 同一 の利 得 を得 る よ う に異 な る相 手 と の 利 得 の 平 均 を と る よ う な 操 作 は 行 わ な か っ た.こ れ は,人 々 は 自分 の 経 験 に よ っ て,自 分 の 戦 略 を 主 観 的 に評 価 し て い る の で あ っ

て,各 自の経 験 は 巡 り合 っ た相 手 に よっ て 当

8)こ の 操 作 に よ っ て,個 体 の 各 プ ー ル に お け る 順 番 は ラ ン ダ ム に並 び か え られ る の で,プ レー ヤ ーAと プ レ ー ヤ ーBの プー ル に お い て 同 じ番 号 の プ レー ヤ ー 同 士 が 次 期 にペ ァ を組 む こ と に して も,実 質 的 に,ラ ン ダ ム に新 しい プ レ ー ヤ ー とマ ッチ ン グ した こ とに な る.

9)人 々 が 学 習 に よっ て 戦 略 を 変 更 す る と き,何 ら か の 慣 性 が あ り,現 状 を 少 しず つ しか 変 更

し な い と き に はNは 小 さ い 数 値 に な る だ ろ う.

49 然 異 な る と考 え る の が 自然 だ と思 うか らで あ

る.

5シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 結 果

シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 目 的 は,第 一 に,合 理 的 な プ レ ー ヤ ー な ら ば ゲ ー ム は 即 座 に 終 る は ず で あ る と い う ナ ッ シ ュ 均 衡 をGAが どれ く ら い サ ボ0ト す る か と い う こ と で あ る.も ち ろ ん,プ レ ー ヤ ー の 選 択 は パ ラ メ ー タ の 数 値 に 依 存 す る か ら,あ る パ ラ メ ー タ の と き に は ナ ッ シ ュ 均 衡 に 近 く,他 の 数 値 の と き に は ナ ッ シ ュ 均 衡 か ら か け 離 れ た 結 果 を 示 す と い う こ と に な る だ ろ う,し た が っ て,シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 第 二 の 目 的 は,プ レ ー ヤ ー が ど の 期 日 にSを 選 ぶ か が,M ̲RATEやC̲RATEの

数 値 に ど の よ う に 影 響 を 受 け る か を 調 べ る こ と で あ る.

対 象 と な る ム カ デ ゲ ー ム に 対 す る 戦 略 は4 ビ ッ トで コ ー デ ィ ン グ さ れ る.し た が っ て, 各 プ レ ー ヤ ー は,0か ら15ま で の 数 字 の 中 か

ら,一 つ の 数 字kを 選 択 す る.計 算 時 間 の 制 約 か ら,各 プ レ ー ヤ ー の 個 体 総 数 は200と す る.一 つ の パ ラ メ ー タ の 組 合 せ に つ き, 3000世 代 の シ ュ ミ レ ー シ ョ ン を10回 行 う.そ れ ぞ れ の シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 最 終 世 代 の200 人 の プ レ ー ヤ ーAの 選 ん だkの 平 均 値 と 分 散 を 求 め る.プ レ ー ヤ ーBに つ い て も 同 じ 計 算 を す る.こ れ を10回 繰 り返 し,平 均 値

と 分 散 の そ れ ぞ れ の 平 均 値 を 求 め,こ れ を AVE ̲A,AVE̲B,SIGMA̲ASIGMA̲Bと す る.い う ま で も な く,ナ ッ シ ュ 均 衡 通 り に プ

レ イ す る な ら,AVE ̲A,AVE̲B,SIGMA̲A SIGMA ̲Bと も,0に な る は ず で あ る.

グ ラ フ1か ら4は,横 軸 に 突 然 変 異 の 確 率

50,季 刊 創 価 を,縦 軸 にAVE ̲AとAVE̲Bを と っ て,シ ュ ミ レ ー シ ョ ン 結 果 を プ ロ ッ ト し た も の で あ る.こ の グ ラ フ を使 っ て,kと パ ラ メ ー タ の 間 の お お ま か な 関 係 を 調 べ よ う 。グ ラ フ1は, 交 叉 確 率 を0に,Nを1に 固 定 し て あ る.前 述 し た よ う に,突 然 変 異 に よ っ て,kが1か

2増 減 す る 場 合 に 対 応 し て い る.AVEAと AVE ̲Bは,ほ ぼ 同 じ よ う な 動 き を し て い る.

M ̲RATEが0の と き に は,C̲RATEも ゼ ロ だ か ら,初 期 集 団 で 発 生 し た 遺 伝 子 以 外 に は 新 しい 遺 伝 子 は 生 ま れ な い か ら,改 善 の 余 地 は 限 ら れ て お りkが 大 き く な い の は 当 然 で あ る が,M ̲RATEがO.002と0.004の と き に, 極 端 に 数 値 が 小 さ くな っ て い る こ と は 注 目 に 値 す る.こ れ は,こ の 範 囲 のM ̲RATEの と き に は,突 然 変 異 が 単 発 的 に し か 起 き な い と い う こ と と,Nの 値 が1で あ る こ と か ら,現

経 済 論 集Vol.XXVII,No.3・4

世 代 のkの 近 傍 に し か,新 し いkが 生 ま れ な い と い う二 つ の 要 因 に よ っ て,次 の よ う に 説 明 で き る.

M ̲RATEとC̲RATEが 極 端 に 小 さ い と新 し い 戦 略 が ほ と ん ど 生 じ な い の で 初 期 集 団 と し て ラ ン ダ ム に 発 生 さ せ た 遺 伝 子 の 多 様 性 が 失 わ れ て,一 つ の 戦 略 に 収 束 し て 行 く.た と え ば,現 世 代 の 全 て の プ レ ー ヤ ーAと プ レ ー ヤ ーBがk=5を 選 ん で い る と し よ う.突 然 変 異 に よ っ て,k=4に な っ た,プ レ ー ヤ ー を 考 え よ う.Nが 小 さ く,探 索 の 範 囲 が,現 世 代 の 戦 略 の 近 傍 に 限 ら れ る と,こ の 場 合 の

よ う に,現 世 代 のkよ り 一 つ だ け 小 さ いk が 出 現 す る 確 率 が 高 い.し か もMRATEが 小 さ い と,mutant同 士 が,巡 り 合 う 確 率 は 小 さ く,mutantとk=5を も つ 現 世 代 が 出 会 う確 率 が 圧 倒 的 に 大 き く こ と に な る.こ の こ

グ ラ フ1:C̲RATE=ON=1

のOO隔ぼ山α山σ︿匡国﹀く

14

12

10

8

6

4

2

0

a.ao20.00ao.aoso.00s O.010.at20.ovaO.0160.0180 、02

MRATE

のOO一α山住山σ︿α山﹀<

JULY1998高 橋 一 郎 遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の 適 用

グ ラ フ2:C̲RATE=ON=14 13.5

QoOO一匡山巳山σくぼ山﹀く

13

12.5

12

11.5

91

10.5

51

486133﹂■11 4.2

3∩﹂41‑‑ 38121 6﹂4

2り﹂11 22211

0.002 O.OO4 O.0060.OO80.010.0120.014 MRATE

グ ラ フ3:C̲RATE=0.1N=1

AVEA‑o‑

AVE

0.0160,018 0.02

a,002a.aoa 0.OO60.OO8 O.010.012

MRATE

O.014

AVEA‑e‑‑

AVE

0.0160,018 0.02

52 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXVII,No.3・4 グ ラ フ4:C■RA丁E=0.1N=14

ωOO一匡山巳田σ︿江山﹀く

13.E

13.6

13.4

13.2

13

12.8

12.6

12.4

12.2

12

11.8

11.6

0.0020.0040.0060.008

AVEA‑e‑

AVEB‑+一 一・

0.010.0120.0140.0180.0180.02 MRATE

と か ら,mutantの 利 得 は,現 世 代 の 戦 略 の 利 得 よ り 大 き く な り,mutantは 増 殖 す る.

も し,N,M ̲RATE,C̲RATEが 大 き い と, 新 しい 遺 伝 子 が 作 ら れ 初 期 集 団 の 多 様 性 は 失

わ れ な い.プ レ ー ヤ ーAに も,プ レ ー ヤ ー Bに も 小 さ い 割 合 で も,kの 値 の 大 き い 遺 伝 子(た と え ば/・)が 残 っ て い る か ら,こ の 遺 伝 子 の 内,や は りkの 大 き い 相 手 と 巡 り 会 っ た 遺 伝 子 は 増 殖 す る.ま た,も し,消 え て し ま っ て も,AとBに 同 時 に ・と い う mutantが 生 じ,し か も,こ のmutant同 士 が マ ッ チ ン グ で き る 可 能 性 が 生 じ る .そ の と き に は,こ のmutantの 利 得 は 現 世 代 の 利 得 よ り大 き く な る か ら,こ のmutantが 増 殖 す る こ と に な る.C ̲RATEはM̲RATEと 同 じ く, 新 し い 戦 略 を 生 じ さ せ る 働 き を す る.以 上 の 考 察 か ら,M ̲RATE,C̲RATE,Nの 値 が 大

き い 程,kを 引 き 上 げ るmutantが 増 殖 し や す い こ とが 推 測 で き る.グ ラ フ1か ら4は, こ の 推 測 と一 致 し て い る.

グ ラ フ5は,グ ラ フ1の デ ー タ に 対 応 す る 分 散10個 の 平 均 を プ ロ ッ ト し た も の で あ る.

M ̲RATEが0.002と0.004の と き に は,AVE ̲ A,AVE ̲Bと も 極 め て ゼ ロ に 近 い の で, SIGMA ̲AとSIGMA̲Bも や は り,微 小 な 数

に な る が,M ̲RATEが0.001の と き のSIG.

MAは 大 き い の に,o.oo2の と き に は,微 小 な 数 値 に 戻 っ て い る.0.001の と き に は,k を 小 さ くす るmutantと 大 き く し よ う と す る mutantの 力 が 拮 抗 す る.実 際,kの 分 布 が, 画 面 で ト レ ー ス で き る よ う に プ ロ グ ラ ム を 組 ん だ の だ が,kの 分 布 が15に 近 く な っ た と思 う と,ど ん ど ん 小 さ く な っ て ゼ ロ に 近 づ き, ま た 大 き く な る と い う よ う に,目 ま ぐる し く

JULYl998高 橋 一 郎:遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の 適 用 53

グ ラ フ5C‑RATE=ON=1

くΣ⊆の

25

20

15

10

5

0

0.0020.0040.0060.008 O.010.012

MRATE

SIGMAA SIGMAB

O.0140.0160.0180.02

移 り 変 わ る こ と が 観 察 さ れ た.

グ ラ フ6は,C̲RATEの 変 化 がkの 選 択 に ど の よ う な 影 響 を 与 え る か 示 して い る.

プ レ ー ヤ ーAのkの 平 均 値 は 概 ねC̲RATE と と も に 上 昇 し て い る が,分 散 は 当 初 小 さ く, CRATEが0.08に な る と急 激 に 増 加 し て,C

RATEが0.04に な る ま で,20か ら35付 近 に 留 ま り,0.05で 急 減 し,1か ら2と い う極 め

て 小 さ い 値 に 留 ま る.

グ ラ フ7は,グ ラ フ6と 同 じ設 定 で プ レ ー ヤ ーBのkとCRATEの 関 係 を グ ラ フ に 描 い た も の で あ る.kとM ̲RATEの 関 係 と ほ ぼ,同 じ 関 係 が 読 み と れ る.C̲RATEが 0.06の と き に は,AVE̲Aは13.409で,SIG‑

MAAは1.217で あ る.

グ ラ フ8と グ ラ フ9は,M̲RATEの 変 化 の 効 果 を 示 し て い る.C ̲RATEは ゼ ロ に,N

は1に 固 定 し て あ る.グ ラ フ1の 説 明 で 述 べ た ゼ ロ に 極 め て 近 い 微 小 の と き を 除 き,M̲

RATEが 増 加 す る に つ れ て,AVE̲A,AVE̲

Bは 増 加 し て い る.こ こ で も,SIGMAの 山 が で き る,MRATEが0.Ol1を 越 え る と急 激 にSIGMA̲A,SIGMA̲Bは 小 さ いi数 値 に な る.た と え ば,M ̲RATEが0.014の と き の AVEAは13.79で あ り,SIGMA̲Aは0.22で

あ る.

グ ラ フ10か ら グ ラ フ13は,M̲RATEとC̲

RATEを 同 時 に 変 化 さ せ た も の で あ る.(M̲

RATE℃ ̲RATE)平 面 に描 か れ て い る 曲 線 は 等 高 線 で あ る.

グ ラ フ10と グ ラ フ11は,ほ ぼ 同 じ特 徴 を 示 す.

0か ら0.1ま で の 範 囲 でC̲RATEの 増 加 は, AVEAを 単 調 に 増 加 さ せ て い る が,M̲

RATEの0か ら0.02ま で の 範 囲 内 で の 変 化 の

<<=σ國のめく国﹀<

54

35

30

25

20

95

10

5

0

季刊 創 価 経 済 論 集

グ ラ フ6:M■RATE=0.004,N=1

Vol.XXVII,No.3・4

0.01 0.02 0.03 O.04 a.oso.as CRATE

O.07 o.os

AVEA‑o‑‑

SIGMAA‑+一 一一

O.09 0.1

山くΣσ口の噂m山﹀<

so

25

20

15

10

5

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グ ラ フ7:M̲RATE=O.004,N=1

0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.06 CRATE

0.07 0.08

AVEB‑e‑‑

SIGMAB一+一 一・

0.09 0.1

く 1︿Σσ一ののく山﹀︽

JULY1998

35

30

25

20

15

10

5

0

高 橋 一 郎 遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デゲ ー ムへ の 適 用 グ ラ フ8:CRATE=O,N=1

55

0.002 0.004 O.006

,一ノ イ 十一

O.008 MRATS

o。01

AVEA一 ひ 一

SIGMAA‑+一 一

0.02 O.Q14

グ ラ フ9C̲RATE=0,N‑1

山︿Σσ一ω必山山﹀<

30

25

20

15

10

5

Q

0.002 0.004 O.00fiO.008

MRATE

0.01

AVEB‑◇ 一一

SIGMAB一+一 一・

O.012 0.014

0

65

15

10

5

0

季 刊 創 価 経 済 論 集 グ ラ フ10:AVE‑A

Vol.XXVII,No.3・4

"cnta

.dat"‑e‐

11.7‑一 一一 一

9.33‑一̲一 一

7… ・… … 4.67‑.̲.̲

.34‑・ 一・一

0.1

グ ラ フ11:AVE‑B

Q 15一

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5

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.dat開 一e・一 一

11.5‑一 一 一一

9.27‑一 一一一

7.05… … … ・

4.82‑・ 一 ・‑

2.6‑一 一 一一

0.1

JULY1998高 橋 一 郎 遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デ ゲ ー ムへ の適 用 57 グ ラ フ12SIGMA■IA

開cntsa

.dat"‑o‑‑

31.4‑一 一需'

25.1‑一 一一一

18.8...

12.6‑・ 一 ・‑

6.28‑・ 一 ・一

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グ ラ フ13SIGMA‑B

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28.7‑一 一一・

22.9‑一 一一一

17.2… ・・… ・・

11.5‑一 一

5.77‑一 ・一

35 sa 25 2a 15 10

0 5

0

麟

0.01

RATE 0

CRATE

0.1

58季 刊 創 価 影 響 は 少 し複 雑 で,前 述 し た よ う に,ゼ ロ の 近 傍 で はkを 減 少 さ せ る よ う に,あ る 値 を 越 え る と 増 加 さ せ る よ う に 働 く.し か し,

(M̲RATE‑C̲RATE)平 面 の ほ と ん ど の 部 分 で,AVE ̲AもAVE̲Bも13か ら14の か な

り大 き い 数 値 を と っ て い る.

SIGMAの グ ラ フ は,M ̲RATEとC̲RATEが

小 さ い 数 値 の 部 分 で,大 き な 山 を 示 し て い る.

こ の 山 を 越 え て,M ̲RATEま た はC̲RATE が 増 加 す る とSIGMA̲AもSIGMA ̲Bも 極 め て 小 さ い 数 値 に な る.興 味 深 い の は グ ラ フlo の(M ̲RATE‑C̲RATE)平 面 で,AVE̲

A=2.34の と き の 等 高 線 と,グ ラ フ12のSIG‑

MA ̲A・6.29の 等 高 線 が ほ ぼ 一 致 し て い る こ と で あ る.

要 約 す る と,M ̲RATEとC̲RATEの 合 計 が 極 め て 小 さ い 数 値 で あ る 以 外 はkは13か

ら14と い う 大 き い 値 を と る,し か も,SIG‑

MAは,極 め て 小 さ い.ナ ッ シ ュ 均 衡 の 想 定 す る よ う なk=0と い う 戦 略 はGAの シ ュ ミ

レ ー シ ョ ン の 世 界 で は ご く限 ら れ た パ ラ メ ー タ の 組 合 せ の と き に 出 現 す る 特 殊 な 事 態 で あ る.M ̲RATEやC̲RATEは 人 間 の 思 考 過 程 に は あ る 種 の 揺 ら ぎ と 解 釈 で き る か も し れ な い.こ の シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 結 果 は,M ̲ RATEやM ̲RATEに 対 応 す る よ う な ご く小 さ い 思 考 過 程 の 揺 ら ぎ が あ り さ え す れ ば, ゲ ー ム が 最 終 期 日 近 く ま で,継 続 す る こ と を 示 唆 し て い る よ う だ.

こ こ で,混 合 戦 略 の ナ ッ シ ュ 均 衡 を 考 え る . こ の 均 衡 に お い て は,プ レ ー ヤ ーBは,さ ま ざ ま なkの 値 を 選 ん で い る の だ が,最 初 の 意 思 決 定 点 でSを と る 確 率 が 大 き い た め に,プ レ ー ヤ ーAに と っ て は,期 待 値 で 計 算 し て,や は り最 初 の 意 思 決 定 点 でSを と

経 済 論 集Vol.XXVII,No.3・4

る の が 最 適 に な っ て い る.し か し,Bのkは, あ る 分 布 に し た が っ て 散 ら ば っ て い る 。い ま, 動 学 的 な 進 化 ゲ ー ム の 枠 組 で,kの 大 き い プ レ ー ヤ ーAの あ る 個 人(xと す る)を 考 え る.

期 待 値 で 戦 略 の 優 劣 を 決 め る とい う こ と は, こ の 個 人 が さ ま ざ ま な プ レ ー ヤ ーBと 巡 り 合 い,そ の 利 得 の 平 均 値 に よ っ て 戦 略 を 決 め る こ と を 意 味 す る.あ る い は,同 じkを 持 つ 他 の プ レ ー ヤ ーAの 経 験 を 知 っ て い て, そ の 平 均 値 で 行 動 す る こ と を 意 味 す る.し か

し,人 間 は 前 述 し た よ う に,自 分 の 経 験 を 基 に,戦 略 を 評 価 す る と 考 え る の が 自 然 で あ る か ら,た ま た ま 大 き い 値 のkと 巡 り合 っ たx は 増 殖 す る.こ れ が,Aの 多 様 性 を 保 証 し, 今 度 は,プ レ ー ヤ ーBの 多 様 性 を 強 化 す る

の で あ る.多 様 性 が あ る 限 り,大 き いk同 士 の マ ッ チ ン グ が 生 ず る か ら,平 均 的 なk

の 数 値 は 大 き く な っ て い くの で あ る.

むすび にか えて

単 純 なGAを 動 学 的 な 進 化 ゲ ー ム と 解 釈 し,ム カ デ ゲ ー ム に 適 用 し た.GAは,人 間 の 思 考 の 学 習 や 模 倣,実 験,情 報 交 換 と い っ た 側 面 を か な り う ま く採 り入 れ て い る よ う に 思 え る.シ ュ ミ レ ー シ ョ ン の 結 果 は,ナ ッ シ ュ 均 衡 と は 大 き く 異 な り,直 観 と 近 い も の で あ っ た.デ ー タ は 載 せ な か っ た が,最 終 期 ま で,ゲ ー ム が 続 くケ ー ス は ま れ で,そ の 手 前 でSを 選 ん で い る.ム カ デ ゲ ー ム に お い て は,交 叉 確 率 や 突 然 変 異 確 率 が 極 め て 小 さ い 値 で あ っ て も,戦 略 の 多 様 性 が 保 証 さ れ る よ う で あ る.た と え ば 交 叉 確 率 が ゼ ロ で あ っ て も,突 然 変 異 率 が,わ ず か に0.011を 越 え る と プ レ ー ヤ ー は ゲ ー ム の 最 終 期 近 く ま で ゲ ー

JULY1998

ム を継 続 させ,し か も分 散 は極 め て 小 さい.

また,自 分 の 経 験 を他 人 の 経 験 よ り,重 視 す る,あ る い は,他 人 の経 験 が 伝 わ りに くい 状 況 で は,混 合 戦 略 の ナ ッ シ ュ均 衡 が 現 実 妥 当 性 を失 う可 能 性 が あ る こ と も示 唆 した 、 今 後 は,M ̲RATEやC̲RATEを,人 間 の 思 考 過 程 そ の も の か ら生 ず る何 ら か の 揺 ら ぎ と し

て,内 生 化 す る よ う なモ デ ル を構築 す る必 要 性 が あ る の で は な い だ ろ うか.

高 橋 一 郎:遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム の ム カ デ ゲ ー ム へ の適 用

参 考 文 献

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