極小曲面の変数低減による有限要素解析

1

論　 文

I

UDC ：624

．

074

．

42 ：624

．

04 ：519

．

6

　 　 日本建築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 425 号

・

1991　ij　7月

journal　of　Struct

．

　Constr

．

　Engng

，

　A【

J，

　No

、

425

，

　July

，

1991

　　　　

極小 曲

面

の

_{変 数 低 減}

に

よ

る

_有

_{限 要 素 解 析}

FINITE

　

ELEMENT

　

ANALYSIS

　

OF

　

MINIMAL

　

SURFACE

　

BASED

　　　　　　　　

ON

　

THE

　

REDUCTION

　

OF

　

VARIABLES

　　　鈴 木

俊 男

＊

，半 谷 裕 彦

＊ ＊

Tosh

　

io

　

8

σ

Z

  and 　

Yasuhiko

　

HANGAI

　

The

　paper　presents　an 　analytical 　method 　of 　minimal 　surfaces

．

　The　

basic

　

differential

　equations with 　three_{unknown 　coordinate}

_functions

_are

_derived



_from

_the

_functional

_{for　minimal 　sttrfaces}

．

The

　solution 　of 　the　differential　equations 　

is

　

formulated

　to　

be

　the　solution 　

having

　one　unknown variable 　which 　

denotes

　the　

length

　in　the　given　

direction

　

from

　the　initial　surface 　to　the　unknown surface to

be



determinated

．

　The　

finite

　element 　method 　is　used 　to　the　numerical 　anaiysis

_，

　and 　the threeminimal 　surfaces 　are 　numerically 　analyzed 　

in

　order 　to　examine 　the　validity 　of 　the　_proposed method

．

　

KegWOids

：membrane 　stntcture

，

　shaPe　analysis

，

　minimal 　surface

，　 euasi

−linear

　

Partial

　

differential

　 　 　 equation 　 　　 　　　 膜 構 造

，

形 状 解 析

，

極 小 曲 面， 準線形 偏 微 分 方 程 式

1．

序 　論 1

．

1　 は じ め に 　膜 構 造を設 計 する う え で， 第

一

の作 業と して膜 面の形 状 決定が あ る

。

膜 構 造で用い る膜 面は

，

力学 的に最も安 定し た 曲面である_{等 張 力 曲 面}と す ること が多い

。

_{等張 力} 曲面は _{自然 界}で は石 鹸 水の_{表 面 張 力}に よっ て作ら れ る 石 鹸 膜の_曲面と して知ら れ てい る

。一

方

，

極 小 曲 面と は 空 間 内の_{閉 曲 線}が囲む_{曲 面}の_中で面 積が極 小と な る も の を い い

，

_{数 学 的}に は_{等 張 力 曲 面}は極 小 曲面 と 等 価であ るこ と が知ら れて い る

。

し た がっ て

，

等 張 力 曲 面を 求 め る問 題 は極 小 曲 面を求める_{問 題}に_置き換える こと がで き る。 極小曲面は偏 微 分 方 程 式お よ び積 分 方 程 式の応用例と し て長期間に わ たっ て研 究され てきており

，

そ の基 礎方 程 式は確 立 さ れて い る］｝

一

一

3 ）

_。

　

極小 曲面 問 題の _{数 値 解 析 法と し}て差 分 法 や有 限 要 素 法 等が提案さ れて いる が

，

解 析 対 象 範囲の制 限や収 束 性の 悪さ等の _問題点が あり_， 現在では計 算 途 中の解に何ら か の操作を加え な がら収 束 解 を得る方 法が行わ れて い る

。

本報告で は極 小 曲 面の微 分 方 程 式を 座

ec

　X

，

　Y

，

　

Z

の

3

関 数に よっ て表 し_， こ れ を_{等 温 直 交座 標 系}に_変換す る と 3つ の独 立 し た調 和 方 程 式に帰着で き る という数 学 的 性 質に着目 して

，

解 析 との変 数 を1つ に低減させ る こ と に よ り収 束 性が良好 な 数 値解 析法につ い て_{検 討}す るもの で あ る

。

1

．

₂既往の_{研 究}と本 研 究の 目的 　極 小 曲 面の_{数 値 解析 法}にっ い て は これ まで も多くの研 究が なさ れ て き たが

，

こ れ ら は大別 して次の 2っ の方 法 に分 け るこ と がで きる

。

　第

1

の方 法は

，

式 （1）の極 小 曲 面 方程式ま た は式 （2） で与えられる汎関 数 （面 積汎 関 数 ） を 基 礎式とし て_， 差 分法 ま た は有 限 要 素 法に よっ て解く方 法である_。 　 極 小 曲 面 方 程 式 ：

　　　

（1十 し厂_弖）

，

U

，

「

x

−

2Ux　

Uu．

　

Uxy

十 （1十 〔ノ弖）

・

Uyy

＝

0 　 　 　

……・

…・

…・

・

…・

・

…・

・

……・

…・

（1） 　 面 積 汎 関 数 ：

　　　

”

−

f

・＋

u9

＋・

u

_，・

dxdy …・

………・

・

_（

2

_＞ 　こ こ に

，

U

は 直 交 座 標 系

0−XYZ

に お ける曲 面 を 表 す変 数で Z

＝U

（x，y）で あ る

。

ま た

，

　Ux

，

　Uyは そ れ ぞ れ U．

ニ

∂U／∂x ， ｛ん

＝

∂U／∂yで あ る。 　第 2の方 法は

，

等 張 力 曲 面の観 点か ら

，

式 （3＞で定 義さ れ る汎 関 数を用い

，

弾 性論に おけ る初 期 応 力 問題 と して扱う方 法である

。

　　　

ll

・

f

・・ε

dmdy ……・

…・

・

一 …………一 …

（3） 　こ こ に

，

n。は等 張 力， ε は求め る曲 面の 初 期 曲面 に 対する ひずみ である

。

　

まず

，

第 1の方 法に よる研 究につ い て述べ る。

　Greenspan4

） は

，

汎関 数 （2）の被 積分 項 に_含まれ る ・ _{フジタ技 術研究所} ＊ ＊ _{東 京大 学 生 産} 技 術 研 究 所　教 授

・

二L博

Techmcal 　Research　I皿stitute 　Fujita　Corporanon

Prof

_．

_，

_Instituteof 　lndustria］Science　University　of　Tokyo

，

　Dr

．

　Eng

．

U に関す る偏 微分 係 数に対 して差分表 示 式 を適用 し て い るe こ の方法によると， 極 小 曲 面 方 程 式の差 分 化に伴 う煩 雑さ を避け ること が 示さ れて いる。 非 線 形 方 程 式の 数 値 計 算 法と しては

，

遅 延因子を 用い た

一

般 化 さ れ た

Newton−

Raphson 法 （以 下

，一

般 NR 法と略す） を 用い てい る

。

解の収 束 性に影 響す る要因 と し て

，

分割 数， 遅 延 因子お よび 解 法の種 類を考え

，

それ ら が 反復回 数 と精 度に及ぼ す度 合い につ い て考 察してい る。解 析例とし て， 回転懸 垂 曲 面と式 u

＝

［cosh2 　x

−

_y2］v2 で表さ れ る曲 面 の 2 つ の_{曲 面}を解 析し て い る

。

Concus「 ）_は

_，

_{極小 曲 面} 方 程 式 〔

1

）を 直 接 差 分 化 する方 法に よ り解析している

。

非 線形 方 程 式の 数 値 計 算 法と し て は

一

般

NR

法 を 用い て い る。 その結果， 差 分 近 似の 方法の 中で

U

に関 する

1

階の偏微分係 数に は中 央 差 分を用い る と よい こと， お よび解の収 束 性に は遅 延 因 子が大き く影響す ることの 2 点 を指摘し てい る

。

_解析 例 とし て_， 式 u

；

［cosh

！

　_x

−

y2

］’／t で 表さ れ る曲 面 を 解 析 し て い る。　

Otto

　and

Tvostel6

） は

，

式 （1）の極 小 曲 面 方 程 式に おい て境 界 条 件 を満 足する Fourier級 数 解 を用い て HP 曲 面を解析 し てい る

。

項 数を

2

項ま で取ると精 度は数 ％ の_誤差 と

なる こ と が示されて い る

。Ishii

　and 　Suzuki7）は

，

極小

曲 面 方 程 式 （1）に差 分 法を適 用し て い るe 非 線形 方 程 式の数 値 計 算 法と し て は

Gauss・

Seidel法を採 用して い

る

。

解 析 例は HP 曲面で

，

分 割 数と収 束 性の 関係を検

討し てい る

。

Hinata

，

　

Shimasaki

　a皿dKiyonos］Cま

_，

面 積汎関数 （2｝に有 限 要素法 を 適 用して いる。 汎 関数を 積 分 して陽な形で求め た結果

，

座 標 値X

，Y ，

　

U

は 互い に循環性があること を指 摘し

，

この ことか ら未 知量 と し て

X ，y ，

　

U

の いずれ を 選 んで も よい こと を示して い る

。

非線 形 方 程 式の _数値計 算 法とし て は

一

般

NR

法を 用 い てい る

。

解 析 例 と して 回転 懸垂面 と Wiener

−

Douglas

問 題91を解 析し ている

。

前 者の曲 面で は精 度の 検 討を， 後 者の曲 面では開口角 と 高さを パ ラメ

ー

タ と し た時の曲 面の存 在 範 囲を明らか に し て い る。

　

次に_， 第 2の方 法に よ る研 究につ い て述べ _る 。 この方 法の特 徴は

，

汎 関 数を初期 応 力がなす弾 性ポ テンシャル エ ネル ギ

ー

と すること

，

お よ び未 知 量が 座標 値

X ，y ，

Z

の 3変 数と す ること

，

の

2

点である

。

　 Haug

　and 　Powel1L°1_は

_，

_{式 （}3_{＞の汎 関 数に有限要 素} 法を適用してい る

。

要 素は 四辺 形 要 素と し

，

空 間上で の 要素のゆ がみ を表 現で きる斜 交座標系を 用いてい る

。

応 力 n。は オイラ

ー

応 力

，

ひずみ ε は変 形 後の

ng

　］基 本計 量 とし て い る

。

非線 形方 程 式の 数 値 計 算法 と して は Newton

−

Raphson 法を用い て い る

。

解 析 例 と して簡 単な サス ペ ン シ ョ ン膜形状を 解 析 してい る

。Barnesi

］）_は 動 的 緩 和 法 （DR 法 ）を 用いて膜 形 状を解 析して い る

。

釣 合 式は 三角形要 素の要 素力 を 幾何 学 的 関 係か ら直接 求め る こ とで導いてい る

。

質量マ トリッ ク スと 減衰マ _{ト リッ}

一 112一

ク ス を 追加し

，

初期 状 態 か ら最 終位置 まで を動 的に追 跡 してい る

。

こ の方 法に よ り動 的 不 安 定 状 態か ら安 定 状態 へ 移 動_{さ せ る}ことがで き ること をニ

ー

三の解 析 例によ り 示 して いる

。

石井12）_は ， 応 力 n。 をオイラ

ー

応 力

，

ひず みを要 素の変 形前後の 面 積変化率と して定義 し

，

有限要 素 法 を用い て解 析して いるb 非線形方程 式の_{数値計 算}法 と し て は Newton

−

Raphson 法を採用 して い る

。

増分 剛 性と し て釣 合式の _{厳 密}な 接 線 剛 性の代 わ りに幾 何 剛 性 を 用い ることによっ て解の収 束 性を 改良さ せて いる。 解 析 例と して 境 界 形 状が複 雑な膜 構 造を解 析して い る。 安 宅1靴ま0次 弾 性 体の _{概 念}を 導 入 す るこ とに よっ て

，

等 張 力 曲 面の形 状 決 定とい う幾何学の 閊題が通 常の弾 性 論を 拡 張す る こ とで取 り扱 え る こと を 理論 的に考 察し て い る

。

本 間ら14 ）は

，

石 井IZ）_{の方 法の内} ， 数 値 計 算法 と して

一

_般

_NR

_{法 を用}い

，

増 分 剛 性と し て釣 合 式の_{厳 密}な接 線剛 性 を 用い た解 析 法を示し て い る。 解析例とし て実際 の サス ペ ン ショ ン膜を解 析し て いるe 大 森らW

］

　／よ

，

石 井12） の方 法の内

，

増 分 剛 性と して釣 合 式の厳 密な接 線 剛 性を 用い た 解析 法 を示し て い る

。

初 期 曲 面と極 小曲面とで囲 ま れた空間の 内容 積を指 定するこ とに よっ て収 束 性の改 善を計っ ている

。

解 析 例と して回転懸垂 面と複雑な サス ペ ンショ ン膜 を 解析 し て い る。 　 次に_， 既 往の 2方法にお け る 問 題 点 を 述べ _る

。

　

まず

，

極 小 曲 面 方 程 式 （土）を基に し た第

1

の方 法に 関する問題 点は次の と お り であ る

。

  曲面上の微 係 数 U。

，

U。が大き く な る 場合 解の精度 が落ち る

。

  未知 量 が 多価と な る曲面は解 析で き な い

。

  差分 法お よ びそ れ に類し た解 析で は収 束 回数 が 大 き い

。

　

第 2の方 法は第 1の方法の よ うに解析の 制約が ない こ と お よ び定 式 化が容 易であ るこ との 利点はあるが， 実際 の計 算では解が収 束し ない場 合が多い

。

問 題 点を整理 す る と次の よ うに な る

。

  初期値を 正解か ら離して設 定 す る と 収束し ない場合 が生じる

。

  収 束 解が得ら れ て も各要 素の面 積 が 不 均

一

とな り

，

応力解析用の要 素 分 割には不適当と な る曲面 が得ら れ る 場合が あ る

。

  収 束 解を得る た め に ば

，

初 期 曲 面

．一

般

NR

法で 用い る遅 延因子お よ び 増 分 剛性を問 題によっ て試 行 錯 誤 的に設 定す る 必要がある

。

　 以

．

ヒが既 往の研 究にお け る問題 点の_{概 要}で あ る

。

これ らの問題を要 約す ると次の よ うに言える

。

　膜 構 造の_{設 計}に必要とな る極 小 曲 面を設 計 条 件に適合 し た任 意の境 界 形 状に対して求め る た めに は

_，

極 小 曲 面 をZ

＝

U（x

．

y）の形 で表す解 析で は な く

，

極 小 曲 面の座 標 関数 と して X

，

Y

，

　Z を用い た解 析が 必要と な る

。

し

か し

，

3つ の座 標関 数 を すべ て変 数と し て_扱う とい っ _た 汎 関 数に初 期 応 力の な す弾 性ポテ ンシャル を用いる方 法 で は_， 本来

3

個の座標関 数 間に 1個の関 係式が存 在する にもかか わ らず

，

この関 係 式 を無 視して い _{る た め収 束性} が極めて悪い_。

　

以 上 を基と し本論 文では

，

第1と 第2の_{手 法}の利 点を 取り込 ん だ次の よ う な手 法を提 案し検討す る。

　

極小 曲面の_{基 礎 式}と して 3つ の座標関 数で表 され た連 続 体 表現の汎関 数を用い る ことと す る。 こ れ は

，

第

1

の 方 法で用い た 基 礎 式の曲 面 積を

一

般の_{曲 面}パ _ラメ

ー

タで 表し た曲面 積に拡 張 したもので あ る

。

こ の汎 関 数の_{停 留} 条 件よ り導か れ る釣 合 方 程 式は 3座標関 数 X

，

Y

_，

　

Z

_に 関す る非 線 形 偏 微 分 方程 式とな る が_， こ の _{方 程 式は等温} 直交 関 係を満足 す る座 標 系に座 標変換を施すことに よっ て 3座標関 数に関す る独 立 し た調 和 方 程 式に変 換さ れ る

。

こ の こ と か ら3つ の座標 関数は

1

つ の_{共 通}の_関数で 表すこと がで き る とい う性 質が あ り

，

本 論 文で はこ の 1 っ の共通 な_{関 数}を_{未 知 変 数 とし}

，

この変 数に初期 曲面か らの び た任 意の方 向 をもつ距離ベ ク トル の大き さ とい う 意 味をもた せた解 析 手 法 を提案す る。

2．

極 小 曲 面の基 礎 式 と

一

般解 2

．

1 極 小 曲 面の基 礎 方 程 式

　

本論 文の極 小 曲 面は式 （1 ）を

一

般 化し て 次の よ うに 定義 す る

。

「任意の_{曲 面}パ ラ メ

ー

タ（α

，

β）を採 用 し

，

曲 面 形 状をX

＝X

（α

，

β）

， y ；

y（α

，

_β）

，

　

Z

＝ Z （α

．

_β）で表す 時

，

極 小 曲 面 と は

，

汎 関 数

　　　

fi

−

f

・

d

・

de

…・

一 ・

…・

…・

…・

…・

一 …tt・

_（・） を極 小と す る曲 面の ことをい う。 ここ に，

　　　H

＝

9α α9・ ・

−

9。β 2

・

……・

・

一 …・

_…・

_…・

_・

_…

（5） 　　　 9。 。

＝

濫 ＋器＋芻

・

……・

・

…・

…・

…・

……・

（

6−

D

　　　 gefi

＝

Xk 十yk十

Z

_島

…・

・

…・

一 ……・

…一 ・

_（6

−

_2｝ 　　　 9・β

1＝X

。

x

β＋ γ

。

Y．＋z

。

z

β

・

…・

…・

…・

・

…

く6

−

3） 　 　 　

Xa

； _∂x_／∂α等 である_。」

　

ま た

，

式 （4）のオ イラ

ー

方 程 式は次 式とな る

。

　

　

　

訓 貅

・

晶畷

）

一

・

一 …・

・

……・

（7

一

ユ）

　

　

　

岳（

．

∂

ll4

Ya

）

・

晶

（

8

鍔

）

一

・

…・

…・

・

…・

…・

・

_（7

−

_2）

　

　

　

磊

（

∂∂ZaH

）

・

謝 諺

）

一

・

…一 ・

・

一

佃 ） 上式の 二 式 を まと め て次の よ うに_書き直 す

。

　

　

　

磊

（

∂∂

H

ra

）

・

晶

信

慧

）

一

・

・

一 ・

・

…・

・

……・

… ） 　こ こ に_， r_α と rβ は 　　　P9α

＝

（丿【a

，

　

ya，Za

）

…

　

一・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

…

　

7…

　（9

−

1）

　　　

アβ

＝

（

X

β

，

　

Yn，Ze

）

　

・

…

　

t−…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

　

（

9−2

） と表さ れ るベ ク トル である

。

　

次に

，

式 （8）を展 開する と_{最終 的}に_次式と な る。 　 　　 （

1

／

H

）q＋← 1／

H3

）

1

らくq

．

　r。〉＋

fB

〈q

，

r、〉｝

＝

0 　 　　　 　　 　　　 　

…’

…’

…・

………・

…・

…・

（10 ） 　 こ こに

，

　 　　 q

＝

9e・r・a

−

29。 βr。β＋9偲 rβパ

・

……・

一 ・

（11 ） 　 　　 fa

＝

＝

ra9 βp

− 9afi

　rn

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（12

−

1_） 　 　　 fn

＝

rβ

9aa−

9αβra

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

99・

・

・

…

　（

12−2

） 〈q

，

ra ＞はベ ク トル _q

_，

　ra の_内積を示 す

。

　 し た がっ て 　 　　 q

＝

O

…’

…’

………・

…・

・

……・

………・

…・

（

13

） は式 （

10

） を 満 足 する

。

そこで本論 文で は

．

_{ヒ式 を 基 礎 式} と して採 用する

。

つ ま り式 （

11

）より 　 　　

9nsr

αa

−

2gαsrafi 十gα αrβ β

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

（

14

＞ であ る。 上式 を 元の未 知量

X ，Y ，

　

Z

に戻す と

，

　 　　gβ β

Xaa −

29aeXa β十9aαXfiβ

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15

−

1）

　 　　

9finY

α α

一

29afi　

YaS

十9aα

y

β β

＝0 ・・

tt・

・

・

…

　〔15

−

2）

　 　　 9pnZα α

一2g

αβ

Z

αβ十

gαα

Zeβ＝

0 ・

・

・

・

・

・

・

…

　（15

−

3） と な る

。

　

式 （14 ）ま た は式 （15）は未 知量 が

X ，y ，

　Z に関す る_準線 形 連 立

2

階非 線 形 偏 微 分 方 程 式で あり

，

こ の式が 本 論 文にお け る極 小 曲 面の基 礎 方程式と な る

。

2

．

_{2　極 小 曲 面}の

一

_{般 解}

　

式 〔

15

）で表さ れ た極 小 曲 面の_{基 礎 方 程 式}に おい て

，

2階偏 微分

Xa

α

，

　XaP

，

　Xns 等の係数gββ

，

9ae

，9aa

は ユ 階偏 微分の 2_乗を含む非 線 形 項 となっ ており

，

こ の ま ま では解 を見い だ すこと がで き ない

。

しか し

，

こ の式を曲 面上の点（α

，

_β）に お い て_， 等温直交 関 係 式 　 　　9ec

＝

9nn

…’

’

’

”………’

・

・

…・

・

……・

……・

…

（16

−

1） 　 　 　9tη

；

O

”・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　（16

−

2＞ を満たす 座標 系 （ξ

，

η）において は次式に帰着でき る。 　 　 　∂2x 　 　 　 　∂2x

　　　

一

評

＋ ∂，广 ゜

… … ’

… … … … ’

_《ユ7

−

_1） 　 　 　∂！

y

　 　 　 　∂2Y

　　　

．

∂

♂

＋

万

厂

゜

”… ”””

… ’

… ’

… ’

_｛17

−

_2） 　 　 　 ∂！_z 　 　 　 ∂2z

　　　

葎

＋石，广 ゜

’

… ’

’

’

’

”7『

’

”… … …

_（17

−

_3）

　

文献 1）を参 照して

，

式 （17）の_解を以

F

の よ うに求 め る

。

式 〔

17

）は

X ，Y ，

　Z に関し て 同

一一

の _{調 和 方 程 式} と なっ て い る

。

そ こ で

，

調 和 方 程式 　 　 　 ∂2a 　 　 　 　∂2a

　　　

評

＋ ∂

i

’

一

゜

… … tt’

… ’

”齟

… … ’

’

”

_（18_） を考え

，

X ，

　

Y ，

　

Z

を α（ξ

，

η）の関 数と して次の _{よ う}に_表 す

。

　　　

丿【

＝

X（α）

・

一・

・

…

　

7『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一・

・

・

…

　

：_（19

−

_1）

　　　

y

＝

y（α）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_t−

_（ユ9

−

2_）

　　　Z

＝2

「（α〉

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

…



一

一一・

・

・

・

・

・

…



9−・

・

（

19−

3）

一

₁₁₃

一

式 （19）を式 （17）に代入 し

，X

（a）

，

　

y

〔α）

，

　

Z

（α）の形 式 を求める

。

　式 （

19−

1） を式 （

17−

1

　

　

　

籌

・

籌

一

・

…・

）に_代入 する と

一

．

……



……・

……・

・

……・

_{｛20 ）} 　ま た

，

式 （19

−

1）よ り

　

　　肇

一

_器

袈

………・

…・

・

…

……・

…・

・

…・

_（

₂₁₋₁

_）

　

　　

葛

_券

一

_器

3

旁

………・

…・

一

・

・

一 ……・

（2・

−

2）

　

　

　籌

一

暴

隴

）

袈

・

器

梟

（

劉

　

　

　

　

　

一

_害

_済

_（

並 ∂_ξ

）

2 ＋

髫

猪

…………・

…

−3

・

　

　

　襟

一

_審

_（

劉

＋

器

書

景

・

…………

（・］

−

4） 　式 （21

−

3）と式 （21

−

4）を （20）に代入 す る と次 式と な る

。

　

　

　

籌

｛

（

璽∂ξ

）

！ ＋

（

芻

）

t

｝

・

器

離

・

券

）

一

・ 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

7− ・

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（22） ・・ ろ・

・

左辺第・項・

（

∂ 2a _∂2a ∂ξ2 ＋ ∂η

・

）

・・ （

1

・）・ り ・ と な ・ ・

，

左辺第 ・廊

｛

（

劉

2 ＋

（

剽

_鹹

的に 0 と は な ら ない の で上 式が成 立する た め に は

　

　　

籌

一

_・

……・

・

…・

…tt………一 ………

_（

₂₃

_） と なる必要が あ る

。

　式 （23）を

2

回積分 す る と 　　　

X ＝

CTα十c2

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（24

−1

｝ とな り

，

X の形 式は α の

…

次 式と な ること が 分 か る

。

こ こ に

，

C匸

，

　C2 は積分定 数である

。

　同様に

，y ，

　

Z

につ いても次の よ うに表せ る。

　　　y ＝

〔

ll

α十

d

，

’

”・

…’

・

’

”・

・

・

・

・

・

…

　

7・

一・

一・

・

・

・

…

　

7・

〔

24−2

）

　　　Z

＝ el_α十e2

・

・

…

　一

・

・

・

・

・

・

…

　

t

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（24

−

3 ＞ 　上式か ら

，X ，

　

Y ，

　

Z

は互い に独 立 した変 数で は な く

，

α とい う共 通の函数 によっ て結び付けられ た従 属 関係に ある変 数であ ること が 分か る

。

　次に

，

パ ラ メ

ー

タ（ξ

，

η）で表さ れた上 式 を

，

元の パ ラ メ

ー

タ （α

，

_β｝に変 換 す る と

、

最 終 的に極 小 曲 面の基 礎式 （15）の

一

般 解 は

，

次 式と な る。

　　　

X

＝

λ（α

，

β〉α（α，β）＋x。（α

，

β）

………・

・

…・

…

（25

−

_1）

　　　

Y

＝

t μ（a

，

_β）α（α

，

_β）＋y。（a

，

β）

・

…・

…・

………

（25

−

_2）

　　　

Z ＝

ン（

d

，

β）α（a

，

β）＋z。〔α

，

β）

……・

・

…・

……

_（25

₋₃

_） 　こ こ に

，

a（α

，

β）が未知 量 で，

「

λ_，

・

_μ

，

　v

，

コc。

，

　Y。

，

　z

。

は

，

積 分 定 数である

。

　上式と似た形 式の 式 は文 献5）に も紹 介さ れ て いる が

，

本 報告で は

，

λ

，

_μ

．

v と Xo

，

　Yo

，

90 を α

，

βの関数で任 意 に定める量と し た

。

上 式の_物理 的 意 味は

，

図

一

1で示さ

一

₁₁₄

一

図

一

1

．

．

曲 面を_決定す る未知 量α と その方 向 余弦 ）

鷺

　 　 　 2 ＞ 　 　 （xgl

．

Vel

．

Zel ） 　 　 　 （Xt2

．

v92

，

ze2 ＞ 図

一

2　三角形要 素による曲面表示 れ る よ うに x_{。 ，y}。

，

2。を初 期 曲面 と し

，

λ

，

μ

，

　v を初 期 曲面で設 定さ れ た方 向 余 弦と し た と き， 極小

由

面 を表す 座標

X ，y ，

　

Z

は

，

初 期 曲 面上の 座

ec

　x。

，

　y。

，

　z。 と方 向 余 弦 方向の距 離 a の和とし て求め ら れ るこ とである

。

　

極小曲面の汎 関 数 （4）に上 式の

一

_{般 解 （}

25

_）を代 入 する

。

こ の結 果

，

極 小 曲 面 を表す未 知量 は

一

変数 α（α

，

β）に低 減 され たこ とに な る

。

3．

有 限 要 素 法によ る定 式 化 　前章で求め た極 小曲面を表す

一

般 解 （25）と 汎関数（4 ） を用い た有 限 要素法につ い て述べ る。

　

こ こ で は

，

3角 形要 素を用い る

。

図

一

2に

，

初 期 曲 面 と極 小 曲 面上の 座標お よ び方 向 余 弦を示す

。

al

−

as は そ れぞれ節点

1〜3

にお ける未 知 量 α を表 して い る。 　こ こ で_，

　

　c。i，　y。i

，

z。i：初 期曲面上の節 点 iの座 標

　

x。

。

，

　Y。e

，

z。

。

：初期 曲 面

．

ヒの要 素 内 部の座 標

　　

Xt，　yi，2i ：極 小 曲面上の節 点 iの座 標

　　

Xe，　Ye

，

　z．：極 小曲 面

．

ヒ の要 素 内 部の座標 　 細‘

．

λyt

，

λzi ：節 点 iの方 向 余 弦

　　　　　

ai：節 点 iの距 離 （未知 量） ま た

，

次の記 号を定 義す る

。

　　　

X

。i

＝

t ｛X。1 エ。ZX 。ゴ野。ly 。2y 。SZ 。1Z 。， Z。，

1

　　　 　　　 　　　 　　

・

・

…

　

7・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

26−1

）

　　　

XOe

＝

ti ＝

。

e　y。e　z。

。

1

・

………一

・

・

………

（26

−

_2）

　　　

X

，

−

r

訂、 コc、

　

x、

豊

ly ， Y3212 、 2，

1

…

（26

−

3）

　　　

Xe

＝

t 仁xe

　

ye

　

Zel

…

　

噛

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

（26

−

4）

μ

．

．

ー

＝

3

，

，

甲

，

”

”

ー

ー

°

°

、

・

・

地

”

・

旭

．

・

碗

・

　 1 　 α ん

・

・

レ

．

．

ー

ー

一

r F

4

ム

砿

］

・

　　　

α‘＝ tlal

　

　

　　

　　

　

　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（28 ）

　

式 （25）より極 小 曲 面上の_節点座

ee

　x

、

は_， 初期曲面 上の_節点座標 u。t と節 点 距 離 ai と に より

，

次の よ うに 表さ れ る。

　　　

Xi＝ _{」じoc十 ノ}

t・

α_ビ

・

・

・

・

・

…

　

鹽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

_〔

29

_） こ こ に

，

A

−

．

［

li1

−

一

…

一

・

_（・・〉

　

ま た

，

要 素 内 部の座 標 Xe は_{要 素 節 点 座 標 Xi で表す} こと ができる。 つ まり X

・

一

［

∵ ∵

・

国

・ 　

＝

u（x

，

_y）

・

Xt 　

＝U ・

（x。、＋11

・

碗

・

…・

』

　　 　　　 　　　 　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（

31

）

　

上 式が

，

極 小 曲 面 上の要素内 部の座 標 x

、

を

，

節 点 距 離 ai で表 したもの で

，

今 後第 1基 本 計量 を計算す る と きの基 本とな るもの であ る。

　

つ _ぎに

1

_要素座標系を デ カル ト座 標で表し

，

要 素の汎 関 数 を 次 式で定義する。

　

　

　

ll

・

−

f

　gxx9，。

−

9。 。 ・ 　

dxdy

・

・

一 …一

・

_（32_） 　極 小 曲 面上の位 置ベ _{ク ト}ル は 　　　r＝ Xeex _十

Yee

．十 Zeea

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

33

＞ で表さ れ る か ら

，

第 1基 本 計量 は次 式とな る

。

　

　

　

・x・

一

（

∂ 1：e ∂x

）

2 ＋

（

籌

）

2 ＋

（

籌

）

2

…・

・

一

_…4

−

_1）

　

　

　

・

蝋

謝

＋

醐

＋

（

∂Ze ∂y

）

！

………・

_{… 4}

−

₂ ・

　

　

　

伽 一

籌

咎

・

鶉

診

・

暑

謝

・

…

_・34

−3

_・ 式 （

31

）か ら 　 　 　 ∂Xef ∂x

　　　

・Ye・∂x 一

暑

皇

・

・、

一

伽 、

一 ・

一 …

（35

−

・） 　 　 　 ∂Ze ／∂x 　 　 　 ∂Xe／∂y

　

　

　

・・e・∂・

一

咢

・

x・

＝

＝

Uyx

…

一 ・

……・

・

（

35−21

　 　 　 ∂2e／∂y 　式 （35） を式 （

34

）に代 入 すると

　　　

9xx

＝

＝

tXitu ＝

UxXs・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（36

−

1）

　　　9w

＝ tXttUy _｛ノ 』5じ ゴ

・

・

・

・

・

…

　一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一・

（36

−

2）

　　　

9xv＝ t』じ itUx こノ_』』じガ

・

・

・

・

・

…

　一・

・

…

　一・

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（36

−

3）

　

次に

_，

_{第 1}基本計量のベ ク トル表示 を 次の形で示す

。

　　　

9＝

H9

． エ9．．

g

＝，

’

1

…・

……・

…

_…・

……・

・

……・

…・

_（37）

　

さら に_{， g}の_変分を式 （36）と式 （

37

）か ら求め ると

，

δxi を用い て次の よ うに表すこと ができる。

　　　

ag

＝V ・

δXt

……・

一

……・

・

一 ・

・

……・

・

……・

一

_（

38

_） こ こ に_，

v −

［

_籌

_翫

疏

1

−

一

一

_（

₃₉

_）

　

次に

，

汎 関 数 （

32

）の_変分を考え る

。

まず

H

の _第 1 変分 をつ く る と 　 　 　δH

＝

δ_9エr9gy

−

_9xy2

　

　　

　

−

、

Z

｛・9

．

．

9yy・9

．

．

・g．．

一

_・ 9、 ．・，． 。）

ー

　 　 2 00 ユ ∩

）

0

010

ー

　 謎

．

幅 　 蝓 　 臨 lH 　 2 　

＝

9xxgyygxvtt （40 ） 　 　 　

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（42＞ とす る と

，

式 （40）は 式 （41）

，

式 （42 ）お よ び式 （38） を用い て

　　　

δH

＝

tδ₉

・

σ

＝

tδnCstvσ

・

・

…・

・

………・

…・

…・

…

（43｝ 　さ らに

，

式 （29） を用いて式 （43）を変 形すると

　　　

δ

H ；

tδattAtv σ

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（44 ） と な る。 こ れ を式 （32）の変分式に代入す る と

　

　

　

・・e− t・_ai

（

_醐

∫

_ワ ・岫

）

・

…・

…………

（45） 　結 局 δ

H

。

；

0 よ り停 留 式は次 式とな る

。

　

　

　

n・ tA 　

f

　・ 　Vddxdy

−

・

…・

…・

… …………・

・

…

_（

46

_）

　

次に_，

Newton．

Raphson

_{法 を用}いる と きの

，

_{増 分 方 程} 式を求める

。

まず式 （46｝の被 積分項の増 分 を考え る

。

　　　

d

（t　

V

σ｝＝ ，

y ・

d

_σ十dtv

・

σ

　

　

　

　

　

　

一 ・＋

僂難

＿ ，

」

・

　　　　　

−

t ，

穿

d

（

−

9

−

）

　　　 　　 　 十_［2　t　Ux　Ux　

dXi

　 2　tUy　

UydXi

　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　（’ 　

u

_．　Uy＋_鴫 仏＞

dx

』σ こ こ で

，

D

−

［

蹴

］

… 一

　

一

_（41） 　　σ

；

tla！　σ2　σs｝

＝

（1／2　H_）Dg

…

一 115一

　　

　　　

一

・_y

盡

（

d

・H

−

gdH ） 　 　　 　 　　 十_［2tu ｛

U

＝　2 ’_U ｛ Uy 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 （t　

u

_．　

Uy

十‡_仏｛_乃庁σ

d

銑

　　　　　

一

_（

_ガ

ガ

胼

一

2i

’

・

v

… σ

v

）

dXi

　 　　 　 　　 十_［2　tUx 　

Ux

₂tUy 　Uu 　 　　 　 　　 　 　 　　 　‘ 【を鞠＋厘 炳｛な］tσ

d

κi

…・

（47） 上 式に式 （29）の_増分 式

dXt

＝ ・

Adat

_を代_{入 し}

，

_{さ ら} に式 （46）の増 分 式に代入 す る と次 式が得られ る

。

　 　 K

・

dat＝dfr ・

・

一

・

・

…・

…・

…・

・

……・

・

…・

………

　（48＞ こ こ に_，

　　 K ＝Ke

十亅

K

』

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

49

）

　　

凡一 祕

∫

（

、

la

’

tvDv

−

lii

　tvo

・

t σv

）

Ad

・cdy 　 　　 　 　　 　 　 　

・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

（50 ）

　　

　

Kg−

・

呵

［2　tu ・・Ux ・騒 瓢 ＋ tu ・・

u

＝］ 　 　　 　 　

．

aA 　

dxdy ・

9・

・

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

・

・

・

　

・

・

・

・

・

・

…

　　　　（51）

　　　

d

・

r

− 一

・

可

・触 吻

……・

………

（・・） で ある。 　式 （48） が 各ステッ プの増分 方程式で

，

式 （

52

）は不 釣合量を表す

。

計 算は

d

拶 が

0

に近 く なる まで反復さ せ るQ

4．

数 値 解 析 例 4

，

1　回 転 懸 垂曲面

　

極 小 曲 面の解 析例と して

，

回 転 懸 垂 曲面を解 析し た（図

一3

）

。

こ の曲 面は

，

極 小曲面の解 析 解が得られて い る例 と して よく知られて いる が

，

数 値 解 析 上は

，

曲 面の_勾配 が大き く なる こと や

，

2価と な る た めに収 束 性が よ く な い_例と言わ れて い る。

　

分 割 数は

，

周 方 向に

24

分割， 高さ方 向に 10分割であ る

。

初 期 曲 面は安定解 （汎 関 数 （4）が極小と な る解 ） の時は円筒 面と し

，

不安定解 （汎 関 数 〔4）が 極 大 とな る解 ）の時は次の よ う に し て求めた。 極 小曲 面の z

＝

0

．

5に お ける位 置を くびれ位 置とする と

，

安定解の極 小 曲面の く び れ位 置を半 径 方向に強 制 移 動さ せ て解 析 した 時の 曲 面を初 期 曲 面と し た

。

強 制 移 動 量は こ の初 期 曲 面

厂

L

、 　 　 　 rg

L

・ 　 　

R

’

竪

_’

（

Z

’

Z

ニ_し！

2

ζ

　

Y

一

_〉　

x

図

一

3　回 転懸垂 曲 面

116 一

をもとに し て極小 曲 面 を 解 析し た時に解が収 束す る よ う な位置まで の距 離とする が

，

こ の場 合に は あ ら か じ め 理 論 解が わか っ て い る の で そ の近傍の位置 （r＝ 0

．

3）ま で移 動さ せ た （図

一

4）

、

方 向余 弦は各 節点か ら回 転軸方 向にかつ

xy

平面に平 行な方 向に とっ た。

　

解 析 結果 を表

一

1に示す

。

表 中の _数値は曲面位置 r を円の_半径

R

で無 次 元 化 し た量であ る。 本 解 析 解と 理 論 解151は

，

安 定 解 と不 安 定 解の両 方の場 合に対 して

，

よ く

一

致 して い る こ とが分か る

。

図

一

5

，

図

一

6にそ れ ぞ れ極 小曲面と その断 面 図 を示 し た。 図

一

7 は

，

円の 高さ LIR を変え たとき の鞍 点の位 置 r。／

R

の変化の様子を 示 し た もの である

。

数 値 解 （● ）は 理論解15｝ と よ く

一

致 し てい る

。

曲 面 が 存 在 する限 界 高さ は

，

本 解 析 解は 0

．

6550

，

理論解］EIP

’

t6レ は 0

．

6628で あっ た。 〔a _{） 安 定 解} （b） 不 安 定 解 図

一

4　初 期曲 面 （回転懸垂 曲面

1

表

一

1 極小 曲 面の数 値 解析 結 果 〔回 転 懸垂曲 面 ｝ 　 　 　 安 定 解 　 　 　 lら ） Z／

R

　 　 　本 解 析 解 　 理 論 解 　 　 不 安 定解 　 　 　 　5） 本 解 析 解 　 理 論 解

0．

500000

．

400000

．

300000

．

200000

．

IOOOOO

．

00000 0

，

84542　　

0．

84834

D．

85143

　　

0．

85424

0．

86955

　　0

．

87202

0．

90004

　　0

．

90194 0

．

94332　　0

．

94440

1

．

0000工〕　 1

．

OOOOO

0．

23484

　0

．

23510

0．

25644

　　0

．

25669

0

．

32522　　0

．

32542

0．

45380

　　0

．

45393

0．

66577　

0．

66582

1

．

00000　

LOOOOO

（a _{） 安定解} 図

一

8Wiener

・

Douglas問 題 （b｝ 不 安 定 解 安 定 解1 _{安 定解2} 図

一

9　二つ の_{安 定 解 （}Wiener

・

Dougtas_問

ua

_）9

．

］ 図

一

5　極 小 曲 面 〔回転 懸垂 面 〉 O

．

5StO

．

4 ＼ No

_．

30

．

2O

．

10

．

O 不 安 足 解 _{安 定 解}

｛

一

一

t

　　　

−一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

　

一

一

一

一

一

一

一

＿

　　　　　

｝

＿

＿

曹

｛

T−

　　　　　

一

一

　

駢

　

＿

　

”

　

＿

＿

＿

＿

　

＿

＿

＿

　

呷

　

＿

r

　

＿

　

＿

　

＿

●　 本 解 析 解

一

_王里論解15〕

｛一

　

曹

　

　

　

　

一

　

一

　

一

　

一

　

一

　

r　

−　

　

＿

’

₀

_．

_0　　0

_．

₂₀

_．

₄₀

_．

_6r ／RO

．

8　 　 1

．

O 図

一

6　極 小 曲 面の断 面 図 （回転 懸垂 面 ） （a _{） 安定 解}1 1

．

0a 二_〇

、

₈ ね ＼_O

_．

₆₅₅ 」 　 0

，

6 　 0

．

5 　0

．

4 O

．

2 0

，

0 ● 本_解析 解

　　　　

15

脚

一

理 論 解 　 　 　 O

．

O　O

．

2　　0

．

4　　0

．

6　　0

．

8　　］

．

O 　 　 　

R

図

一

7　極 小曲 面の鞍 点の位 置 〔回転 懸 垂 曲面 ｝ 4

．

2Wiener

・

Douglas 問 題 　

Wiener−Douglas

問題 とは

，

図

一

8に示す よ う な2つ の平 行に_置か れ た円と

，

これ らの円 を 結ぶ 2つ の_平行な 直 線とを境 界に持つ極 小 曲 面を求め る問 題である

。

こ の （b） 安 定解2 図

一

10 初 期 曲 面 〔Wiener

．

Doug】as _{問題 ｝} よ う な境界で は

，

2 つ の _円の_{間 隔}L と半開角 φとの _値 によっ て 二種 類の安定的な極 小 曲 面が生 じる場 合 が ある こと が知ら れ て い る9） _（図

一9，

安 定 解 1と安 定 解2 ）

。

本解 析で は L／R

＝

1

．

5， φ

＝

150

°

と し た。

一

_II7

一

図

一

11 方 向 余 弦 〔Wiener

・

Douglas問題 ） 2

．

0 HL2431

．

0 O

．

274 　 　 　 　 　0 　 　 　 0　　 　02　　eA　　 O

．

5　　0

．

8　 し！2 図

一

14　 極 小 曲 面の鞍 点の位 置8i　_〈Wiener

・

Douglas_問題 ｝ ｛a ｝ 安 定 解 1 表

一

2 極小 曲 面の鞍 点の座 標の比較 （Wiener

−

Douglas 問 題 ） 本 解 析 解　文 献

8

）の解 安定解

1

安 定 解

2

1．

2430

．

274

1．

2600

．

262

誤差 10

臼

10

’

1 田

．

2L 口

．

31Drd10

−

E   丶

丶

丶

　

丶

、

　　 　 文 献8）の解 　 　 　

丶

　

．

f 　 　 　

x

　

丶

．

一

．

本 解 析 解 　 　 　 （b） 安 定 解2 図

一

12 極 小曲 面 （Wiener

−

Douglas問 題 ｝ 1

．

501

．

25z ／ R1

．

DO O

．

75O

．

50025 　 00 　 　

一

司

．

0

．

Q

．

3　

−

O

．

6　

−

O

．

4　

−

Q

、

2　 　0

　

Q　 　O

、

e　 　D

，

4　 　0

．

6　 　0

．

8 　 　 　 R 図

一

13 極 小 曲 面の_{断 面 図 （}Wleher

・

Douglas問 題 〉 　分割 数は円 周 方 向に は等 間 隔で

20

分割

，

z 方 向に は 10分 割と し た

。

初 期 曲 面は図

一

10に示す よ う に とり

，

方向余弦は各 節 点か ら図

一

11に示す よ う な 方向に かつ 　 　 　 　 TO

−

E 　 　 　 l　 　 　 50　 　 　 100　 　 　 　 15e 　 　 　 　収 束 回 数 図

一

15 収束回数と誤羌 〔Wiener

・

Douglas問題

，

安 定 解1＞

　　　　　　　　

iZ

繋

：

熟

　

　　

　

　　

　

＼

_レ

b

　　　　　　

5 図

一

16　HP _{曲 面 問}題の_{境 界}形状 xy 平 面に平 行とし た

。

図

一

12に極 小 曲 面を示し た

。

図

一

_{ユ2は文 献9）の概 念 図 （図}

_一9

_{）と よ く似て}い ること が 分 か る

。

図

一

13は y＝ Oに おける断 面 図を示し た

。

図

一

14 と表

一

2にそれぞれ鞍 点の位 置 〔本 解 析 解 ● 印 ）と その値 を 示し

，

文 献8）の_値と比 較し た。 表中の数値は 鞍 点の位 置 H を円の半 径

R

で無 次元 化 し た 量 で ある

。

こ れ ら か ら

，

本 解 析解 は 文 献 8）の結果 とほぽ

一

致して い る こ とが わ か る

。

図

一

15は

，

安 定 解】の _{場 合}の _{収 束} 回 数と誤差の関係 を 示し たもので あ る が， 誤 差 を10

−

4 に収れん さ せ る た めの 収 束回数は

，

本 解 析で は5鳳 文 献8）で は約150回で あ り

，

本 解 析の収 束 性は文 献8）

一

_一118一

o 図

一

17　極 小曲面 〔HP 曲面 問題）H

＝

1

．

0 0

、

5 z ／ a0

、

4 _h

’

／a

＝

_丶

2　 　

！

　　　　　　

ノ

、

o

．

3

噛

　　　　　1

”

o

．

20

，

1

ノ

i

墾

，

　　　　

！

　　　　　

，

　

’

，

ろ

，’

_h／a

二

1 o

．

o b

−

0

．

4

−

0

．

3

−

0

．

2　

−

0

．

L0 　 0

．

且　 0

．

2　 0

．

3　0

．

4　 0

．

’

グ

溢

　 　ノ

　　　　’

〃

・ ・

’



−

04 　 　 　 　x／a

＿．

＿

初期 曲面

一

醒

一’

畠

’

文 献6）の_解 →

一●

一

 本解 析 解 図

一

18　極 小曲面の断 面図 （HP 曲面 問 題 〕y＝ a／4 と比 較し て極めて よい こ とが 分か るn 安 定解

2

の場合も ほ ぼ同様な傾 向で あっ た

。

本 解 析の収 束性が よい 理 由 は

，

未 知 数に対する方 向 余 弦の与え方が適切であっ た た め と 考え ら れる。 4

．

3　HP 曲 面 　図

一

16に示す よう な_， HP 曲 面を構 成す る4辺 を 境 界に持つ極 小 曲 面 を求める

。

　分 割 数は x

，

_y方 向 共に 12分割

，

初 期 曲 面は

HP

曲 面 2

＝

2h〔x ／a）（y／b）と した

。

_{方 向余弦}はすべ て の節 点 で （O

，

0

，

1） とした

。

　図

一

17に

，

H

＝

1

，

0の場合の極 小 曲 面 を示し た

。

図

一

18に

，y ＝

4／a に お け る断 面図 を示 し た

。

本 解 析 解は文 献

6

）の値と ほ ぼ

一

致 し て い る ことが分か る。

5．

ま と め

　

極小 曲面形状を求め る ための

一

つ の数 値解析手法を提 案し そ の特 徴 を具体 例よ り検討し た

。

本 手 法は_{極 小 曲 面} の汎 関 数と し て

一

般の曲面パ ラメ

ー

タで表 現し た_{曲 面}の 汎 関 数 を用い て い る

。

汎 関 数か ら導か れ た非 線 形 微分方 程 式の解の性 質か ら極 小 曲 面の未 知量 は初 期 曲 面か ら 任 意の方 向に設定さ れ た方 向 余 弦 方 向の距 離 と して表 現で きる こと を 示 し た。本 解 析 法の特 徴は次の と お りで ある

。

（1） 初 期 曲 面と曲 面上の方向 余 弦は

，

次に のべ る制約 を満 足 する範 囲で任 意に設 定でき る。 た だ し， 方 向 余 弦 の設 定に際 して は

，

求 まる極 小 曲面 が 任 意の 2節 点で指 定し た方 向余弦の交 点 と 初 期 曲 面との_間に_存在す る よう に選 ばな く てはな ら ない とい う制 約が あ る

。

〔2） 解 析 する未 知 量は

，

1節 点 あた り1変 数であり

，

従 来の 3変 数と比 較し て取り扱い が容 易に な る

。

（3） 解の収 束 過 程で特 別な操 作 を行わずに_， 確実に収 束 解が得られ る

。

謝 　 辞 　 本 報 告 を ま とめる にあたっ て

，

貴 重なご意 見 を 頂いた 横 浜 国 立 大 学 教 授 石 井

一

夫 博 士， 名 古 屋 大学助 教授 大 森博司博士お よ び原 稿 作 成に あ た り多大な労 力と有 意 義 な示 唆 を与え て頂いた株 式 会 社フジ タ 萩 原伸 幸氏に深 く感 謝 致します

。

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120 一