種々の境界条件をもつ矩形板の非弾性曲げ解析

長崎大学工学部研究報告 第17巻 第29号 昭和62年7月

種々の境界条件をもつ矩形板の非弾性曲げ解析

松田 浩＊ 崎山 毅＊

秋友 隆二＊＊

Elasto−Plastic Bending Analysis of Rectangular Plates       with Variable Boundary Conditions

by

Hiroshi MATSUDA， Takeshi SAKIYAMA and Ryuji AKITOMO

  In this paper， an approximate method for analyzing the problems of elasto・plastic bending of a rectangular plate is proposed． The solutions of the partial differential equation of the rectangular plate are obtained in discrete forms by applying numerical integration， and they give the transverse shear forces， twisting moment， bending moments， rotations and deflection at all discrete points．

  An incremental procedure has been used for the elasto・plastic analysis of the plate． As the applications of the present method， the rectangular plates with the various boundary conditions are calculated．

1．序  言

 矩形板の非弾性曲げ問題に関しては，Hodgeら1）に よって塑性関節線を用いた崩壊形式および崩壊荷重を 求める塑性設計法が提示されている．しかしながら，

この方法は，コンクリートなどの脆性材料には適用で きるが，延性材料には膜応力の影響が無視できなくな

るため，適用が困難になるといわれている2）．

 一方，矩形板の初期降伏後の弾塑性挙動は，有限要 素法，Discrete Element Methodおよび差分法などの 離散化数値解析法によって解析されている．

 有限要素法による板の弾塑性解析の方法には，例え ば，堀田3）による塑性関節線を用いる方法，また，小

松，北田，宮崎4）による板厚方向の塑性域の拡りを考慮 する方法などがある．また，大賀，重松，原5）は，Finite

にも適用できるMindlin理論に基づいて矩形板の非 弾性解析を行っている．

 Ang， Lopez7｝は， deformable nodes， rigid bars，

torsional elementからなる力学モデルを使った，いわ ゆるDiscrete−variable approachを用いて矩形板の

非弾性曲げ解析を行っている．

 差分法による矩形板の非弾性問題に関する研究は，

Bhaumik， Hanley8｝により四辺単純支持および四辺固 定なる境界条件を有する正方形板の弾塑性解析がなさ

れ，また，横尾，中村，森9》により四辺単純支持長方形

る．

 本論文は，以上に述べた降伏後の弾塑性挙動を解析 する方法のほかに，先に提示した矩形板の曲げ解法12）

の，非弾性曲げ解析への応用性について検討したもの である．数値解析例として，四辺単純支持，四辺固定，

対辺単純支持他対辺固定，対辺単純支持他対辺自由な

昭和62年4月30日受理

 ＊構造工学科（Department of Structural Engineering）

＊＊

R口県庁（Yamaguchi Prefectural Office）

y

h X

Fig．1 Rectangular Plate and Co−ordinate System．

る境界条件を有する矩形板の弾塑性解析を行い，その

挙動特性を明らかにした．

2．増分形基礎微分方程式

 矩形板のせん断力をQ。，Q。，ねじりモーメントを

〃耀，曲げモーメントをル勾，ルム，たわみ角をθン，

θ。，たわみをωとすれば，多軸応力状態にある矩形板 の塑性状態における応力とひずみの関係式（文献11りに

基づいて，せん断変形の影響を考慮したMindhn矩形

わされる．

響＋∂盤＋・一・

∂響＋∂勢一∠α一・

響＋∂響L∠α一・

讐一お（δ11∠1匠。＋δ12∠偽＋∂13∠ル1。9）

響一お（δ2、∠！唾＋δ22∠砥＋δ23」払シ）

響＋響一お（磁＋麟＋椀燗

∂留＋∠仇一鑑

      ∠（2 ^∂14ω    十∠θン＝

      κGh

 ∂〃

（1．a）

（1．b）

（1．c）

（1．d）

（1．e）

（1．f）

（1．9）

（1．h）

ここに，4＝4（必，の：横荷重強度，E：弾性係数：

G＝E／2（1＋の：せん断弾性係数，

ソ：ポアソン比，乃＝h（認，〃）：板厚

P一

A2稗）・板剛度

    κ＝5／6：せん断修正係数，

    、4：荷重増分∠σに対する各断面力および変

     形量の増分，島：APPENDIX I

X、＝α2Q。／［D。（1一レ2）］， X2一α2Q。／［D。（1一ソ2）］

Xき＝α〃。。／［D。（1一レ2）LX≧＝α払／［D。（1一レ2）］

 悉＝αルム／［Z）o（1一レ2）］， X｝＝θ〃，   茜＝θエ  悉＝zσ／ごz，  η＝」じ／α，  ζ＝〃／ど），

式（1．a）〜（1．h）は，次式のように簡単に書き換え

られる．

  書［R・∂響＋縣誉＋制刈

     ＋δ1ご∠4＝0      （2）

ここに，δがKronecker s delta， ＝1，2，……8

    α，δ：矩形板の縦横の辺長   ・

    々1ニ（106z3／［1）o（1一レ2）］， 1（＝Elz＆／（12κGぬ）

    1＝1（∬，〃）＝μ（1一レ2）（乃。／ぬ）3     Do＝E砺／［12（1一レ2）］：基準板十度 式（2）を用いて，矩形板の非弾性曲げ解析を行うことが できる．

3．基礎微分方程式の離散的近似解

 基礎微分方程式（2）の矩形板の縦横の等分割線の交点

  ∠1瓦・ガー嵐（ゴ      ブΣα鰍診、4X。々。＋Σδρ蝦∠1X。。4々＝0       4＝0）

     十∠4ρガ

     αρ脚，∂ρ雌，σρが：Appendix III， IV （3）

 この解式中に含まれる境界従属点の6個ずつの諸量

∠X。、。，∠X。。4は，いわゆる積分定数であり，境界条件

要素α鰍 およびわρ澱は，伝達マトリック、ス法におけ

るいわゆる伝達マトリックスに相当するものである．

なお，離散的近似解の導出過程の詳細は，文献（12）を参

       馬＝09ゾ0    野…y・・

       Qx・09x＝O

  Qy＝o・｝時＝o

       Qy岩。・｝ b（y二〇  Qx＝0 9x＝o

誰継継荒審尋

囮噛，町画  團Q・蜘・梅画

   （SSSS）      （CCCC）

   （SCSC）       （SFSF）

  Fig．2 1ntegral Constants and Boundary

      Conditions．

松田 浩・崎山 毅・秋友隆二

照されたい．

4．積分定数と境界条件

 基礎微分方程式（1．a）〜（1．h）の近似解（3）に含ま

これらの中のいずれか3個の積分定数は，はじめから 既知である．残りの3個の未知なる積分定数は，灘＝

α，ッ＝δの各辺の境界条件によって決定される．

 Fig．2（1）〜（4）に，各々，四辺単純支持板，四辺固定

自由板の左右および上下の2軸対称性をもつ平板の％

部分を対象とした積分定数と境界条件を示している．

各図において，隅角点における積分定数：および境界条 件は，［］で囲まれている．なお，隅角点における 積分定数：および境界条件は，その隅角点において交差 する2境界辺上での重量間の関係を考慮して定められ

る．詳しくは，文献（12）を参照されたい．

5．数値計算手法

 矩形板の非弾性曲げ問題は，荷重の漸増に伴い，部 材断面に塑性域が生じるために，応カーひずみ関係式 が変化するので，結局，増分形の変数係数の連立偏微 分方程式の解を求める問題に帰着される．本文で得ら れた弾倉牲状態での増分形基礎微分方程式の離散的近 似解を用いると，荷重増分法により，矩形板の非弾性

解析を行うことができる．

 本文での矩形板の非弾性曲げ解析における仮定は，

次のとおりである．

 （1＞矩形板は，非硬化性材料からなる．

 （2）部材断面に降伏域が生じた後もMindlinの理   論が成り立つ．

 （3）変形は，板厚に比して小さい．したがって，幾

＝L

2

1 _h

k

…

n

Fig．3 Subdivision of Cross Section into Layers．

  何学的非線形性は考慮しない．，

 （4）材料は，von−Misesの降伏条件式（4）に従う．

    σ量十σ多一σエσン十3τゐ＝σ2≦σ8       （4）

      σ。：降伏応力

 いま，第η荷重段階で矩形板の断面の一部が弾塑性 状態にあるとするなら，増分形微分方程式における変

数係数：砺（ゴ＝ブ＝3）は，次の計算手順によって求める

ことができる．

 ［データ］第（％一1）荷重段階における無次元応力

  審判箸・霧一党警・暑一撃∠罪

 （a）矩形板の断面を板厚方向に多層分割する．（Fig．

  3参照）

 （b）第（η一1）荷重段階における無次元応力を用   いて，すべての離散点における断面のすべての要   素について，偏差応力薩，磁，撫を計算する．

 （c）変数係数傷の計算（APPENDIX I）

 （d）増分形微分方程式を解く．

      →∠ル毎，∠ル1〃，刀ルf曙の算定ゼ

    ∠1σエ／σ0， ∠1σン／σ0， ∠1るシ／（ア0

 （f）第％荷重段階における無次元応力の算定．

    告説砦，暑一再挙・」計一黎罪

以上の（a）〜（f）の計算を増分荷重下で繰り返して行う．

61数値解析結果

 （1）四辺単純支持正方形板

 はじめに，四辺単純支持（SSSS）なる境界をもつ正 方形板に等分布荷重が満載される場合の非弾性解析を

行った．

 Fig．4は，分割数〃z罵η一4，板厚方向の分割数ηz−

20のとき，増分荷重∠σα2〃4ρを変化させた場合の中 央点のたわみに関する荷重〜変位曲線を示す．○印で 示された値は，Bhaumik， Hanley8）により差分法を用 いて得られた結果，および，船印で示された値は，

Owen， Hinton6｝により有限要素法（ Heterosis finite element．）を用いた結果を示しており，本解析法による

法により得られる崩壊荷重値（upper and lower bound＝24．0丁目2〃4ρ）も示されており，この値にも，

本法による数値解はよく一致している．Fig．5に降伏 開始後から断面の一部が全塑性モーメントに達するま での代表的な荷重段階での，〃＝0上のねじりモーメン

ト〃、，ンおよび〃＝∂／2上の曲げモーメント砥，砥の

    コ

ー

  図P 30

20

10

．0

upPer and IQwer．bound

Q^○

＝24．0  0

△qa2／Mp＝2．0

O

揃＝n躍4

nz竃20；the number o．f the layers

△qa2／Mp＝1．0

△qa2／MP＝0．4

△qa2／Mp＝0．2

o  Bhaumik ロ Owen

wD

Fig．4

      0．1        0．2  ．         ．  Ou3

Load・Deflection Curves for Simply Supported Square Platel Mx

て^qa

0．06

0．04

0，02 0．O

22．Oqa2／Mp 18．4qa2／Mp

13．6qa2／図p

尊qa

0．06

0．04

0．02

0．0

Bending moments Mx along y＝b／2        屯

22．Oqa2／図ρ

Bendlng 田oments My along y＝b／2

0．04

0．02

0．0

一〇．02

一〇，04

qa@       屯

@      「      ・

8       13．6qa2／Mp

@      18．4qa2／Mρ

@         22。Oqa2／図P

TWi Sting m⊂爬ntS MXy a10ngき厚0

0．0

一〇．002

一〇．004

一〇．006

wD

了

．Fig．5

13．6qa2／Mp

18．4qa2／阿P

Typical Moment and DeflectiQn Diagram争

for Simply Supported Square Plate．

   1

・一

ｳ一一・

qa2／Mp＝14．0

qa2／Mp＝23。2

一一 K一

@       「

qa2／Mp＝16。8

1

qa2／Mp＝24．0

qa2／Mp冨20．4

qa2／Mp富24．4

qa2／Mp＝22．0

 h／a

O．Q−0鱒2 ■■■1■■匿

0．2−0．4 麗目

0．4−0．6 1≡≡蓬≡≡ヨ

0．6−0．8 1癒コ 0．8−1．0［＝＝＝コ

Fig。6 Progression of Yield Regions（SSSS），

50一

^図P

40

30

20

10

0

upper bound ニ 48．0

10wer bound ＝ 44．3

○

△qa2／凹P＝1．O     m＝n＝4

nz＝20；the number of the layers

O  Bhaurηik

WD

0．0

0．2

O．3

Fig．7 Load−Deflection Curves for Clamped Square Plate．

分布図を示し左ものである．同図より，ねじりモーメ ント1鴎 および曲げモーメント価，砥の分布は，塑 性化が進むにつれて平滑化されていることがわかる．

これは，弾性範囲を超え塑性化した部分はもはや外力 に対して抵抗せず，その近隣部分が増分荷重に対して

抵抗するためであると考えられる，Ang， Lopez7）によ

6は正方形板の4分の1回分を縦横にそれぞれ4等分

板厚砺を基準とし，塑性化した断面を取り除いた弾性

部分の深さ乃との比〃砺で表わし，同図中に示す色

果は，横尾，中村，森9）による差分解およびAng，

Lopez7）のDiscrete Model Analysisによる計算結果

と同様の傾向を示している．

 （2）四辺固定正方形板

 つついて，四辺固定（CCCC）なる境界をもつ正方形

Mx

一〇．02

−0．04

−0．06

一一「       （L

qa

撃撃

02

O2 O4 O6

       5

aendinQ moments     「

     15．Oqa2／Mp

@    23．Oqa2／団P

@    38．Oqa2／Mp lx along y＝b／2

0．06 0．04 0」02  0．0

−0．02

−0．04

ユqa

       15．Oqa2／図P        23．Oqa2／Mp        38．Oqa2／「》1p

画面   ・

         1

 qa2／Mp＝15       qa2／Mp＝18

       qa2／Mp＝23

qa2／Mp＝29 qa2／Mp；34 qa2／Mp＝40

Fig．9 Progression of Yield Regions（CCCC）．

0．0008 0．0006 0、0004 0．0002

 0．0

−0．0002

−0．0004

−0，0006

0．0

15．Oqa2／Mp

23．Oqa2／凹p 38．Oqa2／岡p

Twisting moments Mxy along y＝0

一〇．002

一〇．004

一〇．006

         1      15．Oqa2／Mp

      23．Oqa2／岡p

．D        38・Oqa2／Mp

可一

Fig．8 Typical Moment and Deflection Diagrams

    for Clamped Square Plate。

板に等分布荷重が満載される場合の非弾性解析を行っ た．Fig．7は分割数吻一η＝4，板厚方向の分割数ηg＝

20および増分荷重∠σα2／〃ρ一1．0として計算した場

○印で示された値は，Bhaumik， Hanley8）により差分 法を用いて得られた解析結果を示しており，本解析法 による数値解析結果は，その数値解と比較的よく一致 していることがわかる．また，同図には，塑性設計法

により得られる崩壊荷重値（upper bound＝48．0σα2／

〃

ﾏ，10wer bound＝44．3σα2／〃 ρ）も示されている．

 Fig．8に降伏開始後から断面の一部が全塑性モーメ ントに達するまでの代表的な荷重段階でのシ＝0上の ねじりモーメントルf摺および〃＝ろ／2上の曲げモー メント払，1脇の分布は，塑性化が進むにつれて平滑

化されていることがわかる．

 Fig．9は正方形板の4分の1部分を縦横にそれぞれ

亙

40

30

20

10

0

upPer bound ＝ 35．5

10wer bound 需 24．0

△qa2^凹P＝1．O       m＝n＝4

nz＝20；the number of the．1ayers wD     0．0       0巳1       

0．2        0．3 配

Fig．10 Load−Deflection Curves for Square Plate with Two Opposite Edges Simply Supported

    and the Other Two Edges Clamped．

松田 浩・暗山 毅・秋友隆二

 Mx

 qa

O．04 0．02

−0．02

−0．04

28．Oqa＝ノ閏p

20．Oqa2／Mp 12．Oqa2／Mp

y−b／2 ｝ ・ a／2

 Bending moments Mx          28．Oqa2／Mp      生

         20．Oqa2／Mp      ，       12．Oqa2／岡p

0．04

輿

0．0

一〇．04

0．06

．一

h

0．06 0．04 0．02

−0．02

−0．04

−0．06

y昌b／2 x；a／2

Bending moments My

0，0

・一

Z．06

  1

 一■一

 qa2／Mp＝12

弊^{qa 叱}

03 02

01

．0

12．Oqa2／図P

01 20．Oqa▽図P

28．OqaワMp 02

03

1

Twlstlng moments

Mxy along x＝0

qa2／Mp＝25

・0．02

 ヨー   i

、・…一

¥一1

．■．＿一＿

 qa2／Mp＝16

7純・驚

瞬 …

澗・1憶一

qa2／Mp＝28

一一…

  t

・『．一 ｳ一一・・一・

一…戟c一

 qa2／Mp竺20

0．01

一〇．01

一〇．02

一〇．03

0．0

y騙b／2 曳

x＝a／2

0．0

一〇．002

漏飛

 qa2／Mp＝31

Fig．12 Progression of Yield Regions（SCSC）．

一〇．002

一〇．004

  wD   ず

Fig．11

       12．Oqa2／Mp

       28．Oqa2／Mp

Deflectlons W

and Deflection

一〇．004

Moment        Diagrams for Square Plate with Two Opposite Edges Simply Supported and the Other Two

Edges Clamped．

   互

10

0

upPer and lower bound ＝ 8．0

単純支持正方形板の場合と異なり，塑性球はまず境界 辺の中央部から拡がり，つづいて中央点からも拡がっ

ていく．この結果は，Ang， Lopez7）による計算結果と 同様の傾向を示している．

 （3＞対辺単純支持他対辺固定正方形板

 つぎに，対辺単純支持他対辺固定（SCSC）なる境界 をもつ正方形板に等分布荷重が満載される場合の非弾 性解析を行った．Fig．10は賜一η一4，板厚方向の分割

数ηz＝20および増分荷重」σα2／1脇一1．0として計算

値（upper bound＝35．5σα2／ルfρ， lower bound＝24．0

 Fig．11に降伏開始後から断面の一部が全塑性モー メントに達するまでの代表的な荷重段階での，〃＝0上

のねじりモーメント〃耀およびン＝∂／2上の曲げ

△qa2 ^Mp記0．2       m＝n言4 nz孟20；the number of the layers

wD     0曜0       0．1      0．2       

配 _0．3

Fig．13 Load−Deflection Curves for Square Plate with Two Opposite Edges Simply Supported

    and the Other Two Edges Free，

0．04

0．02

0．0

8．60qa2／Mp

y冒b／2 x置a／2

 qa

輿

O．04

0．02

0．0

Bending moments Mx

   雫 9．4。q♂／凹，

       8．60qa1／図ρ        5．60qa2／Mp

0．04

0．02

0．0

0．04

0．02

一「

^トー ₁

十一一

qa2／Mp＝5．6

y昌b／2 x昌a／2

Bending moments My

qa2／Mp＝8．6

屯

y・＝b／2      x篇a／2

       5．60qa2／図P

@       8．60qa2／図P

W      9・40qa2／M・

0．0

撫

qa2／Mp＝6．8 qa2／Mp＝7．8

qa2／Mp＝9．0

0．0

一〇．01

一〇．02

一〇．03

Deflect可ons W

一〇．01

一〇．02

一〇．03

Fig．14 Moment and Deflection Diagrams for     Square Plate with Two Opposite Edges     Simply Supported and the Other Two

    Edges Free．

図においても四辺単純支持板のときと同様に，ねじり モーメントル扇および曲げモーメント〃 ，〃エの分 布は，塑性化が進むにつれて平滑化されていることが

わかる．

 Fig．12は正方形板の4分の1回分を縦横にそれぞ

 （4）対辺単純支持他対辺自由正方形板

 さらに，対辺単純支持他対辺自由（SFSF）なる境界 をもつ正方形板に等分布荷重が満載される場合の非弾 性解析を行った．Fig．13は分割数翅＝η＝4，板厚方向

の分割数ηg−20および増分荷重∠σα2／〃ρ＝0．2とし

qa2！MP＝9・4

Fig．15 Progression of Yield Regions（SFSF）．

曲線を示す．同視には，塑性設計法により得られる崩

壊荷重値（upper and lower bound＝8．0σα2／ル1ρ）も

よる数値解は収束している．

 Fig．14に降伏開始後から断面の一部が全塑性モー メントに達するまでの代表的な荷重段階での，〃一〇上 のねじりモーメント！臨シおよびμニδ／2上の曲げ

モーメント払，砥の分布図を示したものである．同

モーメントM鑓および曲げモーメント砥，1臨の分

わかる．

 Fig．15は正方形板の4分の1部分を縦横にそれぞ

自由辺に垂直な方向に進行してゆく．

7．結  語

 本論文は，先に提示した変云云形板の曲げ解法の非 弾性曲げ問題への応用性を検証し，種々の境界条件を 有する矩形板の非弾性曲げ解析を行ない，その挙動特 性を明らかにしたものである．数値解析の結果から，

本解析法による数値解は，他解法による数値解によく 一致し，また，比較的粗い分割数による解析において

も，実用上十分な精度をもつ解が得られることなどが 確認され，本解析法の妥当性が検証された．

［Appendix I］

［傷］＝［砺］一1

     ユ炉12∫！．・・轟ξ       2

1   ■馴一億［鋼

      松田

α＝σ2＋レσあ∂＝レσ髭＋σ垂，6一（1一ソ）6 ，、

σ2＝（2σエーσ〃）／3σo， σ多＝（2σンー（た）／3σo，

 σb：降伏応力

浩・暗山 毅・秋友隆二

 4＝ασ2十6σ多十〇晦  為＝鞠／σo，

［Appendix II］

F111＝FL23＝F134＝F188＝・凡78＝凡78＝凡77＝1．O Eと12罵F225＝F』33＝凡31一凡86＝凡22ニμ

F147＝α、3  凡47＝・伽μ  凡54＝イ

F156＝α22 F157＝α23 F【66＝α32

、FI67＝α33

凡56＝α23μ 凡57＝α2、μ 凡66＝α33μ E167＝α3寛μ

凡65＝一1

F§81＝一μκ

［Appendix III］

ノ1ρ、＝γρ1／1ρ2−0ノ窪ρ3＝γρ2／1ρ4＝γρ3／1ρ5−0 ／1ρ8＝γρ8 ρ11＝βだ，ρ、2＝μβガ， ρ22＝一μβが，ρ23＝＝βだ，ρ25＝μβガ，

ノ1ρ6＝＝γρ4α12＋γρ5α22＋γρ6α32 〆1ρ7＝γρ4α13＋γρ5α23＋γρ6α33 ρ3、＝一μβが， ρ33＝μβガ， ρ34＝β舘， ρ45＝一1ガβが，

Bρ1＝OBρ2＝μγρ1Bρ3一μγヵ3Bρ4＝OBρ5＝μγヵ2・Bρ6＝γヵ7 ρ46一ごz12βだ＋α13μβガ，ρ47一ごz・1μβガ＋ごz・3βガ，ρ54一一βガノガ，

Bρ6一（γか4α13＋γ》5α％＋γか6α詔）μ Bρ7＝（γヵ4ごZl、＋γヵ5ごZ21＋γ妬α3、）μ ρ56＝ごZ22βだ＋ Z23μβガ，ρ57＝α21μβ万＋α23βゴご，ρ63＝一β獄τが，

G1雇＝γ》3μ＋μγか＆倫   （》膨＝γ髭μ＋γ切、陥   （》謝一痴瑠  ρ66−6Z32βfゴ＋ Z33μβ」ゴ，ρ67＝α3正μβガ＋α33β鉱，ρ72＝一βが鵡・，

Cρ4雇一γか晦（ら5鯉＝γヵ轟儀鯉＝一μγ趣（演罵一一γ切C短＝0 ρ77＝βガ，ρ78＝μβガ，ρ81＝一μβが，ρ86一μβか，ρ88＝βだ，

［γρ、］＝［ρρ、］一1       βび＝β訂βガ

［Appendix IV］

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       κピ。

ここに，［胡＝［α司一1

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