不均一弾性地盤上の矩形板の曲げ解析
松田 浩＊・ 崎山 毅＊
Bending Analysis of Rectangular Plates on Non−uniformly Elastic Foundations
by
Hiroshi MATSUDA＊and Takeshi SAKIYAMA＊
The problem on bending of rectangular plates on elastic foundations has been studied by many investigators． However， it has been hardly carried out to study bending of rectangular plates on non−uniformly elastic foundations．
In this paper， the semi−analytical method is developed to study bending problems of rectangular plates with variable thickness on nonlinear elastic foundations， and of rectangular plates on non−
uniformly elastic foundations． The semi−analytical solutions are obtained by converting the differen−
tial equations into the integral equations and applying the numerical integration．
Comparisons with numerical resuls obtained by other investigators are made， and it is confirmed that the semi−analytical solutions are accurate enough for practical usage．
1．まえがき
本論文は，弾性地盤上の矩形板の曲げの一解析法と して，その基礎微分方程式の解析的近似解に基づく計 算手法を提示し，非線形弾性地盤上の変厚板および不 均一性を有する弾1生地盤上の矩形板の曲げ解析への応 用性について検討したものである．
弾性地盤上の変厚矩形板の一般的な基礎微分方程式 は任意関数として与えられる板温度，板厚および地盤 反力係数などの諸変数を係数とする，いわゆる変数係 数の連立偏微分方程式となるためその解析解を求める
ことは，ほとんど不可能であると考えられる．
一方，弾1生地盤上の等厚板の曲げ問題に関しては，
いくつかの数値解法および近似解法が提案されてきて
いる．
能町1＞は，重調和微分式のGreenの積分を媒介とし て，有限フーリエ変換を利用して，いわゆる，解析的 境界要素法というべき方法を用いて解析を行なった．
倉田ら2）は，差分法を応用した逐次近似解法を用いて，
非線形ばね基礎上の矩形板の曲げ解析を行なった．北 村ら3）は，固有振動モードを利用した級数解による方 法を用いて，一連の研究を進めている．
FEMを利用した解析は，Cheng4）らによって始めら れ，Henry5）は，弾性地盤上の平板の大変形問題をFE Mを用いて解析した．Svec6）は， F EMによる4辺単純 支持なる境界条件をもつ厚板の解析を行なった．また，
園田η一9）らは線形粘弾性地盤上の平板の曲げ問題につ いて，自由振動問題における固有関数を用いて一連の 研究を進め，その解析法をせん断変形の影響を考慮し た矩形厚板の解析に適用し，相対2辺が単純支持され た矩形板の一般解を誘導している．
以上のように，弾性地盤上の平板の曲げ問題に関す る解法として，多くの研究が行なわれてきているが，
矩形板の変断面性状あるいは，地盤反力係数の場所的 不均一性を考慮した弾【生地盤上の平板の解析例は，ほ
とんど見受けられない．
本研究は，地盤反力係数の；場所的不均一性を考慮し
昭和60年9月30日受理
＊構造工学科（Department of Structural Engineering）
36 不均一弾性地盤上の矩形板の曲げ解析
た弾性地盤上の変厚矩形板の曲げ解析法として，（1）基礎 微分方程式の積分方程式への変換と，（2）積分方程式の近 似解法の応用とにより，その解析的近似解を求め，それに 基づく直接的かっ半解析的な計算手法を提示するととも
に，非線形弾1生地盤上の変厚板あるいは，場所的不均一性 を有する弾性地盤上の矩形板の断面力および変形の解 析を行ない，その挙動特性を明らかにしたものである．
本解析法によれば，任意の境界条件，荷重条件，板 厚分布および場所的不均一性をもつ弾性地盤上の矩形 板を一般的に解析することができる．また，板剛度や 板厚，地盤反力係数の場所的変化が不規則で関数表示 できない場合についても，矩形板の縦，横の等分割線 の交点におけるこれらの諸量が与えられれば，酒量が 規則的な場合と同様に解析することができる．
2．弾性地盤上の矩形板の基礎微分方程式
平板のせん断力をQ3， Qエ，ねじりモーメントを Mエg，曲げモーメントを〃3，ル1エ，たわみ角をθ ，θエ，
たわみをωとすれば，不均一な弾性地盤上の変厚板を 含む一般的な矩形板の曲げに関する基礎微分方程式は，
次の連立偏微分方程式となる．これらの式は，せん断 変形の影響を考慮したReissnerの平板曲げ理論に基
づいている．
讐＋響＋轟ω
＋鳥（讐＋謝一・∵…・・…・…………（1・・）
誓＋∂舞一α一・………（1・b）
響＋∂要一α一………・…・………・・（・・c）
豫＋・二一二一………・・（・・d）
讐＋・岳一4ヂ…・…・・…・…・・……・…・（…）
号＋肇一D（21一レ）晦……一・・……（1・f）
讐＋砺一難…一・……・・…・………・……（1・9）
劣＋仇一聯…・・………一…（1・h）
ここに，σ＝σ（κ，〃）：横荷重強度，E：弾1生係数 0：せん断弾性係数，ソ：ポアソン比 ぬ＝h（κ，〃）＝板厚，
，まh／1．2：せん断修正係数 1）＝Eh3／12（1一〆）：板剛度 々。＝島（∬，〃）：地盤反力係数 々、：地盤のせん断ばね係数
なお，式（1・a）〜（1・b）は個々のばねが独立な Winkler基礎の改良型，すなわち，弾性ばねの上端が せん断層で結びついているとした，Pasternak基礎の 場合を表わしている．その場合，個々のばねの独立性
は失われ，構造物の境界部でのたわみの不連続の問題 も解決される．Winkler基礎を考える場合は，（1・a）
式で地盤のせん断ばね係数ん。を零とすればよい．
ここで，断面力Q。，（ゐ，仏 ，仏，班エおよび変形 θg，θエ，ωに関して，次の無次元量Xl〜X8，
（X1，X2）一酌（歪〆）（（轟）
（X3，X4，X5）一D。（監。・）（〃鑓・〃轟）
（x6， x7）＝ （θy，θエ）， x8＝型
α
を導入すれば，式（1・a）〜（1・h）は次のように書き 換えられる．
要＋・需一一σ＋脳
一島（・鷲7＋誓6）…………・………一（2・・）
∂X3 ∂X5
＝μX2… ………・……・…・（2・b）
十μ
∂ζ ∂η
∂X3
∂x4 ＝μX 1・…・………… …………・（2・c）
十μ
∂ζ ∂η ∂X7
∂X6 ＝1XF4・・・・・・・・……・・・……・… （2・d）
十レμ ∂ζ
∂η
・讐＋・砦一島・…………・………・…（2・・）
∂X7 ∂X6
＝ノX3・・………・…………（2・f）
十μ
∂ζ ∂η
∂X8 十X7＝κX2…・・…………・……・・……・（2・9）
∂η
∂X8 十μX6＝μπX1 …・…・…………・………（2・h）
∂ζ
ここ々こ， κ＝ αη， 〃 ＝ ∂ζ，
α，δ：矩形板の横縦の辺長，μ＝∂／α 4。：基準荷重強度，編：基準板厚 々 。：基準地盤反力係数
々，。：基準せん断ばね係数 ヨσ一・蝪凡一諾≒・）・
島一・鴫四一跳讐）・
薦一門告＆一軌響ノ），
・一・（1一ン2）（誓ア，ノー2・（1＋・）（努ア，
・一 ﾏ暑（与ア与
E1〜03
＝基準板二度，
Do＝ 12（1一レ2）
式（2・a）〜（2・h）を用いて，分布荷重や集中荷重 などの任意の横荷重を受け，任意の境界条件をもつ，
弾性地盤上の酒淫矩形板の曲げ解析が行なわれる．
3．基礎微分方程式の解析的近似解
基礎微分方程式（2・a）〜（2・h）は，板厚，板剛度 および地盤反力係数を変数係数とする連立偏微分方程 式となるため，任意の荷重条件および境界条件のもと でその解析解を一般的に得ることはほとんど不可能で あると考えられる．したがって，本文においては，Fig．
1に示すような，矩形板の縦横の等分割線の交点を対 象として，これらの離散点における基礎微分方程式の 解析的近似解を求めることとする．
Fig．1に示すように，矩形板を横，縦方向にそれぞ れm，nに等分し，これらの等分割線の交点の集合体
とみなす．ここで，任意の交点（i，j）に関連する 矩形領域，0≦η≦ηi，0≦ζ≦ζに注目し，これを 領域［i，j］と表記することとする．また，図中の
◎印を付けた交点を任意領域［i，j］の主要点，○
印を付けた交点を内部従属点，●印を付けた交点を境 界従属点と称して区別することとする．
はじめに，基礎微分方程式（2・a）〜（2・h）の二品 を領域［i，」］において面積分し，積分方程式に変 換する．次に，等間隔の数値積分法の応用により，こ れらの積分方程式を離散表示すれば，無次元化された 断面力および変形の主要点における値X傭に関する 連立方程式が得られる．
この連立方程式を解くことにより，領域［i，j］
における，主要点の諸山X燭と境界従属点および内部
耳 控
n
，
9
2 1
ζ
〔i，」）
0 12．・・f●●・ i・・● 旨
ヒ竺：＝L」
Fig．1 Discrete points on rectangular plate．
η
従属点の諸将X醜との間の関係式が求められ，次式と
なる．
x鋤一斗｛ zΣβf／、4μ［Xげ。一X亡ガ（1一δ／f／＝0）］
ゴ
＋Σβ落Bρご［X 。9−X囎（1一δ9ゴ）］
9＝0
＋謡嚥。繭舟（1一δ万δ幻）｝
ピ ゴ
一ΣΣβゴ∫βゴ9ん，の9…・…・………・・《3）
／＝09＝0
ここ吾こ， 1）＝ 1，2，… ，8， ガ＝＝・1，2，・・。，〃3， ブ＝ 1，2，・。。，η
βf／＝αfノ／〃z， βゴ9＝αゴ9／η δごノ＝Kronecker s delta 、4μ，．8ρ ，Cρ ∫g：Appendix参照
係数βごノ，βゴgは数値積分法における重み係数である．
本論文においては，等分割数値積分法として，台形公 式を用いることとする．このとき，
一｛15鴇一｛15跳））
領域［i，j］を最小領域［1，1］から始めて，
順次，領域を拡大しつつ，各領域の主要点の諸量X始 を式（3）により求め，これを次の領域の内部従属点にお ける諸量Xρ／gとして，式（3）の右辺に逐次代入してゆけ ば，各領域の内部従属点の諸量はすべて消去され，結 局，任意の領域［i，j］の主要点における諸量x鋤 は，この領域の境界従属点における諸量X。ノ。，X。。g，
（r＝1， 3， 4， 6， 7， 8）， （s；2， 3， 5，
6，7，8）のみによって表わされることになり，次 式のように整理される．
x飯・一ﾗ（嵐一・x脚
＋ゑ伽榔・陶＋伽プー…………但）
ここに，
・一・Z｛か幽［・一鋸一伽刷（1一δ・∂］
ゴ
＋Σβ5βρ，［伽伽d一α、伽d（1一δ、ゴ）］
＝0
＋鵡晶。一一（1一δ幽）｝
・飯・一C｛嵐β副四一伽（1一δ・・）］
ゴ
＋Σβゴβρ ［σ亡。 一（1亡ど （1一δ ゴ）］
＝0
＋動軸。創伽（1一δ謝｝
ピ ノ
一ΣΣβ繭βゴ亡ん1σん 々＝0ε＝0
ρ＝1〜8，∫＝1〜㎜，ブ＝1〜η，∫＝0〜げ，
g＝0〜ブ， 4＝1〜6， 1z＝1， 2， z6＝∫（1z＝
1）orπ＝9（乃＝2）
38 不均一弾性地盤上の矩形板の曲げ解析
β繭＝＝δ繭＋（一1ア＋ ・δ。々，
拓・一 f誹）乱；，万・一議
7＝4＋δ，／＋δ3／＋2（δ、ノ＋δ，ノ＋δ6／）
s＝4十δ1ノ十δ2ノ十2（δ3／十δ4！十δ5！十δ6∫）
式（4）は，変厚矩形板の縦横の等分割線の交点におけ る，基礎微分方程式（2・a）〜（2・h）の離i散表示され た解析的近似解である．この解式中に含まれる境界従 属点の6個ずつの諸量X。∫。，X。。gはいわゆる積分定数 であり，境界条件によって決定されるべきものである．
また，任意の領域［i，j］の主要点における諸量x酬 を，この領域の境界従属点における諸書X。ノ。，X。。gに 関係づける要素伽ρ溜dは，伝達マトリックス法におけ
るいわゆる伝達マトリックスに相当するものである．
なお，（4）式の解析的近似解を求める方法の詳細につい ては，文献⑩を参照されたい．
α1。ぎ。fd＝1，α2。。ゴfd＝1 κ00 一 κ00 一 α110ブ01＝一αゐ α22fOO1＝一αf，
κfO κ0ゴ
DOO＿ 1）00＿
α 40 03＝怐G7αゴ・α25 003＝万一
1βひ、，・
。12、。、5一⊥β、、，蜘、一 κ0ゴ κご0
一一・搖｢・，一一・舞防
1 ＿ 1 ＿ α12ご0々6＝一γf々， a210ゴ 6＝
γブ ， κガ0
μκoゴ 1 ＿ 1 ＿
α 5fO々5＝ ｢γゴ々， a240ゴ 4＝の。、γ 函＝（一1）ご，
4．積分定数と境界条件
基礎微分方程式（2・a）〜（2・c）の近似解（4）に含ま れる積分定数X吻およびX。。gは，具体的には，それぞ れ，平板のζ＝0およびη＝0なる寸寸の等分割点
（f，0）および（0，9）における断面力および変 形を表わす．各分割点において6個ずつの積分定数が 存在するが，平板の境界辺の支持条件に応じて，これ らの中のいずれか3個の積分定数は既知となる．残り の3個の積分定数の値は対辺の境界条件によって決定
される．
Fig．2およびFig 3は各々，4辺自由板および対 辺単純支持他対辺自由板の積分定数と境界条件を示し ている．これらの下図において，（a）図は平板全体を対 象とした場合である．（d）図および（c）図は，それぞれ，
左右または上下の1軸対称性をもつ平板の1／2部分を 対象とした場合である．また，（b）図は，左右および上 下の2軸対称性をもつ平板の1／4部分を対象とした場 合である．各図において，隅角部の分割点の積分定数 および境界条件は，［＝コで囲まれている．なお，隅 角点における積分定数：および境界条件は，その隅角点 において交差する2境界辺上での諸量間の関係を考慮 して定められる．詳しくは，文献⑩を参照されたい．
また，その他の境界を有する矩形板の積分定数および 境界条件についても同じ文献（1①を参照されたい．
4．数値解析結果
（1）線形弾性地盤上の等厚薄板
はじめに，線形弾性地盤上の等厚薄板に関して，本 解析法による数値解の収束性および精度を明らかにす
罵！。
課騨
9x．
OX
u
Qゾ0・9y＝O Q】♂0．ex富0 戦ゾo qx80 嚇層0 9x■0
〔8）
qゾ0賑−O qx 0㍉80 野ヨOQゾ0，戦ゾ0，町0戦ゾ
圖
囲轡評 〔b）
q匡・0 戦y o
ト脹冨。
鯨 o
㌦ o 吟−o
旨。・吟−o
qx30．9x30
㌦−o
Ox
鯨 0 80
囲脚 （c）
Qx30 Mx冒0 eソ・9
㌧ u
Qx80 陶日0 9X■0
Qy胃0・ト〜ζソ躍0・My讐0
團 ㌧・賑・・
（巳）
圖
㌦
9x
圖
qy 炉。
㌦
ト》
輪♂0 9ゾo w甲0
岬
ロ の 》0・隙0．1。。
ヨむ
團㍉・9… 9・・x （b）
囲脚岬
（d）
Fig．2 1ntegral constants and boundary condi−
tions of plate with four free edges．
qゾ0・戦ゾ0・Oy80
・qゾw o圖
嚇
篤♂
ト｛x翼0
θyo
w80 嚇
Fig．3
㌧・9x・貿
（c） （d）
Integral constasts and boundary codi−
tions of plate two oPPosite edges s㎞ple supPorted and the others free edges．
評團
qゾ0・戦ゾ0 癜y。
Qゾ0・ト》コO px・0，9x鋤0
j o
qx冨0
j層0
Ox．0
昏・9x・冒 評
Table l Defleとtions of concentrated loaded square plate with all edges free．
（レ＝0．225）
K4
M 10 100 1000
4
@8 P2 P6 Q0
0．03753 O．04333 O．04508 O．004586
O．04628
0．008449 O．01073 O．01171 O．01220 O．01249
0．001392 O．002411 O．002944 O．003244 O．003428
4−8−12＊ 0．04663 0．01262 0．003448
Ref．3） 0．04686 0．01284 0．003598
＊Extrapolated Values，、κ4＝α4々／1）（ω1）／ρα2）
るために，集中荷重を受ける4辺自由板について，変 形の解析を行なった．その結果を北村ら3）の解析結果
とともにTable 1に示す．
同期より，本解析法による数値解は，分割数〃Zの増 加とともに一様に収束することが示されている．また，
8〜12分割程度の比較的粗い分割のもとでも十分実用 性のある解が得られている．さらに外挿式による推定 収束値は，北村らの解析結果とよく一致していること
が示されている．
なお，数値解の比較に用いた北村らの解析結果はせ ん断変形の影響を無視した薄板理論に基づいている．
一方，本論文に用いた基礎式（1・a）〜（1・h）は，せ ん断変形の影響を考慮したReissnerの平板曲げ理論 に基づくものである．したがって，これらの両者の比 較のために，本法における平板の解析においては，せ ん断変形の影響を十分に無視できる薄板を取り扱い，
板厚hと辺長aとの比をh／a＝0．01とする．
（2）非線形弾性地盤上の変厚板
次に，非引張平地盤上の4辺自由なる変厚矩形板に，
中央点集中荷重が作用する場合に関して，断面力およ び変形の解析を行なった．変厚板は，Fig．4に示すよ うな，一方向（∫方向）にのみ板厚が直線的に変化す る場合を取り扱った．また，地盤は倉田ら2）の文献に示 されているような，非線形的性質を有する双曲線形ば ねを用いた．その結果を，Winkler基礎上の変調矩形 板の解析結果とともにFig．5に示す．なお， Fig．5の 曲げモーメントおよびたわみは，Fig．4の〃＝α／2断 面上に関するものである．また，数値計算は12分割で 行なった．
この数値計算例では，薄板（h／a＝0．01）を取り扱っ ているが，わずかながら，M に関して，矩形板の変厚 性上の影響認められる程度で，M灘，ωに関しては，こ の程度の変厚性状では，その影響がほとんどないこと
がわかる．また，地盤がここで用いたような，非線形 性を有する双曲線形ばねの場合は，Winkler基礎とし
．て計算した場合に対して，中央点のたわみに関しては，
約1．5倍，中央点の曲げモーメントに関しては，約1．2 倍大きいことがわかる．
（3）矩形厚板
以上の数値計算例では，薄板を取り扱っているが，
0．8h O．8h y
ゑ2
0．8h
O．8h
1．2h
1．2h Free E．
11
o o
oL』 1
○
囚 億
OO」 1
L 1「
1
Freeε．
x 1．h
1．2h
Fig．4 Rectangular plate with varying thickness．
ミ 貯
1
璽雪隔一一一ﾓ、 一一一・・一一一一一
@ 、 ，■ρ、、
0．0
O．1
、、
A
@、 ，
@u
@ ・、 〆
0．0 一一m｡ド讐鴨 ミ
遵
0。1
0．0
㌔ ミ 程
0。01
、 ！、
l l
｡ト亀 94■
、 、
̲、 ，，ご 、 「眠 ，r
、
b／a＝1．0，v＝0．167
h／a署0。008−0．O12＿＿＿＿唇＿＿＿Winkler Modeユ
…響…54 一つ一・yp。・b。・i・M。…
Fig．5 Numerical solutions of rectangular plate with variable thickness on nonlinear elastic foundation．（four free edges）
40 不均一弾1生地盤上の矩形板の曲げ解析
211 卜。到 Fr
y
s』1』1⊥
q．
呈 X
トー一一 a一一・→i
simple S・E・
or Free E．
b／a＝1．O c／a＝1／5 h／a＝0．01 v＝1／6
：K＝3
ka4
：K4＝
D
Fig．6 Partially loaded square plate．
本論文で用いた基礎式（1・a）〜（1・h）は，せん断変 形の影響を考慮したReissnerの平板曲げ理論に基づ くものである．したがって，本解析法の矩形厚板への 応用性を検討するために，小林・園田9）の解析法による 解析結果との比較を行ない本法による数値解の収束性
および精度を調べた．
まず，．Fig．6に示すような，部分分布荷重を受ける 対辺単純支持他対辺自由板，4辺自由板，・および，中 央点集中荷重を受ける4辺自由板について，断面力お．
よび変形の解析を行なった．これらの結果を文献（5）の Table 2 Convergency qf numerical solutions of plate with two opposite edges simply supported and the other two edges simply supported a耳d the other、
two edges free under partially load．
（レ＝1／6，μ＝1，cんzゴ1／5， and K＝3）
ぬ ■＝α／2，∬＝0 ∬＝α／2，〃＝〃2
勉
α ω 盈 砥 ω 払
10 0；5036 0．7072 0．4482 0．3445 0．3481 20 0．5263 0．7977 0．5332 0．3473 0．3493 0．01
10−20 0．5339 0．8279 0．5615 0．3482 0．3497 Ref．9索 0．5345零 0．8244串 0．5603＊ 0．3487＊ 0．3488＊
10 0．5083 0．7081 0．4470 0．3432 0．3514 20 0．5319 0．7966 0．5344 0．3456 0．3540 0．05
10−20 0．5398 0．8261 0．5635 0．3464 0．3549 Ref．9 0．5407 0．8236 0．5615 0．3464 0．3552 10 0．5224 0．7053 0．4469 0．3415 0．3549 20 0．5487 0．7959 0．5357 0．3436 0．3595 0．10
10−20 0．5575 0．8261 0．5653 0．3443 0．3610 Ref．9 0．5581 0．8197． 0．5621 0．3443 0．3593 10 0．5453 0．6987 0．4471 0．3400 0．3563 20 0．5758 0．7861 0．5351 0．3419 0．3598 0．15
10−20 0．5860 0．8152 0．5644 0．3425 0．3610 Ref．9 0．5866 0．8130 0．5622 0．3425 0．3613 10 0．5768 0．6896 0．4470 0．3387 0．3555 20 0．6131 0．5348 0．3403 0．3593 0．20
10−20 0．6252 0．8055 0．5641 0．3408 0．3606 Ref．9 0．6258 0．8037 0．5618 0．3409 0．3610 Multiplier 1r3σゴ／D 10−2σα2 10−3副D 10−2σα2
＊The values are obtained from plate theory．
結果とともに，それぞれTable 2〜Table 4に示す．
示された諸量は，Fig．6に示す座標系における各点の 断面力および変形である．
いずれの解析においても，本解析法に基づく矩形厚 板の断面力および変形の数値解は，薄板の場合と同様 に，一様に収束することが示されている．また，外挿 式による推定収束値は，文献（9）の結果とよく一致して
Table 3 Convergency of numerical solutions of plate with four free edges under partially load．
∬＝α／2，4＝0
δ∫＝0，〃＝
エ＝α／2，〃＝ゐ／2 ぬ α
彫
〃エ ω ω 雌
0．01 10 Q0 P0−20
0．6872 O．7076 O．7144
0．5041 O．5959 O．6265
0．2628 O．2480 O．2431
0．4284 O．4235 O．4219
0．1695 O．1871 O．1930
0．10 10
Q0．
P0−20 0．7017 O．7257 O．7337
0．5006 O．5973 O．6295
0．2618 O．2472 O．2423
0．4253 O．4203 O．4186
0．1819 O．1864 O．1930
0．20 10 Q0 P0−20
0．7444 O．7787 O．7901
0．4959 O．5891 O．6202
0．2550 O．2404 O．2355
0．4181 O．4130 O．4113
0．1864 O．1969 O．2004 Multiplier 10−3σθ4／D 10−29α2 10㍉α4／D ・10−2σα2
Table 4Convergency of numerical solutions of plate with four free edges under a concentrat6d load apPlied at the center．（レ＝1／6，μ＝1，0／α＝1／5， and κ＝3）
ぬ 炉α／2，rO ∬＝0，V＝α／2 ご2 α｡；Q・ ； Q 吻
α
〃 藩 ω ω
4 0．01580 0．08479 0．008171 0．01117
8． 0．01746 0．1475 0．006406 0．01062 12 0．01794 0．1845 0．006077 0．01052 0．01 16 0．01815 0．2110 ．0．．005963 0．01049 4−8 0．01801 0．1684 0．004484 0．01044 8−12 0．01832 0．2141 0．005814 0．01044 4−8−12 0．01836 0．2198 0．005813 0．01044 4 0．01600 0．08459 0．008121 0．O1110 8 0．01789 0．1466 0．006377 0．01054 12 0．01853 0．1837 0．006058 0．01044 0．10 16 0．01885 0．2103 0．005946 0．01040 4−8 0．01852 0．1673 o．／05796 0．01035 8−12 0．01904 0．2134 0．005803 0．01036 4−8−12 0．01911 0．2191 0．005804 0．01036 4 0．001660 0．08398 0．007971 0．01088 8 0．01920 0．1451 0．006221 0．01033 12 0．02028 0．1823 0．005888 0．01024 0．20 16 0．02092 0．2089 0．005776 0．01020 4−8 0．02007 0．1907 0．005638 0．01015 8−12 0．02114 02121 0．005622 0．01017 4−8−12 0．02128 0．2179 0．005620 0．01017
Multiplier Pみ。 P Pゲ／o
いることが示されている．
（4）不均一な弾性地盤上の矩形厚板
前節（1＞〜（3）においては，弾1生地盤のばね特性の線形 あるいは非線形の差異こそあるけれども，全地盤にわ たり地盤は均一であるとして解析を行なった．しかし ながら，地盤特性が場所的に不均一な場合も存在しう るものと考えられるので，ここでは，Fig．7の上部に 示しているように，左側半分が々＝3．0，右側半分が々
＝2．5あるいは，ん＝4．0とする地盤反力係数の場所的 不均一性を考慮した弾性地盤上の矩形板の断面力およ び変形の解析を行なった．なお，矩形板は，中央に集 中荷重を受ける4辺自由板を取り扱った．その結果を Fig．6の〃＝α／2断面上の曲げモーメントおよびた わみに関して，Fig．7に示す．
同図より，曲げモーメント〃 ，脇に関しては，地 盤反力係数の不均一性の影響は，極めて小さいが，た わみに関しては，その影響は，大きいことがわかる．
したがって，限界状態設計法においては，使用限界状 態における検討は重要になってくるものと考えられる．
5．結 語
偏微分方程式の積分方程式への変換と積分方程式の
里
PaZ へ 」
0．1 0．2も㍉・，．．ゆ．．ゆ＿4・・一一◎・・→・一一4
｝．1。一、
里 一一
識）1＼、一…〜…「1：l
rlo L
」「 ．4P一，一
近似解法の応用とにより，弾性地盤上の矩形板の挙動 を支配する連立偏微分方程式の解析的近似解に求め，
これにもとつく，非線形弾1生地盤上あるいは不均一弾 性地盤上の変厚板の曲げ問題の一解法を提示した．数 値解析の結果，以下のことが確認された．
（1）矩形薄板および矩形厚板に関する既往研究結果と 本解析法に基づく数値解析結果との比較により，本 解法による数値解は一様な収束性をもっこと，また，
比較的粗い分割による解析においても実用上十分の 精度をもつ解が得られること，そして，外挿式を用 いることにより，さらに，精度の良い収束値を推定 することができることなどが確認された．
（2）非線形弾性地盤上およびWinkler基礎上の変厚 矩形板に関して断面力および変形の解析を行ないそ の挙動を明らかにした．その結果，変断面性の影響 は小さいが，非線形弾性地盤上の変厚板は，Winkler 基礎上の場合に対して中央点のたわみは，1．5倍，曲 げモーメントは，1．2倍となることがわかった．
（3）地盤反力係数の場所的不均」1生を考慮した弾性地盤 上の矩形板に関して，断面力および変形の解析を行 ない，均一な弾性地早上の矩形板との挙動特性の比 較を行なった．その結果，不均一性の影響は，曲げ モーメントに関しては，小さいが，たわみに関して は，大きいことがわかった．
本解法によれば，任意の境界条件をもつ矩形板に関 して，荷重の分布状態や板厚，板昇平および地盤反 力係数の場所的変化が不規則な場合でも，矩形板の 縦横の等分割線の交点におけるこれらの諸量が与え られれば，平野が規則的な場合と全く同様に解析す ることができる．
堅 P
（y＝0）
世 P
（y＝0）
ノ
㌦●
罫
0．5 1．O
L5
x10−1
陶㍉ −
＝＝・ぴ岡0．5
♪
買
買 一」r
㍉一●99 げ
h／aニ0．2 ソ＝1／6 μ31．O K＝ka↓／D
1．O
L5
K＝4・O x 10−1 一。一一一一 j＝2．5
Fig．7 Numerical solutions of rectangular plate with all free edges on non−uniformly elastic foundation．
Appendix
／1ρ1＝γク1，
∠4ρ2＝0，
∠し3＝ γク2，
∠4ρ4＝γρ3
、4ρ5＝0，
／1ρ6＝ γρ4十レγρ5，
／1ρ7＝ γρ6，
Aρ8；γク7
βρ1＝0，
βρ2＝μγρ1，
Bρ3＝μγρ3，
Bρ4＝0
βρ5＝μγρ2，
βρ6＝μγρ6，
βρ7＝μ（レγρ4十γρ5）
Bρ8＝γρ8 Cρ1々 ＝μ（γρ3十κ々 γρ7）
Cρ2配＝μγρ2十κ々 γρ8 Cρ3々 ＝ノ々 γρ6，
Cρ4配 ＝ ∫々 γρ4，
Cρ5々己＝ Z々 γρ5
Cρ6配；一μγρ7，
42 不均一弾性地盤上の矩形板の曲げ解析
Cρ7々 ＝ 一γρ8，
Cρ8々 ＝ γク1々々
［γρご］＝ ［アρ亡］一1・
ア11＝βπ， ア12＝μβゴゴ， ア22＝一μβごゴ， ア23ニ＝β∫ご，
ア25＝μβ 垣， ア31＝一μβガゴ， ア33＝μβガ， ア34＝βπ，
ア44＝一∫ごゴβfゴ・， ア46＝βfご， ア47＝μレβゴプ， 755＝
一ムゴβガ， 756＝レβff， ア57＝μβガ， ア63＝一ノf βU，
ア66ニμβガ， ア67＝二β揮， ア71＝一μκガβガ， ．ア76．＝μβfゴ，
ア78＝β湿， ア82＝一κf5βごゴ， ア「87＝βブ， ア88二βガ，
βピゴ＝βfご・βガ
参 考 文 献
1）能町＝弾性基礎上にある四辺四隅自由な矩形板の 曲げについて，土木学会論文報告集，第32号，1956 2）倉田，高端，谷平：非線形ばね基礎上の周辺自由
な平板の数値解析，土木学会論文報告集，第208号，
1972
3）北村，桜井：弾性基礎上の4辺自由板の級数解，
土木学会誌，Vol．64−3，1979，3
4）Cheng， M． S．：． A Simplified Finite Element Solution For the Plates on Elastic Foundations，
Computer and Structures， Vol．8，1976
5）Henry， t． y．：Flexible Plate Element on Elastic Foundation， Jour． Structural Division， Proc．
ASCE， Vol．96 ST10，1970
6）Svec，0． J．：Thick Plates on Elastic Founda一
tions by Finite Element Method， Jour． Engineer−
ing Mechanics Division， Proc． ASCE， Vol．102，
EM3，1976
7）Sonoda， K． and H． Kobayasi：Rectangular Plates on Linear Viscoelastic Foundation， Jour．
Engineerlng Mechanics Division， Proc． ASCE，
Vol．106 EM2，1980
8）園田，小林，石尾：線形粘弾性地盤上のはり，土 木学会論文報告集，第247号，1976
g）Kobayasi， H． and K． Sonoda：Rectangular Thick Plates on Linear Viscoelastic Foundations，
Proc． JSCE， No．341，1984
10）崎山，松田：変厚矩形板の曲げの一解析法，土木 学会論文報告集，第338号，1983
11）松田，崎山：非線形弾1生地盤上の変厚矩形板の一 解析法，長崎大学工学部研究報告，第23号，1983 12）Kerr， A． D．：Elastic and Viscoelastic Founda−
tion Models， Jour． Appliβd Mech， VoL 31，1964 13）成岡，中村編：骨組構造解析法要覧，日本鋼構造 協会，培風館
14）栖原二郎：平板の曲げ理論，日本鋼構造協会編，
培風館
15）Salvadri， M．：Numerical Computation of Buckling Loads by Finite Differences， Transac−
tions ASCE Vol．116，1951
