非線形地盤上の変厚板の一解析法

非線形地盤上の変厚板の一解析法

松 田 浩＊・崎山

^毅＊

Analysis of Rectangular Plates with Variable   Thickness on Non−linear Foundations．

by

Hiroshi MATSUDA＊and Takeshi SAKIYAMA＊

  On foudamental differential equation of rectangular plate with variable thickness， we researched into approximate solution in a point of intersection of crosswise line divided equally， and indicated bending analysis of rectangular plate with variable thickness on non−linear foundations．

  Increasing the number of crosswise line divided equally， approximate solution approaches to analytiCal SOlUtiOn．

  As a result of numerical analysis， it was found that the numerical solution converged uniformly，

and was practical by a few divisions，

1．まえがき

 変厚矩形板の基礎微分方程式は，任意の関数として 与えられる板剛度および板厚を係数とする，いわゆる 変数係数の連立偏微分方程式となるため，その解析解

を一般的に求めることはほとんど不可能であると考え られる．そのため変厚板の解析法としていくつかの近

似解法，数値解法が提案されてきている．著者ら ）も先

荷重条件および変断面性をもつ変厚板に対する解法の

汎用性を明らかにした．

 本論文は先に提示した矩形板の解法の，地盤上の変 厚板の曲げ解析への応用性について検討したものであ

る．

 地盤上の平板の曲げ問題については，古くから多く

の研究が行なわれてきているが，本論文ではWinkler の仮定に基づいて，地盤を軸方向のみに抵抗する独立 なばねが連続的に並べられたモデルとして取扱った．

同様のモデル化を行なった例として，能町2）は有限フ ーリエ変換を重調和微分方程式に拡張した方法で解析 を行なっており，倉田ら3）は差分法を応用した逐次近 似解法を用いて，非線形ばね基礎上の平板の曲げ解析 を行ない，また北村ら4）は固有振動モードを応用した 方法で一連の研究を進めている．しかしながら，現在

までのところ，地盤上の変厚板に関してはほとんど研

究が行なわれていない．

 本論文においては，線形または非線形の特性をもつ ばね基礎に支持された四辺四隅自由な矩形板に鉛直荷 重が作用した場合について，平板の挙動におよぼすば ね特性の影響などの検討を行なった．

昭和58年4月30日受理

＊構造工学科（Department of Structual Engin㏄ring）

2．地盤上の変厚板の基礎微分方程式

 平板のせん断力を（ゐ，Qエ，ねじりモーメントを

〃鑓，曲げモーメントを〃ヨ，π右，たわみ角をθ ，

微分方程式となる．

  馨＋響＋・一々ω一・

  響＋∂舞一α一・

  誓＋∂誓一α一・

讐＋・欝一努

・讐＋肇一薯

普＋讐一D（21一ン）撫

毎＋砺「蜜 讐＋島一頻

ここに，4＝σ（∬，〃）：

    0：せん断弾性係数，レ        Eぬ3

    ∠）＝

      12（1一レ2）

    ぬ＝ぬ（κ，〃）：

（1．a）

（1．b）

（1．c）

（1．d）

（1．e）

（1．f）

（1b9）

      横荷重強度，E：

       ：ポアソン比，

       ・板剛脇一畜

      板厚，々＝々（■，〃）：ばね定数

θ ，θエ，ωに関して，次の無次元量XI〜X，，

  （Xl，X2）＝（Q ， Qエ）α2／．0。（1一レ2），

  （X3，X、，X5）＝（仏。，！脇，佐）α／D。（1一ン2）

  X6…＝θ〃， X7＝・Qエ， X8＝Zρ／α

を導入すれば，式（1．a）〜（1． h）は次のように

書き換えられる．

要＋・誓一一σ＋晒

肇＋・讐一・＆

肇＋μ一誉一・凡      ∂X7

∂X6

  十レμ

     ∂η ^∂ζ

・肇と＋・∂券田島

要＋・寄爆

要＋・凡一・κXI

誉＋胴逓

（1．h）

弾性係数

（2．a）

（2．b）

（2．c）

ここ｝こ， 」r＝αη，〃＝∂ζ

    α，∂二矩形板の縦・横の辺長

   ・一音κ＝誰〆），五一認ゾ）

    4二μ1（」乙，σ。：基準荷重強度

    万一・礁納戸ばね定数

・一・（1一レ2）（毎ア，・一2・（1＋・）（努ア

（2．d）

（2．e）

（2．f）

（2．9）

（2．h）

    編：基準板厚

    κ一煮暑（誓）2毎一吻1無レ）

    凸一12（鴨・基準板剛度

 式（2．a）〜（2． h）を用いて，任意の横荷重を受 け，任意の境界条件をもつ，地盤上の変厚矩形板の曲

げ解析を行なうことができる．

3．基礎微分方程式の近似解

 任意の寺今矩形板に関して，任意の荷重条件および 境界条件の下で，基礎微分方程式（2．a）〜（2． h）

の解析解を一般的に得ることはほとんど不可能である と考えられるので，図1に示すような矩形板の縦横の 等分割線の交点を対象として，これらの離散点におけ る，基礎微分方程式の近似解を求める．

 図1に示すように，矩形板を横，縦方向にそれぞれ 呪，η等分し，これらの等分割線の交点の集合体とみ

なす．ここで，任意の交点（ゴ，かに関連する矩形領域0

控

n

コ

9

2 1

ζ

（i，」）

 0

Fig．1 0utline of present analysis．

n

≦η≦ηガ，0≦ζ≦ζゴに注目し，これを領域［〜，刀と表記 することとする．また，◎印を付けた交点（2，ノ）をこの 領域伝刀の主要点と称し，領域匡刀内の主要点以

外の交点（ノ ，g），∫＝0，1，……，ゴ，g＝0，1，・・…・，ノをこ

の領域の従属点と称することとする．さらに，従属点 に関しては，η＝0およびζ＝0の境界辺上にある●印

を付けた交点（！，0）および（0，g）を境界従属点と称 し，その他の○印を付けた交点（！，g）を内部従属点と 称して区別することとする．

 はじめに，基礎微分方程式（2．a）〜（2． h）の 各号を領域レ，刀において面積分し，積分方程式に変 換する．次に等間隔の数値積分法の応用により，領域

巨，刀の主要点α，かおよび従属点（ノ ，g）の諸量を用

（z，ノ）における値X酬に関する連立方程式が得られ る．この連立方程式から，領域レ，刀における主要点 X傭と境界従属点および内部従属点，（プ，g）の諸量

Xρ∫gとの間の関係式が求められ，次式となる．

  x…＝禽｛Σβご／ん ［Xげ。一X￠万（1一δノ∂ノ；0］

       ゴ

     ＋Σβゴ9βρ ［Xご。9−Xごゴ9（1一δ9ブ）］

      9＝0

     ＋磨墨鰍（禰＆館（1一δ・δ・）｝

       ご ゴ

     一ΣΣβf∫βゴ9ん1σ／9      （3）

      ノ＝09＝0

ここをこ，ρ＝1，2，・・・… ，8，ガ＝1，2；・・・… ，〃z，ブ＝1，2，・・・… ，η

    β漁 ：等分割数値積分の重み係数

    δfゴ ：Kronecker s delta

 領域［乙ノ ］を［1，1］，［1，2］，［2，1］，……と順次拡大し

てゆけば，ある領域の主要点は，次のより拡大された

領域の内部従属点となる．したがって，最小領域［1，1］

からはじめて，順次，領域を拡大しつつ，各領域の主 要点の諸量X鋤を式（3＞により求め，これを次の領域の 内部従属点における諸量X酬として，式（3＞の右辺に逐 次代入してゆけぼ，各領域の内部従属点の郵駅はすべ

て消去され，結局，任意の領域巨，刀の主要点（z，ノ）に おける裾野X鮒は，この領域の境界従属点（∫，0），（0，

g）における諸量X。∫。，X。。g，（7＝1，3，4，6，7，8），（s＝

2，3，5，6，7，8）のみによって表わされることになり，次 式のように整理される．

x…一

ここに・伽ガゑ｛自魚細鰍が伽刷（1一翻

 ゴ

  ＝0

        ＋謡鵬（厩・一・（1一δ々ごδ厚）｝

  伽・一禽｛嵩β副伽一幅（1一δ・・）］

     ゴ

   ＋Σβ，βρご［4εo 一（1ごか （1一δ ゴ）］

     ＝0

   ＋謡β酒面漁（1一δ・・δ・）｝

     ご ゴ

   一ΣΣβ読βゴ ん1伽

    々＝0 ＝0

    ρ＝1〜8，ガ＝1〜勉，ブ＝1〜η，〆＝0〜ゴ     g＝0〜ブ，4＝1〜6，1z＝1，2

    π＝∫（ぬ＝1）oγ9（乃＝2）

    α1。f曜＝1，α2。・ガd＝1

        κ00＿     」κ00＿

    α110ゴ01「薪α ，α22ご00王「斎αゴ         DOO＿      1）00＿

    σ140ゴ03＝『瓦7αゐα25ピ003＝万汀αゴ

    伽一一瀞・，蜘・一素魚     一一・卸・・蜘・一・新品

        1 ＿      1 ＿

    α12 0々6＝7斎γご々・伽ゴ 6＝μκ。、γゴ

        1 ＿      1 ＿

    α15 0々5＝蕊γピ々・伽0ゴ 4＝μ万。、γゴ     厩＝（一1）ゴ，βf々＝δ躍＋（一1）f＋1δ。々

    必・一1寺側，瓜一斗

    γニ＝4十δ2ノ十δ3ノ十2（δ4／十δ5ノ十δ6ノ）

    ε＝ゴ＋δ、ノ＋δ、∫＋2（δ3ノ＋δ、ノ＋δ，／＋δ、ノ）

 式（4）は，地盤上の変階下形板の縦横の等分割線の交

である．

4．地盤上の平板の積分定数と境界条件

 基礎微分方程式（2．a）〜（2． h）の近似解（4）式 に含まれる積分定数X。∫。およびX。。gは，具体的には

0）および（0，g）における断面力および変形を表わす．

各分割点において，6断ずつ積分定数が存在するが，

平板の境界辺の支持条件に応じてこれらの中のいずれ

か3個の積分定数はゼロとなる．残りの3個の積分定

  Qy＝O   My＝0

θy，θX

w

鞭 囲

Qy＝O Mxy＝O My＝0

Qy＝o，My鎚o Qx30，Mx冒0 阿xy＝0 Free E．

Qy・0凹・y・O Qx30θx＝0

Free E．

θy，θX，W

（a）

 Qy＝O  Mxy＝0  θy50

山 婁

L

Qx＝0 阿xy＝0

円x＝0

蕪ll 1

   （b）

Qy＝0

θy胃0

Qy＝o θy＝o Mxy＝

Table．1 Spring of various character（3｝

Tensional reaction Compressional reaction Winkler mode1 1inear 1inear Notensity winkler冊odel 一 1inear

Expornentia1皿ode1 ^一 expomential function Hyperbolic mode1 o hyperbolic function

θy，θX

W

Qx冨0，凹x80

Qy＝0

θX，W

θy θX

囮

 W

1離ll・

qy＝0，14x撃O Qx＝0，θy謬O Mxy詔0

 θy，θX，W

  （c）

Fig．2

θy，θX

 W

卜1y−0

Qx＝0

卜1xy冨0

Qx＝0

θy θX

w

qy30 図y；0 0x冨0θx＝O Mxy＝

θy・θx 門x雲0

W

（a）

Qx＝O Mxy＝0

θx＝0

・y，鱒癖

 （d）

Constants of integration and boundary conditions．

1 2   0

P τensionai Reaction

（b）

Compresslonal Reaction

（c）

21

P

（d）

P

Fig．3  Basic principle of analysis．

 地盤上の平板は，四辺四隅自由な境界をもつ．その 積分定数と境界条件を図2に示す．塾図において（a）図

は平板全体を対象とし，（c）図および（d）図は，それぞれ 上下または左右の一軸対称性をもつ平板の2分の1部 分を対象とした場合である．また（b）図は，左右および

分定数および境界条件は□で囲まれている．

5．種々の性質のばね基礎

 地盤上の平板を解析する際，基礎を線形ばねが連続 したモデルとしたWinklerの仮定に基づいて取り扱う 場合が多かった．しかしながら実際の地盤は引張りに 対して抵抗せず，ばね性状が非線形性を示すため，従 来の解法では満足されない面もあった．非線形地盤上 の平板の解析例は，前述の倉田ら3）の研究に見受けら れるのみである．本論文では，表1に示すような種々 のばね基礎に対して解析を行なった．

 解法の基本原理は，まず図3（a）のようなWinkler形

の場合を解析し，浮き上がった区間1〜2の部分のば ねを除去する．次に（b）のような系を解くと，（c）のよう になる．さらに浮き上がった区間2〜3の部分のばね を除去し，（d）の系を解析し，収束するまで反復計算す

6．数値解の収束性および精度

本解析法による地盤上の矩形板の数値解の収束性お

よび精度を検討するために，まず線形ばね基礎上の等 厚板に関して，既往の近似解法による解析結果および 解析解との比較を行なう．次に非線形ばね基礎上の等 厚板および変厚板に関して解析結果を示す．

 （1）線形ばね基礎上の等厚板

 はじめに，本解析法による数値解の収束性を検討す るために，正方形板の中央に集中荷重が作用した場合 について変形の解析を行なった．図4は分割数呪と中 央点および隅角部のたわみとの関係を表わしたもので ある．ここで，隅角部のたわみω。は浮き上がり量を示 す．図中の実線は非引張性Winkler形ばねの場合で，

破線はWinkler形ばねの場合である．同図より，本解 析法に基づく変形の数値解は，分割数〃zの増加ととも に一様に収束していることがわかる．この結果は，非 線形性を有する指数形ばねおよび双曲線形ばねの場合 についても同様であった．また，地盤の引張反力の有 無による変形の影響は，中央点のたわみω。に関して はその影響は小さいが，隅角部のたわみz〃。に関して は，負の地盤反力の有無による影響が顕著であること

がわかる．

 次に，本解析法による数値解の精度を明らかにする

ために，Winkler基礎上の等厚板に関して，図5に示

表3に示す．表2，表3ともに，本解析解が他の近似

§

§ 憲

儲

G．1

0。05

0．0

／倉一…σ一一一

H

／／ y

・・U…．・

ソヨむコ

 i

。一一Z一一 Winkler （center）

一一一i）一一一  No−tenSion （center）

一一一｣一一一 Winkler （corner）

一一

i

1

▲一…▲一一一一一▲…一査一一一一去…一一▲

   4 8 1216 20 24m

         Division nu田ber

Fig．4 Relati6n between division number（m）

    and deflection （ o or zθc）

 （2）非線形地盤上の等厚板

 正方形板の中央に集中荷重が作用し，ばねが非線形 性を呈する場合，そのばね性状が断面力および変形に 及ぼす影響について調べた．図6は，荷重と中央点の たわみとの関係で，図7は荷重と隅角部のたわみとの 関係で，また図8は荷重とモーメントとの関係を表わ したものである．各々の図に，Winkler形ばね，非引 張性Winkler形ばね，指数形ばね，双曲線形ばねの場 合を示している．これらの図より，たわみに関しては ばねの非線形性の影響が明らかにみられるが，モーメ

ントに関してはWinkler形ばねとして解析した場合

においては従来のWinklerばねによる解法で十分で

響を考えなければならない．

 （3）非線形地盤上の変厚板

WO

1

q

｝  1

a／4

a／4 ^T  aユ

■L・

E＝2．1×105  kg／cm2

a＝200cm

k罵10 kg／cm3

   t司5cm

」一q＝1・Okg／・m2

P

2．0

會

器

卸・o

§

」

0．0

礁継・．5

v＝0．167 ．

！

！

   ノ         び

   ！   ／

 ！！ ／

．！

^

！  

／

^／ 凶

一一。一Z・・冒winkler mode1 一（）一一凹otensity 冒inkler

一一

u幽睡一・一Expornent至al r剛ode1

十Hyperbol i c㈲de1

Fig．5 Case of partially and uniformly load．

    0．1      0．2      0．3        Deflection      （P321【瓶2）

Fig．6  Load−deflection （zoo） curves．

Table．2 Case of partially and uniformly

Author Kurata Noumachi

Table．3 Case of concentrated load．

（cm）

K

10

0．04628 0．04686

  2 P0 0．01249 0．01284

103 0．003428 0．003598

P

2．

倉

目

3

0．

φ

6

ノ

φ

ノ

ノ

φ一

！

／

／

／

，▲く

・・

ｦ・・…

v＝0．167

一一一ｭ1レー一一冒inkler mode1 一く｝一指）tenslty Winkler

−r4L・一・Expor臓ential mode1

＋Hyr培rb。1ic mde1

（・・毒）

    0．1      0．2         0●3 （Pa2／DA2：

      Deflecti on （ 冒。 ）

Fig．7  Load−deflection （ωc）curves

 P

2．0

倉

器

ゼ

F

P．0 琶

」

0。0

・需…．・

v冨0．167

  ．壬∠

 ，！ζ／

．．多ク

十

  ／

／

一一一

怦鼈鼈黷翌奄獅汲撃・秩@mode1

一・P」L冒・一Expornential mode1

十Hyperbolic 罪node1

   0●1        0尊2         0・3   （P）

       図omer当t（ 卜1X ）

Fig．8 Load−moment（Mx）curves．

（P） P

  0●く 一

MX

Oj

 （P）

My O

0．1

 地盤上の平板に関しては，古くから多くの研究が行 なわれてきているが，非線形地盤上の変厚板に関して はほとんど研究が行なわれてない．そこで，図9に示 すような一方向にのみ板厚が直線的に変化する変厚板 に関して，断面力および変形の解析を行なった．この 場合の地盤は非線形性を呈する双曲線ばねを想定し，

分割数は10分割で行なった．なお，各点の諸量は，〃＝

α／2上の断面力および変形である．結果を図10に示

す．

7．結  語

 本論文は，先に提示した変厚板の解法の非線形地盤 上の変厚板の曲げ解析への応用性について検討したも のである．数値解析の結果から，本解析法による数値

 0．8h

  y

a 2

0．8h

 O．8h

1．2h

1．2h Free E．

@      日

@       ＄

@      と

d8血         Free E．

X 1．2h

1．2h

Fig．9 R㏄tangular plate with variable     thickness．

w ⁰

 0．1

（謡

へ ^一

無明・・5

Fig．10

解は一様な収束性をもつこと，

による解析においても，実用上十分な精度をもつ解が 得られることなどが確認され，本解析法の妥当性が検

証された．

 したがって，地盤上の変厚板の解析においても，先 に提示した変厚板の曲げ解析と同様に，荷重の分布状 態や板厚，板剛度の場所的変化が不規則で関数表示で きない場合でも，矩形板の縦横の等分割線におけるこ れらの諸量の値が与えられれば，諸量が規則的な場合

と全く同様に解析することができる．

 ［Appendix］

       v冒0．167 Results of numerical analysis of

rectangular plate with variable thickness on non−linear foundations．

         また，比較的粗い分割

ノ4ρ1＝γρ1

、4ρ2＝0

、4ρ3＝γρ2

、4ρ4＝γρ3

．4ρ5＝0 ん6＝γρ4＋ンγρ5

、4ρ7＝γρ6

、4ク8＝γρ7

βρ1＝O Bρ2；μγヵI Bρ3＝μγρ3 βρ4＝O Bク5＝μγρ2 Bρ6＝μγρ6 B＝μ（レγρ4十γρ5）

βρ8＝γρ8   Cρ1ノ：9＝μ（γρ3十、稽9γρ7）

  Cρ2／9＝μγρ2十κ／9γρ8   Cρ3ノ：9＝ノン9γρ6   cρ4ノζ9＝1：ノr9γρ4

［γρご］＝［γρ ］一1，βπβガ＝βガゴ

Cρ5∫9＝ム9γρ5 Cρ6∫9＝一μγρ7 Cρ7／9＝一γρ8 Cρ8∫9＝γρ1々／9

［γρ，］＝

 β良   μβガ   0    0    0   0  0 一々どゴ  0    一μβガ，  βff   O   μβガ  0  0   0

一μβゴゴ   0    μβガ   βごf   O   O  O   O

 O     O    O  −／ガβゴ  0  βfゴレμβガ 0  0     0     0    0  −1fゴβずゴレβffμβ」」 0  0     0  一み」βヴ  0    0  μβガ βガ  0

一μβガ，κfゴ  0     0    0    0  μβi」 0  βど

 0   一κf」βヴ 亀0    0    0   0  βfゴ βガ

参考文献

1）崎山毅・松田浩；変厚矩形板の曲げの一解析法，

 土木学会西部支部研究発表会講演概要集，1983．2，

 p．12〜13

2）能町純雄；弾性基礎上にある四辺四隅自由な矩形  板の曲げについて，土木学会論文報告集，第32号，

 1956， p．26〜32

3）倉田宗章・高端宏直・谷平勉；非線形ばね基礎上  の周辺自由な平板の数値解析，土木学会論文報告集，

 第208号，1972年12月，p．13〜21

4）北村泰寿・桜井春輔；弾性基礎上の4辺自由板の  級数解，土木学会誌，Vol，64〜3，1979年3月， p．

 61〜66