せん断変形を考慮した一連の平板曲げの理論について
―静荷重を受ける単純支持矩形板に対する各理論の精度の検討―
根岸嘉和平島健一
（昭和56年8月31日受理）
On the Theories of Bending of Plates Including the Effects
of Transverse Shear Deformation
-Comparisons of Various Theories for the Cases of Simply Supported
Rectangular Plates Under Static
Load-YoshikazuNEGISHI Ken-ichiHIRASHIMA Abstract Various technical theories of elastic plates taking into account the effects of transverse 、hea， d。f。，m。ti。。 h。v。 been p・・p・・ed by m・ny i・ve・tig・t・rs su・h・・H・n・ky・Mi・dli・・ R。iss。。，， Amb。，t・umy・n， K・・mm， D・nn・11−Lee， S・hmidt・L・et・1・P・n・and…n・ 1。th。 p，e、ent．P・p・・， w・・umm・・i・e f・・m・1・・i・・p…ess・f・h・i・th…i・・whi・h m・y b。di。id。d i。，。（1）di，pl。。em・n・assump・i・n・yp・，（2）…ess assump・i・n・ype and（3） i、。，a、ive apP，。xim・・i・n・yp・， by・・e・f m・ny・fi・w・・h・…and・・bl・・N・m・・i・al・al・ul・ti’ 。n， f。r sq。。，e pl。・。・under sinu・・id・11・adi・g・t th・upPer su・face a・e carri・d・ut f・・ 、h。i，、h。。，i。， a、 p。，am。・…f・hi・kness−・p・n・a・i・・Th・・e・e・ul・・a・e・・mp・・ed with the exact solution of the comparable problems in the linear theory of elasticity． fi 1． まえがき 対象とする板厚が十分薄いという前提のもとに，曲 げを受ける平板の解析の古典理論は・Kirchhoff−Love の仮定に基づき，板厚方向の直応力a・と直ひずみ εxとを面内方向の成分に比して十分小さいとtて無視 し，さらに板厚方向のせん断変形も完全に無視して定 式化がなされている。この理想化のために，古典理論 はその適用範囲に制限を受けることになる。たとえ ば，平板の厚さがその幅や奥行きに比してある程度以 上厚くなった場合や，応力集中問題および短波長の作 用荷重などのように板厚に比して急激な応力変化が生 ずるような問題に対しては，平板曲げにおけb板厚方 ＊福島工業高等専門学校 土木工学科 講師 （現在，文部省内地研究員として山梨大学に滞在中） 向の成分は無視できない大きさになり，これを無視し た古典理論の与える解にはかなりの誤差が含まれるこ とになる。したがって厳密な解を得るには，たとえ平 板であっても3次元弾性論による解析が必要であるこ とは言うまでもない。しかし，3次元弾性論の基礎式 から所要の解を得ることは，一般にかなりの数学的困 難さを伴うものであり，またこの方法によって厳密解 が得られる条件を備えた問題は限られているといって よい。そこで，古典理論にせん断変形をはじめとする 板厚方向の成分を近似的にとり入れることによって， より精密化された2次元化平板曲げの理論を構築し， 比較的簡便な計算によって工学的に十分な精度の解を 得ようとする試みが数多くの研究者によりなされてき た1∼21）。しかし，それらの各種理論の総合的な位置づ けと詳細な精度の比較検討を行った論文は未だ見当たらない。 本論文は古典平板理論の改良を目指した，一連のせ ん断変形を考慮した平板曲げの埋論について，その基 本仮定および支配方程式とその導出法における各理 論間の関連性を系統的に整理するとともに，具体的な 数値計算例を通して，精度上の詳細な比較，検討およ び考察を行うことを目的とするものである。なおここ で検討する各理論の中には，主に動的な問題を扱った ものや，非線形問題への適用を主眼とするもの，およ び対象とする材料に異方性，層状性を考慮したもの， あるいはこれらの併合されたものなどさまざまなもの があるが，本論文においては，各理論の本質的な特徴 をとらえた検討を主眼とすることから，問題を等質で 等方性の材料よりなる等厚平板の静的な線形弾性問題 に限定し，各理論の式の整理および数値計算を行うも のとする。 2．せん断変形を考慮した各種平板曲げの理論 ここでは，せん断変形を考慮した各種の平板曲げの 理論を，三つのグループすなわち，（1）変位仮定理論， （2）応力仮定理論，および（3）逐次近似理論に分け， それぞれのグループの理論的特徴を，そのグループの 代表的な理論に対する導出過程のflow chartを用い て述べ，また各グループ内での個々の理論の概要と関 連性を，一覧表を用いて明らかにする。なお，flOw y／ P（x，y） 一一一x z 2 Fi9．2−1 Coordinate system and external load vector apPlied at the upPer surface of plate． y，Uy Fi9．2−2 Nomenclature for displacements， stresses， forces and moments per unit length of section． chartおよび一覧表における支配式，各力学量の式 で，エ方向に関するものとor方向に関するものとが 相似な形で与えられる場合は，紙面の都合上X方向 に関するもののみを示す。なお，対象とする平板の形 σx＝−Z茶香iω・x・＋・w・・y），・y E τ㌍一Z?ｱτω・xe 砥＝−1）（初，xx＋レw，鮒），晦 Mxy＝ヨ1一レ）Dω，xy 支配方程式 DAdw＝P（x，y） （応力の釣合式） （表面の境界条件） （応力，断面力の釣合式） （表面の境界条件） Fi9．2−3 Flow chart of deduction of governing equations due to classical thip plate theory． 仮定：u．T＝zβx（x，y） Uy＝2By（x，y） ax u与、・（B・，x・・B・，y），ay rxy−Q（EP十レ）・（B…＋B・・x） Txz− Q（、§、）（B・＋…）・ry2 （仮想仕事の原理） βx＝−w・x＋it Qx・βy Fig．2−4 払一一D（婦・鋤＋㍗・＋告r。孔批 M・y−一（1−・）D・，・y＋芸（Q。，y＋Q。，x） Flow chart of deduction of governing equations due to Hencky theory．
状と座標系はF壇．2−1に示すようなものとし，平板 要素に作用する応力，断面力の記号と方向をFig．2−2 のように定めるものとする。 （1） 変位仮定理論 基礎式の導出の最初の段階で，変位成分をある関数 形に仮定することから出発する理論を，変位仮定理論 とよぶ。この種の理論には，Hencky理論1）， Mindlin 理論2），Schmidt理論3）， Loらの高次理論4∼6），一般 化高次理論7）があげられる。これらのうちで最も基本 的な考え方が示されているHencky理論1）を例にと り，その支配方程式の導出過程をflow chartで示し たのがFig．2−4である。この図と，古典理論につい て支配方程式の導出過程を示したflow chart（Fig． 2−3）を比較することにより，古典理論と変位仮定理 論との違いは，最初の変位仮定にあり，古典理論では 板内のすべての点の変位が中央面の鉛直変位Wで表 わされる，つまり Uz＝ω（x，ツ）， Ux＝−zw，x，Uy・＝−2τρ，y （2．1）＊ として独立関数をWのみとしているのに対し，変位 仮定理論では，変位成分を平板の厚さ方向に級数展開 し，Wのみならずその低次項のいくつかを独立関数 として採用した点にあるといえよう。 例えば，Hencky理論では変位成分を次のように仮． 定する。 Ux＝zβx（x，ツ）， Uy ＝ zβy（x，ツ）， Uz＝w（x，ツ） （2．2） ここで，β。，Byつまり横断面の回転量も独立関数と なっており，このことが板厚方向に一定のせん断変形 を考慮できる可能性を示している。 Mindlin理論2）は， Hencky理論と全く同じ形の 変位成分の仮定から出発するが，この形の変位仮定で は，Hencky理論にみるように板厚方向に一定のせ ん断応力分布となり，板厚方向に変化するせん断応力 の効果を近似的に考慮するため，せん断補正係数κ2＊＊ が導入されている点が，Hencky理論と異なる点であ る。このことから，Mindlin理論での平均的断面回 転量B。，Pyは次のようになる。 Px−−w，・＋。，6ん（払β・一一W，y＋。，さ乃Ω炉 （2．3） ＊コンマ（，）の後の添字はその変数による偏微分を 表わす。 ＊＊Mindlinの理論では動的な項が考慮されており，
彼はこの係数が動的瀦鄭よって・・一一
￨≒
0．822となることを示した2）。上式においてκ2を1．0とした場合がHencky理論
となる。 Schmidt理論3）は，次のような変位仮定から出発 している。・・一一・暢＋昔丁〔3一㈲2〕・…
ecz＝w（二らN）， （2・4） これはzに関して3次式のせん断変形を考慮してお り，したがってせん断応力として2次放物線分布を考 慮したことと同等である。この結果面内応力成分もZ の3次関数で表わされる形をとることになり，これに よって現実の応力，変位分布により近い分布を得る可 能性が与えられたことになる。なおMindlin理論の翅耀式rて…一÷と置・・たものはS・hm・
idt理論の支配方程式と一致する。 Loらの理論4∼6）は，変位仮定理論の中で，平板曲 げにおける板厚方向の効果を最も良く表わすための必 要最少限の項数を採用したものといえ，次のような変 位仮定から出発する。1霊鰺篭＋耽輪｝（2・5）
この仮定により，曲げ効果に加え面内効果も考慮で き，さらにUzが2の関数となっていることからεz の存在も含まれており，したがって板厚方向の効果は 一応すべて考慮された理論になっている。 さらに，変位仮定理論の中で最も一般化された変位 成分の仮定から出発したものが，著者の1人による， 一般化高次理論7）（General Higher・Order Theory 以下G．H一理論と略称）であり・この理論では次のよ うに三つの変位成分を，板厚方向に無限級数（i．e．ベ キ級数，Chebyshev多項式， Legendre多項式・ Fourier級数）展開することによって完全に一般化さ れた変位仮定： ooUa＝Σ9。（η）u。（・）（x，ッ）， 銘＝0 Uz＝z］ 2m（η）Uz（m）（x，ツ） m＝O hここにα＝の・η＝・／i
（2．6） による定式化がなされており，これによって理論的に は任意次数までの板厚方向成分を考慮できることにな っている。なお，この一般式における項数をべき級数 展開の場合について，x， rv方向に3次（n＝3）zまで方向に2次（m＝2）までとったものはLoらの理論
と一致する。 （2） 応力仮定理論 理論構成の最初の段階で，応力成分の関数形を仮定碇犀響・麺一11呉石一1㍗・
（釣合），（表面の境界条件） ≡；余［1−（聞㌦ （釣合），（表面の境界条件） ら一一?m・一・㈲・㈲3／ 構成） εκ，εy，γ鋤γエz，γ鵬 全系のコンプリメンタリエネルギー @ 17＝α一w。 断面力の釣合式；付帯条件 u，。＋ルんザQ。＝0，etc p鍋＋Q紗＋ρ＝0 コンプリメンタリエネルギー停留の原理、 （ ：付帯条件つき βx＝−w・x＋彌万Qπ・βy M・… −D（輌＋・w，yy）＋誓Q元5r告P，批 M・一一（1−・）・耐告（Q・、y＋Q。，x） 醗ん断力に関する％’・Q・−Qx−D・晦瑞≒偏。・c．㌶￡㌢る加・一・竜岩・・
Fi9．2−5 Flow chart of deduction of governing equations due to Reissner theory． することから出発する理論を，応力仮定理論と呼ぶ ことにする。Reissner理論8∼10），、Fersht理論11）， Hartranft理論12）， Ambartsumyan理論13），拡張 Amb・・t・u㎡y・n理論・4・， K，。mm理論1・一・6・， P。。c 1 の一般化理論17）等がこの範ちゅうに属するが，こ れらの中で最も基本的な考え方を示したものとして Reissner理論を選び，理論構成の手順をflow chart でFig．2−5に示す。 Reissner理論8∼10）は面内応力成分を，梁理論にお けるものと同様にzの1次関数：ら一1
xパー12欝ちT・・−12麗・・
（2．7） と仮定することから出発する。さらにこれらを用いて 釣合方程式から面外応力成分，すなわちτxz，㌔zはzの2次放物線分布，らはzの3次曲線分布の形で
求められ，これらの効果が変位および断面力の計算で 考慮される。また，この理論での変位は，断面の回転 量および面外方向の変位を，それぞれ板厚方向にとっ た重みつき平均値で代表させることにより，上述の応 力成分の仮定と整合性をもたせた形で，面内変位がZ の1次関数，面外変位がzに独立な関数で表示され るという仮定が設定されている。Fersht理論1DとHartranft理論12）は同じ内容
の考え方で，共にReissner理論の一般化をはかった 理論であり，応力を次の形に仮定する。 a・＝」臨〔一∫”（Z）〕et・・， τ。・・ 2。ft（Z）・tc．， σz＝Pf（x） （2．8） つまり，これらの応力の仮定はReissner理論での応 力仮定を搬化したもので・∫ω一一煤k2−3㈲
＋㈲3〕とおけばR・issn・・輪と完全1，・一致す る。 Ambartsumyan理論13）（以下， A一理論と略称） もReissner理論の一つの拡張理論といえよう。この 理論は面外せん断応力を τxg＝OP（x，ツ）f（x）， τyz：＝ψ（x，ツ）f（z） （2．9）＊ と仮定すると共に，面外方向直ひずみをεz≡0と仮 定することから出発している。第1の仮定をせん断力 2xで表わし，らをz方向の釣合方程式から決める ことになるが，それらの結果は次のようになる。 T・a ＝ ex〔 1K−（；）f（・）〕e・… a・・＝−P〔」・（・）・−K’（÷）＋÷〕 （2・・0） ここに， J・（・）一∫gf（戯κ（21−）−J・（芸）−」・（一÷）・ K＋ih2）一÷〔J・（÷）＋」・（一｝）〕 （2…） 上式において，f（Z）はせん断応力の2方向分布であるが，Ambartsumyanが示しているように2次放物線
分布・∫ω一÷（÷一・・）と醐ま・これらの応 力成分はReissnerの仮定したものと全く同じ形にな る。また，この場合のたわみWおよびせん断力に関 する支配方程式はReissnerの理論での式と完全に一 致する。A一理論での変位成分は，面外方向の変位に 関しては第2の仮定からUz＝w（x，Pt）＊＊となり，Rei・ ｝ssnerの形と一致するが，他方，面内変位は Ux ＝u ’一 2w）x＋f苦1÷）ゐω鋤輪
（2．12） の形をとり，Reissner理論での直線変化の変位に比 べ，高次変化が考慮できるようになっている。さらに 上式のecは中央平面の面内変位成分で，これらが未 ＊簡単のためx＋＝x−＝Y＋＝Y−≡o，f、（づ＝f、（づ≡… f（2），の場合について示す。 ＊＊Reissnerは重みつき平均としてのたわみをとって いるが，Ambartsumyanは中央平面でのたわみと している点に若干の差がある。／ 知関数として新たに加わることになり，これによって 曲げ効果に加えて面内効果をも考慮できる理論となっ ている点に拡張が見られる。同様の拡張が面内応力成 分においてもなされていることが，O，。の式の形から 容易に理解できる。
著者の1人による拡張Ambartsumyan理論14）
（以下，拡張A一理論と略称）は・前述のA一理論に おける第2の仮定，つまりεz≡0の仮定をはずし，εz の影響を近似的にとり入れた理論であり，A一理論に よる解析結果を，第1次近似解とし，そこで得られた 面内ひずみ成分と面外直応力かららを求め，これとAmbartsumyanの第1の仮定とを併せて・A一理論
にしたがって第2次近似の理論を展開してゆき，この 手法をくり返すことにより，より高次の近似が可能で あることを示したものである。この結果，Reissner 理論からA一理論に至るまで見捨てられていたezの 影響が考慮でき，直接的には，面外方向の変位が Uz（X，y，つの形をとり得るように拡張がなされ，間接 的にも，各種の力学量におけるezの効果が算入でき るように理論的拡張がなされたことになっている。 さて以上述べた一連の応力仮定理論とは，多少趣を 異にした別種の応力仮定理論について次に述べよう。 その第1はKrommi S∼16）によって提唱されたもので， この理論では出発点での仮定で面外応力成分を τxzニ9x（X，ツ） f’（2） etc・， azニP（x，y）f（z） （2・13）＊ とおいている。これらの一般化された応力仮定は，前述のFershtならびにHartranftの各理論と全く同
じものであり，したがってこの理論も応力仮定理論の 一つと考えてよい。しかし前述の一連のせん断変形を 考慮した平板曲げの理論がすべて支配方程式を導く際 に断面力の釣合条件を満足させるという方向をとっているのに対し，Kromm理論は，応力レベルでの釣
合式を満足させることを目指して構成されているとい う点がその特徴である。また，この理論では一般形で 求まったたわみω，せん断力9に関する支配式をも とにして，平板曲げの問題を，（1）曲げ状態（w ￥O） と，（2）せん断状態（ω＝O）の二つの状態に分け， さらに前者では荷重ヵ＠，Pt）の関数形によって問題を，①P＝一定あるいは0，②Pが調和関数，③P
が非調和関数の三つのケースに分け，適切な∫（2）の 関数形を採用することによって，上述のように細分化 ＊原文ではτxz＝2xf2（z）， Oz＝Pfi（2），とおいてい るがZ方向のつり合いよりf2＝fi’が必要条件とな ることは明らかなのでこう書くことにする。 された各場合に対する支配方程式が導かれている。な お，この理論では②の調和関数荷重ヵの場合は扱え ず，解が得られないという欠点がある。Krommはこ の，場合分けされた支配方程式を導くことによって， 他の一連の修正理論と同様に，一つの境界で3個の独 立な境界条件を満足する解を得ることに成功したと言 えよう。 次に，Pancによる一般化理論17）（以下， G一理論と 略称）について述べる。この理論は，Kromm理論に その基礎を置くものであり，Kro’mm理論における面 外応力成分の式（2．13），さらに面内応力成分の式 ゜x ＝一E芸㌻蒜嘉；）〔閻
…一一
AE，卿〃
＋〔fi（z）−f（0）〕（9・， ・」＋2・，，x） （2．14） をそのまま応力仮定として用いこれを出発点とする。 G一理論とKromm理論との違いは・前老では・後者 で解が得られなかった調和荷重Pの作用する問題も 扱えるように工夫がなされていることであり，この制 約を取り除いた点に拡張が見られる。一方，Kromm 理論の支配方程式の断面力表現の式としてG一理論 の支配方程式が与えられることから，この理論は Kromm理論の積分形表現であると見なせる。 （3） 逐次近以理論 ここでは古典理論による解を逐次近似解の第1次近似解として持つPancによるComponent理論17）
と，古典理論による解を級数解の第1項としてもつ DonnellとLeeによって提案された理論18∼20）とを， 古典理論を基本とした逐次近似的な解法の類似性から 一つのグループとして，逐次近似理論と呼びこれらに っいて述べる。 Compone皿t理論17）（以下C一理論と略称）は，Fig・ 2−6のflow chartに示すように，平板の古典理論を 出発点とした（通常第1次∼第3次までの）逐次近似 手法による理論で，横荷重による曲げを受ける平板の 挙動に関する種々の力学量は，以下に示す各解析段階 で求まった値の重ね合わせで得られる。 第1段階；古典理論による解析・すなわち板厚方向 の各成分（az，εz，γ。’z，γ，J、）≡0の仮定から出発し，い わゆるKirchhoff・Loveの仮定に基づく解析を行う。 第2段階；第1段階の解析により得られたγXff，γ批 から出発し，この段階での三つの合モーメント成分 （Mx7， MyT， M。y。）＝Oという条件，つまり第1段階 でのモーメントのつり合いを乱さないという条件を用いて，横荷重によるせん断変形によるたわみを求め る。 第3段階；平板の支配方程式が境界においておの ノおの三つの境界条件を満足できるようにするため， P≡0，w≡…0のせん断変形状態を想定し，これをτ．。’、， τ，y。”の分布が前段階と同じ2次放物線分布であるとし て解析する。 以上が第1から第3段階までの逐次近似の過程の概 要であるが，Pancはこの方法により，より高次の逐 次修正が可能であるとしている。C一理論と他の修正 理論との関係は次のようになる。この理論と応力仮定 理論の一つとして述べたKromm理論とを比べると， C一理論の第1，第2段階と Kromm理論の曲げ状態 とが対応しており，特にP＝一定あるいは0の場合 のKromm理論の式は，支配方程式をはじめとして 各力学量の式がすべて完全にC一理論の第2次近似 までのものと一致する17）。また，C一理論の第3段階 とKromm理論のせん断状態が対応し，両理論とも この状態を考慮することにより各境界で独立な三つの 境界条件を満足させることができるのである。これら
に加え，さらにG一理論がKromm理論の積分表示
であり，薄い板になめらかな荷重が作用する状況にお いては，G一理論の支配方程式は， C一理論の支配方程 式と実質的に同一になる事を考慮すれば，これら三 つの理論は本質的に同等な理論と見なすこともできよ う。他方，第3次近似までを重ね合わせたC一理論の 式を，変位仮定理論として述べたSchmidt理論の式 と比べると，両者は完全に一致することがわかる。ま た，C一理論は第1段階で法線保持の仮定から，第2 段階でせん断変形の仮定から出発し，さらに第3段階 でw…≡0の仮定を設けていることから，変位仮定型 の逐次計算理論という性格づけができよう。 次にDonnell and Lee理論18∼20）（以下， D．L一 理論と略称）は，古典理論によって与えられる応力か ら出発して，逐次近似的に付加項を追加することによ り補正を行い，応力の解が序々に厳密な弾性論の基礎 関係式を満足するようにした理論である。この手法に より，応力，断而力，および変位の解は荷重関数の逐 次高階微係数をもつ無限級数で表わされることにな る。D・L一理論の各段階における解析の概要は，まず 応力成分の級数解の各項を次のようにして求める。 第1項；各応力成分を平板の古典理論でのものと同 じとおくが，面外せん断応力は2次放物線分布と仮定 する。 第2項；未知係数を含む形で，応力の解の関数形を 仮定する。これに第1項の解を重ね合わせて，弾性論 の基礎式（釣合，適合の条件式）と板の上下面での応 力の境界条件に代入し，未知係数に関する方程式系を 得る。次にこの方程式を微係数に関して適切な省略を 行い仮定した関数を具体的に決める。第3項∼第n項；第2項と同様未知係数を含む応
力の解を仮定し，これにその前段階で省略した項を重 Step 1 仮定：γκz＝γyz≡0 仮定：ε2≡0 仮定：σ2≡0 磯何） μzσ＝初σ（エ，y），砺σ＝−zω仇κ，獅σ βエσ，βyσ （幾何） ﾃズσ，εyσ，γ期 （構成） σπσ，σ四’τエyσ @ （応か断面力関係式） M。σ＝−D（wσ，xx＋レωσ，yy），仇。 ｧ“σ＝一α一レ）Dω卿， p。σ＝一助ωσ。，Q。σ （応力の釣合式） i表面の境界条件） i応力，断面力の釣合 i表面の境界条件） （断面力の釣合式） τ嬬σ，τびzσ σ2 曲げたわみω。に関する支配 羽 式：D44ω。＝P−［1］ Step 2 （構成） んF，ξ画1一翻，一，…、㊨［1一制 （幾何） ぬτ1，鋤τ1 @ （幾何） ＆．1，β。．1 επ。1，εyτ1，γxyτ1 @ （構成） Cl＝β。．、 b、＝β。τ1 （合モーメント＝0） 断面力関係式） i ［ @ M。．1，凪．1，M姻 ﾊ力の釣合式） 〔1］，〔2〕が同時に成立するための条件式 m ん25（1一り）鋤叫，G m，（ん21一レ）鋤叫評 せん断たわみω．に関する支酉 T6ん・・F−，一〔・〕方程式 Step 3 仮定・⇒Q・1一割蹄鋤一制
Mxr一ｾ』賦埼晦吉（QXT，y＋Qyr，。） Qxr， Q，。に関する支配方程式 蓋輪一Q−一・，・・c．一｛3］ 条件：Qxr，x＋Qyr，y＝＝O Mxyrに関する支配方程式餐4彪w声岨
条件：Mxx＋Myr＝d Fi9．2−6 Flow chart of deduction of governing equations due to Panc’s Component theorv．Table 2−1 Governing equations， displacements， stresses and boundary conditions of refined 平板曲げ理論 ’ たわみに関する支配方程式 面外せん断力に関する支配方程式 面 内 変 位 古典 攪_ Classica1 z）」∠ω＝♪ Q．≡−D∠ω，． ぬ＝ 2ωぱ Hencky 乃2@ 4ρD4∠ω；カー @ 6（1−〃）
毛・脇一卿綴搭か
1 ﾌ 2ぬ＋zSQ・
Mindlin i動的項を除いた場合） 力2 1Dwナ76（1−。）ゆ オ苦・Q Q・@ 一㌦＋誌1｝≡i拓
1・・＝一・ぬ＋・石Q・ Schmidt i非線形項および動的項を除いた場合） ・⑭ナ，（h2P−v）ψ吾・磁噺・耐鵠鵠・・
ぬ一一・ぬ＋ g÷〔・一（芸）2〕仏 Reissner…叶儲≡3ψ
芸・・ 仏一蜘＋緒（1≒声 6F 醐・＋2nQ・
Fersht @Hartranft i諸式は前者での形）・…ナ誤i≡旨吻
ｩ，々2；仮定応力分布形に依存する値 晋凋・一仏蒜・妬 @ ・箸、品加 炉一…＋闕c
Ambartsumyan i線形，静的，等方性でfi ＝ f2 ＝f（Z）の場合） … ・一 G≡i；・・ ノ5；仮定応力分布形に依存する値 駕・仏一・・−D輪＋発高・・ 晦一一・＋ﾅ九・・… @ （ノ。（z）一￡∫（・）・・） Kromm i一般式） （1−V2）・〃・一一∫rω・ @ 一（1≒）［力（・）一／1（・）］・・ 〔fi（z）一∫1（0）〕4Q，＋∫f（2）Q． @ E @ ＝T：アz鋤・ @ ・・ル・一力・…暑主ピ炉一＋
?k∫1（・）づ1（・）〕Q・ D−D励 Panc’s feneralized 非同次解 D〃ω｛勉”｝ 黶E・…（1≒）念鰍・一 λ・励D。．4Q・⑭・−Q−・ @ ＝D鋤（励lo @ （1＋〃）D−D励 @ ＋（1−“）λ・。凸，カー r、 A一ΣΣμ．｛励 η3 ” @＝ΣΣ〔晦｛励11＋晦〔励｝o］ m η @＝ΣΣ｛−2ω｛脚い． m カ E言〔∫ （・）一ん・（・泌・一・｝ 同次解 Dm。∠鋤｛励1＝0 D−D励 4Qズ悟別rQz（劇1λ2瑚D朋 @ ＝D4ω吻。｝い Panc’s bomponent 第三2段階 1）〃ωσ＝ρ ﾆ・勒一一・連立 @ 力2k条件〕∠〔 4ωσ＋ω，〕；0 5（1−〃） A Q．，三…−DJω。，． 晦σ＋μ刷 鼈黶E娠＋[〔・一㈲2〕Q・・ 第3段階 ωτ2≡0 ‘・QバQ・一・ k条件〕Q∫，，∫＋Q賀，ッ＝0 』一ﾌ〔・《穿）2〕（桓 注1 Mindlin理論， Reissner理論， Fersht理論でのωおよび断面回転量は，板厚方向にわたる重みつき平均値であることが明記されている。 2 表中のi。は構成関係において，その値が0と置かれる面外直応力であることを示す。theories of bending of plates including the effects of transverse components of stress and strain．
面外変位
面 内 直 応 力 面外せん断応力面外直応力
条件’ μ。＝ω（x，夕） 炉一iE
P−v2）・（鋸＋〃物”） 鞠・一?k・一㈲2〕・乃一・ 三一壬〔・一・㈲・㈲3〕 2 μ。＝ω（ちツ） 炉一iE
P−v2）・ω一働・） E海（2 P−v）・（仏’・＋・Q・・） 伝一?ｧ
ト÷〔2−3㈲・㈲3〕 3 舵＝ω（x．ツ） 砺一一s嵩・（w，・xs＋vw，・yy） E。・ヵ邑．“）・（Q・，。＋vQy、v） ち・一剳ｧ
み・臓（h2）一一 @ただし 2・σ、σ2≡0と仮定 3 μ富＝ω（x，ツ） σオー一 @一 （E1−v2） 2（2こら割9＋〃凱，，） E、（、≒）・6一㈲2〕（Q…＋〃・・，） 在・一xピ㈲2〕
ト÷〔・一・㈲・㈲3〕 3 娩＝砥u） 砺一一iE
P−y2）・（輪＋〃鋤） E，、（｝≒）・（Q…＋・Q〃） 12 〃＋莇（1−，）幼 砲・一A〔1一㈲2〕 炉・÷〔・一・㈲・㈲3〕 3 μ∼＝ψ（エ、ツ） 砺一凵iE1−v2）胸（婦働・・ 﨟i21一レ）力（・）（（㌧・＋・Q・・） E箸（1≒）爪・）ρ τ．。＝Q．乃（a） @ （f2＝f3，。、 fl＝−f2，。） ．σ、＝ρゐ（2） 3 μ、＝ω（x，ツ） 砺一iE
P−P2）（・・㌦）黶iE
P−V2）・（ぬ・働・） E±（、≒）ノ・（・）（硲・・＋吻・） E去（1≒）〔ゐ（・）一庁（÷）〕÷ 砺・一ﾜ∫ω仏 色一一 g｛〔ノ・（・） 皷浴ih2）〕（』＋砺，・）・÷｝ 3 ． 刀B；ω（x，夕） 炉一 i1−v2）・（ぬ輌〃） E（ 2P−v）賄（・）一力（・）〕（Q…＋・Q…） τ。。＝Q功（2） @ （f2＝fb t） 一σ・；力力（ε） 3 μ2＝ΣΣ｛ω｛励｝o（x，夕） m胃 @＋ω｛剛1（x，夕）｝ @＝ω（x，夕） T一捻・パー＋一’＋＝〔flmn（2）寸励（o）〕・（Q−・＋・Q，⑭，，）｝ @＝ΣΣ｛［f2mn（2）］Qズ｛励）｝ m π @（f2m，＝flmn，e） 3 旋＝ωσ＋ωr1＝ω（x，ツ） σエ。＋σ刷 鼈黶iE
P一レ2）・（鋸＋〃鋤・） E力（1≒）・〔3一㈲2〕（Q ・＋輌，） ・…一 WQ・・〔1一㈲2〕 ひ一一p〔2−3㈲・㈲3〕 2一一
ﾊz，2＝ω，2≡0一一一一一
E・一A（1≒）・〔・《そ）2〕（仏・・＋嶋一）一一一
E…一 ｨQ・・〔1一㈲2〕 黹ﾐzτ≡0一一一一
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1 ？一一一・一一一・t−一一一一一一一一一一一一一一一 ’一一一一「k−一一一一一一t l 人 l Classical 成すL＿＿＿
Kirchhoff−Loveの 仮定に基づく解析 （1）（ll）（田） ＼ Hencky （1947） Fersht （1964） Hartranft Reissner （1945）／
梁理論と1司じ形の応力分 綱碇．変位は各値の重 みつき平均値で表わす． σ。の影響を近似的に考慮． 分べ 無て 視亘 面 外 方 向 Y − ◆芦＿一一＿“ t （1977）． Reissner理論での仮定応 力の一…般化表示をはかった た拡張理論． 板厚方向に…様分布の τxz，τyzを考慮．一一一
_一一」
Mindlin人
算 元 題 力 非 雰 蕩 窺 ＼r！「
（1951） せん断補正係数π2の導入 により非一．一・様なτxx τyz の影響を考慮．動的問題 を主眼． 1↑
竃 墾T
「
’ ⊥ 面 内A
伸 び 効 果 の 無 視T
’ 一一」 1 1口
面 外 直 ひ ず み の 無 視 Ambartsumyan （1967） ’ 面外せん断応力の一・般化 表示により面内応力，面 内変位の板厚方向分布を 一．一 a｝tイヒ． Kromm （1953） 面外応力の一般化，応力の 釣合条件を満足させること を目ざす． Panc，s Generalized 竃 『1 Panc’s Component （1967） Kromm理論を断面力の釣 合を満足する形に書き替 え，調和関数荷重も扱え るようにした拡張理論． Schmidt （1977） 板厚方向2次放物線分布 のτxz Tyzを考慮．動的 項，非線形項含む． 1 （1967） 変位仮定型逐次近似理論． 古典理論を第1次近似と する通常3段階までの逐 次近似解法． refined− Ambartsumyan」
Lo et．aL （1977） べき級数展開した変位仮 定で，板厚方向の効果を 最もよく表わすために必 要最小限の項数を採用． General Higher−Order 2 丞 兀 化 平 板 曲 げ の 理 論 （1980） Ambartsumyan理論で見 捨てられていたεzとその 影響を，逐次近似的に計 算に取リ入れた拡張理論． 応力仮定理論系 逐次近似理論系 変位仮定理論系 Donnell＆Lee 〆（1） （H） （皿） （1954） 応力仮定型逐次近似理論． ・古典理論による解を級数 の第1項とし，逐次付加 項を追加した，弾性論の 基礎式を順次満足する無 限級数形の解法． （1980） 板厚方向に種々の形の無 限級数で展開し完全に一 般化した変位仮定任意 の次数までの板厚方向成 分の考慮が可能． Fig．2−7 Review of recent developments of refined theories of bending of plates including the effects of transverse components of stress and strain．ね合わせ，これを弾性論の基礎式と上下表面の境界条 件＊に代入し，適切な省略を行ったうえで未知係数に っいて解き各項の解を得る。 以上の逐次計算により級数解の形で得られた応力を もとにして，断面力，変位成分の解を求める。この理 論により得られる解は，採用項数をふやすことによっ て理論的には任意の次数の板厚方向成分を考慮するこ とができ，板の横荷重による伸び効果および面外方向 直ひずみ等も考慮したものとなっている。 さて，ここに述べた手順で得られる解は上下面の境 界条件は満足しているが，側面での境界条件について は何ら考慮されていない。この点を補うためDonnell は荷重なしの場合の同次方程式： ddω＝0 （2．15） の解を重ね合わすことで，側面での境界条件を近似的 に満足させ得ることを述べているが，この考え方は
Kromm理論およびPanc理論での考え方に通じる
ものがある。また，D・L一理論はまず第1に応力の解 を求め，これから弾性論の基礎関係式を用いて断面 力および変位を決定しており，さらに応力の解を求め る各段階において，第1項では古典理論による解を仮 定し，以後の項では未知係数を含んだ応力の関数を仮 定している点から，応力仮定型逐次近似理論という性 格づけができよう。 以上述べた各理論の，2次元化平板曲げの理論の発 展段階における位置づけと，相互関係の概略を，概念 図的に表わしたものをFig．2−7に示す。また，これ らの理論の中から代表的なものを選び，その支配方程 式，変位成分，応力成分，境界条件について，各グル ープごとにまとめた比較表をTable 2−1に示す。 3．数値計算例 0 u。（z＝0） ・㈲一卸・i・÷・ ・ 駕 ん一2 z ここでは，前節に述べた一連のせん断変形を考慮し た平板曲げ理論をFig．3−1に示すように板上表面に 正弦分布の荷重を受ける等質，等方の全周辺単純支持 の正方形板（a＝bの場合）の解析に適用し，それら の応力，変位，断面力に関する計算結果を比較する ことによって，各理論の精度面での特性を明らかにす る＊＊。なお，ここでの計算は前節において概要を述べ た各理論のうち，変位仮定理論からはLoらの理論， 一般化高次理論を，応力仮定理論からはAmbartsu’myan理論，拡張Ambartsumyan理論および一般
化理論（（2．6）でIz＝5， m＝4としたもの）を，逐次近似理論からはComponent理論を各グループを代
表する理論として選び，主にこれらについて計算し古 一 一 A − 一 一 一 一 ← “ 口 C 1 6 1 一 1 2 1 旦 A 2 B 〔 ＿ 一 一 ＿ ’ 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 曽 A − 一 一 一 ’ 一 一 α y Fig．3−1 Rectangular plate under sinusoidal load． ＊第2段階で外力が考慮されているので第3項以後 では自由面として計算する。 ＊＊紙面の都合上a＝bの正方形板についての数値例 を示すにとどめる。 ZVCIass、caT （7） 6．0 5．0 4．0 3．0 2．0 LO O．O πΨ bR
lV／川
11（、）＼（・） （1） Classical （2）Exact solution （3）General Higher−Order （4）Lo et．a1． （5）refined−Ambartsumyan （6）Ambartsumyan （7）Generalized（Panc） （8）Component （Panc） （9）Donnell＆Lee （10）Reissner 〔b／α＝1．0，レ＝0．25〕 （1） 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 川l l Fi9．3−2 Midplane displacement solutions of isotropic square plate （レ＝0．25） at location A． 典理論23）による値および厳密解2りとの比較を行う。 中央平面のZ方向変位を，古典理論のたわみとの 比として，板厚の変化に対して表わしたものをFig． 3−2に示す。これによると，古典理論を含むすべての 理論の値はh／a≒0で一致し，厳密解はh／a≒1．7で ピークを示し，h／a≒3．9で再び古典理論と同じ値を とり，その後0に漸近していく。C一理論とG一理論と はほぼ同じ値を示しh／a＝O．3付近で厳密解から離れ 大きな値を示すようになる。A一理論（Reissnerの理 論の値と同じ）はh／a≒0．5でこの傾向を示すように なる。これら3者の値の大小関係はA一理論くG一理一z／ん 0．5 0．4 O．3 O．2 （1） （6（7） （8） @ ／
^
（4）， C〃 （2） ／ ^（5） C（3） b／α＝1．00 @ ん／α＝0．70 @ り＝0．25 0．1 0．0 4．0 5．0 @ 娠／α 〉 4一
1．0 2．0 i 3．0 （1）Classical 0ユ ◆ （2）Exact solution 0．2 （3）General Higher− i4）Lo et． al． 0．3 O．4 ’m
1
（5）refined−Ambartsi6）Ambartsumyan i7）Generalized（Pa （8）C・mp・nent（Pan 0．5 Fig．3−3 Transverse displacement ux distributions of isotropic square plate（v＝O．25）at location A． ：1：1 ＿O．5＿＿一（7）Generalized（Panc） b／α＝1．00 h／α＝0．70 ＝0．25 一τxy／ρ。 0．2 0．3 0．4 （1）Classical （2）Exact s・1uti・n （3）General Higher−Order （4） Lo et． aL （5）refined−Ambartsumyan （6）Ambartsumyan （8）Component （Panc） Fi9●3−4 1n−plane displacement ux distributions of isotropic square plate（v・＝：0．25）at location B． 論＜C一理論となり，これらは単調増加し，h／a≒1．0 以上になると急激に増大し厳密解から，はなはだしく 離れる傾向を示す＊。その他の4種の理論は極大値を もつ変化をし，h／a≒0．7までは厳密解にほぼ等しい 値を示し，h／a≒1．0までは各理論の差はあまりな い。これらの各理論の極大値を厳密解の極大値と比較 すると厳密解＞Loらの理論〉修正A一理論＞G．H一 理論＞D．L一理論となる。極大値を過ぎてからの減少 部分での精度はG．H一理論が最も良いと言えるが，こ れら4種の理論とも極大値を過ぎると急激な減少傾向 を示す。 板内の変位，応力の板厚方向分布の例をh／a ＝O．7 の場合についてFig．3−3∼Fig．3−8に示す。これら は各力学量が最大値をとるX−or平面内の位置での分 布を示したものであるが，解の性質から各力学量の x−OV面内分布はすべて2重三角関数の形で示され，板 面内のいたる所でこれらと相似なZ方向分布が得ら ＊ただし，この図では右側に進むほど精度的に感度の 高い比較になっている。すなわち，厳密解によるた わみの絶対値の値は右側に進むほど，急激に小さく なっていることに注意。 一・／ん （1）（8）（7）（6）（2）（3）（4）（5） 一一Z．5 @0．4 ’ @ ’ ン @ ，” ｝ン ” @ ／〆 ン／〆 @ z ン Nン1 6／・＝1・00 0．3 O．2 0．1 ’ 〃 ／ 0．2 0．4 0．6 0．8 1．0 一←． ・一←一→→芦 一，汀一一L→−T−↓一黶Z．4−0．2 〃 ／ @ ／グ’ ∠・．・ 8蹴i留1。，、。n一σ・／ρ・ 黶c lil寵all□’ghe「一゜「de「−0．3 （5）refined−Ambartsumyan−・．・ 院ご溜a6anc）＿0．5 （8）C・mp・nent（Pan・） Fi9．3−5 Bending stress ax distributions of isotropic square plate （〃二＝0．25） at location A．。．4 ’グ
0・3” ／誌‖；1ノゲ佐1 ＿
彩lli閨羅㌧
ノ 芸＿3翻竃鴛卿
（8）Component（Panc） Fi9．3−6 1n−plane shearing stressτm・？」 distributions of isotropic square Plate （レ＝0．25） at location C， れる。 まず，板内のz軸に沿うz方向変位ec、をFig． 3−3に示す。厳密解によるとここのUzは荷重載荷面 （上面2・＝ −h／2）で最大値を，下面（z ・＝ h／2）で最 小値をとる変化を示すが，G．H一理論， Loらの理論， 修正A一理論はこの傾向をよく表わし，3者とも厳密 解に近い値となっている。特にG．H一理論による値は 厳密解とほぼ等しくなり，図上での差はなく，同一線 となる。これに比して他の4理論ではεzの考慮がな されていないため，板厚方向に一定の変位しか表わせ ない。このうちC一理論とG一理論はほぼ同じ値を示 し後者がやや小さく，A一理論はこれらよりも少し小 さい値を示している。古典理論での値は，やはり一 定値をとりこの図およびFig．3−2からもわかるとお り，この程度の板厚になると厳密解よりはるかに小さ い値しか示さない。板面のB位置（Fig．3−1参照）でのx方向に沿う各点の面内変位UxをFig．3−4
に示す。この図より厳密解は非対称な分布を示し載荷 面で最大変位が生ずるが，この傾向を示している理論 はG．H一理論， Loらの理論，修正A一理論， A一理論 である。これは，これらの理論では横荷重による面内効果（伸び効果）が考慮できるためであり，厳密解と の差は上述の順に順次大きくなっていっている。特に G．H一理論における誤差は極めて小さく図上では厳密 解と同じ線で表わされている。その他の3理論は上述 の伸び効果が考慮されていないため，上下逆対称な分 布を示し，厳密解とはかなり大きな差を生ずる。C一 理論とG一理論はほぼ同じ値を示し，これらによる Uxは（23，21）をもつ関数で表わされるため，古典理 論の直線分布に比べると，わずかに改良の効果がみら れる程度である。z方向に沿う板面位置Aでの，面 内曲げ応力ら，および位置Bでの面内せん断応力 τ。yの分布をそれぞれFig．3−5， Fig．3−6に示す。 これらの面内応力に関する各理論の値の比較では Fig．3−4の分布について述べたのとほとんど同じこ とが指摘できる。次に，位置Bでの面外せん断応力 τxzの板厚方向分布をFig．3−7に示す。 C一理論， A一理論，修正A一理論の三つではrx，を古典理論によ るものと同じ形（2次放物線分布）に仮定しているた め同一の線で表わされ，曲げ効果のみの影響を示す上 下対称な曲線となる。また応力の仮定から，Reissner 理論もこれらと全く同一線にのることは明らかであ る。G一理論では， zの双曲線関数を含む形にτ。zが 仮定されているため上記の各理論の分布とは少し違っ た曲線となるが，やはり上下対称な応力分布を示す。 Loらの理論およびG．H一理論は厳密解と同じく，面 内効果の影響により上下非対称な分布を示し，最大 応力値が中央平面より上の載荷面寄りの所で生ずるこ とを示している。ここでもG．H一理論による値は厳密 解との差はわずかで，グラフ上での差は出ない。最大 せん断応力の値はG一理論以外はいずれも厳密解にほ ぼ等しいかやや大きい値を示し，古典理論での最大値 を越えることはない。なお上で述べたLoらの理論お よびG．H一理論におけるτxxは，次に述べる面外垂 直応力a。とともに，面外方向の応力の釣合式から上 下表面の応力の境界条件を考慮して求めた面外応力の 一〇．1 −O．2 −O．3 −0．4 −0．5 一z／h（4）・ ミミミ， ノ》
乏
’／ b／a ＝1．00 ゐ／α＝0．70 ＝0．25 。4ちング
（3）：（4）’；determined directly by displacement assumption without equilibrium eq． Fig．3−7 Transverse shearing stressτxz distributions of isotropic square plate（ッニ0．25）at location B． （1），（5），（6），〔8） ．」と．一・。。／ρ・ （1）Classical （2）Exact solution （3）General Higher−Order （4）Lo et． aL （5）refined−Ambartsumyan （6）Ambartsumyan （7）Generalized（Panc） （8）Component （Panc） 値である。一方これらの面外応力を変位から幾何学的 関係式，構成関係式を介して求めた結果を比較のため に両理論について同図中に併記してあるが，これら はτx．一，azともに面の境界条件（荷重条件）を乱し， 全体的にも釣合から求めた応力分布より精度が落ちる。位置Aでの面外直応力a、の板厚方向分布を
Fig．3−8に示す。この図からazに関する各理論の 精度は，前述のτxzに関するものとほぼ同様の傾向 を示しているので，考察は省略する。 次に，最大面内垂直応力a。m。x／Poの板厚h／aの 変化に対する値をFig．3−9に示すが，これによると 古典理論，厳密解を含む各理論での値はh／a≒0．1ま ではほぼ同一曲線上にあり，これを過ぎるあたりから 差を生じはじめる。厳密解ではh／a≒1．0で一定値に 収束し，これより大きなh／aに対しても値が変化し 0．5 0．4 b／α＝1．00 0．3 ／1／α＝0．70 ＝0．251：i。．、滋ク
ー・．・ （4）獅7・8隠i豊1。、、。n ＿0．2 （3）General Higher”O・der−・・〆 ii闇議蒜ご
一〇．4 （7）Generalized （Panc） ＿0．5 ＿（8）C・mp・nent（Pan・） （3）1（4）ノ；determined directly by displacement assumption without equilibrium eq・ Fig．3・’8 Transverse normal stress ox distributions of isotropic square plate（y＝O．25）at location A． 一σ。，m。x／1）。 10．0 1．0 0．1 Fig．3−9 （1）Classical （2）Exact solution （3）General Higher−Order （4）Lo et． aL （5）refined−Ambartsumyan （6）Ambartsumyan （7）Generalized（Panc） （8）・Component （Panc） （9）Donnell＆Lee （10）Reissnertss＼
Maximum bending stress solutions of isotropic square plate （v＝＝O．25）．ない。これとほぼ同様の傾向を示すのがG．H一理論 で，やはりh／a≒1．0で厳密解より少し大きな値に落 ちつく。一方これら以外の各理論では，修正A一理 論，D．L一理論を除き， h／aの増大とともに減少し続 け，その減少率は漸次小さくなってはいるもののh’／a ＝2．0ではまだ一定値にはならず，h／a＝2．0で古典 理論を最小値として，各理論は厳密解との中間の値を とる。修正A一理論はh／a≒0．7で最小値をとり， 以後増大の傾向を示し，他方D．L一理論での値は古典 理論の値と交差するh／a≒0．55で変曲点をもち，そ の後h／aの増加とともに急激に減少する。これは前 者がε，の第1次補正のみを行った場合についての値 であり，後者が級数解の第3項まで取った場合につい ての値であることに起因しているものであり，より高 次の補正ならびに項数を採用すれば，徐々に他の理論 と同様の傾向を示し，厳密解に近づくことが予想され 0．02 （1）Classical （2）Exact solution （3）General Higher−Order （4） Lo et． a1． （5）refined−Ambartsumyan （6）Ambartsumyan （7）Genera▲ized（Panc） （8）Component （Panc） 1．0 2．0 3．0 4．0 5．O Fig．3−10 solutions of in−Plane force 2V鋼 at the corner of isotropic square plate （レ＝0．25）． 0．0 一M．／ρ。α2 0．12 0．10 0．08 0．06 0．04
4／
o．02 ／〃 ／／ ゐ／α 3．0 4．0 （1），（7），（8） −0．02 Fi9．3−11 Solutions of twisting moment Mx！i at the cofner of isotro− pic square plate（レ＝0．25）． 亘 き ざ § 0．2 0．4 0．6 0．8 LO 0．8 亘o．6 き ざ0．4 0．2 る。 板の偶角部の位置Cでの断面力の値を，板厚の変 化に対して示したのがFig．3−10， Fig．3−11である。 Fig．3−10の面内力N。yに対し，厳密解はh／a≒2．o で一定値に収束し，その後の変化はないが各近似理論 の中ではG．H一理論が最も良い精度を与え，h／a≒1．0 まではほぼ厳密解に一致し，その後h／aの増加とと もに厳密解から徐々に離れ小さめの値となる。Loら の理論もG．H一理論とほぼ傾向的には同等であるが， 精度ではかなり落ちh／a iv O．8で厳密解から離れてい っている。A一理論および修正A一理論は全く等しい 値を示し，直線変化で増大するためh／a≒0．5まで は上述の各理論と一致するが，その後急激にその差が 増大し大きな値を示すようになる。その他の理論，す なわちC一理論，G一理論および古典理論では面内せん 断応力τ．。？1が中央面に対し逆対称な分布となるため， その合力である面内せん断力N四は0，すなわち生 じないことになる。Fig．3−11のねじりモーメント M。？xの値についても，ほぼ面内力についての各理論 の精度と同じようなことが言えよう。位置Aでの板内の代表的な3点；上表面（z＝−
h／2），中央面（z＝0），下表面（z＝h／2）における面 外方向変位Uzの古典理論におけるたわみWcとの比 の，板厚h／aの変化に対する値をh／a＝0∼◎◎の全 域にわたって示したのがFig．3−12である。この図か らもわかるように，厳密にはε、の存在によりUzは 3点で等しくならないが，板厚方向へのUzの変化（つ まりε、の存在）を考慮できない理論，すなわちC一 理論，G一理論， A一理論では，上，中，下の面での値 はすべて同一となり，h／a＝0で古典理論に一致し， 0．2 0．4 0．6 0．8 1．0 （1）Classical ん／α （2）Exact solstion （3）General Higher−Order （4）Lo et．al・ （5）refined−Ambartsumyan （6）Ambartsumyan （7）Generalized（Panc） （8）Component （Panc） σ：indicated to upPer surface M：indicated to middle surface L：indicated to lower surface 〔b／α＝1．0，り＝＝0．25〕 0．O Fig．3−12 一く（6）、、．，乙 （8）＼
い週川
0．6 0．4 α／h 0．0 0．2 o．4rL ‖ O．6ざ 0．8 1．0 0．8 0．6 0．4 0．2 0．O Transverse displacement uz at three typical planes of isotropic square plate （レ＝0．25）． ぎ ぎ 蚕 量 ざa／h＝O（h／a＝。。）で0となる変化を示す。また，こ れら3理論の値の差は大きくはなく，上表面での値が h／a＝0．3より大きい範囲で厳密解より大きい値を示 す以外，中央面，下表面での値は常に厳密解を下まわ る。厳密解の上表面での値は上述の3理論の示す傾向 と同様h／a＝0で1．0，α／h＝0で0となるが，中央 面でa／h≒0．6，下表面ではh／a≒0．7あたりからこ の傾向とは大きくはずれ，h／aが増大するに従い急激 に増大し，h／aが。eに近づくにつれてwz／ωcが0 に近づくという変化を示す。このような複雑な変化に 対し，ε、を考慮できる三つの理論，すなわちG．H一 理論，Loらの理論，修正A一理論は，前述のε、を 考慮できない3理論に比べ飛躍的に良い近似を与える ようになっている。特にG．H一理論は中央面でh／a ≒2．0（a／h≒0．5）まで，下表面でh／a≒1．4（a／h ≒0．7）の程度の厚さまで，かなり良い精度の近似を 与えていることがわかる。これに比べるとLoの理論 は少し精度が落ち，修正A一理論はさらに精度が落 ちてともによい近似を与え得る限界の板厚が薄くなっ ていくことが読みとれる。
4．結
論 本論文においては，変位成分の関数形の仮定から出 発する理論を，Hencky理論の拡張理論としてとらえ 変位仮定理論として整理し，応力成分の関数形の仮定 から出発する理論を，Reissner理論の拡張理論とし てとらえ応力仮定理論として整理し，また古典理論か ら出発し，逐次近似で厳密解に近づけてゆく理論を， 逐次近似理論としてまとめた。この分類によって，現 在までに提案されている一連の，せん断変形を考慮し た平板曲げの理論の発展過程をたどることができ，個 々の理論の位置づけが，ある程度明確になったと思わ れる。ここでの理論的比較および数値例を通して，次 のような点が明らかになった。 1．変位仮定理論，応力仮定理論，逐次近似理論， の三つのグループ間では，いわゆる構造解析における 変位法，応力法ほどの明確な解析手法上および計算精 度上の特徴的差異は見られない。 2．数値計算例を通して，各グループとも，より多 くの板厚方向成分を，より高次の形まで考慮した理論 の方が良い近似精度を与える。つまり，変位仮定理論 では，一般化高次理論で，ある程度高次の変位仮定ま で採用したもの，応力仮定理論では，拡張Ambart− sumyan理論でε、の補正をより高次まで行ったも の，逐次近似理論では，Donnellらの理論である程 度多くの級数項まで求めたものが良い精度を与える。 3．特に一般化高次理論は，任意の次数まで高次の 変位成分の項を種々の種類の形で考慮できるようにな っており，ここに示した数値例からもわかるように， 面外応力成分については釣合から求める方法で求める ことにより，すべての力学量において，ここに示した 理論の中で最も良い精度が期待できる理論である。 4．これらのことから横荷重による平板の挙動を解 明する場合，曲げ効果のみならず，面内効果を考慮す ることが高精度の平板理論を構築する上で是非とも必 要であるといえる。 5． さらに各力学量の近似精度に対する，板厚と荷 重波長の比（h／L）の変化の影響は，概して応力に対 するものが最も強く，次が変位で，断面力の精度に与 える影響が最も鈍いといえる。よって通常最も大きな 興味の対象となるのが応力であることを考え合わせる と，古典理論の立脚点となっている平板の幾何学的条 件・荷重条件から大きく離れた平板曲げ問題で，ある 程度良い精度で応力の近似解を得るためには，かなり 厳密化のなされた平板理論によらねぽならない。 なお，本論文においては紙面の都合上あまりふれら れなかったが，平板曲げの理論における重要な問題 に，境界条件の問題が挙げられる。ここで扱った数値 計算例は，正弦波荷重を受ける全周辺単純支持の矩形 板であり，各理論における境界条件として次のものを 採用した。 w＝0，M，，． ＝ O， Us＝0．（Donnellらの理論ではさ らにNn＝0を加える。） この場合の平板は，四つの端面が面外に変形自由で 面内に剛な隔壁で囲まれたモデルに相当する。上記問 題に対しこれらの境界条件を完全に満足する解は，一 般にNavier型の解である2重三角関数形に仮定して 解かれるが，この解の仮定より第3番目の条件は自動 的に満足されてしまい，古典理論の解でさえこれらを 完全に満足していることになる。したがって，この境 界条件を採用した結果，PancのComponent理論と 一般化理論では，荷重なしの状態を重ね合わす必要が なくなり，Donnel1らの理論でも，荷重なしの状態 を考えることはしないで済むことになった。しかし本 来，Pancの理論で考えている単純支持の境界条件は， 次に述べるタイプのものであり，上述の三つの理論の 特長の一つは，その境界条件の問題も扱える式が準備 されていることであるといえよう。 その境界条件とは同じ単純支持を表わす条件とし て， w＝0，M。 ＝O， M。S＝0．（Donnellらの理論ではさ らにNn＝0を加える。） の三つをとるものであり，これは四つの端面が伸びな いひもでつられた平板モデルに相当する，もしこれら の境界条件を満足する解を上記の三つ以外の修正理論 で得るためには，やはり荷重なしの状態を考慮し，与 えられた荷重に対するものと重ね合わせた解が必要に なろう。さらにここに述べた2種類の単純支持の境界条件で本質的な差異を生ずる現象として挙げられ るのが，偶角部における集中負反力の問題である。 Kirchhoff−Loveの仮定に基づく古典論によれぽ，こ の負反力が生ずるが，これは本来第2番目の境界条件 を用いた解で板厚が無限に薄い場合に発生する現象で あり，第1の境界条件のもとでは，せん断変形の考慮 の仕方いかんにかかわらず発生しないことが，Panc のComponent理論および一般化理論による計算の結
