演習 解析 II (Analysis II) 0

演習 解析 II (Analysis II) 0

定義 連結な開集合D を領域という．ただし集合の任意の２点を結ぶ集合内の曲線が存在するとき，弧状 連結であるという．

定義関数f が領域D 上でCⁿ 級であるとはD上でn階までの全ての偏微分を持ち，それらがすべてD  上で連続であるときをいう．

定理 Taylorの定理

関数f(x1, x2)が領域D 上でCⁿ 級（n≥1）とし，線分{(a1+h1t, a2+h2t) : 0≤t≤1} がD に 含まれるとする．（ただし(h1, h2)6= (0,0)）このとき0<^∃θ <1;

f(a₁+h₁, a₂+h₂) =

n−1

X

k=0

1

k!(h₁∂₁+h₂∂₂)^kf(a₁, a₂) + 1

n!(h₁∂₁+h₂∂₂)ⁿf(a₁+h₁θ, a₂+h₂θ), ここで∂i=∂/∂xi とする．

証明はz(t) =f(a1+th1, a2+th2)に１変数のTaylorの定理を用いてからt= 0を代入すれば良い．

ただしそこで次を用いる：

z^(k)(t) = Xk j=0

µk j

¶

h^j₁h^k₂^−j ∂^k

∂x^j₁∂x^k₂^−jf(a₁+h₁t, a₂+h₂t)

= (h1∂1+h2∂2)^kf(a1+h1t, a2+h2t) と書き表す．

定理f(x, y)は点P₀(x₀, y₀)の近くで C² 級とする．∇f(P₀) = 0のとき,D≡(f_xy² −f_xxf_yy)(P₀)に対し, (a)D <0, fxx(P0)>0⇒f(P0)極小値,

(b)D <0, f_xx(P₀)<0⇒f(P₀)極大値, (c)D >0⇒f(P0)極値でない

証明は|h|,|k|十分小で同時に０でなければTaylorの定理より0<^∃θ <1;

∆f ≡ f(x₀+h, y₀+k)−f(x₀, y₀)

= (h∂_x+k∂_y)²f(x₀+hθ, y₀+kθ)

= (h²fxx+ 2hkfxy+k²fyy)(x0+hθ, y0+kθ)

と表せるから(a) の条件のもと，∆f >0, (b) のもとで∆f <0 がすぐに分かる． (c) のもとでは，

正にも負にもなることが分かる．

定理 条件付き極値(ラグランジュの乗数法)

ϕ(x, y, z), f(x, y, z): C¹ 級とする．点 P(x, y, z); ϕ(x, y, z) = 0, f: 点 P = P0 で広義の極値なら

∇ϕ(P₀) = 0 or ^∃λ定数;∇f(P₀) =λ∇ϕ(P₀)

証明は∇ϕ(P0)6= 0でϕz(P0)6= 0として，陰関数定理より，P0= (x0, y0, z0)の近傍で^∃z=z(x, y):

C¹級;ϕ(x, y, z) = 0. f(P0)が広義の極値より，u(x, y)≡f(x, y, z(x, y))は (x0, y0)で広義の極値を とる．(x0, y₀)で，∇u= 0 を書き下して，zx=−ϕ_x/ϕ_z, z_y =−ϕ_y/ϕ_z を代入して，

fx= f_z ϕz

ϕx, fy = f_z ϕz

ϕy, また fz= f_z ϕz

ϕz

をえるから，λ≡fz/ϕz(P0)とおけば良い．

演習 解析 II (Analysis II) 1

1.次の関数f(x, y)が(0,0)で極限値を持つかどうか調べよ.

(1)(x²+ 2y²)/p

x²+y² (2)x²y/(x⁴+y²) 2. (1) f(x, y) =xp

x²+y² (2) f(x, y) = x/p

x²+y² (f(0,0) = 0) について (0,0) で連続か？また fx(0,0), fy(0,0) =？ さらに(x, y)6= (0,0) のときfx(x, y), fy(x, y) =？ もし存在するなら求めよ．

3.z=f(x, y)がC² 級のとき,x=rcosθ, y=rsinθ とおくと次が成り立つことを示せ.

(1)z²_x+z_y²=z²_r+z_θ²/r² (2)zxx+zyy =zrr+zr/r+zθθ/r² 4. (1)空間にn個の点P1, P2,· · ·, Pn があるとき,

Xn i=1

PiP²を最小にする点P を求めよ.

(2)定円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形であることを示せ.

5.次の関数f(x, y)の極値を求めよ.

(1)xy(x²+y²−1) (2)xy+a/x+a/y (a >0) (3)(ax²+by²) exp[−(x²+y²)] (a > b >0) 6. x²

a² +y² b² +z²

c² = 1 のもとで,x+y+z の最大,最小を求めよ.

7.x+y+z=a(x, y, z >0)のもとで,x^py^qz^rの最大値を求めよ. (p, q, r >0とする. ) 補充問題

8.関数f(x, y) = µ

1 + x y

¶ sin1

xsiny (xy= 0のとき, f(x, y) = 0 とする. ) が (0,0)で極限値を持つ かどうか調べよ.

9.φ(r): rのC² 関数,r=p

x²+y²+z², f(x, y, z) =φ(r)とするとき 4f ≡f_xx+f_yy+f_zz を φで 表せ.

10.x >0で定義された C¹関数z=z(x, y)がy/xのみによるための条件は xz_x+yz_y = 0であること を示せ.

11.C¹関数z=z(x, y)が変換x=rcosθ, y=rsinθによってrだけの関数となるための条件はyzx=xzy

であることを示せ.

12. x² a² +y²

b² +z²

c² = 1 のとき, ∂z

∂x,∂²z

∂x², ∂²z

∂x∂y を求めよ.

13.周の長さが一定(= 2s)の三角形のうち,面積最大のものは正三角形であることを示せ.

1. 極座標 3. 右辺=? 4. C¹ 関数 f: 点 P0 で最大(小)値 ⇒ 点 P0 で極値 ⇒ ∇f(P0) = 0 (∇f = gradf ≡(fx, fy, fz)) (2)ヘロンの公式S=p

s(s−x)(s−y)(s−z) (2s=x+y+z)5. D≡f_xy² −fxxfyy

で判別6, 7. 条件付き極値(ラグランジュの乗数法)

9. φ⁰, φ⁰⁰=? 10. u=y/xとしてϕ(x, u)≡z(x, xu)でϕx= 0 13. 中心角x, y, z;x+y+z= 2π

1. 0, なし 2. (1) 連続，0, 0 (2) ×，なし，0 4. (1) P = P

Pi/n 5. (1) ±(1/2,−1/2) で極大値 1/8,±(1/2,1/2) で極小値 −1/8 (2) x =y = √³

a で極小値 3√³

a² (3) (±1,0) で極大値 a/e,(0,0) で極 小値 0 6. ±(a²/l, b²/l, c²/l) (l = √

a²+b²+c²) で ±l 7. (pa/m, qa/m, ra/m) (m = p+q+r) で p^pq^qr^r(a/m)^m8. 0 9. φ⁰⁰(r) + 2φ⁰(r)/r 12. z_x=−c²

a² x

z, z_xx= c⁴ a²b²

y²−b²

z³ , z_xy=− c⁴ a²b²

xy z³

演習 解析 II (Analysis II) 2

例題１ ZZ

D

(x+y)^αdxdy (α >0)の値をD が次の場合に求めよ. (1) 0≤x, y≤1 (2) 0≤y≤x≤1 1.次の重積分の値を求めよ（括弧内はD を表す）.

(1) ZZ

D

x²ydxdy(0≤y≤p

1−x²) (2) ZZ

D

sin(x+y)dxdy (0≤x, y, x+y≤π 2) 2.次の累次積分の積分順序を変えよ（a >0,0< α < β）.

(1) Z 1

−1

dx Z e^x

0

f(x, y)dy (2) Z a

0

dx Z βx

αx

f(x, y)dy (3) Z 2a

a

dy Z y+a

y−a

f(x, y)dx 例題２

ZZ

D

dxdy

(x−y)^α = 1

(1−α)(2−α) (D: 0≤y < x≤1,0< α <1)を確かめよ.

3.次の広義積分の値を求めよ.

(1) ZZ

x,y≥0

dxdy

(1 +x+y)^α (α >2) (2) ZZ

D

pdxdy

x²+y² (D: 0≤y≤x≤1, x >0) 例題３ 一次変換: x=au+bv, y=cu+dv→dxdy=|ad−bc|dudv,

極座標変換: x=rcosθ, y=rsinθ→dxdy=rdrdθを用いて次を確かめよ.

(1) ZZ

x,y≥0

|x−y|

(1 +x+y)^αdxdy= 1

(α−1)(α−2)(α−3) (α >3) (2)

ZZ

x²+y²≤a²

pa²−x²−y²dxdy= 2π

3 a³ (a >0) 4.次の重積分の値を求めよ（但しa, b, c >0）.

(1) ZZ

x,y≥0

(ax+by+c)^−α(α >2) (2) ZZ

x²+y²≤1

log(x²+y²)dxdy

例題４ 極座標（球座標）変換ZZZ : x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ→dxdydz=r²|sinθ|drdθdφ

V

x²dxdydz=4π

15a⁵ (V :x²+y²+z²≤a²) を確かめよ.

5.次の三重積分を求めよ（但しa >0, α >−3/2）.

(1) Z 1

0

dx Z x

0

dy Z x+y

0

e^x+y−zdz (2) ZZZ

V

(x²+y²+z²)^αdxdydz(V :x²+y²+z²≤a²) 補充問題

6.次の重積分の値を求めよ（括弧内はD を表す）.

(1) ZZ

D

e^y/xdxdy (0< x≤1,0≤y≤x) (2) ZZ

|x|+|y|≤1

x²y²dxdy

7.次の累次積分の積分順序を変えよ（a >0,0< α < β）.

(1) Z 2a

a

dy Z y+a

y−a

f(x, y)dx (2) Z 2

−1

dx Z 2+x

x²

f(x, y)dy 8.広義積分

ZZ

D

e^−xydxdy (D:x≥0,0< a≤y≤b)の値を求めよ.

9.次の重積分の値を求めよ（但しa, b, c >0）.

(1) ZZ

x²+y²≤1

(a²x²+b²y²)dxdy (2) ZZ

D

(x²+y²)dxdy (D: x² a² +y²

b² ≤1) 10.三重積分

ZZZ

V

(x+y+z)dxdydz(V :x²+y²+z²≤a², z≥0)を求めよ.

変数変換[(x, y)∈D↔(u, v)∈S] x=x(u, v), y=y(u, v): C¹級, Jacobian∂(x, y)/∂(u, v)6= 0 ZZ

D

f(x, y)dxdy= ZZ

S

f(x(u, v), y(u, v))¯¯

¯¯∂(x, y)

∂(u, v)

¯¯¯¯dudv, 但し∂(x, y)

∂(u, v) = det Ã

∂x/∂u ∂x/∂v

∂y/∂u ∂y/∂v

!

1.2/15,1 2.領域の図を描いてみれば良い,いくつかの積分の和になる

3.1/{(α−1)(α−2)},log(1 +√

2) 4.1/{ab(α−1)(α−2)c^α−2},−π 5. e(e−2)/2,4πa^2α+3/(2α+ 3) 6.(e−1)/2,1/45 8. log(b/a) 9. π(a²+b²)/4, πab(a²+b²)/4 10. πa⁴/4