博士（工学）山田敏清 学位論文題名

     博士（工学）山田敏清 学位論文題名

Studies on Properties of a Finsler Space          and Their Application

（フィンスラ―空間の諸性質とその応用に関する研究）

学位論文内容の要旨

  フ イ ン ス ラ ー 空 間F ‑ (M、 工 ） と は っ り ー マ ン 空 間 の 概 念 を 拡 張 し た も の で あ り 、 n次 元 微 分 可 能 多 様 体Mで 、 そ の 曲 線x，‑￠ （Z）の 弧 長お が 積分s＝ ´ 工（ ピ（tり ， リ) clu、 （リ ニ ニdぷ ／ カ）

で 与 え ら れ た も の あ る ． こ の 積 分 が パ ラ メ タ ーnの と り 方 に 無 関 係 で あ る た め に は 、L(x、 リ ） は 、 り に 関 し て 正 斉1次 で あ る こ と が 仮 定 さ れ る ，

  こ の 空 間 の 応 用 と し て っ ぎ の よ う な 研 究 が 行 な わ れ て い る ． 河 口 ・ 山/井 等 に よ る 基 準 面 tリI L(x,リ ） ＝1） を 利 用 し た 視 空 間 の 研 究 ， ま た ， 点 ピ を 固 定 す れ ば 接 空 間 ．rは 工 （ ￠ 、 ジ ） が 与 え ら れ た ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 と な り 、 こ の 空 間 の 基 準 面 を 利 用 し た 佐 藤 に よ る 多 次 元 尺 度 構 成 の 研 究 が あ る ． さ ら に 、 〔Y＝tnり （ ￠ ） ぬ d〆 ）l／2を り ー マ ン 計 量 、p＝6f（ ビ ） ぬfを 一 次 微 分 形 式 と し た 、 ラ ン ダ ー ス 計 量 工 ＝ Q十pと ク ロ ピ ナ 計 量 工 ： Q2/pの 応 用 が あ る ． 前 者 は ． Randersに よ り 時 空 に お け る 統 一 場 理 論 の 構 築 や っIngardenに よ り 電 子 顕 微 鏡 の 球 面 収 差 の 理 論 の 構 築 に 応 用 さ れ 、 後 者 は ， 物 理 学 に お け る 解 析 力 学 の ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 お よ び 熱 力 学 の 理 論 に 適 用 さ れ て い る ． 松 本 に よ り こ の ニ つ の 計 量 空 間 はCり ん （ ＝ ！a3工2（ 賦 リ ）/aびf〇 〆 〇 り た ） が C‐ red11cibleと ぃ う 特 殊 な テ ン ソ ル 方 程 式 を 満 た す こ と に よ っ て 特 性 づ け ら れ る こ と が 示 さ れ た ．

  本 論 文 は 、 上 に 述 ぺ た よ う な 工 学 や 物 理 学 に 応 川 範 囲 の 広 い フ イ ン ス ラ ー 空 間 の 諸 性 質 の 研 究 と そ れ ら の 工 学 へ の 応 用 を 論 じ た も の で あ る ． は じ め に 基 準 面 と フ イ ン ス ラ ー 空 間 の 関 係 、C．reducibleの 拡 張 で あ るqua8i‐C．reducible空 間 の 考 察 ． 測 地 線 の 変 換 に 関 す る 射 影 変 換 の 議 論 ． お よ び り ー マ ン 空 間 で も 重 要 で あ っ た 超 曲 面 の 理 論 に 考 察 を 加 え た ． 応 用 と し て ． 力 学 の 運 動 方 程 式 を 与 え る ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 か ら 具 体 的 に フ イ ン ス ラ ー 計 量 を 導 き ， 幾 何 学 的 立 場 か ら カ 学 系 の 運 動 を 論 じ た ， さ ら に ， こ の 理 論 を 情 報 幾 何 学 へ 適 用 し ． 母 数 を 含 む 多 項 分 布 の 推 定 問 題 に フ イ ン ス ラ 一 空 間 の 射 影 的 性 質 を 利 用 し た ボ ル ツ マ ン マ シ ン に お け る 効 率 の 良 い の 学 習 ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て 論 じ た ．

  序 章 で は 、 フ イ ン ス ラ ー 空 間 の 基 本 的 概 念 を 論 じ 、 本 研 究 の 目 的 を 述 べ た ．   第 ・ 一 章 で は っ 基 準 面 ん ， を 、 接 空 間A心 の （n−1） 次 元 リ ー マ ン 超 曲 面 と し て 捕 ら え 、 そ こ に り ー マ ン 空 間 と し て の 超 曲 面 の 理 論 を 適 用 し 、 ガ ウ ス の 方 程 式 を 導 き 、 さ ら に L上 に 接 空 間 の 曲 率 テ ン ソ ル か ら 作 ら れ る 新 た な テ ン ソ ル の 概 念 を 導 入 し 、 そ れ を 利 用 し て 基 準 面 と フ イ ン ス ラ ー 空 間 の 関 係 を 明 ら か に し た ． 特 に ん ， が 局 所 的 に 対 称 に な る た め の 必 要 十 分 条 件 を 示

―311  ‑

・し．ん，が共形 的平坦になる十分条件を与えた．またっぎに，物理学や工学への応用から導出さ れた ラ ンダ ―ス 計量 、 クロ ピナ 計量 を含 む

空間 、semi‑C‑reducible 空 間．quasi‑

C‑reducible

空 間の 問の 関係 を解 明 した ニさらにっquasi‑C‑reducible 空間がsemi‑C‑reduciblc およびC‑reducible 空間に帰着するための十分 条件を与えた，

第 二 章 で は 、 測 地 線

＝

か ら 定 ま る

の 接 続 を 用 い て ， ガ ウ ス 曲 率 の 一 般 化 で あ る 断 面 曲 率 の 概 念 を フ イ ン ス ラ ー 空 間 に 導入 しっ これ を用 い てス カラ ー曲 率の 空 間 と定 曲 率空 間を 定義 し て， この ニつ の空 間 の間 の関 係を 論じ た ．二 つの フイ ン スラ ー空 間を

っ工）、F (M ，工）として工→五への 計量の変換を行ったとき、工 に関する測地線が五で 測っ た テ の測 地線 に なり ，逆 もま た真 で ある とき 、F →

¨ は射 影変 換と 呼 ばれ る， 本章 では 変 換が 射影 変換 で ある ため の必 要十 分 条件 を詳 細に 検討 し ，射 影変 換に よ り定 曲率 の空 間がまた定曲率の 空間に移るための条件を明 らかにした．

第 三 章で は 超曲 面 上に

な

接続 を導 入し ． リー マン 空間 の 超曲 面理 論に おい て 成立 する ニつ の 重要 な定 理「

定曲 率空 間 の全 臍超 曲面 （totallylunbilical) は，ま た定 曲 率空 間で ある

）定 曲率 空 間の 全測 地超 曲 面(totally geodesic) は．また 定曲率空間 である．」のフイ ンスラ一空間への拡張を試 み肯定的結果を得た．

第 四 章で は、 フイ ン スラ ー空 間の 応用 に つい て考 察し っ本 研 究と の関 連に つ いて 述べ たも ので あ る． その 巾で 、 特に フイ ンス ラー の 基本 関数 工か ら， 力 学系 にお ける ラ グラ ンジ ュ関 数工 ＾ が導 出さ れ、 工 ゛か らエ もま た可 逆的に特別なク ロピナ計量として構築でき ることを示 した ． この こと より 、 ラグ ラン ジュ 関数 の考察は、この クロピナ計量を持ったフイ ンスラー空 間の 研 究に 還元 され 、 運動 や物 理現 象の 幾 何学 的取 り扱 いが 可 能で ある こと が 明ら かに なっ た． さ らに 、こ の議 論 を情 報幾 何学 とし て定式化し、母 数を含む多項分布の推定問 題を取り上 げ． 上 に述 べた ラグ ラ ンジ ュ関 数か らフ イ ンス ラー 計量 を求 め る手 法お よび 射 影変 換の 理論 を駆 使 して ，こ の多 項 分布 の空 間を ユ― ク リッ ド空 間の 中の り ーマ ン超 球面 と みな し． この 幾何 学 的構 造を 利用 す るこ とに よっ てっ より自然な推定 方式を得ることができた． また．これ をボ ル ツマ ンマ シン の 学習 に応 用し た． 従 来の 学習 アル ゴリ ズ ムは 基本 的に

法 を用 いて 行 なわ れて いる が 、本 章で は母 数空 間 の幾 何学 的性 質を 利 用す るこ とに よ り、 効率 の良 い学 習 方式 が得 られ 、 収束 に必 要な 反復 回 数は 従来 のア ルゴ リ ズム より はる か に小 さい こと が実験的にも明ら かにされた．

終 り に結 論を 述べ 、 従来 論じ られ てい る りー マン 空間 は工 学 的な 応用 の立 場 から みる と．

い わ ゆ る 線 形 近 似 理 論 で ある の対 し、 フ イン スラ ー空 間は さ らに 微分 のオ ー ダー が1 次 高 く 非線 形 性を 許容 する 理 論で ある と考 えら れ ，そ れに 基づ く応 用 可能 性を 論じ ． 本研 究の 意義 を明らかにしたも のである．

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学位論文審査の要旨

学 位 論 文 題 名

Studies on Properties of a Finsler Space          and Their Application

（フ ィン スラ 一空 間の諸性質とその応用に関する研究）

最 適 化 理 論 や 学 習 理 論 に お け る 最 適 性 の 定 義 に お い て 、 対 象 間 や 状 態 問 の 距 離 の 概 念 が 重 要 な 役 割 を 果 た し て い る 。 距 離 の 概 念 を 体 系 的 に 扱 う 学 問 と し て 計 量 幾 何 学 が あ り 、 こ れ を さ ら に 一 般 的 な 多 様 体 上 で 論 じ た も の と し て 計 量 微 分 幾 何 学 が 知 ら れ て い る 。 そ の 代 表 的 な も の と し て 、 ア イ ン シ ュ タ イ ン の 一 般 相 対 性 理 論 と し て 注 目 さ れ た り ー マ ン 幾 何 学 が あ る 。 リ ー マ ン 空 間 と は 、 二 点 問 の 無 限 小 距 離 が 座 標 の 微 分 の 二 次 形 式 の 平 方 根 で 与 え ら れ る 特 殊 な 計 量 を 持 っ た 空 間 で あ る が 、 本 論 で 展 開 し た フ イ ン ス ラ ― 空 間 と は 、 こ の 無 限 小 距 離

を よ り 一 般 的 な 基 本 関 数 工（Il ‥、.1 ー、… っj リ、( ．rl っ 出ー、 …っ(ll ．，｜）で測ろうとするものである。その意味において フ イ ン ス ラ 一 空 間 は 、 り ー マ ン 空 間 を さ ら に 拡 張 し た 空 間 と 見 な す こ と が で き る 。

近 年 、 フ イ ン ス ラ ー 空 間 は 、

．

が 統 一 場 理 論 の 構 築 に 利 用 し て 以 来 、 工 学 や 物 理 学 の 分 野 の 中 で 様 々 な 形 で 展 開 さ れ て い る 。 例 え ば 、

（

に よ る 電 子 顕 微 鏡 の 収 差 の 問 題 、 熱 力 学 へ の ク ロ ピ ナ 計 量 の 応 用 、

と 島 田 に よ る 進 化 と 発 生 の 生 物 学 へ の 応 用 、 河 口 達 に よ る 視 空 間 の 応 用 、 更 に は 、 佐 藤 に よ る 多 次 元 尺度 構成の 応用等 がある 。

本 論 文 は 、 上 に 述 べ た よ う な 工 学 や 物 理 学 に 広 く 応 用 さ れ て い る フ イ ン ス ラ 一 空 間 の 諸 性 質 の 研 究 と そ れ ら の 工 学 へ の 応 用 を 論 じ た も の で あ る 。 フ イ ン ス ラ 一 空 間 の 特 性 と し て は 、 基 準 面 と フ イ ン ス ラ 一 空 間 の 関 係 、

‐

空 間 の 拡 張 で あ る

（

―

―

空 間 の 考 察 、 測 地 線 の 変 換 に 関 す る 射 影 変 換 の 議 論 、 さ ら

に 超 曲 面 の 理 論 に 考 察 を 加 え て い る 。 ま た 、 こ の 空 間 の 応 用 と し て 、 力 学 系 の 運 動 方 程 式 を 与 え る ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 か ら 具 体 的 に フ イ ン ス ラ ― 計 量 を 導 き 、 フ イ ン ス ラ 一 空 間 と し て の 諸 性 質 を 利 用 し て 、 力 学 系 に お け る 運 動 を 幾 何 学 的 立 場 か ら 論 じ て い る 。 さ ら に 、 こ の ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 と フ イ ン ス ラ ー 計 量 の も つ 対 応 関 係 を 情 報 幾 何 学 に 適 用 し 、 射 影 変 換 の 議 論 を 駆 使 し て 、 母 数 を 含 む 多 項 分 布 の 推 定 問 題 お よ び ボ ル ツ

治 勝

惇

脩

義  

  公

藤 保

達

佐 新

伊

島

授 授

授

授

教 教

教

教

査 査

査

査

主 副

副

副

マンマシンの学習アルゴリズムについて論じて いる。

序 章 で は 、 フ イ ンス ラー 空 間の 基本 的概 念を 概説 し、 従来 の知 られ てい る結 果と 本 研 究 と の 関 連 性 を明 らか に する と同 時に 、応 用へ の可 能性 を指 摘し 本研 究の 目的 を明確にしている。

第 一章 では 、基 準面

．をフインスラー空間亅r の接空間の超曲面としてとらえ、I ″ 上 に 接 空 間 の 曲 率 テ ン ソ ル か ら 作 ら れ る 新 た なテ ンソ ル

を 導入 し、 それ を利 用し て

の 構 造 を 規 定 す る 定 理 と し て 、 特 に

が 局 所 的 に 対 称 に な る 必 要 十 分 条件 、共 形的に平坦になる十分条件を与えている。この ことは、フインスラー空間」、丿のもつ 基 本 関 数 工 の 構 造 を間 接的 に 決定 する こと にな る。 さら に、 物理 学や 工学 への 応用 から 導出 され たラ ンダ ―ス 計量 とク ロ ピナ 計量 を含 むC −reclucible 空 間に ついて詳 細 に 論 じ て い る 。 第二 章で は 、フ イン スラ ー空 間の 特殊 空間 とし ての 、ス カラ ―曲 率 の 空 間 と 定 曲 率 の空 間の 間 の関 係を 調ぺ てい る。 一般 に定 曲率 の空 間は スカ ラ一 曲 率 の 空 間 で あ る が、 逆は 必 ずし も真 では ない 。そ こで 本研 究で は、 スカ ラ一 曲率 の 空 間 が 定 曲 率 の 空間 にな る ため の必 要十 分条 件を 与え てい る。 さら に、 射影 変換 に 関 し て 、 定 曲 率 の空 間が 定 曲率 の空 間に 移る ため の条 件を 詳細 に検 討し 、明 らか にしている。

第 三 章 で は 、 特 に、 フイ ン スラ ―空 間の 全臍 超曲 面の 定義 を与 え、 定曲 率空 間の 全臍超曲面はまた定曲率空間であるとぃう定理 を述べている。

第 四 章 で は 、 フ イン スラ 一 空間 の応 用に つい て考 察し 、本 研究 との 関連 につ いて 述べている。力学系における運動は、ラグラン ジュ関数工゛の満たすEul ぐ

の 微 分 方 程 式 に よ って 規定 さ れる が、 この 工゛ から フイ ンス ラー 計量 工が 構築 でき る こ と を 示 し 、 運 動が 、こ の エを 計量 にも つ特 別な クロ ピナ 空間 とし ての 幾何 学的 研 究 に 還 元 で き る こと を明 ら かに して いる 。特 に、 力学 系に おけ るラ グラ ンジ ュの 運 動 方 程 式 の 表 す 軌道 は、 フ イン スラ ー空 間の 測地 線と 一致 する こと を主 張し てい る。 さら に、 この 議論 を情 報幾 何学 と して 定式 化し、母数を含む多項分 布の推定問題 に 、 ラ グ ラ ン シ ュ 関数 から フ イン スラ 一計 量を 得る 手法 及び 射影 変換 の議 論を 用い て 、 多 項 分 布 の 空 間を 幾何 学 的に とら え、 より 自然 な推 定方 式を 確立 して いる 。ま たこの方式をボルツマンマシンの学習に応用し、従来の学習アルゴリズム（graclic ｀llt 法 ） よ り 効 率 の 良 い学 習方 式 が提 案さ れ、 実験 的に も効 果的 であ るこ とが 立証 され ている。

こ れを 要す るに 、著 者は 、最 近、 工 学の 分野 のみならず諸分野におい て注目されて いる フイ ンス ラ― 空間 の基 礎理 論を 展 開し 、統 計的推定問題やニューラ ルネットワー ク 理 論 の 情 報 幾 何 学的 取り 扱 いに つい て多 くの 新知 見を 得た もの であ り、 情報 解析 学 お よ び ニ ュ ー ラ ルネ ット ワ ーク の学 習理 論等 の発 展に 寄与 する とこ ろ大 であ る。

よって著者は、北海道大学博士（工学）の学 位を授与される資格あるものと認める。