状態フィードバックによる磁気軸受制御
＊
野村健作
State Feedback Contro l of Magnet i c Bear i ng
＊ Kensaku NOMURA
For a magnetic bearing to keep on the clearance between the two magneしic poles it is necessary a controller・Though the control strategy was the output feedback control in the conventional way，in recent，
for the high performance the staしe feedback contro玉 had reaユized by a digitaユ controユler of CPU． On the other hand， しhe magnetic force characteristic has strongly nonlinearity so that it is ユikeユy tQ be disappeinted of the expected response with a linear controller． Thus the designers wiil have to do trial and error to find out common grounds・ A sliding mode control strategy，one of the method of the fioRlinear control，was applied to the magnetic bearing system by Nonami and others． They had showed that the sliding mode control was very robust for parameter change according to the simulation results． ln this paper，the state feedback eontrol eould be realized by using a minimal order observer． And the robustness for parameter change is diseussed experimentally by the use of the sliding mode control．
1．はじめに
本質的に不安定な系である磁気軸受は、ロータと軸受部 を完全非接触に保つため制御装置を必要とする。従来、磁 気軸受にはロー・一iタの変位信号を演算増幅器などで作ったP IDコントローラに通す出力フィードバック形のアナログ制 御が主流であったが、近年の高速演算が可能なCPUの出現
｝こより磁気軸受制御にもディジタルでより高度な制御手法 を取り入れることができるようになった。しかし、磁気軸 受をディジタル制御している報告には、ロータが磁力のみ によって完全非接触を保たれるものは少なくロ一町の定常 浮上力を空気圧に頼ったり2）ボールベアリングによって支 持しているもの2｝・3＞などがほとんどである。久谷らのは、
ロータの軸方向をディジタル制御し完全非接触を婁現した ようであるが制御手法に信頼性がない。
また、制御する磁力とm一一タの変位は非線形な関係を強 く持っているのでこれをむりやり線形制御するとロータが 予期しない応答を示したり大振幅での振動に対しては制御 不能になることが多い。したがって設計時に何回もチa一 ニングを繰り返しても満足する制御性能が得られず妥協点 を見いだしているのが現状で、磁気軸受に線形制御を適用 する限界ともいえる。このため、今後磁気軸受には非線形 性を考慮した制御系の導入が期待される。野波ら5）はスラ
イディングモード制御を磁気軸受に導入し、解析的に良好 な制御特性が得られることを報告している。VSS（Variable Structure Syste皿）理論に基づくスライディングモード制
＊ 電子制御工学科 平成4年8月31日受理
御は、非線形適応制御の一つでありかつロバストな制御手 法として最近再び注目されている。関係するものにはVSS の設計手法が報告6）されたり、非線形状態観測器としてス ライディングオブザーバが提案7）されたりしている。とく に多関節マニピュレータの分野ではスライディングモード 制御の有効性が数多く実証されている。6＞・9）・ユ。）・ユつ 本報では、制御手法の良否を実験で検討するために磁気 軸受本来の正確な応答が得られるように完全非接触形の磁 気軸受を対象とした。さらに、解析モデルを簡単化しCPU に重い負荷がかからないようにするため1軸方向の磁力の みを制御することにした。得られた数学モデルからロータ の変位、ロータの速度、制御電流を状態変数とした状態フ ィードバック劉御印を実験装置に遮乱した。実験において 実際に観測した状態量はロータの変位だけであったのでロ ータの速度と制御電流は極配置法により設計した最小次元 オブザーバによって推定し状態フィードバック制御を実現 した。また筆者ら12＞は、古典制御からのアプローチとし て磁気軸受にディジタル制御を導入し、大振幅の振動をゲ インを切り換えることで回避できることを実験で確認して いる。このようにリアルタイムでうまくゲインを切り換え ることで優れた応答が得られることにヒントを得て野波ら が提案したスライディングモード制御の手法を離散化して 取り入れ、磁気軸受系のパラメータ変動に対するロバスト 性について検討することにした。実験では先に設計した最 適レギュレータゲインを用いたゲインー定の線形制御とそ れにオン・オフ制御が加わった形のスライディングモード 制御について比較検討した。m一タのステップ応答、 m一 タの質量変動による応答、電磁石の抵抗変動による応答を 実測した結果、スライディングモード制御の方がロバスト
性に優れ、線形制御では制御できないほどのパラメータ変 動に対してもロータは浮上し続けることができることを確 認した。
2，磁気軸受系と制御系 2−1．磁気軸受系
ノ
解析に使pた1自由度制御形磁気軸受のモデルを図1に 示す。図においてロータは自重と吸引力が釣り合う位置の 近傍で浮上しているものとする。この位置において線形化
したロータの遣動方程式は、次のようになる。
躍募一門一・ ・ （1）
ここで、監ロータの質量、x：ロータの変位、 i：電磁石コイ ルの電流、kx：変位の増加分に対する吸引力の減少分の比
kl：電磁石ニイルに流す電流と吸引力との比をそれぞれ示 しているeこのkxとklは、平衡点回りでの吸引力と変位、
吸引力と電流の関係を実験で求め推定した。その結果ロー タは磁極に負のバネ定数をもつバネで吊られていることに なり受動安定にならない。つぎに電磁石の等価回路を図2 に示す。この回路の入出力関係は次式で表される。
di
e＝Ri＋L7ir （2）
ここで、e：コイルに加える電圧、 L：コイルのインダクタン ス、R：コイルの内部抵抗をそれぞれ示している。とくに、
インダクタンスは変位に関係せず一定と仮定して考える。
以上の（1）式および（2）式が磁気軸受系の基礎式となる。
2−2．状態フィードバック制御系
磁気軸受系（1）式、（2）式より連続虚聞状態方程式は次の ようになる。
Xc＝AcXc十BcUc （3）
ここで、
Ac
o川蝉o 1
o e
o些M旦L ／
i m一 ル血gneticPole
（4）
一たx ik，i
xTxe
」〜0士or
制御ぺ．クトルBeは次式である。
B．．．mo o 一！e｛．itlet1．AkA］T （s）
ここで、kDAはD／A変換器のゲイン、 kAはD／A変換器と電磁 石の間につける増幅器のゲインである。．
状態ベクトルXeは、
xe＝mx f／ i］T （6）
とし、3っの状態変数は左から．ロータの変位、ロ一天の速 度、コイルの電流を示している。一方、実際に観測するの は通常の変位センサによって変位のみ観測するとすれば、
出力方程式は次のようになる。
yc＝Cex （7）ここで、
C．＝［k．k．．OO］ （8）
ここで、ksは変位センサのゲイン、 kADはA！D変換裾のゲイ ンを示している。（3）式および（7）式は連続時聞系で表され
図1 磁気軸受の力学モデル
一 i
L
図2 電磁石の等価回路
ているのでコンビn一タを使ってディジタル制御するため にサンプリング周期Tでこれらを離散化しておく。状態方 程式は、
x（i 十1） ＝At （i） ＋Bu （i） （9）
ここで、
A＝eAeT・ ， （10）
B＝∫奄加℃・dτ （11）
出力方程式は、
y（i） Cv（i） （12）
ここで、
C一一Ce である。状態フィードバックによる制御入力u（i）は、次式 （13）
と置く。
u（i） ＝，一ilZixr （i） （14）
ここで、
K＝［K， K2 K．］ （15）
であり、各状態フィードバックゲインKl、 K2、 K3は次の評 価関数を最小にする最適状態フィードバックゲインとする。
j＝Σ｛γ（i）2＋u（の2｝ （16）
i−e
このためKは、次式で与えられる。
K＝ ［1十B pB］一 B pA （17）
ただし、pは定常Riccati方程式の解として与えられる。
つぎに、実際に観測するのはロータの変位だけなのでロー タの速度および制御電流を以下の最小次元オブザーバによ って推定する。
x（の＝H祝くの十Jy（i） （18）
釧ズi十1）＝F祝（歪）＋（茅＝）＜i）＋P鋭（〜） （19）
H、J、 F、 G、 Pの各要素は．極配置法で設計することにす
る。（18）式、（19）式のオブザーバを用いたシステムのブロ ック線図を図3に示す。
uCi）
K．HK．HB
i（i＋1）nx（i） n n y（i）
C HK．，
x ：J）
十
r一一一一『一一一一一一一一『一一一一一一一一『一
t
P
：：
t＋
12｛i）
H w｛i） z一li
F
十
wCi＋1）
十
G
J
L一一一一 ＝． 1．一H一一 一一一一nvO−bielv．eL一一一i
図3 磁気軸受制御系のブロック図 2−3。スライディングモード制御系
状態空間にある指定した面（切り換え面）の表と．裏でゲ インを切り換え、切り換え面上に状態を拘束させ、この面 上を運動する状態を平衡点へ移させる制御をスライディン
グモード制御という。
ここでは．前で述べた最適フィードバックゲインを基に しその前後でゲインを切り換え、最適状態フィードバック によるゲインー定の制御より優れた制御を期待する。
まず、指定する切り換え面を次のようにする。
a（i）＝Vx（i）＝［Vi V2 Vs］x（i）＝O （20）
この表と裏でゲインを切り換えれば良いが、スライディン グモードが発生するためにαtについての正定関数を、
g（i）＝O．5a（i）2 （21）
と選び、これを時聞で微分した関数
dst i）
Ge（ i十1）一 a（ i ） ta（ i）
（22）
dt
T
が平定関数となるようにゲインを切り換えなければならな い。したがって、（9）、（14）、（20）式より、
a（ i）（a〈 i十1） 一一p a（ i ））＝ a（ i）｛Vx〈 i十1）一V sc（ i）｝
＝ a（ i）V｛Ax（ i）一BK ￥〈 i）一 v（ i）｝
＝V（ A−1 ）a（ i ）oo（ i）一VBIglct（ i ）x（ i）
一飯はエッジ部に集中する磁力線によって傾いて浮上する のを避けるため重心が下方にくるよう工夫した。センサに は、新川電機㈱製渦電流方式VC−6CZ、 VB−22060LOI／000190−
A501−AF−0を用いてロ一八下部端面をターゲットとした。
CPUには、パーソナルコンビn一タPC−9801F（＋8087）を用い 演算時間を極力短くするようプログラムはマイクロソフト 社eqMASHで書いた。その結果サンプリング周期Tは1．608 msecとなった。その他装置の主な諸元を表1に示す。
E［ectromagnet
tthiplifier2
』警
．tbnptifierl
Sensor D／A Cenverter
CPU
mo ConveTter
〈o
となるので、ゲインは次のように切り換える。
K＞（VB）一 V（A−1） at a（i）x（i）＞O K〈（VB） iV（A−1） at a（i）x（i）〈O
（23）
︶︶4桂民﹂り42︵︵
図4 実験装置の構成 表1 実験装置の主な諸元
つぎに．切り換え面の各要素Vユ、V2、 V3は、スライディン グモードが発生中（α i＝O）、ゲインが（17）式で得られた最 適フィードバックゲインになるように次のようにする。
V，＝K． （26）
at2
V．＝一i一： 一＝V K， （27）
a21
Ksai2−K2ats−Ktai2a2s／a2r
Vs＝ （28）
ass−2
ただし、（26）式から（28）式においてaijは（10）式で与えられ る状態遷移行列Aのi行j列の要素である。
3．実験装置と実験結果
実験で用いた装置の基本構成を図4に示す。とくに、ロ
Rotor Mass Atl＝O． 074 kg Coil Resistance R＝9L 5 9
Coil Inductαnce 1芦二〇．789 H
Force characteristics
kx ：一一［；tt一＝181． 5 AYm
dF kl＝＝
＝6．96瓦乙4 di
Aレ7）converter 86it
km ＝51 1／Y
碗coη疋）erter 86iオ
たD．＝エ3mV／1 Gain of amptifierl fes＝750 V／m Gain of amptifier2 kA＝8． 8
（17）式によって得られた最適フィードバックゲインは、
K＝［81011 1477 一7t12］
となった。A＋BKの固有値は、0．82、0．911±jO．059となる。
（18）式、（19）式のオブザーバは極配置法により、数回の試 行錯誤で極を0．5、0．4にするようにした。極は原点に近い 方が好まし いがこれ以上近づけると発振しやすくなった。
また、スライディングモード制御に使った切り換えゲイン は、状態点が（24）式の条件が適用される位置にあるときは 上で得られたゲインより10％大きいゲインを用い、（25）式 が適用される場合には10％小さいゲインを用いた。（26）式、
（27）式、（28）式で得られる切り換え面の要素は次のように なった。
V＝ ［14n 33 一20］
以下に最適レギュレ・一・タゲインを用いたゲインー定の制
御（線形制御）とスライディングモード制御（Sモード制 御）の比較をロータの応答波形を基に考察する。また以後 示す図は、横軸は時間、縦軸はロ一望の変位を示している。
なお縦軸の変位は鉛直下方を正にとりロータが落下する方 向を示している。
図5に、線形制御を用いたときの目標値0．1皿皿のステッ プ応答波形を示す。設計した制御系には積分補償器をつけ 加えていないので、定常偏差は大きく約1mmある。線形制 御では、ロータの変位が零の位置において電磁石の吸引力 特性およびコイルのインダクタンスを推定しているのでこ のように設定位置より下方にずれると剛性が足らずずるず ると下方に落ちるような応答を示す。したがって位置決め 精度が要求される磁気軸受に線形制御を適用する場合は、
目標値変化に対して出力が追従するよう積分補償器を付加 することが有効である1）。図6にSモード制御を用い、同 様のステップ入力に対する応答波形を示す。図5に比較し て定常偏差も少なく立ち上がりも速いなど好ましい応答を 示していることがわかる。
図7および図8にロータの質量変動による応答を示す。
図7は線形制御を用いたとき、図8はSモード制御を用い た場合である。実験ではロータの円盤上に2．5gのスポンジ をゆっくりとのせロータに衝撃が加わらないようにした。
両者を比較すると、Sモード制御の方が整定時聞が短いこ とがわかるが、振動し易い傾向にあることがみられる。こ の傾向は．今回線形ゲインの±10％に取った切り換えゲイ ンの幅をさらに大きく取ると顕著になり発振気味になる。
このことは、ロボットのアーム制御にSモード制御を用い るとチャタリングが発生し易いことの報告6）もあり、Sモ ード制御の欠点ともいえる。
図9および図10は、ロ一転の質量をさらに増加させ5g のスポンジをのせた時の応答を示す。線形制御では、制御 できず落下してしまっているがSモード制御を適用した場 合、ロータは下方にかなり下がるが浮上し続けることがで
きた。したがって、ロータの質量変動に対するロバスト性 はSモード制御の方が優れていることは明かである。
図！1および図12は、電磁石コイルの内部抵抗の増加 によるロータの応答を示している。これは磁気軸受運転中 に電磁石コイル内での種々の損失に起因して発生する熱に よりコイルの抵抗が変わってしまうことを想定した。とく にロ一敗の定常浮上力を永久磁右の吸引力を利用するゼロ パワー方式の磁気軸受を除き、電磁石に大きなバイアス電 流を流して浮上力を得るような磁気軸受では材料の選定や 磁極の構造を設計する段階で深刻な聞題である。実験では 増幅器から電磁石へっながる導線と並列に電磁石の抵抗の 約10％に相当する9．1Ωの抵抗をつなぎ、導線の方に設け たスイッチを開くことでステップ状に電磁石の抵抗を増加 させた。そのため電磁石コイルの電流応筈の時定数が短く なり減衰をきかせすぎた制御になることが予期される。図 11はゲインー定の線形制御を適用した応答であるがロー タは電磁石の抵抗がステップ状に変化しているにも拘らず、
振動せずゆっくりと下方に移動し最終的に落下してしまつ
3210123 一 一
宝占料目鋤§勉リミ腎離q
O．O O．2 O．4 O．6 O．8
TiTne ［sec］
図5 ステップ応答（線形制御）
LO 1．2
3 2 エ 0 エ 2 3 一 一 一冨占刊竈§・ミ二二 3 2 1 0 1 2 3 ﹁ ﹁ 一智占郭§§9ε騎ミ 3210123 ﹁ 一 一喧基頼§§葛同騎δ
rm．O O．2 O．4 O．6 O，8 LO L2
Time ［sec］
図6 ステップ応答（Sモード制御）
O．O O．2 O，4 O．6 O．8 LO L2
Time ［sec］
図7 2．5gの質量増加による応答（線形制御）
O．O O，2 O，4 O．6 O．8 LO 1．2
Time ［sec］
図8 2．5gの質量増加による応答（Sモード制御）
32エ0123 一 一 一
贋O判罵§・ミ騎噛q 3 2 1 0 1 2 3 一 一冨槌遷きミ禽春
O．O O．2 O，4 O．6 O．8 LO L2
Time ［sec］
図9 5gの質量増加による応答（線形制御）
O．O O．2 O．4 O．6 O．8 1．0 L 2
Time ［sec］
図10 5gの質量増加による応答（Sモード制御）
た。通常パラメータの正確な推定値が得られずこのような 応答を示す場合、極配置法などにより閉ループ系の代表特 性根をさらに1より離して配置するようフィードバックゲ
3 2 1 0 1 2 3 一 一 一冨自剰§§u￡騎噛q
O．O O．2 O．4 O．6 O．8 1．0 1，2
TiTne ［sec］
図11 抵抗変動による応答（線形制御）
（5）
（6）
（7）
（8）
3 2 1 0 1 2 3 ﹁ 一
﹇霞Ω朝§§uミ騎嵩
O．O O．2 O．4 O．6 O，8 LO 1．2
Time ［sec］
図12 抵抗変動による応答（Sモード制御）
インを設計し直す必要がある。しかし、熱による抵抗値の 変動のようにモデル化が困難でかつリアルタイムでのパラ メータ変動に対しては線形制御では適応できないのが現状 である。図12は、Sモード制御を適用した場合の応答で ある。図11と同様な傾向で徐々にロータは下降している が変位約1mmの位置で浮上し続けることができた。
4。まとめ
1軸制御による完全罪接触形磁気軸受に、ロ・・一タの変位、
速度および制御電流を状態変数とした状態フィードバック 制御をロータの速度と制御電流を推定する最小次元オブザ ーバを用いて適用した。またこれを拡張した形のスライデ ィングモード制御を導入し、両者を実験で得られた結果か ら比較し次のような知見を得た。
1） ステップ応答により、スライディングモーF制御は 目標位置変動に伴う吸引力の罪線形性に対して不感性 に優れる。
2）スライディングモード制御を適用することにより、
ロータの質量変動、電磁石の抵抗変動に対してきわめ てロバストなシステムを構成することができる。
3） スライディングモード制御における切り換えゲイン の幅は大きく取り過ぎると発振気味になる。許容切り 換え幅の見積もり方に検討を要する。
4） 目標値追従性を高めるため積分補償器を付加した状 態フィードバックを実現させ、これに基づくスライデ ィングモード制御を適用すればよりロバスト性を高め ることができると考える。
（9）
野波，山口：日本機械学会論文集，C，58巻，545号，1992 吉田，川辺：日本機械学会論文集，C，55巻，512号，1989 J．J．E．Slotine，J．K．Hedrick and E．A．Misawa：Trans・
ASME，J・Dyn・Syst．Heas．Control，109，1987
則次，和田，重吉：計測自動制御学会論文集，Vo126，No3，
1990
則次，和田，田寺：計測自動制御学会論文集，Vo127，Nol，
1991
（10） P．j．Nathan and S・N．Sigh：Trans・ASME，J．Dyn．Syst・
Meas・Control，113，1991
（11）真野，岩井，大友：日本機械学会論文集，C，55巻，518号 1989
（12）野村，荒井：津山工業高等専門学校紀要，28，1990
︶︶−⊥り4︵︵
（3）
（4）
文 献
滝田，背戸：日本機械学会論文集，C，58巻，548号，1992 K・Nonami and H．Yamaguchi ： 2nd lnternationai Sy皿1》osium of Magneしic Bearing
永井，岡田，島根：日本機械学会論文集，B，54巻，501号，
昭63
久谷，井上，三井：日本機械学会論文集，C，51巻，465号・，
昭60
