状態空間法に基づく m 入力 m 出力一般化予測制御系の 2 自由度構成法

状態空間法に基づく m 入力 m 出力一般化予測制御系の 2 自由度構成法

矢納陽へ増田士朗付，井上昭付*

A Design Scheme o f   Tw o  D e g r e e ‑ o f ‑Freedom o f  Generalized P r e d i c t i v e   C o n t r o l  f o r  m  ‑ i n p u t  m  ‑ o u t p u t  Systems Based on S t a t e  Space Approach 

Ak i r a  YANOU* ，  S h i r o  MASUDA'

枇

and Ak i r a  INOUE*** 

This paper proposes a design scheme of two degree‑of‑企eedomGPC for m ‑input m .output systems. The  proposed method reveals the effect of the integral compensation only if there exists modelling error or  disturbance. Therefore， performance degradation due to an integral compensation， such as a slow response or  an excessive control effort， can be avoided when the controlled system has no perturbation. 

Keywords: Predictive Control， 

Tw

o Degree‑of‑Freedom， State Space Approach 

1.はじめに

一 般 化 予 測 制 御 法 (Generalized Predictive  Control:GPC)U土，Clarkeらによって提案された制御手 法である.この手法は，予測ホライズン，制御ホライ ズン，重み係数といったコントロールパラメータを含 む評価関数を最適化することによって制御則を得る.

予測ホライズンとは，制御対象のノミナルモデルに基 づいて計算される出力の予測値を求める範囲を表す.

また，制御ホライズンは未来の制御入力の最適系列を 得る範囲を表す.さらに，重み系列とは制御入力の大 きさに制限を力日えるパラメータである.このようなコ ントロールパラメータを含めた評価関数を最適化する ことによって制御則を求めるが，各サンプリング時間 に各ホライズンを未来に向けてずらしながら制御入力 が繰り返し計算される.このことが直感的に分かりや

すいことから，この制御手法は産業分野で広く適用さ れている.ところで，もし制御対象が正確にモデル化 され，外乱も存在しない場合，コントローラは積分補 償を行わずにステップ状の目標値に対して追従するこ とができる.また，積分器を含めることによって制御 入力の増加や過渡応答の悪化を招く恐れがあるため，

積分補償の効果はモデ、ル化誤差や外乱が存在する場合 のみに現れるのが望ましいといえる.すなわち，目標 値応答特性と外乱応答特性は独立に設計できることが 望ましく，本研究ではこの特性を 2 自由度系と呼ぶこ とにする.この 2 自由度系において， 目標値応答特性 は出力と目標値との誤差および制御入力からなる評価 関数を最適化することによって設計される.また，外 乱応答特性は積分補償ゲインを調整することによって 設計できる.

士近畿大学工学部システムデザイン工学科 Departmentof System Design Engineering，  宮古東京都立科学技術大学工学部

生産情報システム工学科 官官官岡山大学工学部システム工学科

School ofEngineering， Kinki University 

Department of Production and Information Systems Engineering，  Faculty ofEngineering， Tokyo Metropolitan Institute ofTechnology  Department of Systems Engineering， 

Faculty of Engineering， Okayama University 

195 

ところで，2自由度最適サーボ、系については多くの研 究がなされており 2)，3)，これに対し著者らは一入力一出 力系に対して状態空間法に基づく一般化予測制御系の 2自由度構成法を提案している4). しかし，多入力多出 力系に対する一般化予測制御系の 2自由度構成法につ いてはこれまで提案されていなかった.また，実シス テムに適用する場合，制御対象の多くは多入力多出力 系である.よって，本論文ではまずm入力m出力系に 対し一般化予測制御系の 2自由度構成法を新たに提案 する.本手法は以下の設計手順となる.まず，従来の 一般化予測制御法とは違い，評価関数に積分器を含め ず，またモデル化誤差や外乱が存在しないとしてコン トローラを設計する.次に，前段階で得られたコント ローラに積分補償項を付加することによって，新しい コントローラが得られる.この積分補償効果は，同時 に導入されるゲインによって調整される. しかしこの コントローラは第 1ステップで設計したコントローラ に単に積分補償項を加えただけであるので，常に積分 補償の効果が現れ，その結果，必要以上に積分補償が 行われる恐れがある.そこで第 3ステップとして，モ デ、ル化誤差や外乱が存在しないという仮定のもとで，

第 2ステップで得られたコントローラが行う積分補償 量を計算し，これをあらかじめ第 2ステップで得た制 御則から減じておく.このようにして得られるコント ローラが，提案法となる.すなわち， m入力m出力系 に対する一般化予測制御系の 2自由度構成法が得られ る.モテ、ル化誤差や外乱が存在しない場合，提案法は 積分補償を含まない第 1ステップで得られたコントロ ーラと閉じ制御入力を生成し，モデル化誤差や外乱が 存在する場合には，積分補償の効果が現れる.また，

数値例によって本手法の有効性を確認する.

2.問題設定

制御対象として次のm入力m出力系を考える.

x[k+ 

1 ]   = 

Ax[k] 

+ 

Bu[k] 

y[k] = Cx[k] 

ここで状態x[k]，入力u[k]， 出力y[k]はそれぞれ pxl， mxlおよびmxl次元ベクトルで、ある.また，

行列A，BおよびCのサイズはそれぞれpxp，pxm およびmxpである.ここで次の仮定をおく.

[ 1 ]   ( A ， B )

は可安定

[2]  (C

，

^{A)は可検出} IA‑] 

BI 

[3] 

I 

^{f I  ‑A  .u} 

I

はブノレランク I C  0 I 

積分器w[k]は以下の式で与えられる.

W[k]=jeIkl 

ここでd= 1‑Z ‑1.  e[ k] :::: r ‑y[ k]は目標値と出力の 追従誤差を表す.また，制御目的は出力y[k]が目標値 r に追従することである.

(2) 

3.一般化予測制御系の2自由度構成法 一般化予測制御系の 2自由度構成は次の3つのステッ プで設計される.第 1ステップではモデル化誤差や外 乱が存在しないと仮定し，積分項も含めずに一般化予 測制御則を構成する.すなわちモデ、ル化誤差や外乱が 存在しない場合のみ制御目的を達成できる. しかしモ デル化誤差や外乱が存在する場合，定常偏差が発生し，

設計されたコントローラでは出力が目標値に追従でき ない.第2ステップでは，第 1ステップで与えられた コントローラに積分器を付加したものを新たなコント ローラとする.第 2ステップで得たコントローラは，

その積分補償によりモデル化誤差やステップ状の外乱 が存在しても制御目的を達成できる.しかし，モデル 化誤差や外乱が存在しない場合にも積分補償が行われ るため，必要以上の積分補償が制御性能の悪化を招く 恐れがある.第3ステップでは，第2ステップのコン

トローラがモデル化誤差や外乱が存在しない場合に行 う積分補償量を計算し，これを第 2ステップのコント ローラからあらかじめ減じておく.これが提案法とな る.すなわち一般化予測制御系の 2自由度構成が得ら れる.以下では各ステップにおける制御則の導出を行

? 

︑ ︑ . ︐ ︐ ︐

噌i

J︐

︑

3.1積分補償を含まないGPC

本節では積分補償を含まないGPCの構成を行う.まず 状態量x[k]，出力y[k]および制御入力u[k]の定常値 をそれぞれxoo' y∞および札で表すことにする.この ときプラントの定常状態は次のように表すことができ る.

x∞=Ax^旬 +Bu y∞ =Cx^旬

出力の定常値が目標値と一致したと仮定すると，状態 量および制御入力の定常値は次のように与えられる.

(3) 

寸1 11 11

lill1L﹁

or 

﹂1

111111J 

B O  

I  一 C

A 

﹁1

11 11 11 L

一 一

﹁l11111﹂

x u

∞ ﹁

11 11 11

‑

(4) 

(1)式から(3)式を減ずると

x[k+l]‑x∞

= 

A(x[k]‑x∞)+B(u[k]‑u∞)  y[k]‑

y . ∞ : : : :  

C(x[k]‑x

∞ )  

ここで状態量，出力，入力の偏差を主[k]::::x[k]‑x_oo' 'U

r 

Ir 1:::: 

" r  

Ir 1 ‑" お 上 ぴ 節 目 =

I I r  

lr 1 ‑11  )‑‑iF義すろ)‑‑

以下の偏差系が得られる.

正 [k+1]=A 五 [k]+B i i [ k ]   y [ k ]   =  C

支

[ k ]

(5) 

この系に対し jステップ先の出力予測式

y[k+

j I 

k ]

を 求めるため，以下のjステップ先の出力を考える.

y[k+ 

j] = 

CA

^j

五 ^[k]+ L  ^{C A i ‑ l B i i [ k} + 

j 

‑ 1 ]  

(6)  制御対象には外乱が存在しないと仮定しているので j ステップ先の出力予測式は

y[k+

j 

I  k ]   =  y[k+ 

j]とな る.また，各サンプリング時刻の出力予測式および未 来の入力値をベクトル形式でまとめ，さらに次のよう に行列

H

，

σ

を定義する.

t印制 [μ閃k灯]=~炉 ~T[刊[μk+N川11川向k灯] ^夕 y 釘

T刊い[

6 卯 μ [ k]=U 位 仇 u が 的 刊

T

μ ヤ [

閃

切

k

灯 ] . .   が[k+N I / ‑ l J f 

寸

I

CAN，‑IB  ...  CB 

. . . 。

I CA^川

1 "リ N.+I1 

H = = I

、一

I

，

G = = I

CANu‑1B  CB 

I 

CA^N， 

I 

L ̲.'..J 

I 

CAN，‑IB  ・・・ ・・・ ・・・ CAN，‑NuB  ここで[N_pN₂

1

および[l，N_u

l

はそれぞれ予測ホライズン と制御ホライズンを表す.これらのベクトルおよび行 列を用いると，次のように出力予測式をベクトル形式 で記述できる.

Y [ k ]  

= 

HX[k]  +  GU[k] 

⁽⁷⁾  制御則を導出するために，次の評価関数Jを考える.

J=

む町

^]CT

^{C X [ k}  

⁺ 

^{j ] +} 針 [ k +j

ーl州

この評価関数は以下のベクトル形式で書き表すことが できる.

J  =  yT[k]Y[k]+UT[k]A I I [ k ]  

(8) 

到 k ]

は出力と目標値との差，すなわち追従誤差を表し ているので，上記の評価関数は追従誤差と制御入力の 偏差量の二次形式となっていることが分かる.(7)式を :8)式に代入し ，U[k]で偏微分を行うと，未来の制御入 力の偏差系列が得られる.

U[k]  = 一 (GTG+A)

^ー

lGT

政

[ k ]

よって制御則

u [ k ]

は次式となる.

u [ k ]  

= 

Fox[k]‑ 凡人+札

(9)  ただしF。は次のように表されるものである.

F o   = ‑ [ / " ， 仇 … OmkGTG+A)

匂

TH

また， (4)式を用いると(9)式の右辺第2項および第3項 土次のように計算できる.

‑ F o x o o   +  u 

=同

^I

れ

¹

: n : J  

=同 I.{~ ~I主:..J [A~I : r t J  

= [ 0 九 { [ A~I :I~ ~Jn~J

u [ k ]  

= 

F o x [ k ]   +  Hof 

3.2積分補償を含んだ GPC

(11) 

モデ、ル化誤差やステップ状の外乱が存在する場合，制 御則(11)式には積分補償が含まれないために制御目的 が達成できず，出力と目標値との間に定常偏差が生じ る.そこで、(11)式に積分補償項を新たに付加し，次の制 御則を与える.

u [ k ]  

= 

F o x [ k ]   +  Hof+Gow[k] 

⁽¹²⁾  ここで

G o w [ k ]

は積分補償項を表し ，G.。が積分補償の ゲイン ，

w [ k ]

が積分補償を表す.この制御則(12)式に よって，モデル化誤差やステップ状の外乱が存在して も制御目的が達成され，出力が目標値に追従する.

3.3 GPCの2自由度構成

制御則(12)式では積分補償が常に行われ，これが過渡応 答の悪化や制御入力の増加を招く恐れがある.すなわ ち，モデ、ル化誤差や外乱が存在する場合のみ積分補償 の効果が現れる， GPCの 2自由度構成が望ましい.本 論文で提案する GPCの 2自由度構成は目標値応答特性 と外乱応答特性を独立に調整可能な特徴を持ち，本節 ではこれを構成する.まず，積分補償として

z [ k ]

を考 え，このゲインを G_oとして以下の制御則を考える.

u [ k ]   =  F o x [ k ] +  Hof+  G o z [ k ]  

ここでF。とH。は(11)式で与えたものと同じ係数であ る.次に，モデル化誤差や外乱が存在しないと仮定し，

追従誤差

e [k  ] 

= f ‑

y [   k ]

を計算する.この仮定より，本 節で提案する制御員JIは(11)式と同じものになる. (11)式 を(1)式に代入し，状態量

x [ k ]

を両辺から減じると，以 下の式が得られる.

x[k+l

ト

x[k]= (A‑I 

+ 

BFo)x[k] 

+ 

BHor  すなわち

x[k] =(A‑I +BFo)一Ix[k+ 1]

一

(A‑I

(13)  +BFof¹x[k]

一

(A‑I+BFo)ーlBHor 上式を追従誤差e[k]の式に代入し， (10)式を用いると，

追従誤差は次のように表される.

e[k] = r‑y[k] 

=r‑Cx[k] 

=r‑C(A‑I +BFof¹x[k+1]+C(A‑I  +BFo)ー1x[k] 

+ 

C(A ‑

1  + 

BFo)ーlBHor

=‑C(A‑I +BFo)一1(x[k+ 1]‑x[k])  モデ、ル化誤差や外乱が存在しない場合，追従誤差の積 分量w'[k]は次のように計算できる.ここで表記を簡単 化するため，‑C(A‑I+BFofl^を

p

^で表す.

w'[k

シ

] 

=

^[k]

=‑C(A‑I+BFo)ーI(x[ k 

+ 

1] ‑x[ k ])  +w'[k‑l] 

= P(x[k+ 1] ‑x[k]) 

+ 

P(x[k]‑x[k ‑1])  +w'[k‑2] 

= P(x[k+ 1]‑x[k])+ P(x[k]‑x[k‑l])+・.. + P(x[2] ‑x[l]) 

+ 

w'[O] 

=‑C(A‑J +BFo)ーI(x[k 

+ 

1]‑x[l]) 

ここでが[0]=0とした.このとき(11)式を用いて，以下 の関係が得られる.

たに状態量として定義した拡大系を考えると，次のよ うな形式で記述することができる.

[ 「 ψ 川 川 μ 「 [

加仰

「

kれ

刈

川

琳

+什l

刊叫 ^眠

^][

^「

^r

^?

^x

^刈

^r

^{戸 柑 μ}

^r

^[

^閃

^{門 刷 灯} γ]

^k[

z[k+l

り ] I  I 

⁰ 

J 一 H;[~ 鳥~

" z[

灯

k

] I  ^I 

⁰ 

ここでA+BF.。が安定になるように制御則が設計され た場合，積分補償ゲイン G。は I-H~I~。が安定となる範 囲で選べることが分かる.また2自由度系の制御則(15) 式を適用した場合の目標値応答は，前述の拡大系の式 より以下のように表すことができる.

y(z) = C{zI

一

(A+BFo)}ーlBHor(z) ここでy(z)およびr(z)はy[k]およひやrを z変換した ものを表す.さらにz=lとし，この応答の定常ゲイン を求めるとr(z)の係数は次のように与えられる.

‑C(A‑I +BFo)一'BH.

。

ここで(10)式より，この係数は1になることが分かる.

すなわち2自由度系の制御則(15)式を与えると，モデル 化誤差やステップ状の外乱が存在する場合でも，定常 状態では出力応答は目標値と一致することが分かる.

4.数値例 以下の2入力2出力系を考える.

o 

1  1 0.0289  ‑0.00161  0.11  1‑0.0033  0.0139  1 

Ixrkl+1  lurkl 

o 

. 1^L  ~ 1 0.5772  ‑0.03261 ^L  ~

1 I  I ‑0.0651  0.2789  I 

w'[k] = ‑C(A ‑1 

+ 

BFo)一I(A 

+ 

BFo)(x[k] ‑x[O])  シミュレーシヨンステップ数は200，状態，制御入力お よび出力の初期値はすべて零とし，各パラメータは次 (14)  の値とする.

(14)式はモデ、ル化誤差や外乱が存在しない場合に行わ れる積分補償量を意味している.よって， GPCの2自 由度構成の積分補償項z[k]は次のように与えられる.

z[k] 

= 

^w[k]‑w'[k] 

= w[k]+C(A‑1 +BFO)ーI(A

+ 

BFO)(x[k]‑x[O])  モデル化誤差や外乱が存在しなければ，このz[k]は常 に零となる.すなわち積分補償効果が現れない.よっ て本論文で提案する制御則は次のように与えられる.

u[k] = Fox[k] + HOr + GOz[k]  (15)  ただし

11.51  N[ =1O，N2 =3川 ，=2M=10I，r=i‑l￨

ステップ状の外乱卜0.5 0.3fが 100ステップ目から 出力に対して加えられる.制御則(12)式および(15)式の 積分補償ゲインはそれぞれ目標値への追従が最も速い

と思われるものを選んだ.

10.2  0 1 

G" = 1 

v . . . . .  

^{V  1}  for (15) 

。

10  0.21  10.006  0  1  G，，=I 

u  1 0  0.0061  ^for (12)  z[k] = w[k]+ C(A ‑1 

+ 

BFofl(A 

+ 

BFo)(x[k]~ x[O])  Fig.1および Fig.2にシミュレーション結果を示す.

Fig.1において，破線は(11)式による出力応答を示し，

(16) 

長線は(12)式による出力応答を示す.また，実線は提案 また，このコントローラの特性について以下に簡単に

解析を行う.まず，状態量x[k]と積分補償項z[k]を新 法である(15)式による出力応答を示す.Fig.2での破線，

点線および実線はFig.1と同様の制御則に対応し，それ ぞれの制御入力を表している.100ステップ目から外乱 が加えられるまで，提案法は積分補償を含まない制御 貝1j(11)式と全く同じ応答を示している.一方，制御則 (12)式では，その必要以上の積分補償のために過渡応答 時にオーバーシュートが見られる.また，制御則(11) 式の出力応答は，外乱が加えられた後は目標値に追従

していないが，提案法は積分補償の効果が現れ，目標 値に追従していることが分かる.一方， (12)式による出 力応答も目標値に追従しているが，その必要以上の積 分補償のため，提案法ほど速くは追従できていない.

以上のことより，提案法はモデ、ル化誤差やステップ状 の外乱が存在する場合のみ積分補償効果が現れ，目標 値追従することが分かつた.

5.結言

本論文ではm入力m出力系に対するGPCの2自由度 構成法を提案した.この提案法は次の 3ステップで設 計を行う.まずモデル化誤差や外乱が存在しないと仮 定し，積分補償を含まないGPCを設計する.次に，先 のステップで得た制御則に積分補償項を付加すること で，積分補償を持つGPCを構成する.第3ステップで は，第2ステップで設計した制御則がモデ、ル化誤差や 外乱が存在しない場合に行う積分補償量を計算し，こ

0.25  0.2  0.15  0.1 

0.05  吉‑

‑0.05 

‑0.1 

‑0.15 

‑0.2 

。

句

Fig.2 

1∞ 1鈎

step 

Input response 

参考文献

[1] D. W. Clarke， C. Mohtadi and P. S. Tu首

s :

200 

Generalized Predictive Control， Automatica， Vol. 23，  No. 2， pp.137・160(1987) 

[2] Y. Fujisaki and M. Ikeda: Synthesis of  Two‑Degree.of. Freedom Optimal Servosystems，  Transactions of SICE， Vol. 27， No. 8， pp.907・914 (1991) 

[3] T. Hagiwara， M. Ichiki， M. Kanaboshi， K.  Fukumitsu and M. Araki: Digital 

れをあらかじめ減ずることによって提案法が得られる Two‑Degree.of‑Freedom LQI Servo Systems ‑Design  すなわちm入力m出力系に対するGPCの2自由度系 Method and Its Application to Positioning Controlof  が得られる.計算した積分補償量をあらかじめ減じた a Pneumatic Servo Cylinder， Transactions of ISCIE，  ことによって，提案法はモデ、ル化誤差や外乱が存在し Vol. 11， No. 2， pp.51・60(1998) 

ない場合，第 1ステップで得た制御則と同じ制御入力 [4] A. Yanou， S. Masuda， A. Inoue and Y. Hirashima:  を与え，モデ、ル化誤差や外乱が存在する場合には積分 Two Degree‑of‑Freedom of Generalized Predictive  補償の効果が現れる.このことを数値例によって確か Control Based on State Space Approach，  め，本手法の有効性を確認した.今後の課題としては Transactions ofISCIE， Vol. 12， No. 2， pp.106・114 入出力数の異なる多入出力系に対するGPCの2自由度 (1999) 

構成法への拡張などが挙げられる [5]E. F. Camacho and C. Bordons: Model Predictive 

1.5 

吉 0.5

書。

‑0.5 

‑1 

‑1.5 

0  50  100 

step 

Fig.1  Output response 

150  2∞ 

Control in the Process Industry， Springer (1995)  [6] Ak.ira Yanou， Shiro Masuda and Akira Inoue: Two  Degree‑of‑Freedom of Generalized Predictive Control  for m‑input m.output Systems Based on State Space  Approach， SICE Annual Conference 2004 in Sapporo，  pp.2680・2684(2004)