1
論 文】 日本建築 学会構造 系論 文 報告 集 第 434 号・
1992 年 4 月 Journat Df Struct．
Constr．
Engng、
ArJ，
No、
434，
Apr，
，
1992繰 返
し
変 動
曲
げ を
受
け
る
鋼柱
の
弾
塑性
・
崩 壊
挙
動
ON
ELASTO
−
PLASTIC
BEHAVIOR
OF
STRUCTURAL
STEEL
BEAM
−
COLUMN
SuBJECTED
TO
REPEATED
vARIABLE
BENDING
近 藤
一
夫
＊ ， 王学
鋒
＊ ＊ ，中
倉
健
介
＊ ＊＊ ，花 井
正実
＊ ＊ ＊＊Ka2uo
KONDOH
，Xue
−
Feng
WANG
，
Kensuke
IVAKAKURA
andMasami
HAIVI41
Elasto
−
plastic behavior of・
structural steelbeam−
columns subjected しo repeated variablebending
under a constan しaxial
force
areinvestigated
，
uslng the new unified method proposed in the au．．
thors
’
previous papers．
According
toRefs．
12〕−
14），
thebasic
equations Qf abeam−
column governing the relationsbe．
tween the magnitude of the
domain
of the variable external load，
which is given as a randomlyvarying Iepeated curvature in the present study
，
and the extreme responses of the axial strain，
theresisting moment and so on are
derived
．
Several
specific characteristi6s of thebeam・
column subjected to the repeated variablebending
are
indicated
，
which might be deduced from the derived basic equations and 仁hu
’
s available 正or any
beam・
column．
As
an example ， elasto−
plastic and collapse behavior of abeam．
co 【umn with the rectangular cross−
section are formulated in the explicit expressions．
Also，
theihcremental
collapselimits
，
which are related to
divergence
phenomenon of the axial strain，
are examined．
Keywords ；steel beam
．
column，
rePeated variablebending
，
elasto・
Plasticbehavior
，
incre
’
mental collaPse 鋼 柱，
繰 返し変 動 曲 げ，
弾 塑 性 挙 動，
漸 増 塑 性 崩 壊L
緒 言 繰 返し変 動 曲 げ を受 ける一
定 軸 力 下の鋼 柱 断 面の弾 塑 性挙動に関す る研 究は，
中 高 層鉄骨 架 構の耐震安全性を 考え る う えで の最も基 礎 的な事 項の一・
つ で あり，
これ ま で に， 定振幅交番繰返 し曲 げ を対 象に し た藤本・
羽 倉1 ］， 山 田・
白 川Z ），
五十 嵐・
松 井・
吉 村・
松 村3 〕，
坂 本・
小 浜・
棚 橋4 ）らの研 究に よ り， i
）抵 抗t 一
メ ン トお よ び 軸ひず み は，
曲 げの繰 り返 しと と もに，
単調 に増 加 して い く が，
ひずみ硬 化が あれ ば，
あ る一
定 値に収れ ん す る こと，ii
）抵 抗モー
メン トの収れ ん値は，
軸 力に無 関 係 に，
ひずみ硬化 係 数 お よ び曲げ （曲率）振 幅によ り，
一
義 的に定ま り，
ま た，
そ れは，
軸力0の場合にお け る抵 抗モー
メ ン トに一
致す るこ と，iii
）ひずみ硬 化の ない完 全弾塑性 材の 場合，
曲 げ （曲率 〉振1隔 が あ る 限界値 を 超 え る と，
漸 増 塑 性 崩 壊が生 じ5［，
軸ひずみ は，
曲げの繰 り 返 し と と もに，
無限に増 加し続け ること3），
等の単調 載荷の場 合 とはその様 相がか な り異な る非 常に興味深い 結 果が報 告され て い る。
ま た， 数値 解 析 結 果 を基 礎に，
繰り返し に伴 う断 面 内の ひずみ分 布，
応 力 分 布の変 遷に 注 目し て，
抵 抗モー
メ ン ト，
軸ひずみの収れ ん値 を予測 す る方 法を示し た 五十嵐・
松 井・
吉 村・
松 村3 〕， 松 井・
三谷61らの研究，
羽 倉7），
五十 嵐・
松 井・
吉 村・
松 村11に’
よ る実 証 的 研 究，
藤 本・
岡 田・
原 田鞠こよる2軸 曲 げを 受ける場合につ い て の研究， さ ら に，
最 近では，
内 田・
森 野9 ）・
1°〕に よる局 部 座 屈を考 慮 し た場 合に つ いて の研究 等も あ る。
ところ で，
こ れ まで行わ れ たこれ らの解 析 的 研 究は，
その ほ と んどが，
荷 重 履 歴に沿っ て そ の応 答を 追 跡し て い く い わ ゆ る逐次 計算法 を 用い て展 開さ れた も ので あ り，
こ の逐 次 計 算 法に よ れ ば，
収れ ん状態 だ けで な く それ に至る ま で の履 歴 性 状に関する情 報を も求め ら れ る反面
， 得ら れ た情 報は，
与え ら れ た荷重 振幅，
荷 重 履歴の下で の もの である にすぎ ない た め，
荷 重 振 幅の大 き さ お よ びそ の履歴を様々 に変 化さ せ，
さ ら に，
各ケー
スにつ いて荷 重履 歴に沿っ た多 数 回の繰り返し計 算を行 う 必要が あり，
そ の た め，
任 意に変 動す る繰り返し曲げ を受け る柱 断 面の初 期状態か ら塑 性 崩 壊 状 態に至る まで の挙 動を統「的に把 握 し，
定 式化 す るのは 非 常に困難な のが現 状であ る。
実 際， こ れ まで行わ れ た こ の種の研 究 ＊ 広 島 大 学 工 学 部 助 教 授・
ユ 博．
＊ ＊ 広 島大学大学 院 大 学院 生・
工修’
＊S＊ 広 島 大 学大学 院 大 学 院 生 ＊ ＊ ＊ ＊ 広 島 大 学 ：Fl学 部 教 授・
工博Assoc
．
Prof，
，
Facu ［ty of Engineering，
Hiroshima Univ，
，
Dr，
Eng．
Graduate
S
匸udent，
Graduate
Schooi
of Hiroshima Univ．
，
M．
Eng．
Graduate Student
，
Graduate SchQol of Hiroshima．
Univ，
Prof
，
，
Faculty of Engineering，
Hifoshlrna U面v．
，
Dr，
Eng．
一 59 一
は
，
最 も単 純な定 振 幅 繰 返 し曲 げ あるい は漸 増 振 幅繰 返 し曲げ を対 象と し た もの が ほ と ん どで あ る。一
方，
載 荷 履歴に沿っ た 変 形 挙 動 を よ り 簡 便に予 測 す る 方 法 を示 し たもの と して，
部材レ ベ ル の挙動を対象と し た加 藤・
秋 山’b）の 研究が あ り，
単 調 載 荷 時の荷 重一
変形関 係を用い れば，
繰 返 し載 荷 時の挙 動は，
大 略， 把握 され う る との 結果が示され ている。
しか しな がら， こ の種の問題にお いて大き な役割を 演じ る残 留 応 力，
残留変形が十 分考慮 され て お らず， その た め，
繰り 返 しに伴う応力の再 配 分 が 正当に評価さ れ ない恐 れ が あ る とい う欠点が あ る。 こ う し た問 題 点を解 消す る た め，
著者ら は，
文 献 12）〜
14）等で，
外荷 重を与 え ら れ た領 域 内を任 意に変 動し， ま た， 無限に繰 り返 され る ものと し て，
荷 重の変 動 領 域 の大き さ とShakedown
後の収れ ん状 態に達し て後の応 答 領 域との間の関係を組 織 的に，
ま た，
実用的に追 跡し うる解析 手 法の開 発を行っ て い る。
こ の方 法によれば， 荷重履歴に沿っ てその応 答を追 跡し て いく必 要が ない の で，
繰返 し変勤荷重 下におけ る構 造 物ある い は構 造 要 索 の変形 挙 動 を，
従 来の逐 次 計算法に基づ く 方 法に比べ，
は る か に容易に把握す ること が可 能で あ り，
特に，
本 研 究で扱う繰 返し変 動 曲 げ を受け る柱 断 面の よ う な比較的 簡 単な構 造形式，
荷 重形 式の もの につ い て は，
数 値 計 算 に よ らず， 陽な形でそ の応答解を求め ること ができ る。 本研 究は，
文献12
）〜
14 ）等の方法により，一
定軸 力 の下で，
正 負 対 称 な領域 内 を任意に変動 する繰返し変動 曲げ を受け る鋼 柱 断 面の弾 塑 性，
崩 壊 挙 動を明らか に し よ う とい う もの であ り，
本報で は，
まず，
解析方法の概 要を示し，
その基 礎式 を 誘 導 すると と もに、
そこか ら求 めら れる繰 返 し変 動 曲 げ を受け る一
定 軸 力 下の鋼 柱 断 面 の い くつ かの一
般 的 特 性 を明らか にする。 次に，
この方 法を，
最も単 純で扱いや すい長 方 形 柱 断 面に適 用し，
そ の弾 塑 性， 崩 壊 挙動 を明ら かに し た結 果につ い て報 告す る。
な お， これ ま で， 文 献12
）〜14
）等で は，
古 典 的Shakedown
理 論15 】に従い，
交 番 塑 性 状 態に達す る と塑 性 崩 壊 状 態に達し た と し てい た が， 地震荷重のよ う な 比 較 的繰 返し回 数の少ない場 合につ い て は， この評価 基準 は厳 しす ぎると 思われるの で，
本 研 究で は，
交番 塑性限，
界後につ いて も，
その定式 化を行っ てい る。2．
解 析 方 法 本 章で は， まず， 本 研 究で用い る解 析 手 法の概要につ い て報 告 する。2．
1
仮 定 本研 究で対 象 と す るの は，
正 負 対 称 な領域 内 を任意に 変 動する一
軸 繰返し変動 曲 げ を受ける一
定軸圧下の鋼柱 断 面であり， 陽な形で その応 答 を 求め る た め，
以 下に示 す よ うな仮 定 を採用 する。
1） 柱の変 形は，
断 面 剛の仮 定に基づ く，い わゆる梁・
一
60
一
柱 理論に従う。
2） 柱 断 面に生じる内 力は，一
定 軸 力と繰 返し変 動 曲 げモー
メ ン トの み であるとし，
せん断力の影 響．
は，
無視 する。3
） 柱 断 面は，
曲げ変形 軸に関し て対 称で あ る。 4） ひず み一
応 力 関 係 は，
降 伏 後の接 線 係 数 を 正，
ま た は0
と す るBi−linear
型 と す る。
ま た，
ひずみ硬 化 則 と し て移動硬化 則を採用し，
荷 重の繰り返しに伴う ひず み一
応 力 関 係の劣化，
軟 化等の現象は生じ ない もの と す る。 な お，
次節以降で は，
本研究で扱う正 負対 称な領 域 内 を任 意に変 動す る曲げ を，
そ の変動領 域が 正負対称であ るとい う視 点か ら，
正負 対 称 型 繰 返し変 動 曲げ と呼ぶこ とにす る。 2．
2．
正負対 称 型 繰 返 し変動曲げ と一
定 軸力 を 受 け る 柱 断 面 さ て，Fig．
1に示す よ うな，
材 軸 方 向 を z 軸 とす る コ匚軸に関 して対 称な柱 断 面を考え，
議 論の展 開を容 易に する た め，
次 式の よ う な無 次元化量 を導入 し て おく。E＝
（ε／ε，），
ε ‘ρ〕＝
（ε「n／ε∂，
∂＝
（σ／σ y）E。
＝
（ε。／εy），
i＝
（x／κy），
n＝
（NINy ）m
；
（M ／lし勾），
ξ＝ （y
／H），
e 置＝ 伍「ε／E｝・
……・
…・
…一 ・
・
……
〔1．
a−1
｝ こ こ に ε ： ひずみ， εy ：降 伏ひずみ，
ε［pl ：塑 性ひずみ σ ：応 力，
σ。 ：降 伏 応 力，
ε。：軸ひずみ x ：置 軸 回り の曲率，
Xy （＝
2・
〔εy／H
））：x 軸 回 りの 降 伏 曲率 ・ 鋤 睦 ・…1
：
1
：
b・
・ξ）・降 伏 勸M
：x 軸回 りの曲げモー
メ ン ト〈
N，
rc〉
2 σ σ，
一
一
一
一
一
厂一
一
tan11 （五）一
ε 7 ε r、
一
σ7 tan−【
（Et） ε〔 K工ne皿atic Strain
−
Hardening ）Fig
．
1Beam−Cotumn
Subjected
to Repeated Variab【e Bending under Constant Axial ForceM
・ ｛一
・’
・・’
H2 ・
．
［
：
1
：
b ・
ξ 2・
d
ξ）・・a
」… 降 伏 モー
メ ン トE
，：降 伏 後の接 線 係 数 （≡
dσ／dε），
E ：ヤング係 数H ，b
：柱の た て お よび横 幅 であり，
軸 力，
軸ひずみ は，
引 張 側 を，
ま た，
曲 げモー
メ ン ト，
曲 率は，
y＝H
／2側が凸と な る場 合を正 とし て い る。
” こ の柱 断 面は，
外 乱と して，
前 述の ように，
次 式で表 さ れ る一
定軸 力と x 軸回 りの正負対 称型 の繰返 し変 動 曲 げ （曲 率 ） を 受けるものとする。
n
＝一
疋一2
＊・
・
imm
≦fi≦im。 ．＝
2 ＊…・
…・
………
（2．
a，b
） こ こ に，
2＊ （≧0＞は，2
の 変 動 領 域の大き さを表すパ ラ メー
ター
であり，
0か ら単 調に増 加す るものとす る。
さて，
本 研 究で用い る解 析 手 法は，2
を，
（2．
b｝式で 与えられ る領 域 内で，2＝
± 鑓 の状 態を含む任 意の履 歴 に沿っ て変 動さ せ，
収れ ん状態到 達 後，
そ の変 動 領 域の 大き さを漸 増させ るという操 作を連 続 的に行っ た時の柱 断 面の応 答 挙 動 を追 跡しよ うとするもの で あ り121”
14），
収れん状 態 到 達 後の，
軸ひずみお よ び曲げモー
メ ン トの 応 答 領 域は，
それぞれ，
次 式の ように表さ れるtEtl。
Min
（EOi，
EOt
）≦E
。≦Max
（Eei
，
ξ，2）ML ≦m ≦M 、
……・
…・
・
……・
……一 …
（3．
a，
b） こ こ に，
（EOi
，
Ml ）お よび （EOt，
M2 ）は，
そ れ ぞ れ，2
＝一
楚 お よび2＝
鑓 に お け る軸ひずみ，
曲げモー
メ ン トの応 答 値であ り， ま た，Max
（ ），
Min
（ ）は，
かっ こ の 中の値の最 大 値お よ び最 小 値の意である。
ところで，
2；一
舮 の時の柱 断面の状 態と2＝
鑓 の時 の そ れ とは，
X 軸に関し て対 称とな るから，
次 式が成 立 する。
’EOi
＝Eo2，
M2
＝−
m ！≡ ηゼ ＊・
・
・
…
一・
・
一一・
・
（4．
a，
b
） （3．
a，
b
）式お よ び （4．
a，
b
）式よ り，
軸ひずみ ：Eo
は，
鑓 の関数 として一義
的に決 定され，
収れ ん状態到達後 は，
iを （2．
b
） 式で与えられ る領 域 内を変動さ せ て も， そ の値は変 化 し な い こと，
ま た，
曲げモー
メ ン ト：m の応答 領域 は，
次 式の よ うに表さ れ るこ と も，
容易に わ か る。
−
m ＊ ≦？π≦m ＊・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
：・
…
一
…
tt・
・
（5 ） 我々 の 目標は，
与え ら れ た一
定 軸力 ：n の下で，
針 の値 を0か ら単 調に増 加さ せ た時の ε。お よ び m ＊の 応 答を求め ることであ り，
次節で は， その基 礎 式の誘 導 を 行う。 2．
3 基 礎 式の誘 導 2．
3．
1 ひずみ お よ び応 力の応 答 領 域 さ て，
梁・
柱理論に従えば，
柱断 面の任 意 点の ひずみ は，
9
，＝
」L
．
（ε 〇＋y．
z）＝E
。＋2・
ξ・
2…
一
・
…
−ttt
…
ttt
（6） εy で与え られ る か ら，
前述の よ うに，軸ひずみ ：E。は， 鑓 の関 数と し て一
義 的に定ま ること を考 慮す れば， 任 意 点 の ひずみの応答領域は，
次 式の ように表さ れる。
9mSn
≦E
≦Emax・
・
・
・
…
一・
・
・
…
−t・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7 ） こ こに，
Emin
＝Eo− EamP，
Emax
＝9
，十εamp−・
・
ttt
・
t・
（8．
a，
b
）ま た
，
9amp＝
2・
1
ξ1
・
i
＊・
一・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
…
（9）一
方，
柱 断 面の任 意 点の応 力の応 答 領 域は，9min
お よ び 2maxに対 応する応 力を，
そ れ ぞ れ，
∂min お よ び ∂msx と する と，
降 伏 後の 接 線 係 数 ；et を 正 ある い は 0 と し て い る か ら，
（7
）式 と 同様，
次 式のよ うに表され る。
∂m、
n ≦δ≦∂m。
．・
…・
………・
………一 一・
一
（10） な お，
（8．
a，
b
）式お よび（
9 ）式より，£min （
一
ξ）；9mln
（ξ），
Emax
（一
ξ）＝
Emax（ξ〕
9amP
（一
ξ）＝EamV
（ξ） εmin （ξ）＋ £ x（ξ）＝
2・
E。 登 （ξ）− Emi
。（ξ）＝2・9
。mp（ξ）・
……一 …
（11，
a−
e） ま た，
∂min （一
ξ〉＝
∂mln （ξ）， ∂max 〔一
ξ）＝
∂ma．（ξ）”tt”鹽
’
』
’
鹽
’
’
’
”鹽
’
”鹽
’
・
・
・
・
…
（12
，a，
b
） が成 立する ことは，
自 明であ ろ う。 2．
3．
2 （9m
、n，
Em
。 ．）一
（am、
。
，
∂ma．
）関 係 12 ♪−
14 ）・
］5〕次に
，
（Erntn
，
Emax
）一
（∂mln，
∂max ｝関 係 を導く（Fig．
2参 σ．
σ
【
ε a）−
1 く ε扁n．
ε■T
＜ 1（
σ ＋ 〔1−
et）曲
ど 1nσ
一
図齧
一
一
髄1
ε 01nn1 ε
尾轄
II ε
一
隅
一
一 翻
罵
Fh σ厂
脚
一
A
1圏
σ巴
e8斷
ε
一
1一
1■
一
一
■
一冖
σ濯呻
「
ど b｝E輔
鬢
一
E耐”
〈 2，
E．
1圃
≦−
1醜
σA
一
一
σ＝
e2°
ε十 σ困【一
一 一
一
一
一
鬮鬮
IE一
A
一
1，
σ＝
ε副開
σr
イ
P
，
r−
I
I
冖
ど
on ε嗣零
ε脚
口一
胃
，一
臨
1 σ 扁卿
c）εrPtt
一
ε H門
く 2・
1 ≦ ε即曜
d）2 ≦ ε凶矗
一
εal■
σ＝
et．
．
ど−
ユロ
．
A
ユA
−
E・
；
！
了 （‘
漁
＋E−
）・
σ
・
＝
T
（σ
唐・
＋σ
一
）Fig
．
2 （ξmm，
Emax）一
｛∂mln，
∂max ）Relations照）。 ひずみ は
，
よ く知ら れて いる よ うに，
弾 性ひずみ と塑 性ひずみ の和と して表さ れ る が，
正負 逆の降 伏が繰り返 し起こる交 番 塑 性 状 態に達す る までは，
降伏曲面上 の 応 力状態につ い て生じ る塑性ひずみ は，
すべ て の応答に対 して共 通であ る か ら，
（7 ）式の ひず みの応 答 領 域 と （10） 式で与え ら れ る応力 の応 答 領 域との問に は，
次 式の関 係 が成 立す る。
∂＋
息
d
ε・1 こ こに，義
（ ）：初 期 状態 か ら現 在まで の履 歴に沿っ た積 分 th一
ヒ式よ り， 移 勤 硬化 型の ひずみ硬 化 則を採用している の で，
Em。x−
9mln＝
2とな っ た とき，
交 番 塑 性 状 態と な るこ と を 考 慮 すれ ば，
交 番 塑 性 状 態に 達す るまで の （emin， εm。 ．）一
（∂，、Sn，∂、，ax ）関 係は， 降伏 曲面上の応 力 状 態にっ い て は除 荷は生じ ない とい う条 件の下 で， 次式 の よ うに表さ れる。
a）−
1〈Emtn，9max
＜1の と き ∂m且。＝E
、、tn， ∂ma．＝
・
9max…・
………・
・
…
（］3．
a，
b
）b
）Emax−
Emi。
〈2，
9rnlt、
≦−
1の とき ∂m，。＝
et・
Em、．一
〔1−
et）・
・
…・
・
・
・
……・
……・
〔14．
a＞
Omax＝
（Emax− Emtn
）十 et’
Emin−
（1−
et）’
…
（14．
b）c）
Emax− 2mi。
〈2，1
≦9ma
．の と き∂max ＝ et
・
9max十（1−
et＞…・
・
・
……・
……一
（15．
a）∂min
＝
（Emin−
Emax）十 et’
Emax十（1−
et）・
…
（15．
b
）
一
方，
交 番 塑 性 状 態 到 達 後は，
前 述の よ うなひずみの 応 答 領 域と応 力の応 答 領 域との間の領 域 全 体に わ た る一
対一
の対 応 関係は失わ れ る が，
∂m1．，
∂m。． につ い て は， 9ma．−
9mEn≧2で ある限り，
正 負 逆の 降 伏 曲 面 上に ある と いう条 件か ら，
E，、tn1 ε x を 定めれば，
次 式の よ うに，
一
義 的に決 定さ れ う る 。d
）2≦ε一
9mtnの とき δmi 。；
et・
9mln−
〔亅一
et） ∂＝
et’
ξmax 十（1−
et）・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
…
（16．
a，b
） （13．
a，b
）式一
（ユ6．
a，b
｝式 が，
降 伏 曲 面上の 応 力 状 態 につ い て は，
除 荷は生 じ ない とい う条 件の 下にお ける（εmin
，
Emax）一
（6min，
δmax ）関 係で あ り，
本研究で は，
以 後， a）
，
b
）， c）お よ びd
）の状 態 を， そ れ ぞ れ， 弾 性 状 態，
弾 塑 性 （C
）状態，
弾 塑 性 （T） 状 態お よび交 番 塑 性 状 態と呼ぶ ことにする。
ところで，
今，
（91 式 より，
dEamp
≧Od2
＊ である から，
（8．
a，
b
）式 よOl、
器
・ ・ で…艶
・（
−
d
d2
ξmm＊・0
）
逆に，
一
62
一
また，壽
・・ であ れば一
留
≧（
d
ξmaxdfi＊ ・0
）
湊
（・一一
・… ）・ ・ が成 立す るこ とは，
容 易に わ か る。
こ れ は， 軸 力に対す る応答を含め， 鑓 の値 を0か ら単 調に増 加させ て いっ た と き，
軸ひずみ ：E。が，
2 ＊ と と もに単 調に増 加す る の で あれ ば， 9ma． ， ∂max 側 （引 張 側 ）で逆に，
単 調に減 少する の であれば，
Emin，
∂ms． 側 （圧縮 側 ）で まず 降 伏 が発 生し，
そ れ ぞ れ，
弾塑性 （T
）状態お よび弾塑 性 （C
） 状態 と なり，
その後，
舮 の増大 と と もに，E，
，
a，
c−
Em、n＝
2・
E
。m。が 2と なっ た時点で， ∂m 且。，
∂ ． が共に降 伏 曲 面 上に達し，
交番 塑 性 状 態と な ること， また，
いずれ の場 合に つ いて も，
ξ。が単調 に増 加，
あるい は減 少し続け る限り，
∂mm，6
，，ax の 内， 最初に降伏曲 面 上に達し た応 力につ い て は，
ひずみの反転，
す な わ ち除 荷は生じ ない こ と，
さ らに は，
一
度交 番塑性 状 態に達し た場合に は，
（dEo
／d2
＊ ）の値の い か ん にか か わ らず， その状 態が維 持さ れ続け，
再び，
弾性状態あ るい は弾塑 性 （C
），
（T
） 状 態 と は な ら ない こ と を 意 味 してい る。
2．
3．
3 （δm 、。
，∂ma．
）一
（n， m ‡ ） 閧 係 無 次 元 化された軸 力および曲 げモー
メ ン トは，
嚇
・
∫：
1
：
b
（・）・
σ（・）…一
（
σ y・
HNy）
・
f
：
1
：
・（ξ）・
・（ξ）・
・ξm
一
毒
・
f
：
二
：
・
σω・
y・
dy−
（
σガH2My）
・
∫
ll
：
b
・ξ…1
ξ・・
・…鹽
’
’
’
’
’
’
’
’
”鹽
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”・
…
（17．
a，
b
） で与え られ る か ら，
b
（ξ）＝
〜〕（一
ξ）・
…
『
『
・
・
・
・
・
…
『
7・
77・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（18） および（12．
a，
b
）式の関 係 を利 用 する と，
n お よ びm は，
そ れ ぞ れ，
次 式とな る。・
一
（
σy’
HNy）
・
〔
f
：
、， ・（ξ）・
・… （ξ）・
・ξ・
f
。 1（ξ）
・
∂一
（ξ）・
・ξ〕
一
（
ay・
HNy
）
・
ズ
％
（ξ）・
（・… （ξ）・ ・一 （ξ）〉・
・ξ一
・・
（
σy’
HNy）
・
∫
1（ξ）
・
∂r（ξ｝……・
…
（19・
・） m ・一
（
σジH2
乢）
・
〔
yf
：
，，b
・ξ・・
a・
i・
・ξ・・
ξ… ・ズ
／2 ・（ξ）・
・… （ξ）・
ξ・
・ξ〕
一
（
σガH2My
）
・
ズ
／ rbl ξ・… mex ・ξ・一
… n・ξ・・こ こ に
，
・
ξ・
d
ξ …（
σ驚
2）
∫
／2 ・（ξ）・
a． ． ，（e
）・
ξ・
・ξ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
…
（19．
b
）・
→
・
（・… ＋ ・… ），
・。
m・−
t
・
（・＿ 一
・。tn）鹽
9”鹽
9鹽
”鹽
’
鹽
’
’
”『
’
’
’
’
’
”…
（20．
a，
b
） で あり，
（12．
a，
b
）式か ら ∂r← ξ）＝
＝
e。
（ξ）， a。
m．
（一
ξ）t6 。m。（ξ）…
（21．
a，
b） の関 係がある ことは自 明であろ う。
な お， 交 番塑性 状 態 以 外につ い て は，
∂。は、一
定 軸 力 （固 定 荷 重 ）に対す る応 答 を含め た残留 応 力，一
方， ∂。m，は， 2 （au
返 し変 動 荷重）に対す る弾 性 応 答 応 力の応 答 領 域 幅とい う物理 的意味が あ る （Fig．
2
参照｝。（13
．
a，b
＞ 式一
（16．
a，
b＞式 を （20．
a，
b）式に代入， （］ユ．
d，
e）式の 関 係を用い て 整理 す る ど，
∂．お よび ∂跚
。 は，
そ れ ぞ れ，
次 式の よ う に表さ れ る。
（弾 性 状 態 ）¶
∂丁；
E，’ ∂amP＝
含amP”tt’
ttt
’
ttt
’
’
’
”『
”t／
…
（22．
a，
b） （弾塑性 （C
）の状態） ∂r＝ et・
Eo
十（1−
et）・
EEmp−
（1−
eD・
・
・
・
・
・
…
（23．
a） ∂。m。一
（22．
b
）式…一 …………・
…tt
……
（23．
b） （弾 塑 性 （T
｝状 態 ） ∂r； et。
Eo−
（1−
et）・
9amP十（1−
et）・
・
・
・
・
・
…
（24．
a） ∂am 。＝
（22．
b） 式・
・
・
・
…一
・
…・
…・
・
……一 ・
・
（24．
b
） （交 番 塑 性 状 態 ） ∂ひ＝
et・
90・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25．
a） ∂amp ＝ et’
eamp
十（1−
et）・
・
t・
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
（25．
b
）（
9
）式， （11．
d
，
e）式，
（19．
a，
b
）式および 〔22．
a，
b
） 式一
（25．
a，
b
）式が，
’
こ こ での基礎 式である。
とこ ろで，
2．
3．
2項に 示 し た （9min，
Em 。x）一
（∂mi．
， ∂max ）関係は，
降伏曲 面上の応 力状 態につ い て は，
除 荷 は生 じ ないとい う条件の 下で誘 導し たもの であっ た。
こ こで，
〔22．
a，b
）式一
（25．
a，
・
b）式を用い て， こ の条件 が厳密に満 足 さ れているこ と を明らかに してお く。
2．
3，
2項で述べ た よ うに，
こ の 条件が満足 さ れ る た め に は，
（19．
a）式で与え られ る軸 力が一
定，
す な わ ち，
誌
・n・一
・・
（
黔
ハ
護
蒹
1
・・一
・ ：…・
…・
……・
…・
………
（26
） の下で，
楚の値の い か ん に か か わ らず，
常に，
dE
。謳 ≧
0 ’
’
’
’
’
”… … tt… … … ’
… ””…
（27・
・） あ るいは，
逆にdE
。齎 ≦D
’
幽
… … … 7… … ’
’
”… ’
鹽
’
鹽
…
（27・
b
） であれば よい。
さ て， （22．
a）式・
一
（25．
a）式の両辺 を2
＊ で微 分し，
（9＞式お よ び0≦et 〈1の関 係 を考 慮す る と，．
次式を得 る。
（弾 性 状 態 ）d
∂。
d
ξoπ
＝
a
；t
？＊F’
’
’
’
’
’
’
’
”
：… ’
”… ’
… … … ’
’
’
”
（28
＞ （弾 塑性 （C
）状 態 ）嵳
象
一 ・ 、・
器
・（1−
・、）・
艶
一
・ ・ge
／
“
；
・
… （・一
・∂・
」ξI
de
，1．
1
≧e・
’
齎’
… … … ’
1
’
’
’
’
’
’
’
”… … 鹽
（29） （弾 塑 性 （T
｝状 態〉農
一
・・壽
一
（・一
・∂・
艶
’
一
・番
一
・・
（1−
e，）・
1
ξi
dEo
≦e・
’
評… … ’
”… ’
… … ’
… ’
”… ’
髄
〔30） （交 番 塑 性状態
）d3．
dE
。盛・
＝
e・’
齋’
…鹽
”…tttt
… ’
…… ’
’
”…’
…’
（31） こ こ に， （29
）式お よ び （30）式の等 号は，
ξ≡
0，
す な わち，
柱 断 面の 図 心軸上に おい て の み成 立する。
（28） 式一
（31）式より， すべ ての状態に つ し・て，
（d
∂ ．ノ
d
鱒 と （dE
。／d
針 ）との問に は， その勾配 を1
あ るい は et と す る線形 関係が成 立 するが，
弾 性お よび 交 番 塑 性 状 態 につ い ては，9
，に変勲
がな い限り∂r の増減は生じ ない の に対して， 弾塑性 （C
）お よ び （T）状 態にっ いては， （d
ξ。／d
鑓 ） を0
と す る と，
∂。の値は，
そ れぞれ，
増 加 お よび減 少する こと が わ か る。 これは，
弾 塑 性 （C
）』
状 態 と弾 塑 性 （T
）状態が同じ断 面 上に混 在 し，
互い の6
。の変 動 量 を打ち消し合っ て0
と な ら ない限り，
〔26） 式 を満足 す る た めには，
弾塑性 （C）状 態が出 現し た場 合に は， （27．
b
）式が，
逆に，
弾 塑 性 （T＞ 状 態 が 出 現 し た場 合に は，
（27．
a） 式 が常に，
成 立し な け れ ばな ら ない こと を意 味し てい る。
ま た，
2．
3，
2項で明ら か に し た よ うに，
（27．
a）式が成 立する の であれば，弾塑性 （C
） 状 態が， 逆 に，
（27．
b）式が成 立 する場 合に は，
弾塑性 （T
）状 態は出現 し ない の で，
弾 塑 性 （C
｝ 状 態と弾 塑 悦 （T）状 態が同 じ柱断 面 上に 混在する とい う状 態はあ り え ない。』
し たがっ て， （27．
a＞式あ るいは （27．
b
） 式 が常に成 立する ことにな り， 降 伏 曲 面 上の 応力状態につ いては，
除荷は生じ な い。
3．
繰返 し変 動 曲 げ と一
定 軸 力 を受け る柱断面 の一
般的 特性に つ いて 本 章では，
前 章で の定 式 化か ら誘 導さ れ る一
定 軸 力の一
63
−一
下で正 負 対 称 型の繰 返し変 動 曲 げ を 受 ける柱断 面のい く つ か の
一
般 的 特 性につ い て明らか にして お く。
i
）軸ひずみ ：ε。 は，
n ＞oの 場 合に は， 舮 の 増大 と と もに，
単 調に増 加し，
逆 に，
n〈0
の場 合に は， 単 調に減 少する。
また，
n＝
0の場合に は，
常に，
E
。三
〇 とな る。
これ は，
初 期 降 伏が，
n＞0
の場 合に は，R
’・
＝1−
n の 時に引 張 側で，一
方，
n〈0の場 合には，
ft
＊＝1
十n の時 に圧 縮 側で生 じ るこ と を考え れば，
前章で の議論よ り， 自明である。 iD 降伏後の 接 線 係 数 二 et が Qで，
n ≠0の場 合，
断 面 全 体が弾塑 性 （C
）状 態か交 番 塑 性 状態に，
ある い は弾塑性 （T
｝状 態か交 番 塑 性 状 態に達し た時，
す な わ ち，
1E
。1
； ］と なっ た と き，
軸ひずみの発散によ る漸 増 塑 性 崩 壊が生じ る。
et が0の場 合，
（29＞式，
（30
）式お よ び （3ユ〉式よ り， 弾 塑 性 （C
） 状 態お よび交番 塑性状 態につ い ては，
（de。／d舮）を一
。。 に，
一
方，
弾 塑 性 （T
）状 態お よび 交 番 塑 性 状 態につ いて は，
。 。 に し て も， ∂，
の値に変動 は ない。
軸 力 ： n は （19，
a）式で与え ら れ る か ら，
これ は， 柱 断 面 全 体が弾塑性 （C，
T）状 態 あ るい は交番塑 性 状 態に達 し た場 合に は， 軸カー
定の 条 件の 下で， （d9
。／d
鑓 ）が一
〇 。，
あ るい は，
QQ とな りえ る こと，
す な わ ち，
軸ひずみ の発 散による漸 増 塑 性 崩 壊が生 じ る こ と を意 味し て い る。 な お，
こ うし た状態 と な るのは，
曲 げひずみが常に 0と な る図心軸上に，
弾塑 性 （C
）状態 あるいは弾 塑 性 （T
）状態が出現す る1Eel
＝
1と なっ た と きであるこ と は 明 ら かであ ろ う。
の iii） et＞0で，
n≠0
の場合，2
＊ を無 限 大に して い っ た とき の軸ひずみ ：ε。の極 限 値は，
εo＝
（n／et）である。
R＊ を 無 限 大に し てい っ た と きに は， 柱 断 諭 全 体が 交 番 塑 性 状 態と な り，
この と きの軸力は， （19．
a｝ 式お よ び （25．
a＞式 より，
n＝
et・
3
。と表さ れる。
し た がっ て，
E。の極 限 値は，9
。＝ （n／et）と な る。
iv
） 鑓一
πL零関 係は，
軸 力 ； n に対す る依 存性は な く，
柱 断 面の形状，
寸 法，
降 伏 後の接 線 係 数が与え られ れ ば一
義 的に定まる。
また，
それ は，
n＝
Oの 時の単 調 載 荷の 場合の2−
m 関 係 と まった く同じもの と なるLl／z］。 舮一 が 関 係は，
（9）式，
（19．
b
）式 お よ び （22．b
） 式，
（23．
b
）式，
（24．
b
）式，
（25．
b
）式か ら得られ るが，
こ れらの諸 式は，
すべ て 舮 の み の関 数で あ り， 鑓 の値 を定め れ ば，
n と は無 関 係に，・
一
義 的に定まる。 したがっ て，
軸 力に対す る依 存 性は金く ない。
また，−
1／2≦ξ ≦0 につ い て は，−
9。，
，
p ，一
∂a、
n。
を，一
方，
0≦ξ≦1／2 にっ い てはE
。 mP，
∂。
mP を， ある特 定の外 荷 重に対 する一
つ の応 答ひずみ お よび 応 力であ る と考えれ ば， これ らの 諸 式は， 例え ば，
文 献17
）にその結 果が与え られ てい る n＝0
で，2
を0か ら単 調に増や し ていっ た場合の ぞ一
64
一
れ と な る。 した が っ て， 楚一
mi 関係 は，
n ＝ 0の と き の単 調 載 荷の場 合 と同じ と な る。な お
，
緒 言に述べ たよ うに，
これ らの特 性の 内の い く っか につ い て は， 既に， 逐次 計 算法 を 用いた 数 値 解 析に よ り，
その定 性 的 傾 向は明ら かに さ れて い る が，
本研究 で用い た手 法に よれば，
簡 単かつ 明快に説明さ れ う る。
4．
繰 返 し変 動 曲げ定常履歴曲線につ い て前 2章で は
，
本 研 究で用い る解 析 手 法の概 要を示す と もに， そこ か ら誘 導さ れ る 正負対 称 型の繰 返し変 動 曲げ を受け る一
定 軸 力下柱 断 面の い くつ かの一
般的特性を明 ら か に し た。
ところ で， 2 章に示し た方 法は
，2
は，
（2．
a，b
）式で 与え ら れ る領 域 内 を任 意に変 動す る もの と し て， 収れ ん 状 態到 達 後の軸ひずみ，
抵 抗モー
メ ン ト等 を，1
｝の変 動 領域の大き さを示す 計 の閧数 と して求め よ う とい うも の であり，
拶 は，
0か ら単 調に増 加する もの と し て い るか ら，
得ら れ る 針一9
，，
鑓一
ηL ＊ 関 係は，
通 常の荷重 履歴 に沿っ て そ の応 答を求め る逐 次 計 算 法 解 析の視点か ら見ると，2
の値 を，
（2．
a，b
）式で与え ら れ る領．
域 内で，
2
＝一
，
2＝
fl＊ の状 態を含む あ る指 定され た載 荷 履 歴 ルー
プに沿っ て繰り返 し変 化させ， その応 答 履 歴が定 常 状 態 となっ た後，
荷重の変動領域 を若 干 大き く し，
同様 な載 荷を繰り返 す15） とい う操 作の結 果 求め ら れ る，
い わ ゆる骨 格 曲 線に相 当する。
一
方，2
章の方 法 を用い て求 めら れ た結果 を用い れば， 与え ら れた 計 の値につ い て，
指定され た載 荷 履 歴ルー
プに沿っ て 2 を変化さ せ た と きの定 常 状 態にお け る応 答 履 歴，
すな わ ち，
定常履歴曲 線 も容 易に求めるこ と が できる。 これ は，
繰返し変動 荷 重に対 する応 答・
を，
残 留 成 分と弾 性 応答成分 とに完 全に分 離 すること がで き，
残 留 成 分が が の 関 数 と し て一
義 的に決 定さ．
れ う るShakedown
限 界まで は，
il
を変動さ せ た時の応 答 量の 変 化は，
すべ て弾性成分 と な るため，
自 明の ことであ る が， 載 荷 履 歴ルー
プに沿っ た応 答 履 歴を順 次追 跡し て い け ば，
塑 性成分の生じ る交 番 塑 性 限 界 以 後につ いても，
同様に求め ら れ る。
今
，
E。，
∂，，
∂。m。 ， m ＃ 等の諸量 は，2
章に示 し た方 法 を 用い て求め られてい る もの と し， 2を （2．
a，
b）式で 与え ら れ る領域 内をft
＝一
舮，
it
＝
・
2＊ を含 む ある指 定さ れ た載 荷 履歴ルー
プに沿っ て変 化さ せ たと きの定 常2−
m 関 係を考え る。
な お， Eoにつ い て は，
舮 の関 数 と し て一
義的に定ま る た め，
2を変 化さ せて も，
そ の値に変 動はない。
さて，2
．
3 節に示し た弾 性 状 態お よ び弾塑 性 〔C
），
（T
） 状 態につ いて は，
その応 答 を 残 留 成 分と弾性応答成分に 分 離す る こ と がで き，2
を変化 させ たとき の応答量の変 化は， すべ て弾 性 応答と な る か ら， ∂ は，
2の閧 数と して
