弾 塑 性 体 の 分 岐解 析
12
0
0
全文
(2) 態 へ の 分 岐 現 象 を 考 え て お り,分 t=tで,図‑1の. 岐 の 生 じ る瞬 間. よ う に 各 層 が そ れ ぞ れ 高 さ2H,幅. Bに な っ た も の と 考 え る.Cauchy応 等 は 引 張 を 正,圧. と な る.こ. こ で,λ. は 自 然 対 数 表 示 に よ る圧 縮 指 数. で あ る.同. 様 に 等 方 膨 潤 を 考 え る と 次 式 を 得 る.. 力Tij(ｉ,j=1,2,3). 縮 を 負 とす る が,ギ. 全 応 力 σi(i=1,2,3),間 隙 水 圧u,体. リシ ャ 文 字 の. 積 ひ ず みvは. (5). 土. 質 力 学 の 慣 例 に 従 い 圧 縮 を 正 とす る. ま ず,Cauchy応 水 圧uの. 力T,有. 効Cauchy応. 力T'と. 間隙. こ こで,κ は 自然 対 数 表 示 に よ る膨 潤 指 数 で あ る. この とき,体 積 弾 性 係 数Kお. 間 に 有 効 応 力 原 理 が 次 式 で 与 え られ る.. よびせ ん 断 弾 性 係 数G. は,そ れ ぞれ 次 式 で 与 え られ る. (1) こ こ で,Iは よ うに,均. 単 位 テ ン ソ ル で あ る.ま. た,前. 述 した. 一 変 形 状 態 か ら非 均 一 変 形 状 態 へ の 分 岐. を 対 象 と す る た め,分. 岐 の 生 じ る 瞬 間,時. で は 両 層 と も 同 一 な 均 一 変 形 を し て い る が,有. 効応. 力 お よ び 間 隙 水 圧 は 各 層 で 異 な る 均 一 な 値 と な る. ゆ え に,時. 刻t=tで. こ こ で,K0=1+e/κ,G0=3(1‑2v)K0/2(1+v)と. お い た.ま. た,. 刻t=tま vは ポ ア ソ ン 比 で あ る.一. 方 ダイ レイ タ ン シー に よ. る 体 積 ひ ず み 速 度 は,. の 全 応 力 は,. (6) (2) と な る.こ す.ま と な る.以. 下,添. 字i(i=a,b)は,そ. れ ぞ れ は 層a,. 物 理 量 お よ び 物 質 パ ラ メ ー タ を 表 す も の とす. る.た. だ し,各. 層 を 区 別 す る 添 字i(i=a,b)は,記. 物 質 時 間微 分 を 表 わ. ダ イ レ イ タ ン シ ー 係 数 で あ り,限. 状 態 パ ラ メ ー タM3)と. 層bの. の 煩 雑 化 を 避 け る た め,自. こ で,(…)は(…)の. た,Dは. 界. の 間 に 次 の 関 係,. 号. 明 の 箇 所 は添 字 を省 略 す. る. ま た,σ'i3=(σ'i2+σ'i1)/2と 応 力p'i,一. 仮 定 す る と,平. 般 化 さ れ た 偏 差 応 力qiは. 均 有 効. 次 の よ うに 定義. が 成 り 立 つ4).結 (5),(6)よ. 局,塑. 性 体 積 ひ ず み 速 度 は,式(4),. り 次 式 と な る.. さ れ る.. 微 小 変 形 に お け るCam‑clayモ こ こ に,Sは な お,本. 有 効Cauchy応 論 文 で は,分. 均 有 効 応 力p'の ぶ.粘. 力T'の. 偏 差 応 力 で あ る.. 岐 時 に お け る 応 力 差qと. 比q/p'(=η)を. デ ル3)を. 真 似 て 降伏. 汎 関 数 を 次 の よ うに 与 え る.. 平. も っ て 「分 岐 荷 重 」と 呼. 土 や 砂 質 土 に お い て は,平. (7). 均有効応 力が大 き. い 程,せ ん 断 強 度 が 大 き い の で,本 論 文 の よ うな 均 一 多 軸 状 態 に お け る 分 岐 荷 重 は 軸 応 力 σ2や 応 力 差 q=￨σ'2‑σ'1￨では な く,q/p'が 物 理 的 に は最 も合 理 的 な 分 岐 荷 重 の 定 義 で あ る と考 え る.. こ こ で,t=0の. と きvp=0と. す る.一. は 負 荷 に と も な い 変 化 す る が,非 ばeは. 時 間tに. 般 に 間 隙 比e. 排 水 状 態 を 考 えれ. 関 して 一 定 と な り,式(7)の. 第1項. は. 簡 単 に 積 分 で き る.こ の と き,有 限 変 形 共 軸Cam‑clay 3.. 有 限 変 形Cam‑clayモ 等 方 圧 密 を 考 え る.間. 分 をeと. 表 わ す と,eは. モ デ ル2)の. デル 隙 比 をeと. 構 成 式 は 次 式 で 与 え ら れ る.. して そ の微 小 増. 有 効 主 応 力 増 分 と の 間 に,. e=‑λp'/p'と い う関 係 が 成 り立 つ.ゆ. え に,等. 方圧. 密 状 態 に お け る 体 積 ひ ず み 速 度vは,. (8) (4) こ こ で,β=β/√3,τ=√SijSij/2で. ―372―. あ る.ま. た,T'ij.
(3) は. 有. 効Cauchy応. 力. T'=T'‑WT'+T'Wで 速 度,Wijは. のJaumann. rateで,. 定 義 さ れ る.ま. た,Dijは. ス ピ ン,δijはKroneckerの. β は 限 界 パ ラ メ ー タMと. 変 形. と な る.式(10)を. 考 慮 す る と式(8)は 次 式 と な る.. 記 号 で あ る.. 応 力 比q/p'を. 用 い て,. (11). 本 論 文 で は,平 で 与 え られ る.hは,. 式(11),(10)は. 面 ひ ず み 変 形 を仮 定 して い るの で. 次 の よ う に 変 形 で き る.. (12) で あ り,hは. 硬 化 係 数 で ダ イ レイ タ ン シ ー 係 数Dを. (13). 用 い て,. (9). こ こで,μ*,μ. はそ れ ぞれ45度. せ ん 断 にお け るせ. ん 断係 数,単 純 せ ん 断係 数 で,次 式 で 与 え られ る. で 与 え られ る. 有 限 変 形 非 共 軸Cam‑clayモ 第2硬. (14). デ ル の 構 成 式 は,h1を. 化 係 数 と し た 時,式(8)に. お い て 物 質 パ ラメ ー. タ を 次 の よ う に 置 き 換 え る こ と に よ っ て 与 え られ る.. な お,μ*は. 非 共 軸 パ ラ メ ー タAに. 無 関 係 で あ り,. μ はAの 単 調 減 少 関 数 と な っ て い る. 結 局,均 一 変 形 か ら分 岐 瞬 間 時 の 有 限 変 形Cam‑ clayモ デ ル の 構 成 関 係 は 式(12),(14)で 4.. 与 え られ る.. 2層 供 試 体 に お け る 分 岐 荷 重 初 期 に 等 方 圧 密 され た2層. 供 試 体 を軸 方 向 に 一 定. 速 度 で 圧 縮 す る と 各 層 に働 く 軸 圧 に 差 が 生 じ,分 岐 の 生 じ る 瞬 間 に お い て 各 層 の 応 力 比 ηは 異 な っ て い る. 各 層 に お い て 式(3)の. 物 質 時 間 微 分 を と り,. T'11>T'22を仮 定 し て 式(11),(13)を た だ し,第2硬. 化 係 数h1は. 式(9)のhと. 同 様 の 形で次. 用 い る と次 式 が 得. られ る.. 式 の よ うに 仮 定 す る.. 上 式 を用 い る と応 力 比 ηの物 質 時 間 微 分 は 次 式 の よ こ こ で,Aを. 非 共 軸 パ ラ メ ー タ と 呼 び,A=0で. 軸 モ デ ル,A>0で 現 在 ま で,非 は,ほ. 非 共 軸 モ デ ル を 表 す.. とん ど 見 られ な い.し. か し,中. た,存. 空 円柱 ね じ り. 在 の 必 要 性 を示 した. 近 精 力 的 に 行 な わ れ て い る5).な. 論 文 で も 上 記h1は,参 用 い る が,後. 述 の5,6節. 考 文 献2)の. お,本. t=0に =tで. 表 現 をそ の ま ま. で 示 す 解 析 解 に はh1の 具. 体 形 は 不 要 で あ る. ま た,各. うに な る.. 共 軸 性 を詳 細 に検 討 した定 量 的 実 験. 試 験 に よ る そ の 存 在,ま 研 究 は,最. 共. 点 非 排 水 の 条 件 は,. (10). ―373―. お い てq=0,p'=p'0を 上 式 を積 分 す る と. 考 慮 に い れ,t=0か. ら, t.
(4) と な る.分. 岐 の 瞬 間 ま で 両 層 は 同 じ均 一 変 形 を 続 け. て い る の で,そ な る.し. の 間,前. 式左 辺 は 両層 で 同 一 な 値 と. た が っ て 前 式 右 辺 をg(η)と お く と,各. 層の. 応 力 比 ηは 次 の 条 件 を 満 足 す る 必 要 が あ る.. した あ らゆ る仮 想 速 度 場 を想 定 した 増 分 解 が必 要 と な る.梁 構 造 な どの よ うに,変 形 が 比 較 的 単 純 な場 合 は,そ の よ うな安 定 性 を吟 味 す る こ とは可 能 で あ るが,本 論 文 の よ うな連 続 体 の場 合,仮 想 速 度 場 を 特殊 な もの に限 定 せ ず,除 荷 領 域 を含 めた 一 般 的 な. (15) こ こ で,以. 後 【 …】は 層a,bに. な お,式(15)の. お け る … の 差 を 表 わ す.. 条 件 式 は,非. 共 軸 パ ラ メ ー タAに. 無. 関 係 で あ る こ と に 注 意 す る.. 本 論 文 で は 次 式 で 定 義 す る(Appendix).. て 求 め る.常. した が っ て,本 論 文 で の 分 岐 解 も,そ の 分 岐 解 へ. 各 層 の η よ り次 の よ う に し. に負 荷 を加 えな が ら非 排 水 状 態 に あ る. こ と を 考 え る と 式(4),(6)よ. り,体. が ら,現 実 の物 質 で は,注 意 深 く均 一 な供 試 体 を作 成 して も,何 らか の初 期 不 整(試 験 機,偏 心 荷 重 や 両端 摩 擦 な どの 不整 を 含 む)が 存 在 す るか ら,均 一. (16). 層 のp',qは. 無 で あ る. 移 行 す る可 能性 の 範 囲 内 で の 議 論 で あ る.し か しな. 層 幅 の 等 しい 二層 供 試 体 全 体 と して の分 岐 荷 重 を. こ こ で,各. 仮想 速度 場 を想 定 した 場 合 の安 定性 の 吟 味 は非 常 に 難 し く,著 者 らの 知 る 限 り,そ れ に 関 す る論 文 は皆. 積 ひずみ速 度 は. 零 で あ る か ら,. 変 形 は,不 安 定 的 で あ り,初 期 不 整 の性 質 に も よ る が,通 常,最 小 分 岐 荷 重 で 分 岐 す る と考 え る こ とが で き る6). 5.1. 増分釣合式. 準 静 的 で 物 体 力 の な い場 合 を考 え る と,増 分 釣 合 式 は次 式 の よ うに な る.. (17) で あ り,t=0に t=0か. お い てq=0,p'=p'0を. ら,t=tま. 考 慮 に い れ,. こ こ で,Stは T,速. で上 式 を積 分 す る と. 全 公 称 応 力 速 度 で あ り,Cauchy応. 度 勾 配L,変. 形 速 度Dを. 力. 用 い て 次 式 で定 義 さ. れ る.. と な りq=ηp'で. あ る こ と よ り,. こ こ で,上. 式 に 式(1)の 有 効 応 力 原 理 と,各. の 条 件,式(10)を. で 与 え ら れ る. 5.. と な る.増 分 釣 合 式 は 上 式 を,divLT=grad(trD)=0,. 前 述 した よ う に,異. な る2つ. 岐 の 生 じ る 直 前 ま で,軸. 軸 方 向 変 形 の 増 大 に お い て も,均 え に,分. 慮 して,式(17)に の 層 か らな る長 方 の と き,次. の 軸 方 向変 形 の. 増 大 に お い て 均 一 変 形 と は 異 な っ た 解,つ. (18). の. 一 変 形 は可 能 な解. 岐 は,次. 代 入 す る と次 式 と な る.. 方 向変 形 の増. 大 に 対 して 均 一 に 変 形 し た と す る.そ の 一 つ で あ る.ゆ. 用 い る と,. ま た有 効 応 力 が分 岐 の 瞬 間 ま で 均 一 で あ る こ と を考 支配方程式. 供 試 体 は,分. 点非排水. 結 局,平 面 ひ ず み 変 形 を 考慮 に 入 れ る と,指 標 表 示 を用 い て,増 分 釣 合 式(18)は,次 式 の よ うに表 せ る.. ま り,非. 均 一 な 変 形 を 示 す 解 が 存 在 す る と き に 生 じ る と考 え. (19). る. な お,分 岐 が 実 際 に 生 じ る た め に は,そ の 時 の 均 一 解 が 不 安 定 と な る 必 要 が あ る .弾 性 体 で は,解 の 唯 一 性 が な く な る 時,そ 弾 塑 性 体 で は,そ る こ と も あ る6).す. の 均 一 解 は 不 安 定 と な る が,. の 場 合 で も均 一 解 が依 然 安 定 で あ な わ ち,弾. 安 定 性 を 吟 味 す る た め に は,負. 塑 性 体 の 場 合,こ 荷,除. の. 荷領域 を考慮. ―374―. 5.2. 境 界条 件. 図‑1の. よ うに 境 界 条 件 は,異. な る2つ. る長 方 形 供 試 体 の 側 面(x1=±B)で 件 と し,上. 下 端 部(x2=±H)で. の層 か らな. は側方水圧 一定条. は,摩. 擦 な し で,か. つ.
(5) 一 定 速 度v. 20(>0)に よ る 変 位 制 御 圧 縮 とす る.ま た,. 界 面(x1=0)で. は 完 全 固 着 状 態,し. 続 で あ り,か. つ 力 の 釣 合 い 条 件 よ り全 公 称 表 面 力 速. 度 の 連 続 性 が 要 求 さ れ る.以. (24). た が って 速 度 が 連. 上 よ り境 界 条 件 は 次 式. で 与 え られ る. と な る.ま. た,式(19)の. 増 分 釣 合 式 か らuの. 去 し て 式(24)を 用 い る と,流. 項 を消. れ 関 数 を用 い た 増 分 釣. 合 式 は 次 式 の よ うに 得 られ る.. (25) (20) とな る.こ. こ で,st((st)i,i=1,2)は. で あ り,全 公 称 応 力 速 度St,各 ク トルnを. こ こ でai,bi,お. よ びciは. 次 式 で あ る.. 全公称表面力速度 々 の面 の単 位 法 線 ベ. (26). 用 い て 次 式 で 定 義 され る.. ま た,流 れ 関数 を用 い た境 界 条件 は 次 式 とな る.. 構 成 式(11)を増 分 釣 合 式(18)に 代 入 した もの は,速 度 勾 配 に 関 して線 形 に な って い る の で,供 試 体 の 変 形 を均 一 変 形 と非 均 一 変 形 か ら構 成 され る もの と考 え,増 分 境 界 値 問題 の 解 は次 の よ うに,均 一 境 界 条 件(各 点 で均 一 な解 とな る境 界 条 件)と 非 均 一 境 界 条 件(非 均 一 な解 が得 られ る境 界 条 件)の 解 の和 と な る. a) 均 一 境 界 条 件. (27) 上 下 端(x2=±H)の. (21). 境 界 条 件 か ら,流. れ 関 数 ψiを 次. の よ う に お く.. b) 非 均一 境 界 条 件(境 界 条 件) (28) こ こ で,km=mπ/2H,m=0,1,2,… 変 形 モ ー ドを 示 す 整 数mが. で あ る.た. (22) こ の. と き,均. D12=W12=0)は. 一. な 変 形(D11=‑D22=v20/H. 増 分 釣 合 式,境. ,. 界 条 件 を 自動 的 に 満. 足 す る た め,求 め る べ き 分 岐 条 件 式 は 増 分 釣 合 式(19). 偶 数 の と き,上. 界 条 件 を 満 足 す る た め にx2座 移 動 させ る 必 要 が あ る.ま あ る.式(25)に. だ し,. 下 面 の境. 標 の 原 点 をH/mだ. た,vi(x1)は. 式(28)を 用 い る と,各. け. 未 知 関数 で. 層 のvi(x1)支 配. 方 程 式 は 次 式 の よ う に な る.. と 非 均 一 変 形 に 寄 与 す る 境 界 条 件 式(22)よ り求 め ら れ る.以. 下,非. (29). 均 一 境 界 条 件 式(22)を も っ て 境 界 条. 件 と呼 ぶ. こ こ で,Dkはx1に 6.. 関 す る 微 分 演 算 子 で あ り,kは. そ の 微 分 の 回 数 を 表 わ し て い る.式(27)に. 特 性 方 程 式 に よ る支 配 方 程 式 の 分 類. 各 層 に お い て 式(13)を 満 足 す る よ う に 流 れ 関 数 ψi. 式(28)を. 用 い る と側 面 の 境 界 条 件 は,. (i=a,b)を 用 い て 速 度 場 を 次 の よ うに 与 え る.. (23) こ の と き,式(12)で. 表 わ さ れ る 構 成 式 は 流 れ 関 数 ψi. (i=a,b)を 用 い る と,各. 層 に お い て,. (30). ―375―.
(6) と な り,界. 面 の 境 界 条 件 は 次 の よ うに な る. EC領. 域の分岐条件式. 式(34)で 与 え られ る4つ. の 複 素 数 解 ρ,ρ は 共 役 な. 複 素 数 で あ り,ρi,ρi=Pi±iQi(P1>0,Qi>0)と とP1とQiの. お く. 間 に は 次 の 関 係 式 が 得 られ る.. (36). (31) ま た,支. 配 方 程 式(29)は 次 の よ う に 変 形 で き る. ま た,式(35)のVi(x1)は. 次 式 の よ う に な る.. (32) こ こ で,ρi,ρiは. 次 式 で 与 え ら れ る.. (37) こ こ で,〓[…]で[…]の. (33). Ci(i=1,…,4)は. 実 数 部 分 を 表 わ す.ま. 複 素 数 で あ り,そ. た,. れ ぞ れ,. これ は 次 式 の よ うな4次 方程 式 の根 で あ る.. (34) こ こ でai,bi,お ai,bi,お. 側 面(x1=±B)の. よ びciは 式(26)と 同 様 で あ る. よ びCiは 応 力 の 関 数 で あ り,ゆ. えに 供. 試 体 内 の 応 力 状 態 の 変 化 に と も な い 式(34)の 実 数 解 の 存 在 個 数 が 異 な り,実. と表 わ す. 境 界 条 件 式(30)お. よ び 界 面(x1=0). の 境 界 条 件 式(31)に 速 度 場 の 一 般 解,つ. ま り式(37). を 代 入 す る こ と に よ り次 式 を 得 る.. 数 解 の 存 在 個 数 が0,2お. よ び4個. に 対 応 し て 支 配 方 程 式(25)は そ れ ぞ れ 楕 円. 型(E),放. 物 型(P)お よ び 双 曲 型(H)に 分 類 さ れ る.E. 領 域 は 解 の 形 に よ り更 に2つ. の 領 域 に 分 類 で き4つ. の 複 素 数 解 の 場 合 を(EC)領 域,4つ を(EI)領 域 と 分 類 す る.な. お,そ. の虚 数 解 の 場 合 れ ぞれの領域 の判. 別 条 件 は 次 式 で 与 え られ る.. b2i‑aici>0,bi/ai<0,2μi>￨qi￨EI領 b2i‑aici<0EC領. た だ し,式(38)の. 域. b2i‑aici>0,bi/ai>0,2μi>￨qi￨H領. 域. 2μi<￨qi￨P領. ま た,支. (38). 域. 域. 配 方 程 式 の 分 類 に 基 づ き,式(32)か. ら. Vi(x1)の 一 般 解 は 次 式 の よ う に な る.. (35). こ こ で,cij(j=1,2,…,4)は. 未 定 定 数 で あ る.. 6. 分 岐 条 件 式 分 岐 条 件 式 は 側 面(x1=±B)お. よ び 界 面(x1=0)の. 界 条 件 式 に お い て,cij(i=a,b)(j=1,2…4)の 解 が 存 在 す る 条 件 と して 得 られ る.な 岐 荷 重 は ほ とん ど の 場 合EC領 論 文 で はEC領. 境. 非 自明 な. お,最. 小 の分. 域 で 生 じ る の で,本. 域 の み を 考 察 し た.. ―376―. 係 数 は,以. 下 の 通 り で あ る..
(7) こ こ で,{…}i(i=a,b)は{…}の ー タ を用 い る こ と を表 わ す 〓=‑a‑√acで 式(37)に. 中 でi層 .ま. の 土 質 パ ラ メ. 図‑2 膨潤 指 数 κの変 化 が 分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび 供 試 体 寸 法 比 の 関係 に与 え る影 響. た,ξ=‑a+√ac,. あ る.. お い て,xi(i=1,2,…,8)の. Aij(i,j=1,2,…,8)と 表 わ す 時,分. 係 数 行 列 の 行 列 を 岐 はxi(i=1,2,…,8)の. 自 明 な 解 が 存 在 す る と き 生 じ る の で,分. 非. 岐 条 件 式 は,. (39) と な る.. 7. 分 岐 荷 重 の 解 析 結 果 お よ び 考 察 本 論 文 に お い て は,梅. 田層 粘 土 の 物 質 パ ラ メ ー タ. の 値v=0.333,λ=0.231,κ=0.042,e=1.5,M=1.43 を 基 準 と し て 用 い7),非 関 し て は 参 考 文 献1)の と し て 用 い る.し. 共 軸 パ ラ メ ー タAの 考 察 に な ら いA=0.01を. 値に 基準. た が っ て,A=0.01を. 基 準 とす る. 行 的 な も の で あ る が,い. ず れ に して も. 本 論 文 は,試. 非 共 軸 項 が な い 共 軸 モ デ ル で は,実. 際 現 象 を説 明 で. 図‑3 圧 縮 指 数 λの 変化 が分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび 供 試 体寸 法 比 の 関係 に 与 え る影 響. き な い 実 例 が 多 々 あ る こ とが 分 か っ て き て い る.2 層 供 試 体 を 考 え る と き に は 基 準 の 値 を層aに 層bに. は 層aの. い は 圧 縮 指 数 λを0.8,0.9,1.1,1.2倍. した もの. 供 試 体 を 考 え る.. 分 岐 条 件 式 は 各 層 の 分 岐 荷 重 η=q/p',分 供 試 体 寸 法 比B/H,変 れ る の で,変. る. し た も の,. ま た は 非 共 軸 パ ラ メ ー タAを0.75,0.5倍 を 用 い た2層. 用 い,. パ ラ メ ー タ の う ち 膨 潤 指 数 κ,あ. 形 モ ー ドmの. 岐時 の. 陰関数で与 えら. 形 モ ー ドと非共 軸 パ ラ メー タ を与 え る. こ と に よ り,分. 岐 条 件 式(39)と 式(15),(16)か. 試 体 全 体 と して の 「分 岐 荷 重 」 と 分 岐 時 の. ら,供 「供 試 体. 寸 法 比 」 の 関 係 を 得 る こ と が で き る.た. だ し,得. れ た 関 係 は 各 供 試 体 寸 法 比 に 対 し て,最. も低 い 分 岐. ら. 荷 重 を採 用 し て い る 。 各層 の パ ラ メー タ を変 え る 前 に 両層 が 同 一 の 物 質 パ ラ メ ー タ の 場 合 に,特 定 の パ ラ メ ー タ が 分 岐 荷 重. ―377―. 図‑4 非 共 軸 パ ラ メ ー タAの 変 化 が 分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび供 試 体 寸 法 比 の 関係 に与 え る影 響.
(8) に 与 え る影 響 を考 察 す る.図‑2に. は膨 潤 指 数 κ を変. 化 させ た場 合,図‑3に は圧 縮 指 数 λを変 化 させ た 場 合,図‑4に は 非 共 軸 パ ラ メー タAを 変化 させ た 場 合 の 分 岐 荷 重 と変 形 モ ー ドお よび 供試 体 寸 法 比 の 関 係 を示 す. 図‑2を 見 る と膨潤 指 数 κの変 化 は 分 岐荷 重 に ほ と ん ど影 響 を与 えな い こ とが わ か る.図‑2を 詳 し く調 べ る と,κ が 大 き くな る と分 岐 荷 重 は 下 が る傾 向 が あ る,一 方,図‑3を. 見 る と圧 縮 指 数 λの 変化 は 分 岐. 荷 重 に大 き な影 響 を与 え,λ が大 き くな る と分 岐 荷 重 が 下が る傾 向 が あ る.図‑4を 見 る と非 共 軸 パ ラ メ ー タAの 変 化 も分 岐 荷 重 に大 き な影 響 を与 え ,A が 大 き くな る と分 岐 荷 重 が 下 が る傾 向が あ る. 図‑5に 層aと 層bの 膨 潤 指 数 κが 異 な る場 合 の分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび 供試 体 寸 法 比 の 関 係 を示 す. 図‑2に 示 した 両層 の膨 潤 指 数 κが 等 しい 場合 とは異 な り,両 層 の κが 異 な る場 合 は,両 層 の κの差 が 大. 図‑5 分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび 供 試 体 寸 法 比 の 関係 (層a,bに お い て膨 潤 指 数 κが 異 な る場 合). き い ほ ど分 岐 荷 重 が 下 が る傾 向 が あ る.こ れ は,図 ‑2に お い て示 した よ うに膨 潤 指 数 κが分 岐 荷 重 に ほ とん ど影 響 を 与 えな い こ とか ら,両 層 の相 互干 渉 の 影 響 と考 え られ る. 図‑6に 層aと 層bの 圧 縮 指数 λが異 な る場 合 の 分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび 供 試 体 寸 法 比 の 関係 を示 す. 図‑3に 示 した 両 層 の圧 縮 指 数 λが 等 しい場 合 と同様, λが 大 き くな る と分 岐 荷 重 が 下 が る傾 向 が あ る.し たが って 膨 潤 指 数 κの 場 合 と異 な り,両 層 の相 互 干 渉 の影 響 は み られ な い. 図‑7に 層aと 層bの 非 共 軸 パ ラ メー タAが 異 な る 場 合 の分 岐 荷 重 とモ ー ドお よ び供 試 体 寸 法 比 の 関係 を示 す.図‑4に. 示 した 両層 の 非共 軸 パ ラ メー タAが. 等 しい 場 合 と同 様,Aが. 大 き くな る と分 岐 荷 重 が. 下 が る傾 向 が あ り,両 層 の相 互 干 渉 の 影 響 はみ られ ない.. 図‑6 分 岐 荷 重 とモ ー ドお よび 供試 体 寸 法 比 の 関係 (層a,bに おい て 圧 縮 指 数 λが 異 な る場 合). 8. 最 大 せ ん 断 ひ ず み 初 期 にお い て 長 さl0の 部 分 が 分 岐 直 前 にはlに な り分 岐 直 後 にはl+△lに な った とす る. 分 岐 後 の 主 対 数 ひ ず み は,. と な る.上. 式 は,x<<1な. △l/l<<1の. と き,ε. らln(1+x)〓xで. あ る か ら,. は 次 式 で 近 似 で き る の で,. (40). と な る.式(40)よ. り,分. 岐 直 前 の 一 様 ひ ず み(ε)lと. 図‑7. 分 岐 荷 重 と モ ー ドお よ び 供 試 体 寸 法 比 の 関 係. (層a,bに. ―378―. お い て 非 共 軸 パ ラ メ ー タAが. 異 な る 場 合).
(9) を,図‑10,11で. 変形 速 度 を用 い て 表 す と,. 図‑12,13で. (41). 岐 直 前 の せ ん 断 ひ ず み((εij)l,(i≠j))が. る.な. 零 で. は 非 共 軸 パ ラ メ ー タAを. κa=κ,κb=0.8κ,m=1,B/H=0.5の. お,分. (42). 場合で あ. 岐 時 に は 各 層 の45°. μ*a〓2.682,μ*b〓1.329と. あ る こ と よ り,. 変 化 させ た 場 合. を 示 して い る. 図‑8は. ま た,分. は 圧 縮 指 数 λ を 変 化 させ た 場 合 を,. な り,単. せ ん 断 剛性 は 純せ ん断剛性 は. μa〓6.312,μb〓4.118と な っ て い る.変 形 モ ー ド概 形 は 図‑8(a)に 示 す よ うに 各 層 の 変 形 は 同 じ挙 動 を と っ て お り差 違 は 見 られ な い.図‑8(b)か. と な る.式(41),式(42)で. に,最. 表 わ さ れ る εijの 主 値 を. λ1,λ2,λ3(λ1>λ2>λ3)と. お き,最. 大 せ ん 断 ひ ず み Γmax. 大 せ ん 断 ひ ず み Γmaxが最 大 と な る位 置 は 膨 潤. 指 数 κが 小 さ い 層bの こ と が わ か る.こ. を 次 式 の よ う に 定 義 す る.. らわ か る よ う. 表 面右 下端 近 傍 とな っ てい る. の こ と か ら,す. べ り面 は 表 面 右 下. 端 近 傍 か ら発 生 しや す い も の と考 え られ る. 図‑9は. (43). κa=κ,κb=0.8κ,m=1,B/H=1.5の. る 。 な お,分. 岐 時 に は 各 層 の45°. μ*a〓0.603,μ*b〓0.217と 9. 最 大 せ ん 断 ひ ず み の 解 析 結 果 お よ び 考 察 非 共 軸Cam‑clayモ. デ ル を 用 い た2層. 供試 体の分. な り,単. は 変 形 が あ ま り現 れ て お らず,膨. め,各. 層bで. ル で は 断 層)の. 発 生 位 置 に つ い て 考 察 す る.通. 粘 土 の す べ り面 は,破. 常,. こ で は,上. ん 断 型)の. 記の. 潤 指数 κが 小 さい. 大 き な 変 形 が 生 じ て い る.図‑9(b)よ. り,図‑8(b). と 同 様 に 最 大 せ ん 断 ひ ず み Γmaxが 最 大 と な る 位 置 は. 壊 力学 の 用語 で 言 え ば モ ー ド. II型 ま た は モ ー ドIII型(せ あ る の で,こ. きなスケー. 純せん断剛性 は. μa〓2.350,μb〓1.028と な っ て い る.変 形 モ ー ド概 形 は 図‑9(a)に 示 す よ うに 膨 潤 指 数 κ が 大 き い 層aで. 岐 時 の 最 大 せ ん 断 ひ ず み Γmaxの分 布 を 式(43)よ り求 変 形 モ ー ドに お け る す べ り面(大. 場合であ せ ん断 剛性 は. 進行 性 破 壊 で. 膨 潤 指 数 κ が 小 さ い 層bの と が わ か る.こ. 表 面 右 下 端 近傍 で あ る こ. の こ と か ら,す. べ り面 は 表 面 右 下 端. 「最 大 せ ん 断 ひ ず み が. 最 大 と な る 点 が す べ り面 が 最 も 発 生 しや す い 位 置 」 と仮 定 して 議 論 す る.図‑8か 方 向(‑B≦x1≦B),縦 (‑H≦x2≦H)を. た,各. 向. 々 の 供 試 体 はH=1と. 分 岐 時 の 変 形 図 で あ る 。(b)は 最 大 せ ん. 断 ひ ず み Γmaxの 分 布 図 で,色 断 ひ ず み が 大 き く,薄 い る.な. 軸 にx1. 軸 に 供 試 体 高 さx2方. と る.ま. した.(a)は. ら 図43は,横. の濃 い 部 分 で 最 大 せ ん. い 部 分 で 小 さ い こ と を 示 して. お 変 形 図 は分 岐 時 の 非 均 一 解 に よ る変 形 の. み を 表 し て お り,実. 際 の 変 形 図 は,す. べ て の領 域 で. 負 荷 とな る 自明 な 均 一 解 の変 形 を非 均 一 解 に加 え る. 図‑8,9で. (b). (a). 必 要 が あ る. は,各. 層 の 膨 潤 指 数 κ を 変 化 させ た 場 合. 分岐 時 変 形 概 形 お よび 最 大せ ん 断 ひ ず み 図 κa=κ,κb=0.8κ,m=1,B/H=0,5. (b). (a) 図‑9. 図‑8. 分 岐 時 変 形 概 形 お よ び 最 大 せ ん 断 ひ ず み 図 κa=κ,κb=0.8κ,m=1,B/H=1.5. ―379―.
(10) 近 傍 か ら発 生 しや す い も の と 考 え られ る. 応 力 比 ηが 等 し い と き,膨 と,式(14)で. ゆ え に 圧 縮 指 数 λが 小 さ い 層bが. 与 え られ る45°. 潤 指 数 κが 小 さ く な る せ ん 断 剛 性 μ*は 大 き く. 早 く分 岐 荷 重 に 達. す る と 考 え られ る. 分 岐 時 に お い て も,圧. 縮 指 数 λ が 小 さ い 層bの. な る の で,一 定 の ひ ず み に 対 して 応 力 が 大 き く な る.. 45° せ ん 断 剛 性 μ*は 大 き い.一. 方,単. ゆ え に膨 潤 指 数 κ が 小 さ い 層bが. 性 μ は 小 さ く な っ て い る の で,分. 岐 が 生 じ た 際,変. 早 く分岐 荷 重 に達. す る と 考 え られ る. しか し,分. 岐 時 に は,膨. ほ う が,45°. 潤 指 数 κ が 小 さ い 層bの. せ ん 断 剛 性 μ*お よ び 単 純 せ ん 断 剛 性. μが 小 さ く な っ て い る の で 分 岐 を促 進 し,分 じた 際,変 形 が 大 き く な る と 考 え られ る. 図‑10は. λa=λ,λb=0.8λ,m=1,B/H=0.5の. あ る.な. お,分. 岐 時 に は 各 層 の45°. μ＊a〓1.867,μ*b〓2.029と μa〓5.111,μb〓4.844と. な り,単. 岐が生. 形 が 大 き く な る と 考 え られ る.B/H=0.5の. 場合 は. 層 幅 が 薄 か っ た た め,層bが. 純せ ん. 断 剛 性 の 大 き い 層aに. 分 岐 した 際,単. 拘 束 され 十 分 に変 形 で きな か. っ た も の と 考 え られ る.B/H=1.5の. 場合 で. 純 せ ん断 剛 性 は 形 モ ー ド概. 層bの. ら離 れ て い る た め,変. 図‑12はAa=A,.Ab=0.5A,m=1,B/H=0.5の あ る.な. μ*a〓1.782,μ*b〓1.782と な り,単. 大 せ ん 断 ひ ず み Γmaxが最 大 と な る位 置 は 圧. 縮 指 数 λが 大 き い 層aの る こ と が わ か る.こ. 表 面 左 上 端 近 傍 とな っ て い. の こ と か ら,す. べ り面 は 表 面 左. 上 端 近 傍 か ら発 生 しや す い も の と 考 え られ る. 図‑11は. λa=λ,λb=0.8λ,m=1,B/H=1.5の. あ る.な. お,分. 岐 時 に は 各 層 の45°. μ*a〓0.359,μ*b〓0.391と μa〓1550,μb〓1.354と. な り,単. 場合で. お,分. 場合 で. 岐 時 に は 各 層 の45°. μa〓4.966,μb〓8.124と. せ ん断剛性 は. 純せ ん断剛性 は. な っ て い る.変. 形 モ ー ド概. 形 は 図‑12(a)に 示 す よ う に 各 層 の 変 形 は 同 じ 挙 動 を と っ て お り 差 違 は 見 ら れ な い.図‑12(b)を る と,最. せ ん断剛性 は. 形 が 拘 束 され ず 十. 分 変 形 で き た た め で あ る と考 え られ る.. と っ て お り差 違 は 見 ら れ な い.図‑10(b)を. 詳 し くみ. つ. 最 大せ ん 断 ひ ず み の 卓越 す る点 が変 形 を 支 配. す る 層aか. 形 は 図‑10(a)に 示 す よ う に 各 層 の 変 形 に 同 じ 挙 動 を る と,最. 場 合 は,層bの. 方 が 単 純 せ ん 断 剛 性 μ が 小 さ く 変 形 しや す く,か. せ ん断剛性 は. な っ て い る.変. 純せ ん断 剛. 詳 し くみ. 大 せ ん 断 ひ ず み Γmaxが 最 大 と な る 位 置 は 非. 共 軸 パ ラ メ ー タAが. 小 さ い 層bの. な っ て い る こ と が わ か る.こ. 表面右下端近傍 ど. の こ と か ら,す. べ り面. 純せ ん断剛性 は. な っ て い る.変. 形 モ ー ド概. 形 は 図‑11(a)に 示 す よ う に 圧 縮 指 数 λ が 大 き い 層a で は,変. 形 は そ れ ほ ど大 き くない が膨 潤 指 数 κを変. え た 場 合 に 比 べ る と変 形 は 大 き い.圧 さ い 層bで り,図‑10(b)と. 縮 指 数 λが 小. は 大 き な 変 形 が 生 じて い る.図‑11(b)よ 異 な り最 大 せ ん 断 ひ ず み Γmaxが 最 大. と な る 位 置 は 圧 縮 指 数 λが 小 さ い 層bの 近 傍 で あ る こ と が わ か る.こ. 表 面右 下端. の こ とか ら,す. べ り面. は 表 面 右 下 端 近 傍 か ら 発 生 しや す い も の と考 え られ る. 応 力 比 ηが 等 し い と き,圧 と,式(14)で. 与 え られ る45°. 縮 指 数 λが 小 さ く な る. な る の で,一 定 の ひ ず み に 対 して 応 力 が 大 き く な る.. (a) 図‑11. (a). せ ん 断 剛 性 μ*は 大 き く 図‑10. (b). 分 岐 時 変 形概 形 お よび 最 大 せ ん断 ひ ず み 図 λa=λ,λb=0.8λ,m=1,B/H=0.5. (b). 分 岐 時 変 形 概 形 お よ び 最 大 せ ん 断 ひ ず み 図 λa=λ,λb=0.8λ,m=1,B/H=1.5. ―380―.
(11) は 表 面 右 下 端 近 傍 か ら発 生 しや す い も の と考 え られ る.. 10.. 図‑13はAa=A,Ab=0.5A,m=1,B/H=1.5の あ る.な. お,分. 場合 で. 岐 時 に は 各 層 の45°. μ*a〓0.334,μ*b〓0.334と μa〓1.459,μb〓2,739と. な り,単. せ ん断剛性 は. 純 せ ん断 剛 性 は. な っ て い る.変. 形 モ ー ド概. 形 は 図‑13(a)に 示 す よ う に 両 層 と も 下 端 が 膨 らむ 挙 動 を と っ て い る.図‑13(b)よ. り,最. 大せ ん断ひず み. Γmaxが最 大 と な る位 置 は 供 試 体 中 央 部 下 部 で あ り, 詳 し く調 べ る と非 共 軸 パ ラ メ ー タAが 側 で あ る こ と が わ か る.こ. 小 さ い 層bの. の こ と か ら,す. べ り面 は. お わ りに. 本 論 文 で は,有 用 い た2層 ず,分. 岐 条 件 式 を 求 め,分. 関 係 を 議 論 した.次. μ*に は 影 響 を 与 え な い が,Aが. (1)2層. パ ラ メ ー タAの. (3)2層. 以 上 は,は mode)」. ほ うが μ は 大 き い.図. くつ か の2層. 供 試 体 の 変 形 モ ー ドに 対 して. じ め に 述 べ た よ う に,す. べ り 面 は,仮. 期すべ り. 面 の 発 生 し易 い 位 置 を 求 め た. な お,本. 側 に最 大 せ ん断 ひず. 「拡 散 分 岐 モ ー ド(Diffuse. の 出 現 し た 場 合,速. の膨 潤 指数 の 差 が 大 きい ほ. ど分 岐 荷 重 は 下 が る傾 向 に あ る. (4)い. 共軸. み の 最 大 の 位 置 が 現 わ れ た も の と 考 え られ る. に初 期 に. の膨 潤 指 数 κの相 違 は 分 岐 荷 重 に大 き な. 最 大 せ ん 断 ひ ず み の 分 布 を 求 め,初. ‑12 ,13ど ち らの 場 合 も 層aの 方 が 変 形 しや す い が 最 大 せ ん 断 ひ ず み の 卓 越 す る 点 が 変 形 を 支 配 す る 層b の 影 響 を 受 け て い る た め 層bの. の圧 縮 指 数 λあ るい は非 共 軸 パ ラ メー タ Aの 相 違 は 分 岐 荷 重 に 大 き な 影 響 を 与 え な い.. せ ん 断 剛性. 層 で μ*は 等 し く,非. 小 さ い 層bの. 供 試 体 の 分 岐 荷 重 の 理 論 解 を 得 た.. (2)2層. せ ん 断 剛 性 μ は 大 き く な る. 分 岐 時 に お い て も,両. 岐 荷 重 と 変 形 モ ー ドと の. に最 大 せ ん断 ひ ず み の 分 布 を求. 影 響 を 与 え,2層. 小 さ く な る と単 純. デル を. め る こ と に よ り,す べ り面 の 発 生 位 置 に つ い て 考 察 し た.本 論 文 で 得 られ た 結 論 を 以 下 に 列 記 す る.. 中 央 下 端 近 傍 か ら発 生 しや す い も の と 考 え られ る. 非 共 軸 パ ラ メ ー タAは,式(14)の45°. 限 変 形 非 共 軸Cam‑clayモ. 供 試 体 の 分 岐 解 析 を 行 う こ と に よ り,ま. 上,割. 論 文 で は,高. 次 の 変 形 モ ー ドは 紙 面 の 都 合. 愛 し た.. Appendix 分 岐 の 瞬 間 ま で は,均 一 状 態 を 保 つ か ら,式(2)よ り,x2方 向 の 平 均 の 有 効 応 力 は,各 層 の 層 幅 がBa, Bbと す る と. bifurcation. 度 勾 配 に よ り定 義 し た. 「 最 大 せ ん 断 ひ ず み 」の 概 念 を 使 っ て,初. 期 す べ り面. の発 生 源 とな る 可 能 性 の 高 い 位 置 を考 察 した も の で あ る. な お,す. ベ り 面 発 生 の 考 察 と し て,双. 曲型 ま た は. 放 物 型 に お け る速 度 勾 配 の 不 連 続 面 で 定 義 され る 「 せ ん 断 帯 モ ー ド(Shear band mode)」 発 生の必要 条 件 に 基 づ い た 議 論 も,数 そ の 条 件 で は,せ. 多 く行 な わ れ て い る が,. ん 断 帯 モー ドと して のす べ り面 の. 発 生 す る 応 力 状 態 や そ の 方 向 は 議 論 で き る が,境 条 件 に 無 関 係 な 局 所 的 な 理 論 で あ る た め,本 の よ うに,特. 界. 分岐解. (a). 定 の 供 試 体 形 状 に お け るす べ り面 の 発 図‑12. 生 位 置 ま で は 議 論 で き な い.. Aa=A,Ab=05A,m=1,B/H=0.5. (a) 図‑13. (b). 分 岐 時 変形 概 形 お よび 最 大 せ ん 断 ひ ず み 図. (b). 分 岐 時 変 形 概 形 お よ び 最 大 せ ん 断 ひ ず み 図Aa=A,Ab=0.5A,m=1,B/H=1.5. ―381―.
(12) と な る.一. 方,間. 隙 水 圧 が 両 層 で 等 し い 場 合 は,x1. 向 の 有 効 応 力 は,. とな る.ゆ え に,両 層 分 岐 時 の 間 隙 水 圧 が 等 しい場 合 の層 幅 の 等 しい2層 供 試 体 の 分 岐 荷 重 は 式(16)で 定 義 で き る.2層 供 試 体 の分 岐 荷 重 には 様 々 な定 義 が 考 え られ るが 上 記 の よ うな例 もあ るの で,本 論 文 で は,式(16)を 分 岐 荷 重 と して 定 義 す る.. 参考文献 と な る.よ. っ て2層. 体 と し て の 平 均 有 効 主 応 力p'. と一 般 化 され た 偏 差 応 力qは. 1) Biot, M. A.: Mechanics of the Incremental Deformation, Wiley, New York, 1965. 2) Yatomi, C., Yashima, A., Iizuka, A., and Sano, I.: General theory of shear bands formation by a noncoaxial Cam-clay model, Soils and foundations, Vol.29, No.3, pp.41-53, 1989. 3) Roscoe, K. H., Schofield, A. N. and Thurairajah, A: Yielding of clays in states wetter than critical, Geotechnique, Vol. 13, pp.211-240, 1963. 4) Ohta, H.: Analysis of deformations of soils based on the theory of plasticity and its application to settlement of embankments, Doctor Engineering Thesis, Kyoto Univ., 1971.. 次 式 の よ う に な る.. 5). 例 え ば,志 Cam‑clayモ. 比 利 秀,矢. 富 盟 祥:有. 限 変 形 非 共 軸. デ ル に よ る中 空 円柱 供 試 体 の非 軸 対. 称 分 岐 解 析,応. 用 力 学 論 文 集,Vol.1,pp.537‑546,. 1998.. ゆ えに2層 系全 体 と して の場 合 の 分 岐 荷 重 は,. 6) 伊 藤 耿 一:塑. 性 不 安 定 と 分 岐 の 理 論,塑. 性 と加. 工,Vol.22‑249,pp.1009‑1015.1981.. 7) Sekiguchi, H.:. Rheological characteristics. of clays,. Proc. 9th ICSFME, Tokyo, Vol.1, pp.289-291, 1977. と な り,層. 幅 の 等 しい 場 合 は, (1999年4月23日 (16:再. 掲). ―382―. 受 付).
(13)
関連したドキュメント
Classical definitions of locally complete intersection (l.c.i.) homomor- phisms of commutative rings are limited to maps that are essentially of finite type, or flat.. The
Variational iteration method is a powerful and efficient technique in finding exact and approximate solutions for one-dimensional fractional hyperbolic partial differential equations..
Yin, “Global existence and blow-up phenomena for an integrable two-component Camassa-Holm shallow water system,” Journal of Differential Equations, vol.. Yin, “Global weak
This paper presents an investigation into the mechanics of this specific problem and develops an analytical approach that accounts for the effects of geometrical and material data on
Since the continuum random tree is a random dendrite, the results of the previous chapter are readily applicable and so we are immediately able to deduce from these heat
We study the classical invariant theory of the B´ ezoutiant R(A, B) of a pair of binary forms A, B.. We also describe a ‘generic reduc- tion formula’ which recovers B from R(A, B)
While conducting an experiment regarding fetal move- ments as a result of Pulsed Wave Doppler (PWD) ultrasound, [8] we encountered the severe artifacts in the acquired image2.
[1] Bensoussan A., Frehse J., Asymptotic Behaviour of Norton-Hoff ’s Law in Plasticity theory and H 1 Regularity, Collection: Boundary Value Problems for Partial Differential
