容量性二重格子構造の平行板導波管列 　　　による電磁波の散乱について

九州工業大学研究報告（工学）No．22 1971年1月       7

容量性二重格子構造の平行板導波管列    による電磁波の散乱について

（昭和45年10月20日 原稿受理）

第二部電気工学教室  北    島   博   愛

On Scattering of Electromagnetic Wave by a Parallel   Plate Waveguides Array with Capacitive Double       Grating Structure

by Hiroe KITAJIMA

  Atheoretical analysis of a parallel plate waveguides array with capacitive double grating structure based on application of singular integral equation method is presented． Scattering waves by grating have two distinct types of anomaly；one is scattering resonance and the other is anomaly due to Rayleige wavelength． The former is co皿ected with the rnatching impedance of electronlc scannlng antenna．

  Effective approximate formula can be obtained by this analysis for determining the matching conditions for a wide range of scan angles． As to the latter anoma・

1sus scattering， it has been found that there exists a distinct difference in be havior between the scattering caused by incident from free space side and that caused by waveguides side．

  Numerical results are shown by power coefncients．

       ダンス整合が重要な課題であり，多くの研究4）5｝

 1・ ま え が き      がなされている。インピーダンス整合に関しては  二重格子構造の平行板導波管列による電磁波の  誘電体を装荷することおよび二重格子構造にする 散乱は，二つの面から考察される重要な問題があ  ことなどが考えられる。前者は装荷された誘電体

る。一つは自由空間側から平面波が到来する場合  内に共振波があらわれる波長，または走査角付近 の回折格子としての散乱特性である。それには二  で放射特性が急激に変化する現象がある。後者の つの異ったタイプの異常散乱現象があり，一般に  二重格子構造の場合は二つの格子の距離をλ／2 Wood s Anomalies1）と呼ばれている。たとえ  （λは波長）となるようにしてインピーダンス整 ばSmith−Purcell Radiation2）はこの異常散乱  合するとされているが，実際には格子面で発生す によるものと解釈できる。このようにoptica1よ  る高次モードの影響を考慮に入れる必要があるか

りmillimeter波長の発振器3）に回折格子が用   ら，格子周期，格子間隙，導波管の巾などにより いられることから回折格子としての基礎問題が重  二つの格子間の距離は変る。しかし筆者の知る限 要な課題となっている。       り，これらの問題を取扱った論文は見当らない。

 いま一つは導波管側に波源があり，自由空間側   またPhased Array Antenna4）5）6）問題とし に電磁波を放射させる場合である。これはレーダ  て発表されている論文では，いつれも波源が導波 一の電子的走査アンテナとして，広い走査角にわ  管側にあり，走査角に応じたドミナントモードの たって有効に電磁波を放射させるためのインピー  反射および透過係数を求める問題として議論され

ている。しかし，それによって得られた結果をも  ない完全導体板格子があり，Z軸方向および夕軸 とにして，波源が自由空間側にある場合の散乱特  方向に無限に広がっているものとする（図1）。い 性が（相反定理により）求められるのは，格子面よ  まy軸方向に平行な磁界H，を考え，y方向に変

り発生する高次モードに伝搬波（grating lobes） 化がないものとする。図1に示すように自由空間 が無い場合のみであることに注意する必要があ  を3，とし，導波管側を容量性格子を境に32，8、

る・すなわち，高次の伝搬モードが発生する場  とする。各領域畠（ノー1，2，3）内の磁界を波動関 合・波源の位置（導波管側か・自由空間側）によ  数の∫（x，z）とおけば，の元（x， z）は二次元Helm一

りその散乱特性の差異を明確にする必要がある。  holtzの方程式

解法に関しては・変分法やP°int Matching ∠の、（xz，）＋κ・の、（呪。）一。，（ノー、，2，3）

法り7）などがあるが，高次の伝搬モードが存在し，       ＿＿（1）

かつ二重格子構造となると解析が非常に複雑にな  および周期的境界条件

る・また計算に必要なパラメータの蜘ミ多いの  の、（x，2十α）一・一噸（詞 

＿＿ ^i2）

で・ ｻ的な髄しがたたない・   端足する．ここに』／厄一2π／λ，（λは自

本献では磁界の境界値問題としての積分方 由空間波長），。一ん。inθ，（・は入射触たは走セ王 程式よ撫限の高次モードの影響を考劇こ入れ 角）時間肝は．…（ω，角周繊、、r澗）と て・特異積分方程式を導き解析した・この特異  する。

積分握式による近似解法は轍管1こついては 上記の醐的境界条陶こより調期内の波動関 Lewln81が・またわが国では・ス・ツトアンテナ 数を擦すればよいので，一醐内の境界条件は

慧麓蒜㌶∴繁竺嘉二 朝（αの一ぴ（α勾，1・KT，……㈹

造の平行板導波管列1Dによる電磁波の散乱に関

して一ンピーグン磯合条件の近似鵡、よび ☆の1（0，z）一岳卿・），1・K；，

Rayleigh波長にもとずく異常散乱の性質を求め      ……（3b）

ることを日的とする。

       言9（0，z）−oノー・弓≦1・K号・

 2．問題の設定      （3c）

巳格子構造と境界条件      ノー弓く1・匡；・

容量性格子をもった平行板導波管列上に厚みの

15？ D  1 9聞fmg

■

z^g囮サi2nd

X

ひ

ぴ（一σ，z）一ぴ（一仏・），1・K争・……（3d）

／

一言砺（『4，z）一☆砺（寸・）・1・1＜÷

s

51dl@z  ∂    4…㌣）

S b

o＿＿u d2

     ←

図1二重格子髄の平行導瀬列  波が入射し噛合の散乱雌および醐的条件

Fig l Parallel plat， waveg皿ides with    を満足するTEM波が導波管側より入射した場    doubl grating structure．       合の自由空間側への放射特性を求める問題とな

→   一∂アの・（一4，z）＝0・ノ＝2・3；テく同く互        ・・・…  （3f）

      言．の・（x＋旦 一2）−qノー2・−4≦ば・

      ノ＿3；x≦＿9 （39）

    となる。以上の条件のもとに自由空間側よりTM

9

      lndden†

  X       x

°ノ●        iμ◇i4t∂x         ＆      、 z＞

↑l

S2 S3

      工

（o）       ，    日b）T ×        図2 矢印は波の方向を示す

       Fig．2  Arrows indicate wove direction・

ト      →1

る。      いま領域ぷ、側より入射波e《κz＋剛尤が到来する 2−2．波源が自由空間側にある場合       とすれば，領域ぷ（ノー1，2，3）内の、波動関数φ

一・一@       一一一         一       （x，z）は，

ψ1（xz，）．  …＋芸メ。・ （・＋竿）パ・・       …………（4）1

        η＝−oo

ぴ（x，z）−M［轡R（一の・一論・・助・＋嘉｛（脇糾脇・一一）・・s2Cπ・

＋（β、。．、e〃・・一・κ＋C。，．、e−〃・・一・（鋼））・・in 2≠Pπ・｝］   一…・…・（5＞

ぴ（x，z）一れ｝＋薫｛塩酋・・s2誓π・＋塩一幽…・in禦π・｝……・・…・（6）

と示される。ここに       一

  。一瓦，inθ    ＿…（7。） 透過するモードの係数である・従って・これらの       係数を求める問題であるが，積分方程式およびそ

昭。瓦・一（κ＋2：π）2・・一・・±・・±2・ の解法鮒鍬こ示す。

       ……（7b）   為および1「・に規格化定数をかけ

㌧一／酉）2一瓦；  ……㈹  元：：㍑蒜

』一シ（叉一1・π）2一ん・ ……（7d）三㌫欝；膿』は争 

蕊欝慧；欝隠籔㌫ ξ1輪一一・

る。       ここにΣは編が実数となる・につし・ての和

 またメ．は自由空間側へ反射される高次モード  を示す。

の係数，R（一のは第二格子の反射係数， B．，，   2−3導波管側よりTEM波が到来する場合

β2。．、，（ぷ，C2。．、は二つの格子間の高次モードの   図2（b）参照

係数，τ。，τ、。，τ1、＿1は第二格子より導波管側に   いま領域ぷ・よりの入射波を￠一撤切 とすれ

ば，領域5》（ノー1，2，3）内の波動関数ψゴ（x，z）は

         キ 

    ●、（x，z）一Σ為eZ（  2カπκ十  α）・一《婦

         μ＝一◎o

輪・）−M［・一一・・＋R（・）ピ〃一＋嘉｛（▲・』＋己⌒一）…s竿・

    ＋（B2彿一1θ力2新1z十C2彿一1ε一ノり初一1（κ＋ω）・・in 2＝1π・｝］

ψ・（x，z）一・一 ＋r・・焔・・＋嘉｛聯魏・…一…竿・

    ＋r・・−1・物一・・in2…㌍π・｝

と示される。

上式の∠．に規格化定数をかけ         長を変化させたものである。同様にα／λ一〇・5の       ＿       場合は図4bに示した。図5は入射角（走査角）

  ん一メ〆κ ・・／んb；     変化に女寸する共振散乱特性を示す。

  τ00＝τ0

とおけば，伝搬モードの電力係数の和は，前節と    1ρ 同様に

自1ん1・＋IWI・−1   」・8

となる。       L』・

       一   3．解 析 結 果 ♂4

 3−1．共振散乱（インピーダンス整合）特性        2  図3，は共振特性を示すもので，α／λ一〇．45，     。

      シイ ％

、         ｝ 0・2   1．6   ベ    ー一一一。．1 ；1．勺7    、ミs     −一 − 0・066731．◆5    ＼ベミ ー…一一〇，。5・8．特     ＼、＼＼

      ミ

％＝ω ＼×＼

％一臥， ミミ、

0．5，0．55の場合について，二つの格子間距離g       o 45舶 メ7  48 調 q5 を変化させたときの電力透過係数ぽ。。ドを示      ％一→

す。この図から4，＜4、となる方が，インピーダ       図4a電力透過係数対周波数 ンス整合がよいことカ・分る・しかし4・をあまり F g4a：㌶轟漂 言惣1：：ごc▽S・

小さくすると周波特性が悪くなる。その様子を図

4aに示す。これはα〃−0．45における共振条     1．o 件を満足する4を定め，gを一定して入射波の波

 1ρ

！・・

レ_ー

渇

 2  0

       コ 

鋏灘％…芸 占ゐ

 〜、 ； ， 〜、、 ％＝＿．＿；＿7   −・4

，泌s・＼、 1い％。。。，     ・2

％＝。」   〃

％＝時 D崇；㌔〆

   ！／／ン  −o．2 ；85

 ／／，4／   一一一一卯  ；1．弓7

二〆グ   ー一…66・・冷

一°@       ・一一一●一悟 O．05   ；」．4◆

  α，1ρ、1121β 1，，、晶、、         °45・46・47・48・4gq5

  ％一一       シ糺一一

  図3 電力透過係数対二つの格子間距離      図4b 電力透過係数対周波数 Fig・3P・wer tr皿smissi・nsmissi・n c・e伍cient   Fig．4b P・wer transmissi。n c。e伍cients vs．

   vs・distance between two gmtings，       wavelength of incidence．

11

1、O

．8

レい

  、2

      側にある場合のη一一1モードのgrating lobe

……〔ﾟ＼：．鵜 が生ずる場合の異轍射継を示仁図7と図8

病％＼

：：二1：1：1：1；5 想  ゆる相反趨力・飾できるので瓦。とWを入  ，＿＿qρ5、u4    

        1    のモードが，カットオフより伝搬波となると，散

0° 1° 2ピ3°°4° 5° 6° 刃゜8◎69° @   乱特性は大きく変化する。図7ではη一一1モー

θ 一一→

  図5 電力透過係数対入射角        ドは入射角の広範な変化に対して殆んど一定の強

一＿ ・一〃  慰  れかえるのみで，特性は剛である．しか塙次

  Fi9．5Power transmission coe伍cient vs・    さであるが，図8では同じη一一1モードでありな      angle of incidenc巳      がら1ノ｛。一、12は走査角の増大に対して，直線的に

3−2．散乱特性（η一一1次の伝搬モード）    減少する。Rayleigh波長（κ 一・α一〇となる波  図7a，bは．波源が自由空間側（領域81）にす   長）近くでは，η一一1モードは入射角のわずか る場合のη一一1次モードのRayleigh波長近  な変化に対して，強さおよび伝搬方向ともに大き くの異常回折を示す。図8a，bは波源が導波管   く変化する。

一Hy@    も6

↓   °↓」．1

（o）       《b）

   図6 入射波と散乱波の方向

Fig．6 Directions of incident and sca廿ered waves．

1．o

  10  。ゐ＝055   ％＝1．19   0 ・8

1 耐       。

鶏一@ ・8      0   ，6 ま

T6     刷1ぴド  4

ニ  ん

ぎ   恨。。1・     1    、   ・2

−  ．2

  0       0

 ゜1°2。 3。・4。 。・6。◆7。・8。 9げ   0 10203040506070809θ

θ一一 @    一，イ  9｝→卯，。・・。・・。°… 、。・ ，。・16  14…，・

《川        ・．8＿＿        （b） α，＿

     図7  電力係数（1R。。12，lR。−112，lr。d2）対入射角（図6a参照）

      Fig．7 Power coemcients vs． angle of inci《1ence（cf． Fig．6a）

    ↑1・

    ㌃ 8     こ ○

・  』

    ｛三 ・4

    這

    一一  ．2

     ％＝055  qん。1」g        参考文献

   1・。．ド       1π゜   1）A・Hesse1・nd A・A・01iner： A N・w Th…y       、       of Wood s Anomalies on Optical Gratings ， J・

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。    1嗣  19劉m酷Phys 眠 恥L 9乳Eユ゜69（N 

        ロ      タ     つ    ロ      ロ

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1ρ

．8

．6

．4

，2

o

    ％・u ・4・193  芸1。隠e㌶鞭芸盟「J漂㌫hased

       5）S．W． Lee and R． Mittra： Radiation from

lぱ ̲1輪・   ㌫蹴よ霊E三票瓢P霊 漂

       ＼一冥減  6）（Sε竺1孟9豊1、t，1， A HesseL＿1i。，，、電1←

   ．       ㍉・＼      ment Pattern Nulls in Phased Arrays and Their陶ユ       ＼＼      Relation to Guided Waves，，， IEEE， Vo1．56，

． 10．20・30・40・50・60・70・80・go・      No．11（Nov．1968）．

  θ一→  π・6。・5。・4。 3。・  2。・ コ6・ 1 ・    7） たとえば，B・L・Diamond： A Generalized        o→＿       Approach to the Analysis of Infinite Planar     b）d〆』巴01；4㎡』＝o・21d 冨d・       Array Antennas，，， IEEE， Vo1．56， No．11（Nov．

図8 q欝＝麹晒12） 19認㍑≡・散乱問題一撒よる解ぽ

   Fig．8Power coe伍cients vs． angle of       については・信学会アンテナ 伝播研資A P−68『

       ・卿i・g（・f．Fig．6b）     53（1968−12）・   ．

       8） L．Lewin： On the resolutlon of a class of

4結． ̲      ぽ蒜三麗跳㌶：謬：㍑隠

二重格子構造の平行鱒波管列による電鰍の 9）㌣皇㌻舞ぷ一の主値積分方程式の

散乱問題について解析した結果を示した。インピ    応用・，信学誌40，4，P．749（昭40−04）；・多重 一ダンス整合のための二つの格子間の距離や格子    平面格子による回折の問題 ・信学会・アンテナ・

間隙との関係を示した・さらに高次の伝搬モード、。）伝f也㌫㌶㌶㌶よる電極波回折の

がある場合，波源が自由空間側か，導波管側にあ    Single Anomalyについて・，信学論（B），51−B，

るかによるRayleigh波長近くでの異常散乱特    P・293（昭43−07）・

性の相違も明らかになった・なお第一格子の上に11） 謚沫?ﾑ麟芸轡籔吉㌶馨顯

誘電体を装荷した場合の結果も得ているが，複雑    告（工学）21号，昭和45．

になるだけで，興味ある特性は得られない（ただ

しチエレンコフ放射に関連する重要な問題があ   付録：積分方程式の導出11）

る）。

      波源が自由空間側にある場合

 謝辞：この研究にあたり，ご指導をうけた九州   一一格子周期内で，波動関数の∫（x，z）の直交性 大学教授安浦博士ならびに熊本大学助教授板倉博  および境界条件を考慮し，かつ第一格子と第二格 士に深く感謝の意を表します。        子との距離4が充分長くすると，x−0における       格子間隙上での積分方程式は

13

       ばユ

   脚一島㍍・∫乏ぴ（o，・ ）・＜・＋2》π）一

      ÷

      一手±餐譲瑞；餐三61綴駕・τ』万∫』x⑳（q嫡

      一÷

      ÷

      一嘉［☆…2芒・∫尋助（qの…竿鋤

      ÷

      ＋る百粋1乏叉（・，・ ）・in 2芹一ユπ・・凌 ］一… …・・……（A・）

       ㌢

   M−、−R（1−9）。一 ∫∫晶一砺（αZ）畝   …………（A2）

       −4

X＝一σにおける第二格子の間隙上では

       三旦

   2ご「訂三xぴ（一仏鋼

      2

       ば 

         報b…2笥》一・弩励

       2∂2

         ＋か2：」旭・∫㌃一血2＝ユ司・・……（A3）

       2       づ 

R（−9＞劃》（一＋・…  ……・…（A4）

      2

となる．上鵡齪する言φ、（・，・ ）および貴の、（一仏めが求まれば領域S・および5・内の

波動関数の係数メ。，τ。は        ÷

為一一 ｣・､一ピ竺＋㌦  ・・… ・…（A5）

      ｛a

乃一 叉（一一    ・・……・…（A6）

と求まる。ここに式（A5）のδηoはクロネッカーのδである。

 同様にして，波源が導波管側にある場合の積分  導波管列上の平板格子による平面波の回折につい 方程式も導出される。解法は既報1D 短絡された  て 参照。