第 21 章散乱の量子論

(1)

第

21

^{章散乱の量子論}

粒子の散乱は，原子・原子核・素粒子の構造や，そこではたらく相互作用の性質を調べるのに有用な手段である。ここでは，簡単のため，散乱を定常状態で記述する。定常状態のシュレディンガー方程式を，散乱の境界条件を課して積分方程式に書き直し，散乱振幅から微分断面積を求める。また，前方散乱における散乱振幅の虚部と全断面積の関係式である光学定理，及び，散乱行列のユニタリー性についても触れる。

21.1

^{散乱断面積}

21.1.1

微分断面積

散乱現象を量子力学で記述することは，本来，入射粒子の波束と標的粒子が相互作用した後，どのように時間発展して行くかを調べることである。しかし，通常の場合は，波束の時間発展の代わりに，散乱を定常状態として扱うことができる。定常状態による記述の方が，

波束の時間発展を追うよりもはるかに便利である。従って，定常状態としての記述が不適切であるような場合には，１つの入射粒子の波束と標的粒子の相互作用として波束の時間発展を追って散乱現象を記述しなければならない。

標的

散乱粒子

θ

d Ω

^{微小立体角}

検出器

入射粒子透過粒子

図

21.1:

散乱実験

図

21.1

に散乱実験を模式的に示す。速度がそろった多くの粒子からなる入射ビームが，

多くの標的粒子からなる標的に入射する。入射粒子の多くは相互作用せずに右へ進むが，一部の入射粒子は標的粒子と相互作用して散乱される。以下では，入射粒子の波束の広がりは，

標的の中の標的粒子間の距離に比べて十分大きく，１個の入射粒子と１個の標的粒子の相互

(2)

作用の集まりとして，散乱が記述できるとする。また，簡単のため，入射粒子も標的粒子も固有のスピン角運動量をもたないとする。

微分断面積

散乱を１個の入射粒子と１個の標的粒子の相互作用の集まりとして考えられるとき，ひとつひとつの粒子の相互作用を追う代わりに，微分断面積という考え方を導入すると，確率的におこる散乱を記述するのに便利である。そのために，まず，単位時間当たりに微小立体角

dΩ

に散乱される粒子の数

dN

を考える。

dN

は入射粒子のフラックス（入射方向に垂直な平面の単位面積に単位時間当たりに入射する粒子の数）

j _in

に比例し，微小立体角

dΩ

にも比例するので，

dN = j _in dσ

dΩ dΩ (21.1)

と表すことができる。このときの係数

dσ/dΩ

を（極座標の）

(θ, φ)

方向への微分断面積

（

diﬀerential cross section

）と呼ぶ。一般に，

dσ

は２つの角度

θ

と

φ

の関数である。

単位入射フラックスに対する，単位時間に散乱される粒子の総数は，全立体角にわたる積分で得られる：

σ _tot = dσ

dΩ dΩ. (21.2)

立体角

dΩ

は極座標で表すと

dΩ = sin θ dθ dφ (21.3)

であるので，上の積分は

σ _tot = _π

0 sin θ dθ _2π

0 dφ dσ

dΩ (21.4)

と表せる。これを全断面積（

total cross section

）という。

ところで，単位時間当たりに微小立体角

dΩ

に散乱される粒子の数

dN

は，散乱粒子のフラックス（散乱方向に垂直な平面の単位面積を単位時間当たりに通過する粒子数）を

j _sc

として，

dN = j _sc r ² dΩ (21.5)

と表すこともできる。十分大きな半径

r

の球面を考えると，その球面を貫いていく散乱粒子の総数は

N =

j _sc r ² dΩ = r ² _π

0 sin θ dθ _2π

0 dφ

j _sc (21.6)

で与えられる。ここで，

(21.1)

と

(21.5)

の左辺が等しいので，右辺が等しいとおいて，

dσ = dσ

dΩ dΩ = j _sc r ² dΩ

j _in (21.7)

が得られる。すなわち，

dσ

は，単位時間に単位面積に入射する粒子数に対する，単位時間に微小立体角

dΩ

に散乱される粒子数の比である。

(3)

断面積の単位

dσ

は面積の次元をもつ。実際，次元を長さの単位

m

と時間の単位

s

で表すと，

(21.7)

の関係式を用いて，

[ j _sc ] = [ j _in ] = m ⁻² s ⁻¹

より

[ dσ ] = m ²

となる。これより，入射粒子が微小立体角

dΩ

の方向へ散乱される確率は，入射方向に垂直な仮想的微小面積

dσ

に入射粒子があたったとき，

dΩ

方向への散乱が起こるとみなして得ることができる。原子核やハドロンを標的とするときには，その大きさが

1 fm = 10 ⁻¹⁵ m

程度であるので，バーン（

barn

，記号

b

）という単位

1 b = 10 ⁻²⁴ cm ² = 10 ⁻²⁸ m ²

が慣習的に用いられる。さらに断面積が小さいときには，

mb

（ミリバーン），

μb

（マイクロバーン），

nb

（ナノバーン），

pb

（ピコバーン）なども用いられる。

21.1.2

波動関数の漸近形と境界条件

時間に依存しないポテンシャル

V ( x )

による質量

m

の粒子の散乱を考える。ここでは，

散乱状態を定常状態として扱うので，エネルギー

E

が一定の場合の定常状態の波動関数を，

時間に依存する因子と座標に依存する関数に分離する：

ψ( x , t) = exp − i E

¯

h t u( x ) (21.8)

波動関数

ψ( x , t)

を時間に依存するシュレディンガー方程式

i¯ h ∂

∂t ψ( x , t) =

− ¯ h ²

2m ∇ ² + V ( x )

ψ( x , t) (21.9)

に代入すると，

u( x )

が満たすべき時間に依存しないシュレディンガー方程式は

− ¯ h ²

2m ∇ ² + V ( x )

u( x ) = E u( x ) (21.10)

となる。これが，散乱問題で解くべき方程式である。

以下では，簡単のため，ポテンシャルは極座標の動径座標

r

だけに依存する場合

V (r)

（中心力ポテンシャル）に限定する。シュレディンガー方程式

(21.10)

を解くには，境界条件を指定し，それを満たす解を求めなければならない。ここでは，ポテンシャルは

|r| → ∞

で

| r | ⁻¹

^より速く

0

になるとする。これより，ポテンシャルの中心から十分はなれた領域では，シュレディンガー方程式

(21.10)

は自由粒子の方程式

− ¯ h ²

2m ∇ ² u( x ) = E u( x ), E = ¯ h ² k ²

2m

^より

( ∇ ² + k ² )u( x ) = 0 (21.11)

になる。

(4)

遠方での境界条件

図

21.2

に示すように，ポテンシャルが作用しない領域では，入射粒子は左から標的に向かって入射してくる平面波で表され，多くの粒子はそのまま透過波として右に進行し，標的の粒子によって散乱された一部の粒子は外向き球面波で表される。右向きに

z

軸をとって，

入射平面波：

u _in (x) = e ^ikz = e ^ikr ^cos ^θ , (21.12)

外向き球面波：

u _sc ( x ) = f(θ) e ^ikr

r (21.13)

と表せる。ここに，

f (θ)

を散乱振幅（

scattering amplitude

）という。散乱振幅は一般に２つの角

θ

と

φ

の関数であるが，中心力ポテンシャル

V (r)

の場合には

θ

だけの関数になる。

よって，

z

軸の負の領域から平面波が標的に入射している散乱問題に対応する境界条件は，

r → ∞

^の漸近形で次のように表せる：

u( x ) = e ^ikz + f (θ) e ^ikr

r ( r → ∞ ) (21.14)

なお，上に示した入射平面波と外向き球面波はポテンシャルが作用しない領域での漸近形であり，ポテンシャルの作用が無視できない

r

の小さい領域では波動関数は複雑である。

標的

外向き球面波

入射平面波透過平面波

図

21.2:

散乱問題の境界条件

入射平面波

(21.12)

がシュレディンガー方程式

(21.11)

の解であることは明らかである。

外向き球面波

(21.13)

の場合は，ラプラシアン

∇ ²

^{を極座標で表して}

∇ ² f (θ) e ^ikr r

= 1 r

∂ ²

∂r ²

f (θ)e ^ikr

+ 1 r ²

1 sin θ

∂

∂θ

sin θ ∂

∂θ

+ 1

sin ² θ

∂ ²

∂φ ² f (θ) e ^ikr r

= − k ² f (θ) e ^ikr r + e ^ikr

r ³ 1 sin θ

∂

∂θ

sin θ ∂f(θ)

∂θ

(5)

となるが，最右辺の第２項は

r ⁻³

の因子をもつので

r

が大きいときには第１項に対して無視できる。よって，外向き球面波

(21.13)

も方程式

(21.11)

の解になっている。

散乱振幅と微分断面積

波動関数の漸近形

(21.14)

を用いて，遠方

(r → ∞ )

における確率の流れから散乱の微分断面積を求めることができる。確率の流れは

j ( x ) = ¯ h 2mi

u ^∗ ∇ u − ( ∇ u ^∗ ) u

= 1 m Re

u ^∗ ¯ h

i ∇ u

(21.15)

で与えられる。ここで，極座標で表した微分演算子

∇

∇ = e _r ∂

∂r + e _θ 1 r

∂

∂θ + e _φ 1 r sin θ

∂

∂φ , (21.16)

を波動関数に作用させると

¯ h

i ∇ u( x ) = ¯ hk

e _z e ^ikz + e _r f (θ) e ^ikr

r + O(r ⁻² )

(21.17)

となる。ここに，

O(r ⁻² )

は

r

の大きい領域では第１項と第２項に比べて無視できる。よって，確率の流れの

r → ∞

^{での漸近形}

j ( x ) → ¯ hk m

e _z + e _r | f(θ) | ² 1

r ² + ( e _r + e _z ) Re f (θ) e ^ik(r−z)

r ( r → ∞ ) (21.18)

が得られる。第１項（

e _z

^{向き）と第２項（}

e _r

^向き）は

j _z = j _in = ¯ hk

m , j _sc = ¯ hk m

| f(θ) | ²

r ² (21.19)

で，それぞれ，入射ビームのフラックスと動径方向のへの外向きのフラックスを表している。

よって，微小立体角

dΩ

の中に単位時間当たりに散乱される粒子数

dN

は

dN = j _sc r ² dΩ = ¯ hk

m

| f (θ) | ²

r ² r ² dΩ = j _in | f (θ) | ² dΩ (21.20)

と表せる。これが，

(21.1)

に等しいので，

dσ = | f (θ) | ² dΩ, (21.21)

よって，

dσ

dΩ = | f (θ) | ² , (21.22)

すなわち，微分断面積

dσ/dΩ

を求める散乱問題は散乱振幅

f (θ)

を求めることに帰着する。

(6)

21.2

^{確率の保存}

21.2.1

光学定理

原点（標的，ポテンシャル

V (r)

の中心）を中心とする大きな球面に流れ込む確率の流れと，球面を通して流れ出す確率の流れを考える。

z

軸の負の領域から平面波が標的に入射している散乱問題に対応する境界条件

(21.14)

は，

r → ∞

^{の漸近形で}

u( r ) = e ^ikz + f (θ) e ^ikr

r ( r → ∞ )

と表され，これから得られる確率の流れの式

(21.18)

は

j ( r ) → ¯ hk m

e _z + e _r | f (θ) | ² 1

r ² + ( e _r + e _z ) Re f (θ) e ^ik(r−z) r

= e _z j _in + e _r j _sc + ( e _r + e _z ) j _in Re

f(θ) e ^ik(r−z) r

( r → ∞ ) (21.23)

である。確率の保存則は，一般に，

∂ρ

∂t + ∇ · j = 0 (21.24)

と表されるが，今は散乱状態を定常状態として扱っているので，確率密度の時間微分は

0

である。よって，確率の流れは

∇ · j = 0

を満たす。これより，大きな半径

r

をもつ球面を考え，その全表面にわたって確率の流れを積分すると

0

になる：

∇ · j = 0 = ⇒

V j · d S =

V j · e _r r ² dΩ = 0. (21.25)

これは大きな球面から球の内側に流れ込む確率の流れ（粒子数）と球面を通して内側から外側へ流れ出る確率の流れ（粒子数）が相殺することを意味する。

以下では，

(21.23)

の３つの項について，それぞれ，確率の流れを考えていく。

(1)

第１項

確率の流れの第１項は，

(21.19)

の第１式

j _in = j _z = ¯ hk m = v

で，いたるところで一様な

z

軸の正の向きに流れる確率を表している。大きな半径

r

の球面に流れ込む粒子数と流れ出る粒子数の和は，

e _r · e _z = cos θ

，

dΩ = sin θ dθdφ

であるので，

N ₁ = e _r · e _z j _in r ² dΩ = j _in r ² _2π

0 dφ

_π

0 cos θ sin θ dθ

= j _in πr ² _π

0 sin 2θ dθ = 0 (21.26)

となる。すなわち，球面に流れ込む粒子数と球面から流れ出る粒子数は相殺して差し引き

0

になる。

(7)

(2)

第２項

第２項は外向きの球面波から生じる項である：

j _sc = v | f (θ) | ² r ² .

この項は

e _r

の向き，すなわち，原点から外向きであるので，大きな半径の球面に外から流れ込む粒子数は

0

であり，球面全体から外へ向かって流れ出る粒子数は

(21.20)

より

N ₂ = e _r · e _r j _sc r ² dΩ = v

| f (θ) | ² dΩ = v dσ

dΩ dΩ = v σ _tot (21.27)

で与えられる。

(3)

第３項

第３項は入射平面波と外向き球面波の干渉項である：

N ₃ = e _r ·

( e _r + e _z ) j _in Re

f (θ) e ^ik(r−z) r

r ² dΩ. (21.28)

ここで，

dΩ = sin θ dθ dφ = d(cos θ) dφ

と書き直せる。

φ

についての積分は直ちに実行できて結果は

2π

になる。被積分関数で

z = r cos θ

を代入して，

cos θ

について部分積分する：

N ₃ = j _in 2πr Re

− 1 ikr

f (θ)(1 + cos θ) e ^ikr(1−cos ^θ) ₊₁

−1

+ 1 ikr

₊₁

−1 d(cos θ) d d(cos θ)

f (θ)(1 + cos θ)

e ^ikr(1−cos ^θ)

. (21.29)

右辺の第１項は，

cos θ = +1

（

θ = 0

）と

cos θ = − 1

（

θ = π

）を代入して

f (θ)(1 + cos θ) e ^ikr(1−cos ^θ) ₊₁

−1 = f (0) · 2 − 0 = 2f (0)

となる。右辺の第２項の積分では，半径の大きい球面において

kr 1

であるので，

e ^ikr(1−cos ^θ)

は

1 − cos θ ≈ 0

を除いて

θ

の小さな変化に対しても激しく振動する。つまり，積分に寄与するのは

θ = 0

の近傍だけである。よって，積分は

O(1/(ikr))

の微少量であり，

(21.29)

の右辺において第２項は第１項に対して無視できる。従って，

N ₃ = v 2πr Re

− 2f (0) ikr

= − v 2πr − 2

kr Im f (0)

= − v 4π

k Im f (0) (21.30)

になる。

ところで，大きい半径

r

の球面に流れ込む粒子数と球面から流れ出る粒子数が等しい（粒子数の保存，確率の保存）はずである。よって，上で述べた３つの項の和に対して

N ₁ + N ₂ + N ₃ = 0, (21.31)

すなわち，

(21.26)

，

(21.27)

，

(21.30)

を代入して，

0 + v σ _tot − v 4π

k Im f (0) = 0

が成り立つ。よって，

(8)

確率の保存より，次の関係式が得られる：

Im f (0) = k

4π σ _tot . (21.32)

これを光学定理（

optical theorem

）と呼ぶ。

入射粒子を

z

軸の正の向きに進む波束（

x

軸方向と

y

軸方向に広がりをもつ）とすると，

j ( r )

の第３項は入射波と散乱波との干渉項である。入射波と散乱波が重なりをもつのは

θ = 0

（前方）の近くと

θ = π

（後方）の近くだけである。しかし，後方では

e _r = −e _z

であるから干渉項は

0

になり，

N ₃

は前方での干渉からの寄与のみである：

N ₃ = − v 4π

k Im f (θ = 0). (21.33)

光学定理より，

N ₃ = − v σ _tot = e _r · ( −e _z v σ _tot ). (21.34)

とも表せる。すなわち，干渉項は

θ = 0

付近に

z

軸の負の向きの流れ

−e _z v σ _tot

があることを意味している。つまり，入射粒子の流れから，散乱によって単位時間当たりに

v σ _tot

の粒子が除かれ，入射平面波の強さが減少したことを表している。これによって，境界条件

(21.14)

の妥当性が確かめられたと言っても良い。

21.2.2

散乱行列のユニタリティ

散乱行列

２粒子の散乱問題の時間に依存するシュレディンガー方程式は

i¯ h ∂

∂t ψ _α ( x , t) = H ψ _α ( x , t) =

− ¯ h ²

2m ∇ ² + V ( x )

ψ _α ( x , t) (21.35)

であり，ここに，

ψ _α ( x , t)

は全ハミルトニアン

H

に従って時間発展する解である。また，

α

は粒子の状態を指定するラベル（運動量など）である。ポテンシャル

V ( x )

は，２つの粒子が十分離れた，十分過去と十分未来では作用しない。このとき，シュレディンガー方程式はポテンシャルを含まず

i¯ h ∂

∂t φ _α ( x , t) = − ¯ h ²

2m ∇ ² φ _α ( x , t) (21.36)

自由粒子の波動関数

φ _α ( x , t)

が解になる。すなわち，十分大きな正値

T ₁

に対して

t < − T ₁

が十分過去であると定義でき，このとき，

ψ _α ( x , t) = φ _α ( x , t) ( t < − T ₁ ) (21.37)

が成り立つ。同様に，十分大きな正値

T ₂

に対して

t > T ₂

が十分未来であると定義できてる。十分過去に

ψ _α ( x , t) = φ _α ( x , t)

であった波動関数は全ハミルトニアンに従って時間発展

(9)

し，十分未来における自由粒子の波動関数

φ _β ( x , t)

の重ねあわせで表すことができる。従って，内積

S _βα = ( φ _β (t ), ψ _α (t ) ) ( t > T ₂ ) (21.38)

を定義すると，十分過去に

ψ _α ( x , t) = φ _α ( x , t)

であった波動関数が，十分未来に自由粒子の波動関数

φ _β ( x , t)

で見出される振幅を表す。

S _βα

を

β

行

α

列要素とする行列とみなすことができる。このような行列を散乱行列（

scattering matrix

），あるいは

S

^行列（

S-matrix

）という。散乱での観測とは，全ハミルトニアンに従って時間発展する波動関数

ψ _α ( x , t)

を自由粒子の波動関数

φ _β (x, t)

に分解してながめる操作に他ならない。

散乱行列はユニタリー行列である：

S ^† S = SS ^† = 1. (21.39)

成分を用いて表すと

γ

S _γβ ^∗ S _γα = δ _βα (21.40)

γ

( S ⁻¹ ) ^∗ _γβ ( S ⁻¹ ) _γα = δ _βα (21.41)

となる。これを散乱行列のユニタリティという。散乱行列のユニタリティは，散乱振幅が確率を保存するために満たさなければならない最も一般的な条件である。

ハミルトニアンがエルミートであるとき，

H ^† = H (21.42)

シュレディンガー方程式

(21.35)

は確率を保存する。また，このシュレディンガー方程式の２つの解

ψ _α ( x , t)

と

ψ _β ( x , t)

の内積は時間に依存しない：

∂

∂t

V d ³ x ψ _β ^∗ ( x , t) ψ _α ( x , t) = 0. (21.43)

すなわち，任意の時刻における内積に対して，

V d ³ x ψ _β ^∗ ( x , t) ψ _α ( x , t)

t<−T

₁

= V d ³ x ψ _β ^∗ ( x , t ) ψ _α ( x , t )

t

>T

₂

= δ _βα (21.44)

が成り立つ。一方，自由粒子の波動関数

{ φ _α }

は完全系をなすので，シュレディンガー方程式

(21.35)

の解を展開できる：

ψ _α (x, t ) =

β

φ _β (x, t ) c _βα ( t > T ₂ ) (21.45)

(10)

この式の両辺に

φ _γ ( x , t)

をかけて内積をつくると，展開係数は

c _γα = ( φ _γ ( x , t ), ψ _α ( x , t ) ) ( t > T ₂ ) (21.46)

と表せる。右辺は，散乱行列の定義式

(21.38)

に他ならず，よって，展開式

(21.45)

は散乱行列要素を用いて

ψ _α ( x , t ) =

γ

φ _γ ( x , t ) S _γα ( t > T ₂ ) (21.47)

と書き直せる。この展開式を用いて，

ψ _β ( x , t )

と

ψ _α ( x , t )

の内積をつくり，

φ _γ

の正規直交性を用いると，

( ψ _β ( x , t ), ψ _α ( x , t ) ) =

γγ

( φ _γ ( x , t ), φ _γ

( x , t ) ) S _γβ ^∗ S _γ

α

=

γ

S _γβ ^∗ S _γα

となるので，散乱行列に対して

γ

S _γβ ^∗ S _γα = δ _βα

が得られる。ここまでの議論を，シュレディンガー方程式の解と自由粒子の解を入れ替えて行うこともできて，

γ

( S ⁻¹ ) ^∗ _γβ ( S ⁻¹ ) _γα = δ _βα

が得られる。前方散乱振幅は入射粒子と散乱粒子が同じ状態の場合（

β = α

）であり，光学定理はユニタリティの特別の場合である。

なお，散乱振幅

f (θ)

は入射平面波が散乱されずに透過した部分から生じるので，散乱行列を

S _βα = δ _βα − iT _βα (21.48)

と表して，

T

を

T

行列と呼ぶ。

第 21 章 散乱の量子論

21

21.1

21.1.1

θ

d Ω

21.1:

21.1

dΩ

dN

dN

j in

dΩ

dN = j in dσ

dΩ dΩ (21.1)

dσ/dΩ

(θ, φ)

diﬀerential cross section

dσ

θ

φ

σ tot = dσ

dΩ dΩ. (21.2)

dΩ

dΩ = sin θ dθ dφ (21.3)

σ tot = π

0 sin θ dθ 2π

0 dφ dσ

dΩ (21.4)

total cross section

dΩ

dN

j sc

dN = j sc r 2 dΩ (21.5)

r

N =

j sc r 2 dΩ = r 2 π

0 sin θ dθ 2π

0 dφ

j sc (21.6)

(21.1)

(21.5)

dσ = dσ

dΩ dΩ = j sc r 2 dΩ

j in (21.7)

dσ

dΩ

dσ

m

s

(21.7)

[ j sc ] = [ j in ] = m −2 s −1

[ dσ ] = m 2

dΩ

dσ

dΩ

1 fm = 10 −15 m

barn

b

1 b = 10 −24 cm 2 = 10 −28 m 2

mb

μb

nb

pb

21.1.2

V ( x )

m

E

ψ( x , t) = exp − i E

¯

h t u( x ) (21.8)

ψ( x , t)

i¯ h ∂

∂t ψ( x , t) =

− ¯ h 2

2m ∇ 2 + V ( x )

ψ( x , t) (21.9)

u( x )

− ¯ h 2

2m ∇ 2 + V ( x )

第 21 章散乱の量子論

j _in

dN = j _in dσ

σ _tot = dσ

σ _tot = _π

0 sin θ dθ _2π

j _sc

dN = j _sc r ² dΩ (21.5)

j _sc r ² dΩ = r ² _π

0 sin θ dθ _2π

j _sc (21.6)

dΩ dΩ = j _sc r ² dΩ

j _in (21.7)

[ j _sc ] = [ j _in ] = m ⁻² s ⁻¹

[ dσ ] = m ²

1 fm = 10 ⁻¹⁵ m

1 b = 10 ⁻²⁴ cm ² = 10 ⁻²⁸ m ²

− ¯ h ²

2m ∇ ² + V ( x )

− ¯ h ²

2m ∇ ² + V ( x )

| r | ⁻¹

− ¯ h ²

2m ∇ ² u( x ) = E u( x ), E = ¯ h ² k ²

( ∇ ² + k ² )u( x ) = 0 (21.11)

u _in (x) = e ^ikz = e ^ikr ^cos ^θ , (21.12)

u _sc ( x ) = f(θ) e ^ikr

u( x ) = e ^ikz + f (θ) e ^ikr

∇ ²

∇ ² f (θ) e ^ikr r

∂ ²

∂r ²

f (θ)e ^ikr

+ 1 r ²

sin ² θ

∂ ²

∂φ ² f (θ) e ^ikr r

= − k ² f (θ) e ^ikr r + e ^ikr

r ³ 1 sin θ

r ⁻³

u ^∗ ∇ u − ( ∇ u ^∗ ) u

u ^∗ ¯ h