短絡された導波管列上の平板格子による
平面波の回折について
（昭和45年5月11日 原稿受理）
（二部）電気工学教室北島博愛
Diffraction of Electromagnetic Wane by an In丘nite
Plane Grating on Corrugated Surfaces
Hiroe KITAJIMA
Summary
Reflection Coe缶cients of various order diffracted waves are calculated for an infinite plane grating on Corrugated surfaces， which shows anomalous diffractions due to Rayleigh wavelengths as well as diffracting resonances at resonance wavel．
engths． The behavior of all anomalous diffractions， which have rapid variation in intensity（and in phase）for small change in incident angle， has been made clear
て，optica1やSub−Optica1発振器として，重要 概 要 な課題となって来た。さらにレーダーの電子的走
短絡された導波管列上の平板格子による平面の 査アンテナとして， すなわちPhased Array 回折問題に関して，電磁界の境界値問題として積 Antennaとも密接な関係があることから・（こ 分方程式を導き，準静電的近似をもとにした特異 れらに関して，例えばKnitte13）らはSurface 積分方程式の解法を用いて解析した。解析結果を waveとLeaky Waveとの関係を論じている
電力係数で示した。格子面より発生する高次モー が，回折格子として回折問題はとりあつかってい ドに伝搬モードがある場合の共振回折の特性は， ない）回折格子に関する一連の研究4）5＞6）の一っ 入射にはあまり関係なく，波長にのみ大きく変化 として，短絡された導波管列上の平板格子にょる する。ただし，共振状態で，更につぎの高次の伝 異常回折について報告する。解法については・搬モードが発生するRayleigh波長近くでは， Moint・Matching法7）やGalerkin法8）や変分 入射角，波長ともに，それらの僅かな変化で，回 法等があるが・格子同期aと格子間隙dとの比 折波の強さが大きく変化する様子が明らかとなっ d／aが充分小さい場合はL．Lewin9）の特異積
た。 分法による解法が非常に有力であるので，本論文 では電磁界の境界値問題としての積分方程式を導 1・ ま え が き き，準静電的近似をもとにして特異積分方程式の 回折格子による異常回折には二つのタイプすな 解法を用いて解いた。いろいろの解析結果を電力わち，Rayleigh TypeとResonance Type1）が 係数で示し，共振回折およびRayleigh波長にも
ある。これらの特徴は，一般に微少な入射角や波 とつく異常回折の性質を明らかにした。長の変化で回折波の強さが大きく変化する。しか
しその変化の様子は格子構造によ曝る．回折格 2・問題の設定および解法
子の基礎的問題は，近年レーザー光の出現によ 図1に示すように，周期aをもって並べた平行
り，またSmith−Purcell Radiation2）に関連し 板導波管上に間隙δの厚みのない完全導体よりな80
㌔㌦私） （1・1＞幻、 （3d）
：・
D，∴： ∴s二砿） 言砺（￠・）一弓く1・×三（3・）
曇の・（0，z）⇒』＜1・1＜÷ （3f）
融（一9，z）一・，1・1＜膓 （39）
Fig、（畏li。g慧鑑瀦。，id，n。e 融（ bx，±一百）−q x＜・ （3h）
る格子を考える。その格子の上に厚み1の誘電体 ω ω
（・，）で装荷されているとする。いま，領域夙（ノ いま領域3・よりの入射瀧θB 輌とすれば・
−1，a3）を81（ε1；x−1，lzl＜。。），ぷ，（，，、0≦x 領域5・（ノ＝1・2，3）内の波鞭数は
≦Lr・K・・）・＆偏馴1・1＜喜櫛（〃＝0・±1・ ψ1（x，・）一。品品・一・＋Rあ？1鳳
㌫誌蕊憩鷲竃享1；に』な ＋芸舵（当⊇以（4）
η＝−8 γ軸に平行な磁界正1，を波動関数の（X，のとし，γ
方向に変化しないとすれば領顕内の波動関 φ，（コらz）−T［〆謡㌦＋芸。く梅）・．
数φ∫（x，z），（ノー1，2，3）は二次元Helmholtzの 2 方程式 （2） （2）
∠の、（x，z）＋た、・φ、（ぷ。）一・ （1） ｛玩θ一 ＋αθ −2 ｝］・°≦x≦輻
κ、一ω／厄（ノー1，2，3） （5）
を瀧し・醐的境界条件 ψ、（x，z）−D。C。Sん，（X＋9）□
m＝1 くカ
の」（x，z十ηα）＝θ一碗φ元（x， z） （2）
ノー・・国く・・，ぽ ｛妬一・sin2㌃1π・・…h㌧一・
ノー2：121＜oo， 0≦x≦1
ノー3・1・1＜1』＋・・1⑭±L±a…）， （x十（7）＋瓦・・s竿・c・sh煽
である．時間因子はノ㌫周波数塒間） （x＋の｝，x≦・ （6）
とした。周期的条件により，波動関数⑳（X，Z）
ここに は，一格子周期内だけに着目すればよい。一周期
く ラ く ラ
α内
Y織づ （3a） R鴛隠1 （7）
晶⑭一語砺（⇔（3b） τ⊃醒已．，ぷ （8）
砺（0・z）一φ・（0・z）・（lzK一多）（翫） ち一蕊三亀 （錫）
晶輌一晶卿・ ：Lゆぴノー照 ㈹
昆㌦＋（σ）2ηπκ十）2 は：麓㌶忽灘鶯笠1三燃翼慧
ノー1・2・η一〇・±1・±2， （9c） の実数になるようにbを選ぶことにする。
』一糎1三一鴇・・（9d）考皇諸竺鷺㌶；鷺戚麓
L当竿鳴一・鍋…，（9・）式は
ω 旦
三巖褐・・一㍊（1＋Z⊃）誰一蕊露」㍊凱（qり・隣竺 吻
ぽ ゆ
＋ε
ﾔ剖1曇姻〃頴［いin2㌻1硬言輌・in2＝1繭が
＋塩・…2
狽P瀞・ピ）・・s竿4ピ］一軌1・1＜喜・ （・・）2
ここに く問題となる。そこで
硫一嚥＋↓曇二⊇i」 （］1） ・一輻ピー÷ζ，飢一裂δ1一翌
・・κ ・＋∫・・た ・ tan・・κ1 （・6）
塩一2c°P：b』 （・3）とおき，式（、。）の両辺⇒をかけれ1￡
となるぽし上式剛る格子間隙上の分布念 婆へ．み（1＋25）
ψ，（・，。）がわかれば，領城（ノー・，3）における あ ・・κ ・＋ε1κ・・
く ラ
（祠の係数為・およ翻は
@ 一∫1、［畏（⇔廊ζ声一・・］為一2；聾…；壁． ・Z（ζ）4ζ一・ （・8）
ε2κ仇十ε1W仇 となる。
㌫顯≠inヅ
いま・一±・・のときﾃ一楡
＋ω二ω② 「…・・のとき恥一（ 22m＿1）π
ε2κ吻αCOS〃τη1十 ε1ん，παsinκ仇1
隠輌・一一・由（・4） 鬼一嘉
ここに硫・はク・ネ・カーのδである・ となることに着目して，喜，』＜・蜴合
おト⇒i輌ぽ⑭（15） ∫（硫）一旦￡一（ξ一ζ）
と与えられる。したがって，積分方程式（10）を解 π詞 π
82
一一1・921・in飢（ξ一ζ）1 一ぷ（δ1））＋・鴫・ζ一・・よξぱζ）
ニー1・92銚1ξ一ζ1 （19） 一ぷ（δ））｝Z（ζ）4ζ］ （25）
ゆ く ラ ここに式（18）のκ，1ζは，
8（δ、，c）一÷嘉2c°s2mδ嘉゜s2遮 ω ．。．ぴ＿。
1（（ξ，ζ）一Σ （2「一・Z，、 （26）
尋［1・92δ11ξ一ζ1＋わ92δ11ξ＋ζ1］， ＝一゜° ん…
（2°） 丘（ξζ）一：i［嘉｛塩酷in（（2〃1
5（δ・・）一慧 一・）ぴξ）・in（（2祠）δ1ζ）
． ． ＋γ2物2cos（2ητδ1ξ）cos（2〃2δ1ζ）｝
2旦1n（（2〃2−1）δ1ξ）sln（（2η2−1）δ1ζ）
玩二1 ．一 一漂］ （27）
ニー［1・941ξ＋1・941ξ＋ζ1 さて，特異積分耀式（24）⑭ま
3（δ1）−8（紅）＋ぷ（あ，め （21） z（ζ）一÷∫震禦2旦1）4ξ
一一÷1・醐1ξ一ζ1 （22） ＋／讐・ （28）
無限級数（19），（22）を用いて，式（18）を書き直す と与えられる。仮定によりδ／仏δ／b＜1であるか と ら，F（ξ，δ。，δ1）＝0と仮定すれば，・
τ（1十Zo）一∫1、［5（銚）＋（畏（ξζ）−S㈹） Z（ζ）一／票 （29）
ゆ れ
＋｛ぷ（δ1）＋（κ（ξ・ζ）一ぶ（δ1））｝θ鰐（ζ一ξ）］ となる。ここにC（0）は定数であるが，これは
Z（ζ）4ζ一〇 （23） ξ一〇とした式（23）に（29）を代入して求まる。な となる。上式をξにつき微分すれば お更に高次近似解をうるためには・このようにし て求まったZ（ζ）を式（25）に代入し，F（ξ，δ。，δ1）
÷∫控14ζ一F（ξ，δ。，δ1） （24） を求め，式（28）鋼・て求める．
ここに （註：式（23）に（29）を代入して積分し・無限級数の和を 求め，δ。のオーダー以下の項を省略すると，結局ξ＝0と 1 最初からおいた式（32）に（29）を代入して得た結果と一致 F（ξ・δ・・δ1）一 （2）δ ・ する）
1＋θ∫κ百（ζ一ξ）
［∫1、｛妾ぱ（ξ，ζ）一ぷ（跳）） 一次近イ以解の結果
領域ぷ、における零次モードの反射係数は，誘 一∫・喜・吟・ζ一・・（8（δ1）＋（鴛㈹ 電体による反射と桔緬からの反射波との和と
一一一一一…一一一@一一一一…一＿＿．＿．＿＿＿一．一．一＿＿ なるので
（1） （2） （1）（2） （2）
R。−R橘一ε・蔭一ε1些；！＋2ε・煕・・θ；；； ° ・、、）（、、1、，，（2、＋、、）（ πC（°）
ヱラ く ハ く ハ
ε1傷ザFε2ん，o ε2 τo十1εたro ε2たノoCOS尾01十ゴε1ん，oSinた，01 ε2〃，oαCOS彪01十∫ε1ん，oα・Sin尾01
（30）
為＿．一、r一iπC（0）、2「一一「一（・≠0） （31）
ε2κ，μαCOSんτπ1十τε1〃τηα・sinκ∫，ノ
となる。ここにC（0）は
C（0）＿ τ｛1＋Z｝ （32）
11・9δ・1＋㌻11・9別＋N（2）＋㌃N（3）
N（2）一π［雰曇（乙τ☆2毒Tみ（蹴）＋蕊］ （33）
N（3）一π［瓢編；π）ゐ（2・・δ1）−c鷲9］ （34）
蕊㌫次波の係蜘規格化定数 ⑭1＋麺
馬一賜・一・／紘α／ぷ 一・喜＋1殼lt・n曇1．π職）（37）
とおけば，領域5、内の二次波の搬モードの電 ε品anκ』・隔
力係数の和は，誤差δ。のオーダー（0（δ。））以内で を満足する場合で，このとき領域8、内にはパ次 1となる。すなわち モードは伝搬しないが，誘電体内に共振波モード 〔．コ が存在するために，反射係数に大きな影響を与え
ΣIR・・12＋0（δ・）−1 （35） る。
の ほラ
ここにΣは編が実数となるηについての和 3数値計算の例
図2に入射角およびη一一1モードの伝搬方向
である。共 振 条 件 を示す。図3，4，5は誘電体がない場合の特性を
示す。図3は，入射角が0°より14°23 までは
共振条件は・格子と撒管側の反射板との間で @（、瑠で 一一・モードがR。y1。igh波長）
共振す錫合と・格緬と編体との
ｱ嫌す高次の伝搬モード醗生しない働R。。2−・とな
る齢の二つの異った共振現象がある・目1」者は・ る．しかしR。yl。igh波長となる角よりも，入
式（32）の分母の実数部零の条件は，近似式として，
1卿㌻酬＝晶 醜の（36） ％
で与えられる。これは謝波の角度にはあま欄 つ
係せず，主として波長と，深さ（g）に関係する。
なお，この条件は，波源の種類に無関係にきま る固有値であって，たとえば進行波管などの電子 ビームと電磁波との相互作用の問題と密接な関係 がある。つぎに
＿∂ 内
＼
㌢人ぽ）
儲の共振条件1覗力・麟￡，カ・実蜘な Fi縁2監iP。；罐罐麟忽？、。。id。n、
るr次モードで and Scattered Waves
84
射角が増大すると〃一一1モードが伝搬波とな 数では，特性は殆んど同じ（σ一〇．095，0．7044，
り・導波管部が共振状態であるから，η一一1モー 1．3336の場合）図4の実線はα／λ一1．0，σ／α一〇．，
ドの振巾係数は急激に増大し，ドミナントモード 図5の実線はα／λ一1．0，4／α一の場合で，ともに より，はるかに大きくなる。共振条件式（36）を 殆んど同じ特性であるが，ともに射入波の周波数 満足するようにgを選んでいるので，単一周波 を少しかえると（α／λ一1．05），当然ながら，9／αが
1、O
lα9
パ
丁α6 三
〒α4
呈0．2
0．0 θゼ→」
lR・rド ％＝・．3・1
％ニ・、1 ％＝・浪 珍 −1篇 ψ」3ハ 1品乙 （6＝￡・ミら皇＝。）°10°20° R0°40 rO°60 70 90 ？。°
起一一
図3 電力反射係数対入射角
Fig・3 Power reO㏄tion coe佃cients vs． angle of incidence．
「 1．0 一
α￠
≒
り
区σ6 一
こ… ． 竺
言解
α2 0
㌍ll：：：1；二ぼ魔∴
ユ ひプ や
1 … IR川ノ天＝1・・5 11 ，
1 1
1 1 t ／ 1 、 ノ 1
三 、 ！ ノレ 、
，
サ ペ グ ヘノ ノ ： 、、 ， 、 ノ
i 、一一＿．一一ノ ＼ ／ 、
θ一一〇 0203・4・5060° V・80° X。°
図4−a 電力反射係数対入射角
Fig，4−a Power reH㏄tion coe伍cients vs． angle of incidence．
。 。 。 。一一一
■
コむ
い、
匡。、6
i。、
0，2
り
θ〜→
O lO ζ0 30 ∠fO 50 60 70 80 タ0、 9，．、当8ずη1 413°2°13？ 3°4°°°
図4−b高次モード電力反射係数対入射角
Fig．牛b Power reHection coe缶ciens（higher modes）vs． angle of incidence．
大きい方が，特性に大きな変化を与える。すなわ 一ドが伝搬する。4°近くで，η一＋1モードがカ ち，共振条件から離れる。なおα／λ一1．05では入 ットオフになり，64°近くで，η一一2モードが伝 射角が0°近くでは，η一十1，−1の二つの高次モ 搬モードとなる。
1，0
。↑
α8 2
血ら 0．6 一
工
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02
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θ→ヨR・・1λ・麦一｝・o
｝一一桐・美一1・。・ 1 1％一・・1
㌧叉竺ll：／パ ／㌘1∴
t ，
1 」 プ0
1
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． 、 ！
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1 09ゆ 2・ 30°4・°50 6・°7ρ゜8ρ゜9・
図5−a 電力反射係数対入射角
Fig．5−a Power renection coemcients vs． angle of incidence・
］
08 ＿IR．．tl、旦＝1．。 …・ IRHI㌣ユ ・夕
1．0
，．＿ ・ 入
か ロ ロひコ
主σ6 −一一一IR司已・1・。5 ： ＼、
凶 バ ピグ ヘ ヘ コ
詮餌 、／ ＼・、 i ：
一 ＼ ： ，一一、
、 ・ ／ ㌔
0・2 ＼i！ 、∴
、 、，ノ ㌧
、 ¶
θ∴ポ、。・2。・3。・4。・…6・・7ρ゜，8・°？・°
，一・・
θo−「一ケ
図5−b 入射角対高次モード電力反射係数
Fig5−b Power renection coemcients（higher modes）vs．飢gle of incidence．
1．0
08
0．6
0．今
o、2
0
1礼，r ％二゜・8δ1
％＝°・｛
％＝°・c
％＝1・33，る ％＝1・θ ％『・3・°
ε∫ エ ε3
。°10°20°30°40°SO°60°ヤ。°8。°9。°
図6 電力反射係数（ドミナントモード）
Fig，6 Power reHection coe伍cient（domi顕nt mode）vs・angle of incident・
86
図6は，誘電体が装荷された場合である。ドミ
ナントモードの電力反射係数のみを示したが，約 参考文献
14°近くで，η一一1モードが伝搬モードとなる、） ユ）A・IIessel and A・A・01iller： A New Theory
この近く・すな抽一一・一ドが伝搬一ド ㌶ld；，農晋ぷ…艦三＝：
となる。この近く，すなわちη一一1モードが 2）S．J． Smith and E． M． Purcell： Visible light Rayleigh波長となる近くでの異常回折は，誘電 f「om localized surface charges moving across
体の厚み（1）に非常に影響される。…・モード 19藍二t Phy飢Rev・V° 暗N°晒
の電力係数の大きさは，｜R、．、12＋IR。一、12−1の関係 3）G． H． Knittel， A， Hessel and A． A． Oliner：
から分る、，回折特性は，導波管部および誘電体 Element Pattem Nulls in Phased A「「ays and
部での蝦牛縮・あら繍るのでノド常に＝な 霊漂lllt：鵠晶llded Waves IEE輌 ・
る。 4）北巨，板倉，安浦： 導体板上におかれた誘電体 を蔽う無限格子による平面波の異常回打， 信学へ，
結論 アンテナ・伝播研資A・P68−52（1968−12）．
5）北島，板倉，安浦： 誘電体上の平板回折格子に 短絡された導波管列上の平板格子（誘電体で装 よる平面波の回折 信学会，アンテナ・伝播研資，
荷されている場合も含めて）による回折波を，す A°P69『8（1969−06）
べての高次一ドを考慮に入れ蹄異積分耀式 6）格鑑鷲織認罐慧璽瓢
の解法を用いた。 稿中（論文採録決定）
導波管部および誘電体部での共振による回折特 7）B L Diamond： A Gene「alized APP「oach to
猷かりでなく塙次モード醗生するR・y1・ 蹴＝：lll鷲 ：。11鑑a；。：1㌶8三nt〜
eigh波長による異常回折の特性が明らかになっ 8）V． Galindo and C． P・Wu：Dielectric Loaded た。なおこの解法は導波管列アンテナより，日由 and Cove「ed Rectangula「Wavegvide Phased
空間側へ醐に電滅放射させるためのインピー 無：yピ Be system TecU J°u「naL Janua「y
ダンス整合問題にも応用できる。おわりにこの研 9）L．Lewin： On the Resolution of a Class of 究に当り御指導をうけた九州大学教授安浦博士な WanSguide Discontinuity P「oblems by the Use of Slngular Integral Equations ， LR．E， Trans．らびに熊本大学助教授板倉博士に厚く感謝の意を M．T．T．， Julyユ961，
表します。
