岡山大学算数 ･数学教育学会誌
『パ ピルス』第10号 (2003年)35貢〜42頁
選択数学で何 をめ ざすか
中学校第 1 学年における選択数学 を例 に
川 上 公 一 倉敷市立南中学校
‑ 要 約 ‑
選択数学の学習 では,必修 の数学で学習 した内容 を発展 させ た り,その周辺 に ある問題 に取 り組む ことによ り既習内容 を深 めた り,あるいは学習 した内容 を具 体化 .実用化 した りす る活動 を年間指串計画 と評価規準 に基づ き,系統的 に行 つ てい くことが重要であるO興味 .J軌 L.の個人差お よび達成度 と しての学力差 を生 徒 の特性 と して とらえ,生徒の特性 を発揮 させ, さらに伸長 させ る選択教科 のあ
l 選択数学で何 を目指すか
選択教科 と しての数学(以下選択数学)で は,次の 目標 を立てて取 り組んでい く｡
①生徒の主体的な学習を促 し,数学的な見方 や考え方の育成 を図るo
②数学的活動の楽 しさや実用性 を感 じ,問題 解決能力 を伸ばす ことができるよ うにす るo
ね らいを達成す るために,生徒の特性等 に応 じて課題学習,作業,実験,調査,捕 充的な学習,発展的な学習 な どの多様 な学 習活動 を展開 していきたい｡
中学校で選択教科が始まった ころには, 数学的活動の数学的活動の楽 しさを味わ う ことが学習の主眼 とな り,課題学習 と して ゲームやパズルの よ うな トピック的な学習 課題 を取 り上げることが多 く,評価規準 も 明確でない場合が多かった｡ しか し,必修 教科 と しての数学(以下必修数学)の時間の 削減な どのカ リキュラム編成 の変化 に伴い, 選択数学において も必修教科 との関連や数 学 としての系統性 を一層求め られ るよ うに なってきた｡
必修 の数学で学習 した内容 を発展 させ た り,その周辺 にある問題 に取 り組む ことに よ り既習内容 を深 めた り,あるいは学習 し た内容 を具体化 ･実用化 した りす る活動 を 年間指単計画 と評価規準 に基づ き.系統的 に行 ってい くことが重要 である｡ その上で 数学的活動の楽 しさや有効性 を感 じること ができるよ う学習 を展開 していきたい｡
貨料1 個に応 じた学習支援 学習指導要領改善の基本方針 の1つは, rゆ と りのある教育活動 を展開す る中で, 基礎 ･基本の確 実な定着 を図 り,個性 を生 かす教育 を充実す ること｣である｡ この方 針 に基づ き,一人一人に応 じた きめ細やか
‑35 ‑
な指導 を行 い, じっ く り学習 に取 り組 む こ とが嘉要にな る｡
生徒 一人一人 の よさや 可能性 を伸 ば し, 個性 を生かす教 育の一層 の充実 を図 るため, 生徒 の興味 ･関心 を生か し,主体的な学習 の充実 を図る とともに.個に応 じた指導の 工夫改善 を図 る必要が ある｡生徒 はそれ ぞ れ能力 ･適性 ,興味 ･関心等が異な り.設 定 した 目標 を達成す るためには,それぞれ の生徒 に応 じた適切 な指導方法や指導体制 の工夫が必要 となるか らである｡
2 甫 中学校 における遠択教科の構成 本校 の選択教科 のね らいは
,
｢興味 ･関 心の個 人差 ･学習意欲 ･学習態 度 ･学習 ス タイル の個人差 ･学習速度 ･学習の仕方 の 個人差 お よび達成度 と しての学 力差 を生徒 の特性 と して とらえ,選択履修 を通 して, 生徒の特性 を発揮 させ .さらに伸長 させ る｣ことである｡
選択教科の実施にむけての基本的な考え (1) 学習指斗要領における選択履修の扱い
･ 生徒の特性等に応 じたよ うな学習活動 が展開できること｡
･ 学習指導要領に示す内容に3.もづ くもの であること｡
･ 学習活動を学校において適切に̲T̲夫 し て取 り扱 うこと｡
(2) 適択教科のね らい
興味 ･関心の個人差 ･学習意欲 ･学習 態度 ･学習スタイルの個人差 ･学習速度 ･ 学習の仕方の個人差および達成度 として の学力差 を生徒の特性 として とらえ,選 択履修を通 して,生徒の特性 を発揮 させ,
さらに伸長 させ る｡
第 1学年 では,確 かな学力 を身 につ ける ことを 目指 し,国語 ･社 会 ･数学 ･理科 ･ 英語についてそれぞれ 【補充 日 光実】の2
コー スを設 け,5教科10講座 で開設 したO
【補 充】コー スは ｢努力 を要す る と判 断 され る｣段階 を ｢おおむ ね満足 できる と判 断できる｣段階 に引 き上げ るこ とを,【充実 】
コースは
, r
おおむね満足 で きる と判断 でき る｣段階 を ｢十分満足で きる と判断で きる｣ 段階 に引き上げ,
｢十分満 足でき ると判断 で きる｣段階 をさ らに深化 ･拡張す ることを目指す｡
3 ガイダンス機能の充実
国防 狭僧学習,総合的な学習,表現の能 力を高める学習
社 会 分野間にわたる学習,自由研究,作 薬的な学習
数学 陳腐学習.作業,実験, 坤科 妹噛研究,野外観秦,実敦
英 籍 補充.深化,書籍活動をより深め豊
資料 2 学習活動の計画 中学1年生になって,生徒 は興味 ･関心 に基づ き.学級 の枠 を超 え,異 な った教科 を異なった場所 で学習す る選択教科 を初 め て体験す る｡
そのため,選 択教科 の意義や 開設 教科 , 発展や フィー ドバ ックす る学習内容 ,個 に 応 じた学習方法 な どにつ いて十分 に周知す る必要がある｡本年度 は教育課程 を見直 し, 第 1学年 は,第2学期 か ら選択教科の時 間 を始 め ることに した｡
【英静 ,充実】
英籍の表現活動があまりできなかったので, 練習したいと思つたから○毛記休に興味があ るので学習したいと思つたから○
【数学 一補充】
まだ.正の数 .負の数がわからないところが 多いので.数学の補充でがんばりたいです｡
資料3 選択の理由の例
第1学期 末 に各講座 の担 当者 が作成 した シラバ ス を用 いて2時間扱 いでオ リエ ンテ ー シ ョン と希 望調査 を実施 したO希望調査 では, ど うしてそ の講座 を選択 したかの理 由を しっか りと書 かせ ,意職 の明確 化 を行 ったo その調 査 を も とに,保護者懇談 で生 徒 ･保護者 ･学級担任 の3者 で相談 ･検 討
し,選択希望 講座 を決定 した｡
この よ うな ガイ ダン ス機 能 の充 実 が, 自分 を見 つ め る選 択 能 力 の育成 につ な が ってい く｡
教科 数学科 【 補充 】コース
学習目標 ･数量.解を深め,数柵区形に蘭する基棚 醸 しさ,敬の理 学的な見方や考え方のよさを知り,進 んで信用するb
学習内容 ･計葬紺野･今までに習ったところまでの復習
･課頓研究
学習計画 ① 正負棚 rNこ一九､て発展的.応 脚 に習熟するo (塾 朔
研究
③ 文事乃式.匪形 .比例.反比例の学 習の補充
その他 ･撃冨分数や小数の計昇でつまずいている2用具 .ファイル 人に もう.一度′1年校棚 ､らじつく
資料4 シラバスの例 4 数学科 での実践
生徒 が 自ら選 択 す る選択数 学 では,知的 好 奇心 に こた える課題 を扱 いやす い｡ 学習 課牌 の取組 を通 して,学習 に対す る満 足感 や 充実感 をよ り深 く味 わ え るよ うに したい｡
必修 教科 で取 り上 げに くい内容 も,取 り上 げ ることがで きる｡
授業展 開 に 当た って,次 の よ うな工夫 を
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しなが ら年 間指導 計画(資料5)を作成 した｡
① 学習 内容 の発展 を 目指す コー ス を設 定 す る｡
② 学習 内容 の補充 を 目指す コー スを設 定 す る｡
③ 作 業 ･実験 ･調 査 を行 い,実生活 との 閑連 を深 め るO
④
2年 ･3年 の内容や 高等 学校 の 内容 に 触れ る｡選択 数学 の評価 の観 点 は,生徒 の特性 等 に応 じた学習活動 を展 開す る とい う趣 旨を 生 か して各学校 で設 定す る こ とにな る｡ 本 校 の場合 ,必修 数 学の基礎 ･基本 の確 実 な 定着 を図 り.個性 を生かす教 育 を充実す る こ とを 目指 してい るため,評価 の観 点 は必 修数学 に準 じてい る｡
評価 基準の設定 に 当た って も同様 で あ る が,選 択 した生徒 の特性 を調査や テ ス ト等 で適確 に把握 し,育て たい具 休的 な力 を個 に応 じて設 定す るよ うに してい る｡
評価 の場 面 では,必修 数 学 と同様 に,授 業 中の観嶺 ･ワー クシー トや ノー トの 点検 な どが 中心 にな る｡レポー トの提 出 に よ り, 学 習内容 の定着や発 展 の度合 い も把握 す る｡
自己評価 ･相 互評価 も大切 に したい｡
従来多 くの場合 ,選 択教 科 で は,テ ス ト を実施 して到達 の度合 い を評価 す るこ とが なか った｡ この こ とが ,選 択教科 を教 師 も 生徒 も軽 く扱 う理 由にな ってい るので はな いだ ろ うか｡ 単元 のね らい と評価 基 準 に応 じた適切 な評価 テ ス トを作成 し,定期 的 に 実施 してい くこ とは 当然 で あ る と考 え る｡
評価 結果 は適 宜 フ ィー ドバ ック して い く｡
5 実践 の例 (1) 計 画
年 間指導計 画 に基づ き,充 実 コー スの 課題研 究の実践例 を示す｡課臨研 究 は12
時間 で計画 してお り,次の よ うな計画 を 立てた｡
活動の課題 時数
三角形のこまを作ろ う 1 四角形のこまを作ろ う 1 外接円を作図 しよう 1 内接円を作図 しよう 1 正三角形 .正六角形 を作図 し 1 よう
正四角形 .正八角形を作図 し 1 よ う
正五角形を作図 しよう 1 平面を正多角形で しきつめよ 5
ラ
学習指導要領 の改訂 によ り,必修数学 の図形領域 は大 き く変化 してい る｡第1 学年 には,小学校 よ り ｢対称 な図形 ｣が 移行 してきている｡ また,円についての 内容 も追加 されてい る｡ そのため, コン パス と定規 に よる作図の時間 を十分 とる ことがで きない｡作図 は,ユー ク リッ ド 娘何 学 の基本 となる作業であ り,選択数 学の学習の中で ｢どうしてコンパス と定 規だけなのか｣を理解す るよ うに したい｡
また,数学 史的 な内容や興味深 い トピッ ク も豊 富 に あ り, 図形 学 習 に対す る関 心 ･意欲 を喚起す ることもできる｡
重心 ･外接 円 ･内接 円な どは､従来第 2学年 ･第3学年 で取 り上げ られ ていた が,削除 され た り軽減 された りした内容 であ る｡これ らも,作図 として取 り上げ, 作業 を行 うこ とを通 して,論理的 に考 え てい くことの面 白さや 図形の美 しさに気 付 くよ うにす る.
正五角形の作図は,多角形 の内角の性 質,合 同 ･相似 ,平方根 ,三平方の定理 な ど中学校 で学習す る内容 を総合 した も
のであ り‑第1学年 の生徒 に とっては, その根拠 を理解す るこ とは難 しい｡ しか し,その よ うな高度 の学習内容 に触れ た り垣間見た りす ることによ り,数学の発 展の見通 しや学習継続 ‑の期待 感 をは ぐ
くむ機 会 とな る｡
作図 を通 して,正多角形 に興 味 を もた せ た上 で,正多角形 に よる平面の しきつ めを実施す る｡ 各 自で しきつ め方 を考 え 自己追 究を行 ってい く｡色やデ ザインな どを設 定す ることは,美術科 との関連が 深 く,数学の よ さを感 じることもで きる｡
美術科 の教師 とのテ ィー ムテ ィーチ ング を実施 したい｡
(2)三角形の こまを作 ろう
T; 今 日は2時間続 きの選択数学だね｡新 し い内容に入 りますo予定は12時間です｡図 形をね｡作っていくんだ｡その中で数学っ てどうい うよ うに考えてい くかに気がつい て欲 しいんだ｡ですか ら,当分計算はな し｡
これからね｡三角の厚紙 を配 ります｡ これ でこまを作 るんだよ｡
S ;
遊んでいいの｡T; そつOだけどその前に考えない といけな いことがあるよねO軸をさす ところはどこ だろう｡
S ;
中心日T; どこが中心なのo
s ;
対角線をひけばいい｡S ;
対角線なんて三角形 にないよ｡S ;
｡S;正三角形な らわかるんだけど･‑0 T;正三角形な らどこなの｡
S ;
頂点 と辺の真ん中をつないだ らいいo T; なるほど｡だけど誰 も正三角形 じゃない｡S ;
バ ランスをとってみればいいんだ｡T;00君のよ うに指の上に乗せ て,実際 にバ ランスの取れ るところを見つければ いいんだね｡やってみ よ う｡
T;それでは,作図す る方法を考えよう｡
まず,頂点 と辺の井ん中をつないでみ よ う03本ひけるねDきちん と測るんだよ｡
T; 引けま したかo頂点 と辺の真ん中をつ ないだ3本の線は1点で交わ ります｡ こ の点を重心 といいます｡バ ランス取れて る??
T; 線の長 さを測ってみ よう｡何か気がつ いたことがあ りますか｡
S ;
長 さが2倍になっている｡S ;
6つの三角形の面積が同 じような ‑ T; こ ういったことが重心の性質なんです｡S ;
3本 ひかな くて も2本 でいい と思 う｡T; そ うですね｡ それでは重心にマ ッチ棒 をさして,こまを回 しま しょう｡
T; いつもや ってることなんだけど,この 学習練磨 を発展 させま しょう｡ どう発展
させ る??
S ;
四角形のこまを作ればいい｡T; 次の時間の妹題 だね｡
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( 3 )
正 多角形の しきつめ必修数学での課周 学習 と して実施す ることが しば しば見受 け られ る教材 で あるが,選択教科 で実施 した｡ 作図 を 通 して,正多角形 に興味 を持つ ことが で き.各 自で しきつ め方 を考 え 自己追 究 してい くこ とができるか らであ る｡
この授業は, 1種類以上 の合 同な正 多角形 を使 って平面 を しきつめてい く 作某 であ る｡ 平面図形の概念や性 質 を 確認 し,平面図形 にお ける数学的 な考 え方 を凍 うこ とがで きる. また,建築 物 な どの身 の回 りの しきつ めの例 との I娼連 を考えるこ ともで きる.
1種類 の正多角形 の しきつ めか ら考 え, 1つ の頂 点に集 ま る角 の和 が360 度 にな らなけれ ばな らない こ とに気付
くよ うにす る｡ 次に1種類 では しきつ め ることができない正多角形 で も,也 の正多角形 と組み合 わせ るこ とに よ り,
しきつ めができるか も しれ ない こ とに 気付 くよ うにす る｡ この段階 で,いろ いろな しきつめ方が あるこ とに生徒 た ちは興味 を示す｡
ノー トにかいて考 えていた図形 を, 実際 に手に持 ち,並べ てい く活動 は新 鮮 で,意欲的 に取 り組 める｡ また,読 行錯誤 を繰 り返す 中で,論理的 な考察 ができるよ うにな る｡
最後 に全体 で完成 した しきつ めを鑑 賞 し,発表会 を行 う｡ 興味 を持 った生 徒 は, しきつめが何通 りあ るか検討 し た り,空間図形 に発展 し▲正多面体や 準正多面体 を作 る活動 を行 った りす る こ とができる｡
6 おわ りに
生徒 が学ぶ こ とを楽 しい,お も しろい と感 じるのは どんな ときだろ うか｡
･自分の考えた方法で学習を進 めて いる｡
･自分で試行錯解 しなが ら学習を進 めている｡
･自分でいろいろ工夫 しなが ら学習 を進めている｡
･自分の考えがみんなの学習に生か されている｡
･みんなの考 えの中か ら,新 しい 自分 の納得が生まれ るQ
この よ うな授 業では,生徒 が活発に発 言 し,諌論が生 まれ.そ して充実感や効 力感 を味わ うことができる｡私 たちが 目 指 したいのはその よ うな学習である｡
｢確 かな学力｣ とは,社会の変化 の中 で主 体 的 に生 きて い くた め に必要 な基 礎 ･基本 を しっか りと身 に付 け,学ぶ意 欲 ,思考力 ,判断力 ,表現力等 まで含 め た其 の意味での学力 である｡学習指導要 領のね らいは,基礎 ･基本 を しっか りと 身 に付 け させ ,それ を基 に, 自ら学び考 える力 な どの ｢確 かな学力｣ を育む こと にある｡ 一人一人の理解 や習熟 の程度等 に応 じた きめ細 かな指導 を行 い,その中 で.基礎 ･基本 の徹底 のための繰 り返 し
指導や , 7‑どもたちの力 をよ り伸 ばすた めの発展的 な学習 を行 うことが重要 であ る｡
選択 教科 においても大切 なのは, 日々 の授業 を充実 させ るこ とであ り,そのた めの授業研 究 ･教材 開発 であ る｡確 かな 学力 を身 に付 け るために,今後 も支援活 動 ･授 業の工夫改善 .評価 と指導 の一体 化 を継続的 に行 っていきたい｡
《参考文献》
[1]北尾倫彦他,『観点別学習状況の新評価 基碑表 (数学)』(2002),図8文化 [2]文部科学省,『個に応 じた指導に舶する
指単葉料』(2002),教育出版
[3]大月,川上,金光,平野
,
｢数学的な見 方や考え方の よさを 自覚 し創 造性 を発 揮できる生徒の育成｣,岡山大学教育学 部附属中学校研究紀要第27号 (1996)資料5
第 1学 年 選嘩敵 科 年間指導計画 ･野師規準 数学科 倉敷市立南中学校
1 教 科 の 構 成
指 導 者
川上 公一 l ‑ 徒数 47名2 教科の 目標
教
目標科
得 し,事象を数理的に考察す る能力を高めるとともに,数学的活動の楽 しさ,数学的な見方や考え方数駄 図形な どに関す る基礎的な概 念や原理 .法則の理解 を深め,数学 的な表現や処理の仕方を習数学‑の関心 .意欲 .憾 数学的な見方や考え方 数学的な表現 .処理 数丑,図形 な どについて
度 の知織 .理解
数学的な事象に関心をも 数学的活動 を通 して,数 事象 を数量,図形 な どで 牧丘,図形 な どに関す る つ とともに,数学的活動 学的 な見方や考 え方 を身 数学的 に表現 し処理す る 基礎的 な概 念や原理 .法 の楽 しさ,数学的 な見方 に付 け,事象 を数学的に 仕方や推給の方法 を身に 別 な どについて理解 し,
や考 え方 の よさを知 り, それ らを事象の考察に進
んで活用 しよ うとす るn とらえ,論理的 に考えるとともに思考の過程 を振り返 り考えを深めるD 付けているo 知識 を身に付 けているo 4 ね らいと評価規準
単元 単元のねらい 評価規坤
補充 充実
ガイダンス 学習のねらいと計画を理解 し､自己評価や評価テス トを適 して個に応 固 学習に関心をもち,すすんで活動 しよ じたコースを藩択するo 回 自己評価に基づきコース溝択できるうとする0 q
正負の 数の補
充と深化 数の油頚を拡張して,計井の可能 数の問 を拡張して.朴井の可能 国正の数 .負の数の四則計算に.意欲を 性を広げ,数についての処理がで 性を広げ,処理が手際よくできる もって取り組もうとする.
きるようにするoそのために, ようにする8そのために, 囲 正の数 .負の数の四則計第のきまりを ア.負の数の意味を理解し,必要 ア.負の数の食味,必野性と有用 導くことができる.
性と有用性を知るようにする○ 性が説明できるようにする. 囲 正の数 .負の数の四則計如 け きるo ィ.四則について理解し,基本的 ィ.四則を理解し,発展的 .応用 困 正の数 .負の数の四則計井のしかたに な計井ができるようにするo 的な計策ができるようにするo ついて説明できるo
現題 ①生徒の主体的な学習を促 し,数学的な見方や考え方の育成を図るo 囲 数学的活動の楽 しさ見方や考え方のよ
②主体的に取り組む態度の育成を蕗院し,数学的活動の楽しさを味わ さを知り活用しようとするo
えるようにする○ 画 数学的活動を通 して.倫理的に考えJ
③数学のおもしろさや実用性を感 じ 問題解決能力を伸ばすことがで 深めることができる○
‑41‑
①数の範囲を正負の数まで拡醸 し.数の放念についての理解を深 め.文字を用いることの意鼓及び 方程式の意味を理解する｡
②宮形についての観象.操作や実 験を通 して,図形に対す る直観的 な見方や考え方を身に付ける｡
③具体的な事魚 を調べることを 通 して,比例.反比例の見方や考 え方を身に付ける｡
①文字を用いることの意鎧及び 方稜式の者味を理解するととも に.数量などの関係やた始 りを一般 的に簡常に袈現 し,処理できるよ
うにす る｡
②平面図形や空間図形について の見方や考え方を深め,陶埋的に 考察できるようにする｡
③比帆 反比例の見方や考え方を 深めるとともに.数丘の関係を表 現 し考察できるようにする｡
囲 数 学 的 に考 え る こ とに 関 心 を も ち,問鰭 の解 決に活用 しよ うとす るQ 囲 数 学的活動 を通 して , 基礎的 な知 職 と技 能 を確 実 に 習 得 す る と と も に.数 学的 な推論 の方 法 を用 いて論 理的 に考察で きる｡
困 正 の数 ･負 の数 の 四則 計算や 基 本 的 な図形 の作 図が で き,方 程式 な ど を用 いて処 理 した り
,
推論 の筋道 を 簡潔 に表現 した りで きる｡画 正 の数 .負 の数 文 字 を用 い る こ との意義 ,一 元 一 次方 程 式 ▲平面 図 形 につ いて の性 質や 関係 ,空 間 にお け る図形 の位 置 関係 ,比例 ･反 比例 の関係な どを理 解 してい る｡
選択教科における観点別評価においては,｢数学‑の 牌心 ･音欲 ･態度｣は ｢関心 ･意欲 ･態度｣,｢数学的な表現 ･処理｣は ｢表 現 .技能｣,r数学的な見方や考え方｣および ｢数札 斑形などについての知指 ･理解｣は ｢思考 ･知臨 ･理解｣ と表現する0
5 指導計画
単 元 学 習 の内容 時数
ガ イ ダ ンス ･ねらいと計画の説明 2
･評価テス ト
正負の軟の補充 と深化 正の数負の数の四則針弁についての補充 .深化 6
裸 摩 研 究 興味関心に応 じて自ら昧蛭を設定 し､考え,判断 し毘欄 の解決を図る 12
学 習 の 補 充 と 深 化 ｢rAB数 と式｣についての補充 .深化図形｣についての補充 .深化 33
｢c数丑髄係｣についての補充 .深化 3
単元のまとめと呑平価 .反省 1
(平成15年10月10日受理)
