第11章　振動　(6/30)

第１１章

振動

車の振動 分子の振動 心臓の鼓動 波 波紋

振動と波動

2A 2A 単振動： ばねで重りを吊し、これを 引いて放すと正弦波様の往復運動 を始める。この運動や、柱時計よう な単振り子による運動を総じて単振 動という。 減衰振動： ばねや単振り子の振動 は復元力、摩擦力、空気の抵抗が 働くので次第に振幅が小さくなる。こ の振幅が小さくなる振動を減衰振動 という。

振動の種類

r/m=2b r:抵抗係数 m:質量 外力の振動数 _{p と振幅 C の} 関係を示すと、p が ₀ に近づ くにつれて振幅は急激に大きく なる。この現象を共振(共鳴)と いう。 強制振動： 振動体が固有の振動数で 自由振動をするとき、外から周期的な力 を加えると２つの振動を重ね合わせたよ うな振動をする。自由振動は減衰するが、 外からの力による振動はいつまでも続く。 これを強制振動という。 共鳴（共振）： 強制振動における外力 の振動数を、振動体の固有振動数に近 づけると、振動体の振幅が極めて大きく なる。この現象を共振または共鳴という。

振動の種類

弦楽器を弾く

ブランコをこぐ _{ブランコを押す}

鐘を鳴らす

一方を動かすと他方も動く

パイプオルガンの音はなぜ響くか？

Ａの音叉を鳴らすと、Ｂも鳴り始める

Ａの音叉を止めても、Ｂは鳴り続ける

sin x A  d _cos dx A  2 2 d _sin dx A  x cos x A  d _sin dx A  2 2 d _cos dx A  x ※ ２ 回 微 分 す ると、符号が逆 で 同 じ 形 に な る。 t   d dt  を代入して、tで微分すると sin x A t d _cos dx At   t 2 _{2 2} 2 d _sin dtx A t  x cos x A t d _sin dxt A t 2 _{2 2} 2 d _cos dtx A t  x なので、 ※どちらも、 の形になる。 2 ₂ 2 d x _x dt 

正弦曲線、余弦曲線

0

sin(

)

x A



 

t



d

_cos(

₎

d

x A

t





 

t



d

_sin(

₎

d

x

_A

_t

t

x



 



 



 

2

/T

2

f











正弦波の一般式

バネなどの弾性体を、つり合いの位置からずらすと、 弾性限界以下の変位 x に対して、復元力 F は、 （変位xと復元力 F が逆方向成分なので、負になる）と なり、これをフックの法則という。なお、_k はバネ定数を 示す。 質量 m の物体が原点_{Oから進行方向に} x 軸をとり、 一定の加速度を a で動くとき、ニュートンの運動の第 ２法則₍F = ma)から次に運動方程式が得られる。 これらの式から、ばねの先端につけられた質量 mの 物体が単振動の運動をするとき、その運動方程式は 次の式となる。 2 2

d

d

x

m

ma

t



d

d

x

m

kx

t

 

F

 

kx

フックの法則と単振動

前の式を変形すると、 となり、正弦波 x = Asin(t + ₀₎ の２階微分と同じなのがわかる。 より、 また、t = 0 のとき x₀ = A とすると、 Asin₀ = A より、₀ = /2となり、 このバネの振動は、 と表せることがわかる。 2 2

d

d

x

_{k x}

m

t

 

d

d

x

_{k x}

_x

m

t

 

 



k

m





k

m





2

sin(

k

)

cos

k

x A



_m

t







A

_m

t

フックの法則と単振動

単 振 動 も 回 転 運 動 も 横 か ら 見 る と 同 じ 周 期 的 な運動。 単振動の周期 T、角速度  とす ると、 なので、 また、振動数（周 波数） _f は、 となる。

2

T







2

₂

m

T

k



_







1

1

2

k

f

m

T



 

単振動と回転

運動エネルギー 位置（弾性）エネルギー 2 1 2 K  mv 2 1 2 U  kx 振動の端 にいるとき 振動中心 にいるとき 変位 x x_m（最大） ₀ 速度 v 0 v_m（最大） E = K + U 12kxm2 12mvm2 エネルギー保存の法則より、 2 2 1 1 2kxm 2mvm ※振動の途中の状態でも、エネルギー 保存の法則は成り立つため、常にE = K + Uとなる。

振動のエネルギー

5cm 2kg 図 の よ う に _{2[kg] の重りをつるすと} 5[cm] 伸びるバネがある。このバネに 1[kg] の重りをつけて振動させると、その 周期はいくらになるか。ただし、重力加速 度を g = 10[m/s2_{] とする。}

練習問題

C A B C A B

x

練習問題

  mg l x F_t T 図のように鉛直方向から角度  のとき、振り子の 振れる接線方向には質量 m のおもりに働く重力に より、 の力が働く。また、振り子の振れ幅 x はひもの長さを l とすると、x = lꞏsin となるので、F_t は x を用いて、 と表すことができる。これはばね定数 のばねに対応するので、この振り子の周期 T は、 と求めることができる。これより、振り子の周期と振り 子の長さを測れば重力加速度の値を求めることがで きる。 sin t F mg  t mg F x l  mg k l  2 m 2 l T _g k    

振り子の運動