資産の数が3つの場合の平均・分散分析でリスクフリーなポートフォリオが存在する条件について
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(2) 第54巻 1.始. め に(研. 究 の 動 機,本. 稿 の 粗 筋,謝. 私 が マ ー コ ヴ ィ ツ(Markowitz)の た の は 遠 い 昔(昭. 第3号. 辞)本. 稿 は表 題 の件 に つ い て の論 考 で あ る。. 平 均 ・分 散 分 析 に よ る ポ ー トフ ォ リ オ 選 択 理 論 を 知 っ. 和45年 頃)の. 数 理 計 画 法 の 授 業 で 二 次 計 画 法 の 応 用 問 題 と して 習 っ た と. き で あ る 。 そ の と き に は も う既 に マ ー コ ヴ ィ ツ に よ る 著 書 の 翻 訳(昭 監 訳)は. 出 版 さ れ て い て,私. は,そ. と き 初 め て 認 識 し ま した が,私. の 授 業 で も 習 っ た と 思 う が,分. 和44年)(鈴. 木雪夫. 散投資の重要性 をその. の 関 心 は専 ら二 次 計 画 問 題 の 解 法 に あ って 私 に と って は経. 済 学 上 の 意 義 な ど は 二 の 次 で し た 。 私 は 二 次 計 画 問 題 の 良 い 解 法 を 編 み 出 す こ とが OR/MSの. 使 命 で あ る と 考 え て い ま した 。 そ の 理 論 が 資 産 運 用 に 応 用 で き る こ と が 唯 一,. 私 に と って,そ. のOR/MS問. 題 の実 用 乃至 は応 用 性 だ っ た よ うな 気 が して い ます 。 そ の. 後 そ の 分 野 が 数 多 くの 研 究 者 を 巻 き 込 み,発. 展 して,元. 祖 の マ ー コ ヴ ィ ツ が1990年. ベ ル 経 済 学 賞 を 受 賞 す る に 至 っ た こ と は 驚 き で した 。 そ の 分 野 は,経 一一部 で あ る が. ,今. やOR/MSの. の ノー. 済 学 で は金 融 理 論 の. 研 究 者 を 巻 き込 む こ とで 経 済 学 的方 法 の 枠 を 越 え た様 々. な モ デ ル 設 定 で 類 似 な 問 題 が 自 由 に 考 え ら れ る よ う に な っ てOR/MSの. 一 分 野 にな っ た. こ と は 周 知 の 通 りで す 。 そ れ で 私 は 数 学 解 析 が 不 得 意 な 経 営 学 部 の 学 生 に も そ の 考 え 方 は 分 か っ て も らわ な け れ ば な らな い と 考 え,そ. れ を 文 科 系 の 授 業 枠(経. 営 統 計 論)で. 学 の レベ ル だ け で 紹 介 す る 試 み を して み ま した 。 採 用 した 教 科 書,福. 井(1998;97頁. 題8.6.1)の. 散 が0の. 中 で 二 資 産 の 運 用 の 数 値 例 で リ ス ク が フ リー,つ. ま り,分. 初等数 の例. ポ ー トフ ォ. リオ が 構 戒 さ れ て い る の を 見 ま し た 。 そ れ で 福 井 氏 の 感 想 同 様,「 こ れ は す ご い 」 と 感 じ ま した 。 リ ス ク フ リー な 資 産,つ 債 が 有 る 訳 で す が,私. は,昨. ま り,安. 今 の 金 融 市 場 の 余 りな 低 金 利,預. な 運 用 実 績 や 怖 い 財 務 内 容 や2005年 謳 わ れ て い る 訳 で す が,そ. 全 資 産 の モ デ ル と して 銀 行 預 金 や 郵 便 貯 金,そ. れ に国. か り資 産 の 運 用 母 体 の 稚 拙. 度 か ら実 施 され た ペ イオ フで 利 用 者 は 自 己責 任 を強 く. う い っ た こ の 頃 の 経 済 情 勢,風. 潮 を 見 て 政 治 的 な制 度 の 支 え な. しで 存 続 し得 る リ ス ク フ リー な 資 産 が こ の 世 に 本 当 に 存 在 す る の か と 疑 っ て い ま す 。 私 は, 更 に,マ. ー コ ヴ ィ ツ の 平 均 ・分 散 分 析 の 理 論 か ら 派 生 し たCAPMの. (1998;第8章))な. 理 論(Luenberger. ど は リ ス ク フ リー な 資 産 が 存 在 しな け れ ば 机 上 の 空 論 に な っ て し ま う. 訳 で そ う な ら な い た め に も 平 均 ・分 散 分 析 の 理 論 の 枠 組 み で リ ス ク フ リ ー な 資 産 は ど う い う 時 に 存 在 す る の か が 答 え ら れ な け れ ば な ら な い と 考 え る よ う に な り ま した 。 そ う い う 訳 で 本 論 文 の 解 析 を 始 め ま した 。 用 語,方. 法 論 に つ い て 気 に な る こ と が 少 し 有 り ま す 。 マ ー コ ヴ ィ ツ の 平 均 ・分 散 分 析 の. 理 論 の 対 象 はRO1(こ. れ はReturnOverInvestmentの 一80(250)一. 略 語)と. い う 量 で こ れ は 「投.
(3) 資産 の数 が3つ の場 合 の平 均 ・分散 分 析 で リス クフ リー な ポー トフ ォ リオ が存 在 す る条件 につ い て(林) 資 収 益 率 」 と 訳 さ れ て い ま す 。 「投 資 」 が"lnvestment"に "R. eturn"に. 対 応 して い て. 「収 益 」 が. 対 応 し て い る の は 言 う ま で も あ り ま せ ん 。 「収 益 率 」 は"rateofreturn". の 訳 語 で あ る。 そ の 意 味 す る と こ ろ は 或 る 資 産 へ の 投 資 に ま つ わ る 「収 益 額 ÷ 投 資 額 」 と い う こ と な の で あ る が,(そ. の 資 産 が 株 式 で あ れ ば)そ. の 分 子 の 量 は そ の 資 産 を 清 算 して. 売 り払 っ て し ま っ て 得 ら れ る 金 額 を 意 味 す る も の で そ れ は そ の 投 資 全 体 の パ フ ォ ー マ ン ス (効 率)を. 表 す 量 でLuenberger(1990;138頁,翻. る。 しか し,個. 資 家 が 自 分 もそ の 価 格 で 取 引 し た と し た と き)の. ÷投 資 額 」 と い う 量 を 使 っ て 行 わ れ て い る 。 こ れ はLuenberger(1990;. 訳 書 で は174頁)で. の γと い う量 で あ る。 後 者 の 量 が 私 は 「投 資 利 益 率 」 と 呼 ぶ. べ き も の で あ る と 考 え て い る 。 私 は そ も そ も"Return"の 「利 益(profit)」. 意 味 に 「収 益(revenue)」. と. の 両 方 が 有 る の が そ の 混 乱 の 根 本 原 因 で あ っ た と思 っ て い る 。 因 み に,. マ ー コ ヴ ィ ツ の 原 著 の 翻 訳 書(鈴. 木 雪 夫(昭. 和44年))の. 中 で は"Return"は. 訳 さ れ て い る 。 「報 酬 」 と い う の は 「他 人 の た め に 何 か(仕 る お 礼(の. い う量 で あ. れ は現 実 に は や られ て いな い と私 は考 え て い る。 実 証 分 析 は期. 間 毎 に 成 立 し て い る取 引 の 価 格 か ら(投. 138頁,翻. のRと. 々 の 株 式 の 取 り 引 き で の こ の 量 の 解 析 は 個 々 の 取 得 金 額 と保 有 期 間 は デ ー. タ と し て 入 手 が 難 し く,そ. 「(収益 一投 資)額. 訳 書 で は174頁)で. 金)」(新. 明 解 国 語 辞 典,第5版,三. 省 堂,1997)で. 事)を. 「報 酬 」 と. し た こ と に 対 して 受 け. あ る か ら そ の 訳 は 何 と も違. 和 感 が あ り ま し た 。 辞 書 語 は 注 意 深 く使 う べ き で あ る 。 私 は 同 様 な 理 由 で 金 融 理 論 の 中 で 「金 利 」 と い う 言 葉 が よ く使 わ れ て い る の も嫌 い で あ る 。 そ れ は そ の 言 葉 が 「利 息(又. は. 利 子)」 と 「利 率 」 の 二 つ の 意 味 を 持 っ て い る か ら で あ る 。 意 味 が ハ ッ キ リ し て い る 「利 率 」 と 「利 子 」 を 使 う か 又 は 曖 昧 な そ の 言 葉 を 使 う な ら ば 使 う 度 に ど ち ら の 意 味 か の 説 明 を 入 れ る べ き で あ る。 経 済 学 の 方 法 論 で 気 に な っ て い る 所 も有 る 。 そ れ は 二 資 産 の 理 論 の 復 習 の 所 で 指 摘 し ま す 。 本 稿 の 理 論 展 開 の 詳 細 の 一 部 は 註 と し て ダ ガ ー(†)の. 記 号 と註. 番 号 を 上 付 き 文 字 で 付 け て そ の 内 容 を 付 録 で 解 説 して い る 。 付 録 は 最 後 に 挙 げ た 参 考 文 献 の 後 に 続 い て い る。 さ て,投. 資 対 象 の 資 産 の 数 が η(≧2)の. さ れ る 。 投 資 対 象 を1か 資 利 益 率Xjは(平. な く σ1]=σj2で. ら η の 番 号 を 付 け て 識 別 す る と し て 各 資 産 ブ(=1,…,η)の. 均,分. 分 散 行 列 はQ=(σ1」)と. 場 合 の マ ー コ ヴ ィ ツの 問 題 は次 の よ うに記 述. 散)の. 組(μ. 」,σj2)が 存 在 す る 確 率 変 数 で そ れ ら の 分 散 ・共. 与 え ら れ て い る と す る 。 つ ま り,σ1,=Co刀(Xl,Xj)で. あ る σ=1,…,η)。. 投. 言 うま で も. ど の 資 産 ブ も μ 」>0で. な け れ ば 投 資 対 象 に 成 り得. な い の で そ う 仮 定 す る 。 こ れ ら の 資 産 の ポ ー トフ ォ リ オPを. 賢 く組 ん で 期 待 投 資 利 益 率. が 同 じで あ る な ら ば リ ス ク(=標. 準 偏 差)が. 最 小 な もの に投 資 す るの が合 理 的 で あ る とい. 一81(251)一.
(4) 第54巻. 第3号. う の が マ ー コ ヴ ィ ツ の 問 題 設 定 で あ る 。 そ れ ら の 資 産 の 組 み 入 れ 比 率 の ベ ク トル が コ じ= (∬1)(列 方 向 の 確 率 ベ ク トル)で リ オP(コ じ)の 平 均 値 を μp,標. μP=E(Σ. 」∬jXj)=ΣJ必. σP2=E(Σ. 与 え られ る ポ ー トフ ォ リオ をP(⑳)で. 準偏差 を. σpで. 表す と. (但. 」E(Xj)=μT∫. 」∬jX」)LE2(Σ. 散)効. し,μ=(μj)(列. ベ ク ト ル)). 」∬」Xj)=⑳TQτ. と な る。 マ ー コ ヴ ィ ツ の 理 論 で は ポ ー トフ ォ リオ の(平 を 測 る 。(平 均,分. 表 す 。 ポ ー トフ ォ. 均,分. 散)の. 組 で そ の投 資 の効 用. 率 的 な ポ ー トフ ォ リ オP(コ じ)と は 投 資 家 が 任 意 に 期 待 す る 与 え. ら れ た 投 資 利 益 率 μ を 持 つ ポ ー トフ ォ リオ の 中 で 分 散 の 値 が 最 小 な も の を 指 す 。 そ れ で 効 率 的 な ポ ー トフ ォ リオ は 次 の 数 理 計 画 問 題 の 最 適 解 と して 得 られ る 。. 目 的 関 数:ゴ. (1.1). 「Q卯 → 最 小 化. 制 約 条 件:μTκ=μ,. (1.2). 1Tコじ=1,. (1.3). π ≧0. (1.4). (QP). こ こ に,1は. 成 分 が1だ. け の η 次 元 ベ ク トル で 空 売 り 禁 止 条 件(1.4)が. な け れ ば,勿. 論,. そ の 条 件 を 外 して 解 くべ き で あ る 。 投 資 対 象 の 資 産 の 平 均 投 資 利 益 率 の 中 で 最 小 な も の を μmln,最. 大 の もの を. 待 投 資利 益 率. μpは. μm。.と 表 せ ば,(1.4)の μmi.≦ μp≦ μmaxを. 条 件 の 下 で は ポ ー トフ ォ リ オP(」 じ)の 期 満 足 す る 。 した が っ て,投. 資 家 が 任 意 に期 待. す る投 資 利 益 率 μ と言 っ て も. μmln≦. (1.5). μ ≦ μmax. で な け れ ば そ の 数 理 計 画 問 題 は 実 行 可 能 で な く な っ て し ま う。 し た が っ て,空 件(1.4)が (1.5)の (1.5)}の. 有 る と き は,そ. の 問 題 を 解 く前 提 と し て(1.5)は. 範 囲 に 在 る各 μ と各 μ毎 に 得 られ る最 小 分 散 内 で 同 じ σ2の. σ2の. 雑 把 に 言 え ば,{(μ,σ2):(1.5)}と. が 最 小 で あ る 点 か ら右 半 分 の 部 分 で あ る 。(経 済 学 で は)投 ま り,よ. 成 り立 っ て い る と 仮 定 す る 。 作 る 点 の 軌 跡{(μ,σ2):. 値 な らば大 き い方 の μを 対 応 させ る させ る もの は効 率 的 フ ロ ン. テ ィ ア と 呼 ば れ る 。 そ れ は,大. 小 さ い 方,つ. 売 り禁 止 条. り安 全 な 方 が 良 く て,そ. で あ る と 呼 ば れ て い る 。 ま た,分. い う点 の軌 跡 の分 散. 資 利 益 率 が 同 じな らば分 散 が. う い う投 資 行 動 を 取 る投 資 家 は 危 険 回 避 的. 散 が 同 じ な ら ば 投 資 利 益 率 は 大 き い 方 が よ り効 率 的 だ と. 考 え て い る 。 効 率 的 ポ ー トフ ォ リ オ と は 効 率 的 フ ロ ン テ ィ ア 上 で 選 択 さ れ る ポ ー トフ ォ リ ー82(252)一.
(5) 資 産 の数 が3つ の場 合 の 平均 ・分散 分 析 で リス クフ リー な ポ ー トフ ォ リオ が存 在 す る条 件 につ い て(林) オ の こ と で あ る 。 効 率 的 ポ ー トフ ォ リ オ の 中 で 分 散 の 値 が 最 小 で あ る も の は 分 散 最 小 ポ ー トフ ォ リ オ と 呼 ば れ る 。 与 え ら れ た 期 待 投 資 利 益 率 μ を 持 つ 効 率 的 ポ ー トフ ォ リ オ の そ の 最 小 の 分 散. σ2と. そ. れ を 与 え る 配 分 比 率 釜 を 与 え る こ と と効 率 的 フ ロ ン テ ィ ア そ の も の を 求 め る 問 題 は,分 散 ・共 分 散 行 列Qが. 正 則 な 場 合,つ. ブ=1,2,…,η. に 対 して も. い 場 合 と(始. め か ら)安. σ』2>0で. ま り,そ. の η 個 の 資 産 が す べ て 危 険,即. ち,ど. の. あ りか つ どの 資 産 も他 の 資 産 の 一 次 結 合 で 表 現 で きな. 全 資 産 が 存 在 す る 場 合,即. ク トル が 零 ベ ク トル で あ る 場 合 はMerton(1972)に み に 資 産 ∫が リ ス ク フ リ ー で あ る,つ. ま り,安. ち,対. 応 す るQの. 列 ベ ク トル と 行 ベ. よ って 完 全 に解 決 され て い る。 因 全資産 であ るとは. σ1=0で. あ る こ と を意. 味 す る。 本 論 文 が 取 り組 む リ ス ク フ リー な ポ ー トフ ォ リ オ と は 分 散 最 小 ポ ー ト フ ォ リオ で し か も そ の 分 散 の 値 が0で. あ る も の を 指 す 。 リ ス ク フ リ ー な ポ ー ト フ ォ リオ を 構 成 す る 問 題 は 数. 学 の 問 題 と して は 単 純 で 連 立 方 程 式. (1.7). Q∫=0 (1.3),空. 売 りが 禁 止 さ れ て い る と き は 更 に(1.4). を解 く こ とに過 ぎ な い †1。した が って,始 め か ら安 全 資 産 が 存 在 して い る場 合 は 問題 に な らな い し,Qが. 正 則 で あ る場 合 も(1.7)の. ず 問 題 に な らな い。(1.3)は よ っ て,リ. 解が 」 じ=0だ け で あ るか ら(1.3)が. 斉次 連 立 方 程 式Qκ=0の. 斉 次 解 の一 つ の正 規 化 条 件 で あ る。. ス ク フ リー な ポ ー トフ ォ リオ が 存 在 す る の は 分 散 ・共 分 散 行 列Qが. い場 合 だ けで あ って 非 負 性 条 件(1.4)が. 満 たされ. 正則 でな. 無 けれ ば数 学 的 に は全 く 自明 な 問題 で あ る。. §2は この研 究 の き っか け とな った 二 資産 の場 合 の結 果 の 整理 で あ る。本 稿 に関心 を持 っ て頂 け る読者 に対 して は,釈 迦 に説 教 か も知 れ な いが,引 用 の便 利 の た め繰 り返 して い る・ そ の 代 わ り解 析,分 析 の 詳 細 は 初 等 的 で あ るの で 省 略 して い る。 §3で は一 般 の場 合(η 個 の 資 産 の場 合)を(η. 一1)個. の 資 産 と も う一 つ の 資 産 に 分 け る こ とで 特 殊 な 条 件 下 で. リス ク フ リー な ポ ー トフ ォ リオ が 存 在 す る条 件 を与 え て い る。 §4で は そ の 結 果 を η=3 の 場 合 に応 用 して い る。 §5は 同 じ く資 産 の数 が三 つ の場 合 を一 般 性 を失 う こ とな く一 変 数 の最 小 化 問 題 に 帰 着 さ せ て 解 い て §4の 結 果 に 矛 盾 しな い 結 果 を得 て い る。 更 に 問題 (QP)の(独. 立 変 数 を期 待 さ れ る投 資 利 益 率"と. す る)値 関 数 を 空 売 り禁 止 条件(1.4). の無 い場 合 と有 る場 合 そ れ ぞ れ に対 して(そ の軌 跡 上 の 主 要 点 を 与 え る こ とで)陽 に 与 え て い る。 前 者 の場 合 は そ れ は放 物 線 の 弧 で あ り,後 者 の 場 合 は三 つ の 放 物 線 の 最 小 値 が描 一83(253).
(6) 第54巻. 第3号. く曲線 に な る。 本 稿 が この よ うな形 に 整 理 され る ま で の 途 中 の 成 果 を 国 内 で 三 回(2004年 会 春 季 研 究 発 表 会(東 京),2005年. 度 のOR学. 度 のOR学. 会 春 季 研 究 発 表 会(東 京),そ. 文 の最 終 版 の 内容 を第11回 計 画 数 学 関係 研 究 集 会(2007年10月12,13日(金 一・回(2005年. 度 のIFORS(ハ. ワ イ))発. して この論 沢))海. 外で. 表 させ て 頂 き ま した. 。 会 場 の聴 衆 か らの様 々な. コ メ ン トを頂 き,議 論 を して 内容 の改 善 に大 変 役 立 て る こ とが で き ま した。 ま た ,近 畿 大 学 か ら は発 表 会 へ の 参 加 費,旅 費,宿 泊 費 の多 大 な支 援 を受 け ま した。 この場 を 借 りて そ う い った こ とす べ て に対 して 深 く感 謝 して い る こ と を表 明 します 。. 2.二. 資 産(,つ. とYで. 表 し,そ. の 平 均,分. ま り,η=2)の. 場 合:こ. こ で は 資 産1,2の. の 二 つ の 資 産 自 身 もXとYと. 散 の 対 は(μX,σX2)と(μY. 投 資 利 益 率 を そ れ ぞ れX. 呼 ん で 議 論 を 進 め る。 そ れ らの投 資 利 益 率. ,σY2)で. 与 え られ 共 分 散 は. σX,Yで. あ る †2。. こ の 最 も単 純 な 場 合 を 全 く 自 由 な 前 提 の 下 で 先 ず 考 え て 見 る 。 さ て,資. 産X,Yの. トフ ォ リオP(∫)の か ら,こ. 配 分 比 率 の ベ ク トル ∬ を(ρ,1一 平 均. μpと. 標準偏差. σpは. ρ)で. あ る と して して 作 った ポ ー. そ の 混 合 比 率 ρ の み に しか 依 存 し な い. こで は ρ を パ ラ メ ー タ と して そ れ らを 単 純 に そ れ ぞ れ. ら の 間 の 完 全 な 関 係 を 探 る 。 こ こ に,空. μp ,σpと. 表 して,そ. れ. 売 りは な い と仮 定 す る と. 0≦ ρ≦7. (2.1). を 満 た さな けれ ば な らな い こ と にな る。 定 義 か ら明 らか に. μP=1)μX十(1-1))μY. (2.2). そ して. σ ・2一 ρ2σX2+2ヵ(1一. ρ)ρX. =(σx2-2ρx. で あ る 。 こ こ に,ρX に0で σx,Yは. ,YσxσY十. ,Yは. ,YσXσY+(1一. ρ)2σY2. σY2)1)2十2(ρx,Yσx一. そ のこ 資産 間 の 相 関 係 数. σY)σY1)一. σX,Y/(σXσY)で. σXと. な い と き だ け に定 義 さ れ る。 こ の 問 題 の 記 述 中 に現 れ る 数 量 す べ て(観. 察 か ら)与. (2.3). 十 σY2. μx. σYが. 伴. ,σx,μY,σY,. え ら れ る パ ラ メ ー タ で そ の ポ ー トフ ォ リオPの. 混合比率 ρ. の み が 決 定 変 数 で あ る。(利 益 率 は 高 い ほ ど良 く そ れ に 伴 う リ ス ク は 小 さ い 方 が 良 い と 考 え る)合. 理 的 な 人 は(与. え ら れ た 利 益 率 水 準 で は)当 一84(254)一. 然 リ ス ク(=標. 準偏差. σp)が. 最小.
(7) 資産 の数 が3つ の場 合 の平 均 ・分散 分 析 で リス クフ リー な ポー トフ ォ リオ が存 在 す る条件 につ い て(林) に な る 混 合 比 率 ρ*を 選 ん で 投 資 す べ き で あ る 。 一 般 性 を失 う こ と な く. μx≧. (2.4). μY. で あ る と仮 定 す る 。 こ の 不 等 式 が 等 号 で 成 立 す る場 合 と 狭 義 の 不 等 号 で 成 立 す る 場 合 に 分 け て結 果 を展 示 す るつ も りで あ る。 μX=μYの. 場 合:ρ. の 値 の如 何 に係 わ らず. μp=μXで. 一 定 で あ る †3。一 般 性 を 失 う. こ とな く. σx≧. (,つ. (2.5). σY>0. ま り,両. 資 産 と も 危 険)で. あ る と 仮 定 す る †4。(2.3)式. に関 心 が あ るか らそ れ を求 め て 対 応 す る. μp*を. を 最 小 に す る 混 合 比 率 ρ*. 求 め る †5。結 果 を 整 理 す る と以 下 の よ う. にな る。 ρX,Y=1か. つ. σX=σYの. と き:σp=σY=σX(一. 定),ど. の よ う な配 分 を して も危. 険 度 は変 わ らな い。 これ は本 質 的 に 資産 が一 つ しか な い の と同 然 で あ る。 ρX,Y≠1又. は. σX>σYの. ρx,Y=1⇒. と き:. リ ス ク を0に. す る安 全 な比 率 、 ρは存 在 しな い。. ρX,Yニ ー1⇔ 安 全 な 比 率 ρ*=σY/(σX+σY)が ρx,Y≠ ±1(⇔(2.3)式. の 判 別 式D≡4(ρx,Y2-1)σx2σY2〈0)の. ρX,Y≧ σY/σX⇔ 一(ρx. と き:. リ ス ク を 最 小 に す る 比 率 ρ*は. ,Yσx一 σY)σY/(σx2-2ρx,YσxσY+σY2)で. ρx,Y〈 σY/σxの 図2.1は 資 産Xへ. 存 在 す る。. と き リ ス ク は ρ=0で. 最小で. の 配 分 比 率 ρ と ポ ー トフ ォ リ オPの. 与 え られ る 。. σYに. な る。. 分 散. σp2と. の 関係 を 図 示 した も. の で あ る。 μx≠ μYの こ とで. μ,と. ク σpが. 場 合:(2.2)か σpの. ら ρ(=(μp一. μY)/(μx一. μY))を. 関 係 が 導 か れ る 。 そ れ で 期 待 す る(可. 求 め(2.3)に. 能 な)利. 益率. 代入す る μp毎. に リス. 一 意 に決 ま る。 この 場 合. μx>μY(2・4)'. で,ポ. ー トフ ォ リオ を 組 む こ と の 効 果 は. μYと. μxの. る こ と だ け で あ る。 分 散 が 最 小 の ポ ー ト フ ォ リ オPを 一85(255). 間 の任 意 の期 待利 益 率 が構 成 で き 与 え る配 分 比 率 ρ*は,空. 売 り禁.
(8) 第54巻. 第3号. ρ. (1)0=0(ρx,Y=-1)の. (2)D<0,ρx. (3)D<α 図2.1.資. 産Xへ. 場 合. 、Y≧ σY/σxの. ρx,Y<σY/σxの. の 配 分 比 率pと. 場 合. 場合. ポ ー ト フ ォ リオPの. 一86(256). 一. 分散. σp2と. の関係.
(9) 資産 の 数 が3つ の場 合 の平 均 ・分散 分 析 で リス クフ リー な ポー トフ ォ リオ が存 在す る条件 につ い て(林) 止 条 件 が な け れ ば,(2.8)で. 与 え ら れ る 。 た だ し,(2.5)の. は 少 し修 正 しな け れ ば な ら な い,一 ρ*が0≦. ρ*≦1の. 般 的 に は,空. 売 り 禁 止 条 件 が 有 る 時 は(2.8)の. と き は そ の ま ま で 良 い 。 ヵ*〈0の. の と き は ρ*←1と. 仮 定 は な い の で 註 †5の 結 果. と き は ρ*←0と. その. 設 定 さ れ,ρ*>1*. 設 定 さ れ る。. (2.4)'の 仮 定 の 下,す. で に 指 摘 し た 様 に 期 待 さ れ る 可 能 な 利 益 率 μp毎 に リ ス ク σpが. 一意 に決ま る. 。 混 合 比 率 ρ が0≦ ρ≦1の. 変 化 す る一 方 で. σpは. 小 の リス ク σp*に. σYと. σXの. 区 間 で 変 わ る と き μpの 値 は μYと 間 で 変 化 す る 。 勿 論,リ. な る 。 す な わ ち,(μp,σp2)の. 軌 跡 は(重. 三 点(μX,σX2),(μY,σY2),(μp*,σp*2)を 点 線 の 部 分 は 一 方 の 資 産(,具. μxの 間 で. ス ク 最 小 の 比 率 ρ*で 最 複 点 と な る 場 合 も含 め て). 通 る放 物 線 に な っ て い る。 そ の 区 間 外 の. 体 的 に は,ρ 〈0の. と き は 資 産Xを. ρ>1の. と き は 資 産Y). を 空 売 りす る 場 合 に 対 応 して い る 。 さ て,(2.2)か. ら ρ(=(μ1一. μY)/(μx一. σP2=(σx2-2ρx,YσxσY十. σY2)(μP一. 十2(ρx,Yσx一. とい う μ,と. σY)σY(μP一. μY))を. μY)2/(μx一. 求 め(2.3)に. μY)/(μx一. 代 入 して. μY)2. (2.6). μY)一 十 σY2. σpの 具 体 的 な関 係 が導 か れ る。 そ の 関 係 は,σpは. μpを 独 立 変 数 とす. る非 負 の定 符 号 の二 次 関数 の正 の平 方 根 と して 与 え られ る関 数 関 係 で あ る。 もっ と具 体 的 に は,計 算 を少 し進 め て整 理 して. σP=(σx_Y/μx-、)2(μP一. μY)2十2(σ(x_Y)Y/μx-Y)(μP一. と な る こ と が 分 か る †6。そ の 関 係 を 方 式 に な るD=0(⇔. ρx,Y=±1)の. σx≧ σY>0の 場 合 は,本. μY)十. σY2. 場 合 に描 くが そ の 右 辺 の式 が完 全 平. 質 的 に は 一 次 関 係 で あ る か ら,別. べ き で あ る。 ρx,Y=1の. σ,2={(σX一. と き(見. 易 さ の た め に ρ が 入 っ た ま ま の 式 で 整 理 を す る と). σY)ρ+σY}2. で. σP=(σX一 =(σX一. σY)ρ+σY σY)(μP一. μY)/(μX一. μY)十. 一87(257)一. σY. に扱 う.
(10) 第54巻 と い う 関 係 が 成 り立 つ 。 横 軸 に 平 均 μ,縦. 第3号 軸 に 標 準 偏 差 σ を 取 る 座 標 平 面(μ. え れ ば こ の 関 係 は 二 点(μX,σX)と(μY,σY)を 明 ら か に ヵ=0に μX≠ μYの. 対 応 す る(μY,σY)で. とき は 定義 域 が. μXと. ρX,Y=一. 際 ,(2.6)と. とき い う表現. あ る こ と が 前 提 で あ っ た)。. ノ の とき. σp=1(σX+σY)ρ. 差 σ を 取 る 座 標 平 面(μ,σ)で)こ. 一 σY[と. な る 。(横 軸 に 平 均 μ,縦. の 関 係 は 三 点(μx,σx),(μY. を 通 る 。 こ の 関 係 は 二 点(μx,σx),(μp*,0)を. μp*の. 軸 に標 準 偏. ,σY)と(μp*,0). 通 る 線 分 と二 点(μp*. を 通 る線 分 を 合 わ せ た折 れ線 にな って い る。 こ の μY)+μYで. を従 属 変 数 とす れ ば. 間 の 線 形 関 数 に な っ て い る(μX=μYの. は そ の 軌 跡 の 記 述 は 正 し い が 関 数 関 係 と い う 関 係 に は な ら な い,実 は μx≠ μYで. 考. 通 る 線 分 で あ る。 リス ク最 小 の 点 は あ る 。 μ を 独 立 変 数,σ. μYの. ,σ)を. ,0),(μY,σY). 値 は(σY/(σX+σY))(μX一. 与 え られ る。. ρx,Y≠ ±1の. と き(2.6)の. 右 辺 の 式 は 正 の 定 符 号 を 取 り ρx ,Y≧ σY/σxの. な る 三 点(μX,σX),(μY,σY),(μp*. ,σp*)を. と き は 二 点(μX,σX),(μY,σY)を 最 小 値 は ρ*≡ 一(ρx,Yσx一. とき は 異. 通 る 双 曲 線 で あ る。 ρX,Y<σY/σXの. 通 る単 調 減 少 な双 曲 線 の弧 で あ る。 そ の 双 曲 線 の σY)σY/(σxL2ρx. で 生 じ て い る †7。Luenberger(1998;153頁. ,YσxσY+σY2)に の 図6.8)や. 対 応す る. 福 井(1998;107頁. μp*の. 所. の 図8 .10)の. 対 応 す る そ の 曲 線 部 分 が 放 物 線 に 見 え る こ と に 関 して は そ れ が 純 粋 に 放 物 線 で な い こ と の 指 摘 は し て お く べ き だ っ た の で は な い だ ろ う か 。 以 上 の 結 果 を 図2.2に ま と め た 。 σx< σYの. 場 合 に も 同 様 な 結 果 が 導 け る 筈 で あ る。. と こ ろ で 平 均 ・分 散 分 析 で は そ の 最 終 結 果 を 伝 統 的 に 横 軸 に ポ ー トフ ォ リオ の リ ス ク (σp)を. 取 り,縦. 軸 に 期 待 利 益 率(μp)を. え て 得 ら れ る もの で あ る が つ の. μpの. 値 が対 応 す る各. σPを. 取 っ て 表 示 して い る 。 そ れ は 図2 .2の 向 き を 変. 独 立 変 数 と して見 る と関 数 関 係 に は な って い な い. σp毎. で 大 き い方 の. μpを. 。二. 対 応 させ る こ とで 関 数 関 係 が得. られ る が そ う い う 対 応 で 得 られ る 関 係 は 経 済 学 で 言 う 所 の 効 率 的 フ ロ ン テ ィ ア の 概 念 に 一 致 して い る 。 そ れ は リス ク が 同 じ な ら ば 利 益 率 は 大 き い 方 が 良 い と い う考 え 方 な の で あ る。 お 客 様 に 最 善 の ポ ー トフ ォ リオ を 提 案 し て 売 る と い う(金. 融 機 関 の)立. 場 で は 図2 .1や 図. 2.2の 数 理 計 画 法 の 値 関 数 と い う 形 で 結 果 を 持 っ て 置 く の が 適 切 だ と私 は 思 う の で あ る が (消 費 者 の 立 場 を 過 剰 に 合 理 化 す る(?))経. 済 学 の立 場 は 消 費 者 は 効 率 的 フ ロ ンテ ィア 上. の 組 合 せ で 消 費 す べ き で あ る(,或. る 筈 で あ る)と. い は ,す. た の で あ ろ う か 。 経 済 学 の そ う い っ た 過 度 な 合 理 主 義 はH し た 昔 の 経 済 学 の 欠 点 で は あ る が,理. い う所 ま で 突 き 進 ん で し ま っ .A.サ. イ モ ンが 遠 い昔 に指 摘. 性 に も限界 の有 る こ と を指 摘 した サ イ モ ンが ノ ー ベ 一88(258)一.
(11) 資 産 の数 が3つ の場 合 の平 均 ・分 散分 析 で リス ク フ リーな ポ ー トフ ォ リオが 存在 す る条 件 に つ いて(林) σP. σX. ρx、=1の. σ、. とき. ρx、 ≠ ±1の. とき. ρx序. μ. 一 一1の と き. * P. μ. μx. μ 、. (1)ρXY≧. σY/σxの. と き. σP. !. '. σX. ρx、≠ ±1の と き. 、 、 、 、. ρ,、=-1の. 、 、 、. σ 、. 、. ! 、. ! 、. ρ 、. ! 、 ! 、. ! ノ 、 、. ノ 、 、. ' 、'_'. μ P. ! ノ. *. μ P. *. μ、. (2)ρx.、 〈 σY/σxの 図2.2.二. とき. ノ. とき. 資 産 の ポ ー ト フ ォ リ オ の 投 資 利 益 率 の 期 待 値 μ と リ ス ク(標 で. μx>μYの. μ. μx. 準 偏 差). σ の 関 系(σx>σY. 場 合). ル経 済 学 賞 を受 賞 す る前 に打 ち立 て られ た マ ー コ ヴ ィ ツの ポ ー トフ ォ リオ 選 択 理 論 で は未 だ そ の合 理 的 な経 済 学 概 念 を 引 きず って い た の で あ る と私 は 思 って い る。 この節 は福 井(1998;第8章)の. 説 明 を補 足 す るつ も りで 書 き ま した 。 本 稿 の 私 の 内 心. の元 々の 目標 は リス ク が0に な る場 合 を 一 般 の η≧3件 の 資 産 が 有 る場 合 に導 く こ とで あ った が 結 果 は η=3の. 場 合 の 分 析 に 縮 ま って しま った の は実 に 残 念 で あ る。 こ れ か ら. も一 般 の場 合 に は,勿 論,挑 戦 す る つ も りで あ る。. 一89(259)一.
(12) 第54巻 3.一. 第3号. 般 の 場 合 の ポ ー ト フ ォ リ オ で リス ク が0に. な る場 合. 先 ず ・ こ こ だ け の 記 号 で ・ 与 え ら れ た 分 散 ・共 分 散 行 列QはQ-(.4α αTα)と に す る。 つ ま り,最. 初 の(η 一1)資. 産 の 分 散 ・共 分 散 行 列 を 孟,第. を α,第. η 番 目 の 資 産 と最 初 の(η 一1)資. ま た,そ. の η 資 産 へ の 配 分 を(∬T,写)で. へ の 配 分 を 表 す(η. 一1)次. 書 くこ と. η 番 目の 資 産 の 分 散. 産 と の 共 分 散 の ベ ク トル を αTで. あ る とす る。. 表 す 。 だ か ら ∬ は こ こ で は 最 初 の(η. 一1)資. 産. 元 の ベ ク トル で 〃 は 第 η 番 目 の 資 産 へ の 配 分 を 表 す ス カ ラ ー. 変 数 で あ る 。 そ の ポ ー トフ ォ リオ の 分 散 は. (二 じT,η)(謡)(雪)一(吻)(諜 工器) =二 じT(ノ1」じ十 〃α)十Z1(αT二. じ十 〃 α)=∫T/1二. とな る。 これ が 非 負 定 値 行 列Qの の で あ る か ら,⑳=0を. じ十2鱗. じTα 十 α 乙!2. (3.1). 二 次 形 式 と して 任 意 の が ,η に 対 して 非 負 の 値 を 取 る. 代 入 して. α ≧0. (3.2). で な け れ ば な ら な い こ と が 分 か る 。 〃=0を. 代 入 して. .4は 非 負 定 値 で な けれ ば な らな い. (3.3). こ とが 分 か る。 さ て ・zαηん(Q)=η ま り,最. 一1で,一. 初 の(η 一1)個. 般 性 を 失 う こ と な く,五. が 正 則 で あ る と 仮 定 す る( ,つ. の 資 産 が そ う な る よ う に 選 ば れ て い る とす る)。 こ の こ と は 乃 が. 正 定 値 で あ る こ と を 意 味 す る 。 ∫=.4 1α を 選 ぶ と ∬T=αT(.4T)-1=αT/11と 二 次 形 式 の 値(=そ な り,更. にg=-1を. α ≧ αT/1 . の ポ ー ト フ ォ リ オ の 分 散)は 代入 す ると. α 一 αT241α. αT.A-1.4.41α+2〃. な って そ の. αT.4-1α+α. ♂. と. と な る。 この値 が非 負 な の で あ るか ら. 1α. (3.4). で な け れ ば な ら な い こ と が 分 か る 。(3 .2)は. 孟 一1も 正 定 値 で あ る か ら こ の 不 等 式 か ら も. 導 く こ と が で き た 無 駄 な と い う か 自 明 な 不 等 式 で あ っ た 。 逆 に,(3.3) れ ばQが. 非 負 定 値 で あ る こ と が 分 か る 。 実 際,任. く と(見. 易 く す る た め に 添 字 の ベ ク トル ∬ を 省 い て 書 く と)κ=.4階1δ. 90(260)一. ,(3.4)の. 条件が あ. 意 の ベ ク トル ∬ に 対 して わ、,≡.42と お で ある。 これ と.
(13) 資 産 の 数 が3つ. (3.4)を. の 場 合 の 平 均 ・分 散 分 析 で リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ リオ が 存 在 す る 条 件 に つ い て(林). 代 入 して. (3.1)の. 二 次 形 式 ≧ δT.4 1ノし4-1わ+2〃 =わT/1…1わ. G4-1は. 正 定 値 な 行 列Bを =ilBわ. と な る 。 念 の た め,こ. 命馴. δT、4 1α+〃2αT.4-1α. 十2〃 δT/1-1α. 使 って 切. 十 〃2αT/1ヨ. 、41=BTβ. と 書 く こ と が で き る か ら). βαll2≧0. こで得 た結 果 を ま とめ て お くと次 の よ う に な る。. 最初の(囲. 次の主行列が正則な椥. 対称行列Q-(麗)が. あ るた め の必 要 十 分 条 件 は直が 正 定 値 で(34)が さて,リ. ス クが0で. α. 非負定値で. 成 り立 つ こ とで あ る。. あ る配 分 が 求 めた いの で あ る か ら. (.4α αTα)(7)一 ・ つ ま り,. ノ1」 じ一 ト〃α=0(3.5) αT二 じ・ 十 α 〃=0(3.6). と い う 連 立 方 程 式 を 解 か な け れ ば な ら な い 。 そ う い う 解(エT,〃)の. 1T∫ 十Zノ=1(,∫. ≧α ヱ ノ≧0)(3.7). な る も の を 求 め た い(,こ (3.5)よ. 内 で. こ に,1は. 成 分 が1ば. か り の(η. 一1)次. 元 の ベ ク ト ル と す る)。. り. 」 じ=一. 乙 μ1-1α(3・8). で あ る 。 こ れ を(3.6)に. 代 入 して. (α 一 αT/L1α)〃=0(3.9). を 得 る 。 し た が っ て,α. 〉 αT.4-1α. の と き はg=0と. な り(3.8)か. ら コじ=0と. な るか ら. リス ク フ リー な 配 分 は 存 在 し な い 。 α=αT、4ヨ. (1-1T五. α の と き(3.9)を. 満 た す の に 〃 は 任 意 で 良 い 。(3.8)を(3.7)に. 1α)〃-1 -91(261)一. 代 入 して.
(14) 第54巻 を 得 る 。 よ っ て,1T.4-1α. ≠1の. ∫=一.4一 一1α/(1-1T.4ヨ α)と 満 た さ れ る 為 に は1T.4-1α. と き は,非. 第3号 負 性 条 件 が 満 た さ れ れ ば,r7/(1-1T.4 . 1α),. い う リス クフ リー な配 分 が一 意 に 定 ま る。 そ の 非 負 性 条 件 が. ≦0か. つ.4 1α≦0で. な け れ ば な ら な い(,こ. こ に,前. 者の条. 件 は 後 者 の 条 件 が 満 た さ れ れ ば 自 動 的 に 満 た さ れ る こ と に 注 意 して お こ う)。 そ う で な い 場 合 は リス ク の無 い配 分 は存 在 しな い。 以 上 を ま とめ る と. 命翫. 最初 の(囲. し て:(i)α. 次 の主行列 が正則 な 欲. 〉 α徊. (u)α=・. の分散 ・共分散行列Q-(濫)に. 一一1α な ら ば リ ス ク フ リ ー な 配 分 は 存 在 し な い 。. αT.4 1α(>0)の. と き,. 1T.4-1α=1な. らば リス ク フ リー な配 分 は存 在 しな い。. 1T/1-1α. ら ば ∬=一.41α/(1-1T/1-1α),写=1/(1-1T.4-1α)と. ≠1な. ス ク フ リ ー な 配 分(∫T,〃)が .A1α. 対. ≦0と. い う リ. 一 意 に定 ま る。 そ れ が 満 たす べ き 非 負 性 条 件 は. 同等 で あ る。 そ の後 者 の 条件 が 満 た され な い場 合 は リス ク フ リー. な配 分 は存 在 しな い。 α=αT.A-1α(>0)の σP2=κT/4ユ (.411=BTβ. と き の 任 意 の ポ ー ト フ ォ リオ の リ ス ク. =口(β. 計 算 して み る 。. タ十2乙1」 じTα十 αTン1-1α 〃2 か らA=B-1(B-1)Tを. =必TB-1(lB一. σpを. 代 入 し て). 一1)T∫十2ン ニ じTα十 αTBTBα. 一1)T針Bα. 〃2. 〃ll2. と な るか ら. σP-ll(B-1)T針Bα. と な る(こ. の 量 は,1T.4 . η=1/(1-1T.4-1α)で0と. 酬. 1α≠1の. と き,確. か に κ=一.471α/(1-1Tユ4 . 1α),. な る)。. .4が 正 則 で あ る と い う 仮 定 が な く て も(3.6)を. 先 に 解 く こ と で も う 少 し結 果 を 導 く こ. と が で き る。 α=0で. あ っ た と す る と こ れ は 第 η 番 目 の 資 産 が 安 全 な 場 合 で 分 散 ・共 分 散 行 列 の 性 質. か ら α=0の. と き に 限 り(∵. シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式)す. で にMerton(1972)で. 合 で あ る か ら 考 察 の 対 象 外 で あ っ た 。 し た が っ て,α>0の (3.6)よ. り. 一92(262)一. 扱 っ た場. 場 合 を 考 え る。 そ の と き.
(15) 資 産 の数 が3つ の場 合 の平 均 ・分 散分 析 で リス ク フ リーな ポ ー トフ ォ リオが 存在 す る条 件 に つ いて(林) 乙1=一 αT∫/α(3.10). で あ る。 こ れ を(3.5)に. 代 入 して. 孟 コじ一 αTエα/α=0. を 得 て,こ. の 式 を 整 理 して †8. (3.11). (直 一 ααT/α)」 じ=0. を 得 る。 も し(η 一1)次 な り(3.10)に. よ りrOと. (孟 一 ααT/α)が (3.7)の. の 行 列(.4一. ααT/α)が. 正 則 とな れ ば コ じ=0が. 唯 一 の(3.11)の. 解 と. な る か ら こ の 場 合 は リ ス ク フ リー な 配 分 は 存 在 しな い 。. 正 則 で な い 場 合,(3.11)の. 自 明 で な い 解 ∫ と(3.10)で. 決 ま る ηを. 条 件 で 標 準 化 す る こ と に よ り リ ス ク フ リー な 配 分 を 得 る こ と が で き る。 更 に 非 負. 性 条 件 が 有 る と き は,(3.11)の. 自 明 で な い 解 ⑳≧0の. 中 で αT∬≦0な. る も の が 存 在 しな. い 時 は や は り リ ス ク フ リ ー な 配 分 は 存 在 し な い 。 そ の よ う な 解 が 存 在 す る 場 合 は(3.7) の 条 件 で 標 準 化 す る こ と に よ り リス ク フ リー な 配 分 を 得 る こ と が で き る 。 こ の こ と を 命 題 と し て ま と め て お く。 命 題3.3.最. 列Q-(.4α. 初 の(η 一1)資. αTα)に. 産 と 第 η 番 目 の 資 産 の 間 に 与 え られ た η 次 の 分 散 ・共 分 散 行. 対 して:. (i)(.4一. ααT/α)が. 正 則 な らば リス ク フ リー な配 分 は存 在 しな い。. (u)(.4一. ααT/α)が. 正 則 で な い な ら ば(3.11)の. を(3.7)の. 自明 で な い 解 コ じと(3.10)で. 決 ま るg. 条 件 で 標 準 化 す る こ と に よ り リ ス ク フ リー な 配 分 を 得 る こ と が で き る 。 更 に. 非 負 性 条 件 が 有 る と き は,(3.11)の. 自 明 で な い 解 ∫≧0の. 中 で αT∫≦0な. る もの が 存 在. しな い 時 は や は り リ ス ク フ リー な 配 分 は 存 在 しな い 。 そ の よ うな 解 が 存 在 す る場 合 は (3.7)の. 条 件 で 標 準 化 す る こ と に よ り リス ク フ リー な配 分 を得 る こ と が で き る。. こ の 最 後 の 議 論 の 有 用 性 は 次 元 の 数 が 一 つ 小 さ い 行 列G4一 容 易 に で き る か ど う か と い う こ と に 懸 か っ て く る。 η=3の. 4.3資. 産 で 分 散 ・共 分 散 行 列Qが. 正 則 で な い 場 合(η=3の. そ の 三 つ の 資 産 の 投 資 利 益 率 をX,y,Zで. 一93(263)一. ααT/α)の. 正則性の判定 が. 場 合 は その よ うな 場 合 で あ る。. 場 合,そ. の1). 表 す 。 こ の と き そ の 分 散 ・共 分 散 行 列Qは.
(16) 第54巻. Q-(総. 第3号. 罰(41). で与 え られ る。Qが 非 負 定 値 で あ る こ とか ら自明 に成 立 す る不 等式 は通 常 の コー シー ・シュ ワル ツ の 不 等式(こ. の こ とは相 関 係数 の 絶 対 値 が1以 下 とい う こ と と 同等)と. dθ 孟(Q)=σx2σY2σz2十2σx,YσY 一. σY2σz. ,zσz,x一. 、x2一. σx2σY.z2. (4.2). σx,Y2σz2≧0. で あ る 。 こ こ に,X,γ,Zの. 順 序 は 任 意 に変 え て も この 不 等 式 が 成 り立 つ こ とは 注意 し. た い 。 こ の 行 列 式 の 計 算 は 容 易 で あ る 。dθ ご(Q)>0の. 場 合 は リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ. リオ は 存 在 し な い か ら こ こ で 考 察 す る の はdθ 渉(Q)=0の る の は 以 下 に 論 ず る(i),(h)の る ポ ー トフ ォ リオPの. μP=α. μX+β. μY+γ. 平 均. 場 合 だ け で あ る。 等 号 が 成 立 す. 場 合 で あ る。x,y,zを μpと. 標準偏差. σpは. α,β,γ. の比率で投資す. それ ぞれ. (4.3). μZ. σp2=α2σX2+β2σY2+一. γ2σZ2+2α. β σX ,Y+2β. (4.4). γσY,Z一 ト2γα σZ,X. と な る 。 こ こ に,. α+β+γ=1(,α,β,γ. ≧0). (4.5). で あ る。 (i)γ. 侃 ん(Q)=7の. 書 け る と き で,計 σZ.Xと ±1,ρY. と き:こ. れ はQが. 算 に よ り,α2=σX2,δ2=σY2,C2=σZ2,α. な る か ら,α=±. σX,∂=±. ,Z=±1,ρZ,X=±1に. つ ま り,こ. σZで こ に,そ. い う形 の 行 列 に. ∂=σX. β σY±. ,Y,∂C=σY,Z,Cα=. あ る こ とが 分 か る。 これ は. ρX. ,Y=. の 符 号 は 適 当 な 組 み 合 せ が 可 能 で,. ど の 二 つ も線 形 関 係 に あ る と き で あ る. α σX±. と な る 。 こ こ に,右. σY,0=±. 相 当 す る,こ. れ はX,γ,Zの. σP2=(±. 階 数 が1の(α,∂,c)T(α,δ,c)と. 。 こ の と き. γ σZ)2. 辺 の(・)内. の 各 項 の前 に付 け られ た ±の 符 号 は そ の 積 の 符 号 が そ れ. ぞ れ の 資 産 の 相 関 係 数 の 符 号 と 合 致 す る よ う に 付 け られ た も の で あ る とす る 。 そ の 組 み 合 せ は:ρX. ,Y=1,ρY,Z=1な. らば. ρZ,X=1;ρX,Y=1,ρY.Z=一 -94(264)一. ヱ な らば. ρZ ,X=-1;.
(17) 資 産 の 数 が3つ. の 場 合 の 平 均 ・分 散 分 析 で リ ス ク フ リー な ポ ー トフ ォ リオ が 存 在 す る 条 件 に つ い て(林). ρX,Y=-1,ρY,Z=1な. らば. ρZ,X=-1;ρX,Y=-1,ρY.Z=一. ヱ な らば. ρZ,X=1で. こ れ. だ け の 組 み 合 わ せ しか な い こ と に 注 意 し よ う 。. この場舗. 節の言 己号で2×2の 捌. と な る か ら.4一 ααT/α=0(零 は 命 題3.3の(mの. ま 五一(α2α ∂ δ α ∂2)で α一躍. 行 列)と. な っ て4一. ααT/α. 場 合 に 相 当 す る 。.4一 ααT/α=0で. 取 っ て 良 く,(3.10)よ. は 正 則 で は な い。 この 場 合. あ る か ら ∬=(∬1,∬2)は. り 〃=」じ3=一(α/c)∬ 一(∂/o)∫2と. ス ク フ リ ー な 配 分 が 得 ら れ る。((4.5)の(・)内. 一. 定 め て(3.7)で. の)非. 任意 に. 標準化すれ ば リ. 負 性 条 件 が 有 れ ば,勿. 論,そ. の. こ とは勘 案 しな け れ ば な らな い。 以 上 の 議 論 を ま と め て次 を得 る。 命 題4.1.三. つ の 資 産 の 投 資 利 益 率X,y,Zの. Q=(α,δ,c)T(α,∂,c)で ≧0を. 分 散 ・共 分 散 行 列Qが(γ. あ る と す る 。 γ ≡ 一(α/c)α. 取 る こ と が で き れ ば そ の 配 分(α,β,γ)が. 一(δ/c)β>0な. αηん(Q)=1で) る よ う に(α,β). そ の三 つ の 資産 の リス クフ リー な ポ ー. ト フ ォ リオ を 与 え る。 (ii)γ. α航(Q)=2の. つ ま り,ど. と き:こ. の 要 素 も0で. れ は そ の 三 つ の 資 産 が(i)以. は な い 方 向 余 弦(κ,ψ,ω)で. 定 数 と な る も の が 存 在 す る と き で あ る(そ ω μzで. あ る)。 そ れ は,例. と表 せ 瞼. え ば,最. ≡(σX2σXY σ ワ X,YσY一)が. σx2σY2>σx,Y2⇔. σx,Y≠. σY,z=δ. 殆 ど確 実 に. の 定 数 の 値 は 謂 う ま で も 無 く κ μx+ψ. 初 の 二 つ の 資 産X,γ. μY+. の 分 散 ・共 分 散 行 列 を(2x,Y. ±1(4.6). γ ≠0でZ=δX+εy+定. 他 の 確 率 変 数X,yと. σx.Y十. κX+ψy+ωZが. 正 則 で あ る ・ つ ま り・. とな る場 合 で あ る。 この とき は の 確 率 変 数Zと. 外 の 線 形 関 係 に あ る と き,. 数. とい う形 に書 け る か らこ. の 共 分 散 を 計 算 して み る と. εσY2,σz2=δ2σx2+2δ. εσx,Y十. ε2σY2と. σZ,X=δ. σX2+ε. σX.Y,. な って. 蟻 撚1 繕 論∴∴講 贈蕪) と な っ て,最. 初 の 二 行 が 一 次 独 立 な の で あ る か ら,γ α航(Q)=2で. る 。 そ う い う こ と で 実 は,z翻. ん(Q)=2で. あ る こ とが確 か め られ. あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は[忽(Q)二. 一95(265)一. 〇 かつ.
(18) 第54巻 (鹿'(Qx,Y)>0ま. た は 吻'(QY,z)>0ま. が 一 つ で も0に り,全. な る な ら ば,例. 体X,y,Zの. 第3号. た は 砲 オ(Qz,x)>0)]で. え ば,dθ. オ(Qx,Y)=0な. dθオ(Qz,x)=0と. な っ て,こ. れ は(i)の. つ. ρX,Y≠ ±1か. つ. ρY,Z≠ ±1か. の 仮 定 の 下 で §3の. ん1一詳. 鹿 オ(Qx,Y)=0]な. 間 に線 形 関 係 が 有 然,他. の二 つ の 間 に も ら ばdθ ご(QY,z)=. 場 合 に 帰 着 す る。 し た が っ て,γ αηん(Q)=2で. あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は[dθ 渉(Q)=0か. さ て,こ. ら ばXとyの. 間 に は 線 形 関 係 が 成 立 す る の で あ る か ら,当. 線 形 関 係 が 成 立 す る 。 つ ま り,[伽(Q)=0か. で あ るが. あ る が そ れ らの 小 行 列 式. つdθ'(Qx,Y)>0]で つ. ρZ,X≠ ±1の. あ る 。 こ れ はd6'(Q)=0 場 合 な の で あ る。. 理 論 を αT=(σz,xσz,Y),α=σz2>0で. 曜 砿. 適用す る と. Y際 う. とな って. σY2σx,z2-2σx,YσY,zσz,x十 αT/1ヨ. σx2σz,Y2. α= σX2σYLσX,Y2. と な る か ら,(4.6)の. 仮 定 の 下 で(3.4)の. σY2σx,z2-2σx. ,YσY,zσz,x十. 不等式. σx2σz,Y2. σz2≧ σX2σYLσX. は(4.2)と. ,Y2. 同 等 で あ る こ と が 確 認 で き る 。 よ っ て,こ. の 場 合 は 命 題3.2(ii)に. よ り次 の. 命 題 が 成 立 す る こ とが 分 か っ た。 命 題4.2.γ. 翻 κ(Q)=2で. あ る とす る。 この 場 合. リス ク フ リーな 配 分 が 存 在 す る⇔. σZ. 2_σY2σx,z2-2σx,YσY,zσz,x一. トσx2σz,Y2(4. .7). σX2σYLσX,Y2 σY2σx,z一 σXYσY,z≦0 カ〉つ. ノ41-1α 二 ≦0(⇔ σx2σY,z一 σx,Yσx,z≦0 但 し,こ. の 二 つ の 不 等 号 ≦ の 内 一 方 は く で あ る と す る). と い う 判 定 条 件 が 得 ら れ る 。 そ の と き の 配 分 比 率 α,β,γ σX ,YσY,Z一. α= σX2σYLσX. ,YLσX2σ. ヱZ一. σY2σX,Z2. σY2σX,Z+σX,YσY,Z+σX,YσZX'. 一96(266)一. は.
(19) 資産 の 数 が3つ の場 合 の平 均 ・分 散 分析 で リスク フ リー な ポー トフ ォ リオが 存 在す る条件 につ いて(林). β一 σ x2σY2一σxY一. σ雛. 説. σX2σYLσX. と 与 え. ら れ. 因 み. に,そ. ,YLσX2σY,Z一. ,Y2. σY2σX,Z+σX,YσY,Z+σX,YσZ,X. る 。. の 係 数. δ σx2十. δ と. ε は. ε σx ,Y=σx,z(4. δ σx,Yヨ. う 二 つ. を 計 算. 凡Yσヱz+σ 晩x・(4・8). σX2σYLσX. γ=. と い. 需. .9). ー ε σY2=σY,z(4. の 等 式. を. δ と. .10). ε に つ. い て の 連 立 方. 程 式. と 見. れ ば,(4.9)×. σY2-(4.10)×. σx ,Y. し て. δ(σX2σY2一. σX,Y2)=σX,ZσY2一. σX,YσY,Z. よ っ て,. δ=(4. σX ,ZσY. 2_ σX2σYLσX. を 得. る 。. .11) ,Y2. ま た,(4.9)×. ε(σX,Y2一. よ. σX,YσY,Z. σx,Y-(4.10)×. σx2を. σX2σY2)=σX,ZσX,Y一. 計. 算. し て. σX2σY,Z. っ て,. σY. 2_ ,ZσX. ε=. σX,ZσX,Y. σX2σYLσX. (4.12) ,Y2. を 得 る 。 し た が っ て,"Z=δX+ε. μZ=δ. μX+ε. μY+定. か ら 決 ま る 。 つ ま り,そ ε μYで. γ+定. 数"の. 中 の定 数 は. 数. れ は(4.11),(4.12)を. 代 入 し て 計 算 さ れ た 定 数=μz一. あ る 。 こ う して 得 た. σ X,ZσY. 2_2_. σX2σYLσX. σX,YσY,Z. σY,ZσX. σX,ZσX,Y. y+定 ,Y2σX2σY2一. σX,Y2. 97(267)一. 数(4.13)z=X十. δ μx一.
(20) 第54巻 と い う 関 係 式 は,そ. の 右 辺 の 中 に 現 れ るZと. 確 定 し て い る と き は,そ な ら ばZは. 第3号. の よ う にZを. そ の よ う な 再 帰 関 係(積. 他 の 確 率 変 数Xとyと. 定 め て い る の で あ る が,そ. 分 方 程 式)を. の 共 分 散 が値 と して れ らの値 が 未 知 で あ る. 満 た す もの とい う こ と にな って そ の 確 定. は 結 構 難 し い 問 題 な の だ と思 う。 こ の 問 題 に つ い て は こ こ で は 考 察 しな い 。 と こ ろ でdθ'(Q)=0と. い う こ と とdθ オ(Qx,Y)≠0と. い う こ とか ら. σ 2_σx2σz,Y2-2σx,YσY,zσzx・ 十σY2σx,z2 Z一 σX2σY2一σX,Y2. で あ る こ と が 分 か っ て い る が,こ. Z-± 儲. ≒. のことは. 評. 誹. ≒y}+定. 数(414). で あ る こ と を 表 し て い る 。 そ の 符 号 は ど ち ら が 適 切 な の か を 決 定 し な け れ ば な ら な い し, (4.13)と(4.14)の. 見 た 目 の 違 い も説 明 し な け れ ば な ら な い で あ ろ う。. 因 み に(4.14)の そ の+符. 関 係 式 か ら,上. 号 の場 合 か らは. 述 の δ と ε を 求 め た 論 理 と 同 じ論 理 で 計 算 して い く と,. σX2σY2=σX,Y2が. 恒 等 式 に な っ て し ま う と い う こ と で,成. 得 ら れ て 矛 盾 す る が,一. 立 す るな らば. Z__σY・ZX+σx・Zy+定. 数. σX2σYLσX. 同 じ式 を 表 す と い う な ら ば. σX,ZσYLσX、YσY,ZσY,Z. か. (4.14)'. ,Y2σX2σYLσX,Y2. の 方 で あ る 。(4.13)と(4.14)'が. σX2σY2一. 符 号 か らは 自明 な. (4.15). σX.Y2σX2σY2一. σX. ,Y2. つ. σY. ,ZσXLσX,ZσX,YσX,Z σX2σY2一. が 成 立. σX. (4.16) ,Y2σX2σY2一. し な け れ ば な. ら な い で あ ろ. σX ,ZσY2-(σX,ゾ. (4.16)か. σX,Y2. σX2σY2一. う 。(4.15)か. ら は. σX,Y2)σY,Z. (4.17). σX,Y2)σX,Z. (4.18). ら は. σY ,ZσX2-(σX,Y+σX2σY2一. 一98(268)一.
(21) 資 産 の数 が3つ の 場 合の 平 均 ・分 散分 析 で リス ク フ リーな ポ ー トフ ォ リオが 存在 す る条 件 に つ いて(林) を 得 る 。(4.17)と(4.18)を σ. . . X,ZσY,ZσXσY一. 辺 々乗 じて整 理 す る と これ は σXσYσX,ZσY,Z. と い う恒 等 式 に 帰 着 し て し ま う 。 こ れ は(4.15)か. つ(4.16)と. い と い う こ と を 示 して い る だ け で あ る((4.14)で+の σX2σY2=σX,Y2と. い う関係 が 不 可 能 で はな. 符 号 を 選 ん で 同 じ論 を 展 開 す る と. い う 矛 盾 し た 結 果 に 帰 着 す る こ と は 前 の と き と 同 様 で あ る)。 こ の 議. 論 に つ い て も これ で 打 ち止 め と し ます 。. 5.π=3の. 場 合,そ. の2. こ こ で は 投 資 家 が 期 待 す る与 え られ た 投 資 利 益 率 件 の 下 で(4.4)を が2の. 最 小 化 す る α,β,γ. μpの. 値 に 対 し(4.3),(4.5)の. 条. を 直 接 的 に求 め る ア プ ロ ー チ を取 る。 資 産 の数 η. 場 合 に完 全 解 が 得 られ た理 由 は 分 散 最 小 化 の 問 題 が混 合 比 率 ρ だ け の 一 変 数 の 問. 題 と して 初 等 的 に 対 処 で き た か ら で あ る 。 そ の 最 小 化 の 過 程 は リ ス ク が 最 小 で あ る ポ ー ト フ ォ リ オ を 決 定 す る の に 役 立 っ た 。 η=2の と分 散. σp2と. の 関 係 は,μx≠. μYの. 場 合 の ポ ー ト フ ォ リオ の 期 待 投 資 利 益 率. と き は,そ. れ ぞ れ(2.2)と(2.3)に. よ り混 合 比 率. ρ か ら一 意 に 決 ま る か ら,効 率 的 ポ ー ト フ ォ リ オ と い う 概 念 は 無 い の も 同 然 で あ る(,も と精 密 に 言 え ば,μX=μYと. い う 場 合 に しか そ の 概 念 は 意 味 が な い 。 μX≠ μYの. す べ て の ポ ー トフ ォ リオ は 効 率 的 な の で あ る)。 こ こ で は(4.3),(4.5)で 変 数 と し て 扱 い α,β (4.3),(4.5)は. μp. っ. ときは. γだ け を 自 由. が 一・ 意 に決 ま る場 合 に帰 着 させ て解 決 を 図 る。. それぞれ. μXα+μYβ=μP一 α+β=1一. (5.1). γ μZ. (5.2). γ. と書 き換 え る こ とが で き る。 これ を α と βに つ い て の 連 立 方 程 式 と見 る とそ の 解 が 一 意 に 決 ま る た め の必 要 十 分 条件 は. 砲 《 讐)≠. (5.3). α つ ま り・ μX≠μY. で あ る。 この 条 件 が 成 立 す れ ば αと β は. (μX一 α 一(μP一. μY)一 γ(μZ一 μx一 μY. μY),β. μP)一. γ(μX一. 一 μx一. 99(269)一. μY. μZ). (5.4).
(22) 第54巻. 第3号. と一 意 に決 ま る。 この ア プ ロー チ は三 つ の 資産 の 内 の どれ か二 つ の 期 待 投 資 利 益 率 が 同 じ で な け れ ば そ れ らをXとyと. 呼 ぶ こ と で取 る こ とが 出 来 る。 そ れ で そ の 仮 定 が 成 立 しな. い の はす べ て の期 待 投 資 利 益 率 が等 しい とき で そ の場 合 は後 で扱 う。 そ うい う こ とで 一 般 性 を 失 う こ と な く,. μX≧. μZ≧. (5.5). μY,μX>μY. で あ る と 仮 定 す る 。 ハ イ リ タ ー ン,ハ. σX2≧. σZ2≧. イ リス ク を仮 定 す れ ば 当然. (5.6). σY2. で あ る こ とを前 提 に す る こ と にな るが この 仮 定 は,勿 論,一 般 的 で は な い。 そ う い う こ と で議 論 は この こ とを前 提 と して進 め な い が 結 果 の 表 示 は この 場 合 だ けで あ る。 それ は その 他 の場 合 も同様 とい うつ も りで あ る。 こ う して 決 ま った α と β を(4.4)に. 代 入 す れ ば ポ ー トフ ォ リオPの. 分散. σp2は γだ. け を変 数 とす る関 数 ∫(γ)と 見 る こ とが で き るか ら元 の 問 題 と比 べ る と(非 負 性 条 件 が な い と き は)γ だ け につ い て の最 小 化 問題 に な って取 り扱 い や す い。 た だ ま と もに 代 入 し て しま って は式 が 煩 雑 で 計 算 が 面 倒 に な るか ら係 数 を適 当 な記 号 で置 き換 え るな どの工 夫 は必 要 に な る。 それ に本 来 の 関 心 事 は投 資 家 が 期 待 す る与 え られ た 投 資 利 益 率. μpに 対. 応 す る最 小 の リス ク σpの 値 で あ る。 そ の 関 係 が 見 出 せ る よ う解 析 を進 め な けれ ば な ら な い。 そ うい う観 点 か らす る とそ の 目 的 関数 は ∫(μp,γ)と. 書 くべ き所 で あ るが そ れ は. 表 記 の 簡 単 の た め に μpが 省 略 され て い るの で あ る。 (5.3)と い う条 件 の 下 で は α と β は γの 線 形 関 数 な の で α,∂,c,dを. α=α. γ+∂,β=cγ+(1. と 表 す こ と が で き る(こ. (5.7) れ ら の 定 数 α,わ,cは. §4の(i)で. も の で あ る こ と に 注 意 し て 頂 き た い)。 こ こ に,そ. α一 寿 一 無. 髪1・δ一 髪1三髪1・c-{罪. と 定 ま る も の で あ る 。 こ こ に,係 δ とdは. 適 当 な定 数 と して. μpに. 数 α とcは. の 係 数 は(5. 使 っ た もの と は無 関 係 の .4)か. ら. 一 髪1≡欝 ・d一 髪1≡鐸. μpに. は 依 存 しな い 定 数 で あ る の に 対 し て. 関 して反 対 方 向 に比 例 す る量 で あ る こ と に は注 目 した い。 ま た. 一100(270)一. (5.8).
(23) 資 産 の 数 が3つ. の 場 合 の 平 均 ・分 散 分 析 で リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ リ オ が 存 在 す る 条 件 に つ い て(林). α十c=-1,∂. 一ト(ブ=1(5.9). も 成 り立 つ 。 と こ ろ で 後 の 解 析 で 分 が 出 て く る が,(5.3)と. αd-∂c=0⇔. αd一 δcと. い う 量 が0で. い う 仮 定 の 下 で は,計. μp=μz⇔. α=一. あ るか ど うか が 問 題 に な る部. 算 に よ り,. δ(5.10). で あ る こ とが分 か る。 分 散. ∫(γ)≡. σp2=α2σx2+β2σY2+γ2σz2+2α. βσx,Y+2β. γσY,z+2γ. を γ に つ い て 微 分 し て 最 小 化 す る つ も り で あ る が,そ の 混 合 比 率 の ベ ク トル(α,β,γ)Tを. ασz,x(5.11). の 計 算 に は そ の ポ ー ト フ ォ リ オP. γ の 関 数 ベ ク ト ル2(γ)=(α,β,γ)Tと. 見 な し. て ベ ク トル 記 法 で. ∫(γ)=」. じ(γ)TQ二 じ(γ)(5.12). と 表 す 方 が 少 し は 楽 で あ る 。 実 際,. 飾)一一. 響. 一一. 一. 燃. 撚;)(;)…(513). を 展 開 して 整 理 す る †9と. =2(σw2γ. 一 トσw ,v)(5.14). と な る 。 こ こ に,匠,yは. W≡ αX十cy十ZU≡. わX一トdy(5.15). と定 義 され る確 率 変 数 で. σW2はWの. 分 散,σW,VはWとyの. 共 分 散 を 表 す 。 これ ら. の 確 率 変 数 は 計 算 上 発 見 さ れ た が そ れ ら が 何 を 意 味 す る か は 後 で 少 し考 え て 見 る 。 言 う ま で も 無 く σWはWの. 標 準 偏 差 を 表 す(σW2の. 記 号 はW2の. 標 準 偏 差 と見 間 違 うか も. し れ な い の で 注 意 し て 頂 き た い)。 さ て,こ. の よ う に 定 義 さ れ た 確 率 変 数Wが. ま り,σw2≠0で. ∫'(γ*)=0⇔. 殆 ど 確 実 に 定 数 で あ る 場 合 †10を 除 け ば,つ. あ る場 合 は. γ*=一. σw,v/σw2(5.16) -101(271)一.
(24) 第54巻. 第3号. で あ る こ と が 分 か る 。 よ っ て,. γ*〈0⇔. σw,v>0;0≦. γ*≦1⇔. 一 σw2≦. σw,v≦0;1〈. γ*⇔ σw,v〈. (5.17). 一 σw2. と い う 関 係 が 成 立 す る †11。 こ の 関 係 は 配 分 比 率 に 非 負 性 条 件 が 入 る か 入 ら な い か に 応 じ て 最 小 分 散 に 対 応 す る γ の 値 を 決 め る の に 使 え る が,同. 時 に α,β. の 値 も影 響 を 受 け る こ. と は忘 れ て は い け な い。 関 数 ∫(γ)の. 性 質 を も う 少 し眺 め て 見 る 。!(γ)は. で あ ろ う と 非 負 の 値 を 取 る 。 ま た,∫(γ)が 明 ら か で あ る 。 こ の こ と は 実 際 に(5.13)を. 非 負 定 値 で あ る,つ. ま り,γ. が何. γ に 関 して 二 次 関 数 で 下 に 凸 で あ る こ と は さ ら に γ に つ い て 微 分 す る こ と で ∫"(γ)を 計. 算 して. 斯)一無 ・)磁 ㌶:1)(;)≧ ・. (5.18) (∵Qが 非 負定 値). で あ る こ と か ら も分 か る 。 こ の 計 算 を 見 る と(5.15)で 理 由 が 分 か る よ う な 気 が す る 。 つ ま り,(5.18)の を 構 成 す る 確 率 変 数X,y,Zの. 定 義 され た 確 率 変 数 確 が 現 れ る. 右 辺 に 現 れ る ベ ク トル(α,c,1)TがW. 係 数 に な っ て い る の が 分 か る。. γ に 関 して の 最 小 の 分 散 の 値 は ∫(γ*)で あ る 。 い っ そ う の こ と ∫(γ)の こ と で(実. 際 は ∫(0)を. 追 加 計 算 す る だ け で). ∫(γ)=σw2γ2十2σw,vγ. を 得 る †12。 し か も,そ. ∫(γ)=1/α. 計 算 を直 接 行 う. 十. (5.19). σv2. れ が. (5.20). γ(γ τ弔7十yり. で あ る こ と も分 か る。 こ の 式 は. σw2=0で. あ る と き に も成 立 す る こ と は 注 意 し て お き た. い 。 そ の 場 合 に つ い て の 考 察 は 後 で す る。 さ て,そ. の 確 率 変 数yとWの. 意 味 を 考 え て 見 よ う。 確 率 変 数yは. だ け を 使 って 与 え られ た 期 待 投 資 利 益 率. μpを. 確 保 す る べ く構 城 さ れ た ポ ー トフ ォ リオ. で あ る こ と が そ の 式 の 構城 か ら 容 易 に 分 か る 。 確 率 変 数Wは α+c+7=0((5.9)の. 第 一 式)で. あ る か ら 資 産X,Y,Zの. で あ る こ と も 容 易 に 分 か る 。 し た が っ て,γW+レ. 102(272)一. 二 つ の 資 産X,y. その定義式 の係 数の和 が ア フ ィ ン結 合 で あ り. は 資 産Zへ. μw=0. の 配 分 比 率 が γで 他 の 資.
(25) 資産 の数 が3つ の場 合 の平 均 ・分 散 分析 で リス ク フ リーな ポー トフ ォ リオが 存在 す る条 件 につ いて(林) 産X,Yへ. の 配 分 比 率 α と β が(5.7)で. る 。 実 際,単. 純 な 計 算 で(5.7)を. 一 意 に 定 ま る ポ ー トフ ォ リ オ を 表 す こ と が 分 か. 利 用 して. γW十y=γ(αX十cy十Z)十(わX十dy) =(α. γ 十 δ)X十(cγ. 十{ゴ)y十. =α. μX+β. μZ. μY+γ. で あ る こ と が 分 か る(何. γZ. (5.21). と い う こ と だ!こ. の こ と に も っ と早 く気 付 い て い た ら 論 文 の 構. 成 も計 算 もす っ き り さ せ る こ と が で き て い た の に と い う の が こ の 結 果 を 得 た 著 者 の 感 想 で あ る 。 しか し,こ. れ ま で の計 算 を した か らこ そ この 発 見 が で き た とい う こ とで 整 理 した 形. で の 記 述 は ご 容 赦 願 い た い)。 こ の よ う に 確 率 変 数y,Wの μzの. と き,も. た と,思. し σz2>σv2だ. う が,そ. σp2≧ σv2で. との 間 に相 関 が あ って 求めた. あ る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い 。 し か し,Zと. σV2>σp2と. γ*を(5.19)に. ノ(γ*)=σw2(一 =σw. 直 接 代 入 して. ,v2/σw2-2σw,v2/σw2十 σW. σw,v/σw2)十. σv2. σv2. (5.22). ,V2/σW2. を得 る。 この 値 が 与 え られ た 期 待 投 資 利 益 率 注 目 し た い 。 ま た,こ. 資 産X,y. な る場 合 が 有 るの で あ る。. σw,v/σw2)2十2σw,v(一. =σV2一. ≧ σw,v2か. 不 要 だ った の で は な い か と考 え る人 が い. う い う主 張 が で き る た め に は そ う い う ポ ー トフ ォ リオ 、P(=(α,β,γ)). す べ て に対 して. (5.16)で. っ た ら 資 産Zは. 意 味 が 分 か っ た の で,μp=. μpか. ら見 て 二次 関 数 に な って い る こ とは. の 値 が 非 負 で あ る こ と は コ ー シ ー ・シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式. ら も(5.20)か. ら も分 か る 。 特 に,(5.20)の. σW2σV2. 式 は γ の 二 次 関 数(5.19)が. γ. に 関 して 非 負 定 値 で あ る と い う こ と に も整 合 し て い る 。 さ て,. ∫(γ*)=0⇔Q妖. γ*)=0(こ. で あ る 。 こ れ は ポ ー ト フ ォ リオ. れ は(1.7)の. 所 で 述 べ た 主 張 の 繰 り返 し). α(γ*)X+β(γ*)y+γ*Zが. リ ス ク フ リー,つ. ま り,. 確 率 変 数 と して そ の 値 が 殆 ど 確 実 に 或 る 決 ま っ た 定 数 で あ る と い う こ と を 意 味 して い る 。 そ れ で ∫(γ*)=0と. ∫(γ*)=0⇒. な る た め の 条 件 を 調 べ て み る 必 要 が 出 て く る。(5.22)か. ら. (5.23). σw2σv2=σw,v2. 一103(273)一.
(26) 第54巻 で あ る。 これ は. σw2≠0で. つ ま り,σw2≠0で. ∫(γ*)=0⇔. 第3号. あ る こ と が 前 提 で あ る。 こ の 前 提 が あ れ ば そ の 逆 も 成 り立 つ 。. あ るな らば. (5.24). σw2σv2=σw,v2. で あ る 。 同 じ前 提 条 件 の 下 でQが σWσV>1σW,vlの. 正 則 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は ∫(γ*)>0で. それは. と き で あ る。. ま た,(5.16)の. γ*を(5.22)に. 代 入 して. ∫(γ*)=σV2+γ*σW,V. で あ る こ と に 注 目 す る と(こ の前 提 は. σw2>0で. ∫(γ*)>0⇔. れ は(5.20)で. γ=γ*と. お く こ と で も得 ら れ る,こ. の式. あ る と い う こ と は 忘 れ て は い け な い). σv2+γ*σw,v>0⇔1γ*1〈. σv/σw. (∵ 真 ん 中 の 式 の 両 辺 を σw2で. 割 る). と い う こ と が 分 か る 。 以 上 の こ と をwとyの よ う に な る 。 但 し,相. 関係数. ρw,vが. し な け れ ば な らな い 。 し た が っ て,完. 相関係数. ρw,vを. 定義 されるため には. 使 っ て 整 理 す る と次 の. σv>0で. 全 の た め に は,σw>0で. あ る こ と も前 提 と. σv=0と. い う場 合 も 当. 然 考 察 しな け れ ば な らな い。 命 題5.1.与 (5.15)で. え ら れ た 三 つ の 資 産 の 投 資 利 益 率 を 表 す 確 率 変 数xy∼Zに 定 義 す る 。 こ こ に,そ. σw2>0で. の 係 数 α,∂,c,dは(5.8)で. あ る とす る。 こ の とき. 存 在 し な い 。iρw,v1=1な y+γ*Zが. 「ρw,vl〈1な. 対 してy,Wを. 与 え られ た もの で あ る。. ら ば リ ス ク フ リ ー な ポ ー ト フ ォ リオ は. らば 配 分 比 率 に非 負性 条 件 が な い とき. α(γ*)X+β(γ*). リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ リ オ で あ る。 こ こ に,γ*は(5.16)で. (5.7)に. よ り. ば,(5.17)よ. α(γ*)=α り,一. γ*+δ,β(γ*)=cγ*+4で. σw2≦ σw ,v≦0そ. して. 与 え ら れ,. あ る 。 も し空 売 り禁 止 条 件 が あ れ. α(γ*)≧0か. つ. β(γ*)≧0の. とき だ け そ. れ が リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ リ オ に な る 。 σw2>0で γ*=0⇔. あ る と して も う 少 し調 べ て み る 。 σw,v=0(こ. と な っ てy=∂X+dyが dμYが. れ はWとyが. 無 相 関 な 場 合 で あ る):こ. の と き ∫(γ*)=σv2=0. そ の 最 適 な ポ ー トフ ォ リ オ で そ の 平 均 投 資 利 益 率. そ の安 全 利 率 とな る。. 一104(274)一. ε=δ μx+.
(27) 資 産 の 数 が3つ. の 場 合 の 平 均 ・分 散 分 析 で リ ス ク フ リー な ポ ー トフ ォ リオ が 存 在 す る 条 件 に つ い て(林). γ*≠0の. 場 合:σv2=0の. と き. α(γ*)X+β(γ*)y=定 わX+dy=定. 数 一 γ*Zα.s.. 数'α.s.. と い う二 つ の 関 係 が 同時 に成 り立 つ。 これ をXとYに. つ い て の連 立 方 程 式 と 見 る とそ の. 係 数 行 列 の行 列 式 は. α(γ*)4一. β(γ*)わ=(z(α. で あ る か ら,μp≠. μzの. γ*+δ)一. わ(cγ*+d)=γ*(α(1-∂c). と き は(5.10)に. よ り 非 零 と な り,X,y,Zの. も線 形 関 係 が 成 り 立 っ て こ れ は γαηん(Q)=1の. どの二 つ の 間 に. 場 合 に 相 当 す る 。 但 し,そ. の連 立 方 程 式. が 解 を 持 つ こ と が 前 提 で あ る。 完全のため には. γ*≠0で. σv2>0の. と き も分 析 す べ き だ が そ の 場 合 は す で に 命 題5.1. の ま と め の 中 に 含 ま れ て い る こ と を 指 摘 して お く。 以下は. σw2=0の. 場 合 につ い て 考 察 す る。. σw2=0(⇔W=0αs.(∵ な り)(5.11)に. 註 †10))の. よ り σp2=∫(γ)=σv2と. と き は(σw,v=0と. な っ てWとyが. 無相 関に. な る。 これ は す べ て の ポ ー トフ ォ リオ が γの. 値 に依 存 しな い分 散 を持 つ特 殊 な 場 合 で あ る。 これ は期 待 投 資 利 益 率 次 関 数 で あ る こ と は 注 意 して お き た い 。 こ の 場 合,「 σv>0⇔Qが. μpか. ら見 れ ば 二. 正 則 」 とい う こ とが 成. り立 つ 。 こ の と き リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ リオ は 存 在 しな い 。 リ ス ク フ リ ー な ポ ー トフ ォ リオ が 存 在 す る可 能 性 が 有 る の は. σv=0の. に な る と き で そ の 定 数 値 は わμx+dμYで そ れ で こ れ ら の 二 つ の 確 率 変 数W,yが σv=0の)場. 合,そ. ε=δ μx+dμYで. と き で,そ. れ は 確 率 変 数yが. 確 率1で. 定 数 で あ る(,つ. ま り,σw=0,. あ る。 伴 に 確 率1で. れ らの 定 数 を そ れ ぞ れ δ と ε と し て(,但 あ る)そ. し,δ=α. μx+cμY+μz,. れ が ど う い う 場 合 な の か も う 少 し調 べ て み る 。 そ の こ と を 式. で 書 き表 す と. αX十cy=δ. 一Z,. ∂X十(zy=ε. と い う こ と が 同 時 に 成 り立 っ て い る の で あ る か ら,αd一 あ る場 合,こ. れ をXとyに. 定数. δc≠0⇔ μp≠ μz(∵(5.10))で. つ い て の 連 立 方 程 式 と見 て 解 くと. 一105(275)一.
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