2次計画法におけるウオルフ法とビール法
2次計画法における
ウォルフ法とビール法
田中謙一郎
1
目 次 はじめに
序 論 2次計画法問題の定式化とその実例 第1節 ウオルフの方法
1．1． 手 順
1．2． アルゴリズムの収束 1．3． 数値例
第2節 ビールの方法
2．．1．手順とアルゴリズムの収束 2．2． 数値例
補 論 ビールの方法のプログラムによる出力結果 むすび
は じ め に
2次計画法（quadraticprogramming；QPと略記する）は，数理計画法 の一分野として，非線形計画法（nonlinear programming；NPと略記す る）の1つに分類される。2次計画法は，1次制約式のもとで，2次の目的 関数を最適化する問題を扱うので，NPの一領域である。
ところで，QPが，NPの中にあって，なぜとくに2次計画法と別記さ れるか，といえば，それには2つの理由が，考えられる。
第1に，NPでは，線形計画法（1inearprogramming；LP と略記す る）に比べて，一般的解法が未発達で，特殊形式問題の研究が先行してい る，という点が指摘される。確かに，一般的非線形解法アルゴリズムとして
の傾斜法その他が，有効な局面もあるであろうo しかし，それらが， L Pの シンプレックス法と比較した際，いかに貧弱な道具であるかは，余人の言を 待たない。乙れに比して， Q Pとか，線形分数計画法といった特殊計画法 は，演算処理がLPI乙近く，多数の実用的アルゴリズムが生み出されてき た。とくに， ウォノレフの方法やビールの方、法は， コンビュータ言語へのコー ド化も容易であるD ともかく Q Pは，操作性の点で，他の N Pよりも格段に すぐれているo
第2I乙Q Pは，他の N P問題と異なり，確立された固有の応用例を有して いるD 投資決定論のー領域である資産選択問題は，その一例である。すなわ ち，所与の期待収益のもとで，危険を最小化する有価証券の組を見出す乙と が， Q P問題を形成するのであるO この議論を最初に体系づけたマーコビッ ツは，その解法アノレゴリズムとして， rクリテイカノレ・ライン法」を開発し た1)。乙のシンプレックス法の改訂版は，資産選択問題では，なじみ深いも のである。しかし，一般的なQ P問題に対するアルゴリズムはないため，本 稿の議論からは，除外されるD
本稿の議論の対象となるのは，一般的Q Pアルゴリズムのうち，最も代表 的なウオノレフの方法とビーノレの方法である。乙れらは， ウオノレフ (8)，
ビーノレ (1)によって，それぞれ展開された口乙のうち， ウオjレフ (8) は，パラメトリック 2次計画法という分野を開発した点でも評価されるo し かし，その詳細な議論は，別の機会lζ 譲りたい。
本稿の議論の展開は，以下の順序で行なわれるD まず，序論において，一 般的Q P問題の定式化が，試みられるD また，その実例として，資源配分問 題が，例解されるO 次に，第l節「ウォノレフの方法」および第2節「ビーノレ の方法Jで，アルゴリズムの子順，収束，数値例が詳説される。ウォノレフの 方法とビールの方法によれば，すべての演算が， LPのシンプレックス法に より遂行される。われわれは，第l節で改訂シンプレックス法を，第2節で タブロー形式のシンプレックス法を用いる乙ととするo これは，同規枝の (たとえば n変数m詰Ij約式の)Q P問題に対し，ウォJレフの方法が， ビー ノレの方法の約2倍の行と列を必要とするためである。また，数値例における
2次計画法におけるウォJレフ法とビール法 3
イタレーションの説明では，最初の手続きは入念に記したが，先l乙進むにし ウォルフの方法と ビーノレの方法の諸特徴を比較検討する。その際，本稿で扱わなかった，他の
「むすび」で，
たがって簡便な表記法をとった。最後に，
QPアノレゴリズムについても言及する乙ととするD
(注)
Markowitz， H.， The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints，" Naval Research Logistics Quarter1y， Vo1. 3， 1956を参照せよ。
2次計画法問題の定式化とその実例
序論
以下の一般形で表示される。
n n
:E :Eω j Xk
j = 1 K = 1
QP問題は，
n
Max z = 2: CjXj+
( i = 1 ，…，rn) n
sub. to. 2: aljxj=b1
(1)
cl・1) cl・2)
︑ ︑ ︐ ノ
n ( j = 1 ，…，
Xj~三 O and
あらゆる形 乙乙で， a1h bh C ，j CJkは，任意の実数とするo 定式化(1)が，
制約方程式系
. ︐
しだた
明らかであるD
式のQP問題を含んでいることは，
もしくは不定である可能性は，排除されてい 式が不鵠，
cl・1)において，
る乙ととするo
より簡潔に表わされる。すなわち，
QP問題(1)は，行列表示を用いると，
Max z = CTX+XTOX Ax=b sub. to.
(2)
x~三O.
and
AはrnXn ともに列ベクト }¥.I，
ここで， xとcはn次元， bはm次元の，
ベクトル(行列)の右肩についた 以下のように定義されている。
Dはn'xn対称行列とする。また，
Tは，転直記号である。 Dの成分は，
行列，
( j = i，…， n)
(djj=CJJ
dJ匙= dkJ = cJk/2 (j+k; j， k=l，…， n) .
QP問題の代表的な実例として，資源配分問題，資産選択問題，混合物 の平衡配列決定問題(化学平衡) ，回帰分析， トラスの弾性・塑性分析 (elastic‑plastic analysis of trusses;構造力学)等が，あげられる。本稿 では，このうち最初の問題について，単純な実例をあげる乙ととするo
まず，以下のような数値例によって，考えを進めてみようo
Maxz=8x1 +6x2+4xa ‑2X12̲X32̲2xIX2‑2xIXa sub. to. Xl+ぉ+2xa三三3
and Xl，X2，Xa '"三o.
目的関数は，以下のように書き直される。
z =x1(8‑2x1‑ X2‑ X3) + x2(6‑2x2 ‑X1) +Xa( 4‑xa ‑X1).
乙乙で，ぬ (i=1，2，3)は，独占者によって生産された3つの商品の数量，
括弧の中の式は，独占者が各商品に課する乙とのできる価格と考えられるo
括弧の中の式を，各々 PI ( i = 1， 2， 3 )で表わすと，以下のように表記さ れる。
(P=8一 2x，‑ x. ‑ x P2 = 6 ‑ x1 ‑ 2x3 P3 = 4 ‑ x1 ‑ .ra・
これらの式は，価格P1を数量二日の関数として表わす，線形の需要関数とな っているoz=ex+ピDxとすれば，価格ベクトノレPは， p = c + Dx， z = pT X
と表わされる。また，制約式は，稀少資源が産出高を制限している， こと を意味しているo すなわち，商品xh X2 • x3の各1単 位 は ， そ れ ぞ れ 稀 少資源をし し 2単位要求するが，稀少資源の全供給は 3単位である，
という状況を記述しているD さらに，各Xlの非負性は，独占者が売り手で あって，買い手とはみなされない，ことを志味している。すなわち，上の数 値例は，独占者が，線形需要関数と，稀少資源によって制限された産出高，
に直面した際，彼の総収入を最大化しようとしている状況を記述している，
2次計画法におけるウォルフ法とビール法 5 と解されるロもちろん，Xlを個々の商品ではなくて，いくつかの商品を合 む工程 (process)もしくは活動 (activity)と考える乙とは，何らさしっか えない。
第l節 ウォルフの方法 1. 1 . 手 順
ウオノレフの方法は，以下の形式のQ P問題に直接，適用されうるD
Max z = CTX + xTDx (2) ( sub. to. Ax=b
and x逗o.
(2・1) (2・2) ここで， xおよび、cはn成分， b はm成分の， ともに列ベクトノレ， AはmXn 行列， Dはnxn対称行列とする。ウォJレフのアJレゴリズムを導く基本原理 は，修正シンプレックス軸変換手続きを用いて，実行可能点の点列が，キュ ーン=タッカ一条件(以下K ‑ T条 件 と 略 記 す る ) を 満 足 す る 解 の 点 げ で 終了するように導く，ことである。 (2)の実行可能領域は，超平面によって，
有界であるので，凸集合であるo よって，目的関数が凹ならば，点げは，
必然的に最適解となる。乙れは，凸計画法問題に対する， K‑T条件から導 くことができる。
Dが負値のときは，ウォJレフの方法によれば，有限回の反復手続きによっ て，最適解へ収束するか，または，当該Q P問題が，実行可能でない，こと を証明することが，できる。ただし退化による無限循環の可能性は，排除さ れているものとするoDが半負値のときは，負値になるように摂動する1)と とによって，最適解への有限収束が，保証aされるoDが，不定値もしくは (半)正値のときは，収束はしない。よって，以下の議論においては， D が，負債もしくは半負値であることを前提する，こととする。
これより，ウォノレフの方法の手続きに関する，議論を始めることとする口 まず， Q P問題(2)のK‑T条件を記述する。制約式が 1次であるので，制 約必定は，満足される。よって，日が(2)の最適解であるならば，
(4) c+2Dx*~ATλ
(5)χ*・[c+2Dx*‑ATλ]= 0
を満足する， 一般化されたラグランジュ乗数ベクトノレλ三[入)，…，λmJTが， 存在する。
不等式(4)に対して，スラック変数ベクトノレ (6) v三 ATλ ‑c‑2Dx
が，定義されるoそこで， K ‑ T条件(4)および(5)は， (7) 2Dx‑ATλ十v=‑c
(8) v詮O
(9) xTv= 0
となるo 乙こで， (9)を 除 い た K ‑ T条件 (7)， (8)お よ び 原 制 約 式 (2・1)• (2・2)は， x， v.λを変数とする 1次 制 約 式 の み か ら 成 り 立 っ て い るo
まさに，乙の乙とが. Q Pのアルゴリズムであるウォノレフの方法に， L Pの シンプレックス法が導入される，根拠である。 (9)は，非線形の制約式である けれども，これをそのつど別個に吟味していくことは，困難ではない。
改訂シンプレックス法をQ P問題(2)に 適 用 す る 前 に ， 制 約 式(7)，(8)， (2・1)，(2・2)を標準形2)に変形せねばならない。乙れは， λを符号条件の1 つかない変数から非負変数に変換する，乙とを意味する。すなわち，
( I
日 λ=λ'一入Oi;λI，AO;;三o.
乙ζで， iは ， 全 成 分 が 1と な るm成分列ベクトノレであるo(10)を (7)に 代 入 し，プライムをとると，以下の方程式系が，えられる口
Aメ=b (11・1)
2Dx‑ATA+ATj入O+v=‑c (11・2)
(11) ¥
x，λ，λO，v三三O (11・3)
xTv= 0 . (11・4)
最終的には， (11)の実行可能解が，えられるか， もしくは実行可能解が，存在 しないか，のいずれかに到達するo ところが. (11)の実行可能解が，存在する ならば，
2次計画法におけるウォJレフ法とビーJレ法 Ax=b (
12) ( 2Dx‑Aλ +ATjλo+v= ‑c T x，λ^，，o，v;三O
の基底可能解も存在するD
7
/ ¥ / ¥ / ¥ / ¥
その理由は，以下のとおりである。まず， [x，λ， ^'o， VJが， (11)を満足 していると仮定する。そのとき，
ー
ー /¥ /¥ /¥ 入=min{入。，入。，…，入m}
とおくと，以下の解も(11)を満足する3)。 ノ
χ ￨ ヘx
λ λ/ヘーー〉ー i .¥ (
13) I / ¥
入
。 入。一入
/ ¥
) v v
今.7の定義により，変数入。，^'1'…，入mのうち，高々m個のものは，ゼロ /¥ ノヘ
でない値をとるo ところが.(9)により Xとλの成分のうち高々 n個のもの は，ゼロでない値をとる。よって，実行可能解(13)は，高々m+n個の非ゼロ 成分をもっ乙ととなるo(12)は.m + n個 の 制 約 式 を 合 む の で ， 基 底 可 能 解 が，存在することとなる心。
これまでの議論により，以下の結論に到達するo (12)の基底可能解の中か ら，条件(9)を満足するものを選び出すことによって.(11)の実行可能解が，え られる。ところが. Q P問題(2)に対しては. Dの(半)負値が，前提されて いた。よって.(11)~乙含まれる K-T 条件の十分性から，この実行可能解が，
Q P問題(2)の最適解となるわけである口以上が，次のステップによって進行 する，ウォlレフの方法の基本方針であるo
i ) 通常のシンプレックス手続きを用いて. (2・1)の基底可能解Xsを 決定するoXsが 存 在 し な い な ら ば，Q P問題(2)は ， 実 行 可 能 解 を も た な い。いま Bを.Bxs=bなる.Xsのm X m基底行列とする。そのとき，
Dから BをつくるAの列の番号と同じ番号をもっ列を選び出して nxm
行列DBをつくることとするo
ii) n成分列ベクトノレピ=ー [c+2DBxBJを計算し， .djUj= U /を， (12)の m+j番めの制約式に加えるoただし，
r + 1 (u/ミ0のとき j= 1 ，…，n) (14) Jj = (
l ‑ 1 (u/<Oのとき 1，…，n) . その場合，制約式(12)は，以下のように変形される。
Ax=b (15) / 2Dx‑AT.<+ATj。入+v+.4u=‑c
x，λ，Ao，V，U;;;三o.
ただし， u=[u1，…， UnJTであり，またdは，第j番めの対角宗宗がJjであ る，n Xn対角行列であるo
iii) 変数xは，第i)ステップで計算された値を保ち，残りの変数には，
以下の初期値が，与えられるo
λ=0， Ao= 0， v=O， ujミo(j = 1，…， n).
これらの変数のうち，高々m+n個のもの(すなわち， xBとU)が，正の 値をもつことができるo それらは， m+n個の制約式(15)の実行可能解となっ ているOしかも [XBT，uTrは，それと関連のある基底行列
[2:. ]:
が，逆行列
[B OJ
‑2.4DBB‑l .4 J
をもつので，基底可能解である。
iv) 第 iii)ステップでつくった初期基底可能解から出発し，条件(9)を加 味しながら，シンプレックス法を用いて，制約式(15)のもとで，人為変数 Uj
( j = 1，…， n)の和を最小化するo最後に，負のリデュースト・コスト をもっ，どの変数も，条件(9)を破ることなくしては，基底の軸になれないと
2次計画法におけるウオノレフ法とビーノレ法i 9 き，このイタレーションは，終了する。そして，その時点での，解のχ成 分 が， Q P問題(2)の最適解である，と考えられるD
1. 2. アノレゴリズムの収束
本節では，議論を，実行可能な Q P問題に限定する。証明の目的は， Dが 負値のときはつねに，ウォノレフの方法によって， K‑T条件を満足する実行 可能点に到達できる，乙とを示すことにある。しかし，その前にまず，その ような点が存在することを，証明しなければならない口それには， Dが負値 のときは， Q P問題(2)が，非有界最大値をもたない，乙とを示しさえすれば よい。そのとき，ある有限実行可能点は，全域的最大値(よって，制約下で の局所的最大値)となるので，その点においては， K ‑ T条件が満足され
るからである。
そこで， xの，定点x。から特定方向t;(0でない)への変位が， 目的値Z におよぼす影響について考察する，こととする。その場合， xは，以下のよ うに表わされるO
x =xo+ O t; (0 :非負のスカラー)
ただし，方向ベクトノレsは，端点x。から発している，実行可能領域の端半 白線を表わす，乙ととするo その場合，任意の点xでの目的値は， 。の関数 として表わされるO すなわち，
z( 0) =CTXo+oet;+XoTDxo+20xoTDt;+OZ;tTDt;.
ここで，t;チOであったので 2次形式;tTDt;は，負値である。よって， 。 が増加するにつれて ，OZ;tTDt;の項は， c， D， xO， t;の位に関係なく Z( 0) を減少させるo すなわち Zが無限大に発散することはない， と結論する ことができる口
目下のところ， Dが負位のとき， (11)の実行可能解が，少なくとも 1つ存在 することが，確かめられているO そこで，1.1.節のけから iv)で示され た，ステップにより， (11)の実行可能解が求まる， こ と を 証 明 す る 。 そ れ に は， iv)で求めた最終解において，人為変数 UJ(j = 1 ，…， n)が，すべ てゼロになる，ことを示せばよい。
かくして，ウォノレフの方法により，ステップ iv)で 求 め た 最 終 解 に 到 達
した，と仮定し，その解をWで表わす，乙ととするo そのとき，変数ベクト ルXは，以下のように分割される。
X1 (Xj>O ; Vj= 0 ; Xj，VjEW; j =1，…，n) (
1 6) Xj E ( X? (xj = 0 ; V j> 0 ; Xj， V j E W ; j = 1 ，…，n) Xa (Xj= 0 ; Vj= 0 ; Xj，VjEW; j =1，…，n ). XjExのとき， vは，上と同じ方法で分割されるoすなわち，
v1 (XjEX1) ( j =1，…，n) (
1) 7 VjE ( v2 (XjEX2) (j =1，…，n) va (XjEx3) ( j =1，…，n)
そのとき， X2およびX3，v1お よ びvaの値は，全成分が，ゼロである。ま た，解Wが，以下のLP問 題 の 最 適 解 に な る 乙 と は ， 容 易 に 確 か め ら れ
るo
n Maxz'=‑ ~ u
J = 1
sub. to. Ax=b (18・1) (
18) ~
2Dx‑Aλ +ATjT 入。+v+du=‑c (18・2)
X2=V1=O (18・3)
and x，λ，入。，v，u注o. (18・4) 証明の次の段階は， L P問題(18)の双対問題を記述することから始める。し かしながら，その前に，定式化(18)1乙対し，若干の変更を加えるとととする。
まず，変換(10)を逆転するo すなわち，入。を問題から排除し， λを符号条件 の な い 変 数 と し て ， 扱 う こ と と す るo 次に， x = [x人 X2T，xaTJTおよび v=[vλvムV3TJとなるように， xとvの 成 分 を 並 べ か え ， そ れ に 対 応 し てAとDの列も，順序を入れ換えて，分割するoすなわち，
A = [A1:A2:A3J， D=[D1:D2:D3J.
よって， (18)の制約式は，以下のように変形される。
2次計画法におけるウオルフ法とビーJレ法 A1x1 + AZX2 + A3Xa
2D1x1 +2DzX2+2D3X3‑ATλ+v+du=‑c χ2=V1=Q Xlt XZ' X3， V， u;三Q.
=b
11 (18・1') (18・2') (18・3') (18・4') 次に， (18・1')から(18・4')までの制約式からhとv1を 消 去 し ，Xと
vの分割に一致するように， (18・2')を分割するo最終的に， L P問題(1日 は，以下のように変形される。
n M
陥axzピ 一' 2戸: u
J = 1
sub. to. A1x1+ Aax3 =b (19・1) (
1) ( 9 2D1内 +2DI山 一A1Tλ +du1 = ‑C1 (19・2) 2D21X1 +2Dz3X3 ‑AZTλ十円+duz=‑c2 (19・3) 2D31X1 +2D33X3 ‑A3λ +v3+du3= ‑c3 T (19・4)
XI> X3， Vz， v3， U三三Q. (19・5) ただし， D1， D3， dの行およびc成分の分割は， Xとvの分割に一致してい
るD 最後に， p， ql> qz， q3を，それぞれ制約式(19・1)から 09・4)に対 応した，双対変数ベクトJレとおいて， L P問題(1)9の双対問題を提示する，こ
ととするoすなわち。
Min Z"=bTp‑CITql‑czTq2‑C3Tq3
sub. to. A1Tp +2DIlTql +2D2ITq2+2D3/q3;三O (20・1) A3Tp +2D13Tql +2Dz3Tq2+2D33Tq3ミO (20・2)
‑A1ql ‑A2q2 ‑ A、q3言。 (20・3)
q2 主主O (20・4) q3二三O (20・5) and d1Tql +d2TqZ +d3Tq3;三一I. (20・6) さて， [p*T， ql*T， q2*T， q3*Trを，印)の最適解であるとするo そのとき，
hおよび%が，主最適解W において，正である限りは， (20・1)および
(20・4)は，等式として成立しなければならない。乙れは. L Pの相補スラ ック性の条件より導き出されるo かくして，双対最適解によれば，間)は，以 下の形式で表わされるo
zHopt=bTP*ーC1q1*‑c3q/
q3*三三O
(21・0) (21・1) (21・2) (21・3) (21・4) (21・5)
sub. to. A1TP*+2DuTq1*+2D3ITq3*= 0 A3 TP* +2D13 T q1 * +2D33T q3 *孟O
ω A1ql* + A3q3* 0
d1Tql* +d3Tq3*三三一i.
今. (21・1)にql*Tを， (21・2)にqa*Tを，前からかけて，その積を転 置させると，以下のようになるo
(山1*刊 q1*TDl1q1*叩 TD31q1*=0
P*TA3qa* +2q1*TDI3q3* +2q3 TD33q3*;三o.
乙の2式の和は， (21・3)により，以下のように表わす乙とができるD
ハU2一
1I ll
ノl
*
*
‑ A
句 ︒
円 可 円 可
/ilJIL
‑ ‑ ‑ ノ D D D D
/1lilt‑
ー ︑
﹃sfJ
m A
* q .
T *
門司.﹁
E L n︐h ω
さらに， ωが，以下の式と同等である乙とは，明らかである。
ハU2一
¥Ill11‑‑‑/
*
*
円可
nU
円可
f i l l
‑ ‑ L
D
﹁a
EE
d m E .
* 円
可
nHU
T *
円ME
rl L
内4
ここで. Dが負値であるので， ωは， q1* = q3* = 0のときに限り満足され る。
ql* = q3*= 0を (21・1)に代入すると.A1TP本=0となる白よって，以下 の式が成立するD
ωP*TA〆1=0.
(
16)により，主最適解Wにおいては.X3= 0であったから， (19・1)は. A内
=bとなるD よって，以下の式が成立するo
2次計画法におけるウォJレフ法とビール法 13 P*Tb= bTP* =0.
そのとき，双対目的関数の最適値は. (21・0)によりゼロとなるo よって，
主目的値
n
zHopt = ‑ 2: u/
もまたゼロであるD 計三三Oでであったから.u/= 0 (j = 1 ，…，n)とな る(証了)0
1. 3. 数 値 例
ウォノレフの方法を例解するために，改訂シンプレックス法を用いて，以下 の例題を解くこととする。
(MX=
…
ω‑2xー2x."‑xー2x，x.‑2x，xsub. to. x1+ ゐ +2xa~3 and xl> x2 • xa;三o.
ここで，目的関数の2次形式の部分は，負値である口標準形(2)に変形するた めに，制約式にスラック変数を追加するoすなわち，
(X1+x2+2xa+X4= 3
1 Xl> X2• Xa. X4孟0 1. 1. 節の記号にしたがえば，
，，‑‑2・1・1 0 、
1 ‑1・2 0 0 1 A = [1 1 2 1]. D = I ~.L ~ L. V V I
1 ‑ 1 0 ‑ 1 0 1
¥o 0 0 0 ノ
また，制約方程式系(11)は，以下のように表記されるo
X1+x2+2xa+x4
‑4xl‑2x2‑2xa 一入1+入。+V1
‑2xl‑4x2 一入1+入。 十 円
‑2x1 ‑2xa ‑2入1+2入。 +Va
=3
=‑8
=‑6
=‑4
ー^'1+。入 +V， = 0 x， λ， ^'o， V 三三O
xTv =0.
まず， Ax=bの基底解を， Xu=ι=3にとることとする。次に，
u' =ー [cT+2(DBxB?r= [‑8，ー6，‑4，OJT
を計算し ，U4)にしたがって，人為変数を上記の制約式に加えると，以下のよ うになるo
X1+x2+2xa十X， =3
‑4xl‑2x2‑2xa 一入1+^'O+V1 ‑U1 =‑8
‑2x1ー4x2 一入1+^'O +V2 ‑U2 =‑6
(2~ ) ‑2Xl ‑2x3 ‑2^‑1+2目入 +Va ‑U3 =‑4 一入1十入。 +V， +u， =0
X， λ， 入。， V， U 三言。
XTv=O.
このとき，制約式ωの初期基底可能解XBおよび基底行列Bは，それぞれ以 下のとおりであるo
XB=[x" U1， U2， U3， u，r=[ 3 ，8 ，6 ，4 ，0 J¥
1 O O O O
o ‑1 O O O 0・1 O O O O o ‑1 O O O O O l
次に，制約式ωのもとで， z' = ‑2: j ~ 1 uJを最大化する手IJ貝に移って ゆくo計算を進める前に，人為基底変数山の値が，ゼロとなっていることに 注目する。人為変数を，より早く基底から追い出すために.U，をV，と置き 換えるD この操作は，条件XTV=0をやぷらないので，許容される。
演算を先に進めることとする。いま，基底可能解XBおよび費用係数CB
は，それぞれ以下のとおりであるo
