田中謙一郎

(1)

「2次計画としてのマクロ経済モデル」

「2次計画としての

マクロ経済モデル」

田中謙一郎

はじめに記号表

1．QPモデルの定式化とその経済的前提 2．QPの最適条件とその経済的解釈むすび

31

はじめに

本稿の目的は，カリフォルニア大学のLawrence Berkley Laboratory とOperations Research Centerが，ElectoricPowerResearchInstitute をスポンサーとして開発した，1）計量モデルの理論的骨組みを明らかにする

ことにある。このモデルは，1972年の米国経済において，仮設的な2）石油不足を設定し，これに対するFEA（Federal Energy Agency連邦エネルギー局）の価格統制政策が，短期的に効果を発揮したことを，実証するために開発された。実際，この政策はGNPの減少と生計費の上昇を紋和したが，

国際収支に悪影響を及ぼした。この「短期的」という意味は，燃料の代替可能性がエネルギー変換設備の既存ストックによりきびしく制限されている，

という仮設をこよる。すなわち，このモデルは，静的均衡を計算するので，価格統制政策の長粕の影響の分析は含まない。また，このモデルのもう1つの簡単化は，国際価格と比較した国内価格ではなくて，国内価格のみに依存した海外取引フローの描出にある。

(2)

32

経営と経済

(注)

1 )

参考文献の

(1)

およびを

(5

)指す。

2 )

つのシナリオが書かれた。

② 原油の海外市場価格が

2

倍にされた。

④ 電気公益事業の生産能力が.

1 0 9 6

だけ削減された。

@

国内石油粕製業者の生産能力が

.10%

@ 同内原油および天然ガスの生産能力が.

10%

表ロヴ

記

x=

部門産出額ベクトノレ

Xj=

部門jの産出額。

A =

生産技術係数の

nXn

行列;

a l J =

部門jの産出物(もしくは財貨j) l単位を生産するのに，部門 iに要求される投入物の額。

I=nxn

恒等行列。

m =

輸入ベクトノレ

m

j

=

輸入財jの輸入額。

z=

輸出ベクト

J

レ;

ZJ=

輸出財jの輸出額。

B=

輸入技術係数の

nXn

行列;

b

1j

=

財貨jの

1

単位を輸入するのに，部門iに要求される投入物の額ロ

c=

消費ベクトノレ，

Cj=

財貨jの佃人消費額。

g=

政府購入，資本形成および純在庫変動のベクトノレ。

支=部門生産能力ベクトノレ;ぷ=部門 jの生産能力額。

Vj

=

付加価値係数;部門jによって支払われる産出物l単位当りの賃金，賃貸料，資本投資の収益，税金および部門jの単位利潤。

p=

価格ベクトノレ;

pj=

財貨 ( サービスの市場価格。

π =

賃貸料ベクトノレ7ij=部門jの生産能力に対して支払われる賃貸料。

1 . QP

モデルの定式化とその経済的前提

本稿で取扱う

2

次計画モデ、ノレ(以下

Q P

モデノレと略記する)は，次の式によって表記される

o

(3)

r 2

次計画としてのマクロ経済モデル」

33

n i n

( 1 ) (1)

n (2)

Max H =戸￨αljCj‑~ skj Ck Cj ーを βjjC川町jZj-~βkjkZZj j=l ‑ k=l

kチ kチj

( 2 )

n

( 3 ) (3) i

ーき βjjZ/ーα3jmj一戸 βkjmk mjーを βjjm/‑XjVj

I

k=l

k

チ

j

s u b .

to.

(1 ‑

A)x

十 (1‑

B)m‑z‑c=g

…

^p

X

三二文・・・

π

(1.1)

( 1 . 2 ) ( 1 . 3 ) x

，

m

，

z

，

c

孟

o

(1.

4 )

目的関数の日は， 1) 純社会的利得とよばれるものであるD 制約式(1

. 2 )

を変形すると，

m+x=Bm+Ax+c+z+g

となるD この式の左辺は，全供給であり，右辺は全需要である。すなわち，

( 1 . 2 )

の式は，全供給と全需要が等しいことを表わしている

o

また，

p

は，この制約式の双対変数ベクトノレであり，財貨やサービスの市場価格を表わす。制約式(1.

3 )

は，生産がその生産能力をこえないことを表わす。制約式(1.

3 )

の双対変数ベクトノレ

π

は，生産能力に対して支払われる賃貸料を表わすO また，制約式(1

. 4 )

は，主変数ベクトノレx，m， z， cがすべて非負であることを示す。

各産業部門は，単一産出財を生産する

o

また，生産について，規模に関する収穫一定性が成立する

^o

それから，各財貨の市場価格 pjと国際価格dj は，その財貨の需要量(または供給量)と線形関係にある

o

この関係は，それぞれ以下の式によって表わされるの。

n

( 1 )

pj=αlj-~βωk ( j =

1

，…， n)

( 1 . 5 )

k=l

pj=α2J‑2n1βGkJ〉ZK (j =

1

，ロ)

( 1 . 6 )

k=l n (3)

dj= α

叫内

3ωj

一

k2戸=ユl β kj

川

I口m ( j =

1

， n)

( 1 . 7 )

(4)

3 4

経営と経済また，各企業家の利潤は，均衡時にゼロであることが前提されている的。

これは， (1.1)の付加価値係数

VJ

が定数(正数)であるという前提と関連して重要であるO なぜなら，付加価値は，賃金，賃貸料，資本支出，税金および利潤により成るD ここで，利潤をゼロと前提することは，付加価値を全本源的投入物(労働，土地，資本および政府サービス)の賀用と等しいとみなすことであるO その結果，本源的投入物の価格は，需要量から独立して一定であると仮定されていることになる。この前提は i本源的投入物の需要が供給より小さい場合，価格はゼロに下落する」という伝統的な経済学の前提と相反している。

(注)

1) サムエノレソン

[3J

を参照せよ。

(q)

2 )

これらの曲線の傾き凡J(q= 1， 2 ， 3) と pj=l( または d~=

1)

における

(q)

需要の価格弾力性九』との関係は，以下のとおりである。

d C

k

ε ⁽ ¹ ⁾ ⁼ ^dPJ

一一 = ー ̲ 1 ̲ (k.

j=l

， n)

k J

c~

SI)

一二喜一

βkJ

pi c f

( 1 )

司

・

.βkJ

一

( 1 )

ム n

(k. j=

l，…. n)

εkJ C

長

3 )

たとえば，へンダーソン・クオント

(6)の p.211を参照せよ。ただし，前掲

書

(6)でも，この前提は長期均衡条件として言及されている。隼者には，乙の仮定

が，本来静的均衡分析をめざす当モデルにおいて，モデノレ全体の斉合J性を損っていると思われる。

2 . Q P

の最適条件とその経済的解釈

2

次計画(以下

QP

と略記する )(1.

1 ) " " ' (

1.

4 )

のキューン=タッカ一条件。は，最適主変数を

X J

，

C ， j ζJ

，

Z J

によって，最適双対変数を

P J

，

7 t J

によって表わすと，それぞれ以下のようになる

o

(5)

r 2

次計画としてのマクロ経済モデノレ

J 3 5

ハ

U

nu

'/ 与一

円

Z

v

a

n 恥

Z

戸

⑦ 日

7tj:::::::

0 ; = 0

b A ﹂み己

ル

} L

﹂

のの

0

一向

>

引

'Z

一〆

t k

︐ ︐

︑

( 2 .

1) n

( 3 ) ~

n

~

④ ー α3j-~βkJ

mk+pj‑ 2 : ^p ， ^b ^' ^J

^三^三

o; ^= 0

k=l i=l

(mJ> 0

のとき)

( 2 . 2 ) n ω

⑨ ー α2j-.~βkJ

Zk‑P J

三三

o; ^= 0

k=l

(ZJ>O

のとき)

( 2 . 3 )

n C D ， . . . . . . ，

③

α'J‑ 2 : β k J Ck‑P

ぷ

o; = 0 k=l

(CJ> 0

のとき)

( 2 . 4 ) n

まず，⑦の場合の経済的解釈から始めよう。それには，

PJ‑ 2 : p

，

a l J ‑VJ

を国内生産者の部門jにおける単位利潤として定義する必要がある。こうしておいて，

( 2 . 1 )

の式を書き直すと，次の

4

つの式が出てくる

o

ζ 内町

一

= v v

凶 m

z z

日目

︒ ︒

ハ U ハ U

=

>

市内勾

rBEEf

︑

EE't

ハ

_U

n u

﹀一一=

円列

︒ ︒

= 一向一向 /

¥ 同中川 r I I J E l

‑ ‑ ︑

さらに，この

4

つの式を左の条件を基準にまとめると，以下のようになる

o

i ) XJ>XJ= 0 c : : : : > PJ‑S

，

p

，

a'J‑vJ

三三

0(=πJ)

~ 2)

i i ) XJ=XJ>O

C::::>

PJ‑S

，

p

，

alj‑vJ (=町)ニミ O i i i ) X J > 勾 > O

C::::>

PJ‑S

，

p

，

a'J‑vJ(=πJ)= 0

また，右の条件を基準にまとめると，以下のようになる。

i) 単位利潤

> 0

ゅ粗産出高=生産能力

i i )

単位利潤 =

O c : : : : > 0

豆粗産出高三三生産能力 iii) 単位利潤

< O

C::::>粗産出高

= 0

乙れらの条件

i )i i ) i i i )

は，図

l

の(a)に描出される

o

結局，②の条件を経済的に解釈すると，国内生産者の利潤最大化行動ということになろうD

(6)

3 6

_{経営と経済}

n

次に，④の場合の経済的解釈に移ろう。この場合も，

PJ ‑ ~ P I b ^lJ ‑d J

を輸入業者の部門 ^jにおける単位利潤と規定することから始める。⑦と同様に，(

2 . 2 )

の式を書き改めると以下のようになる。

ハU

く一一

m

n GA

一k

Z

ペ

α

LU 引

n Z

同

ハ U ︒

目

m

ハ

U

m

oβ

n z

b

α

10

n

‑

n 2 . F

t

目

︒ ハυ

>

m

これらの条件

i ) i i )

は，図

l

の(

b )

に描出される

o

結局，(1)の条件を経済的に解釈すると，輸入業者の利潤最大化行動ということになるD

それでは，@の場合は，経済的にどう解釈したらよいのであろうか

0 ( 2 . 3 )

の式は，次のように書き直すことができる。

n

( 2 ) ~

i )

ZJ=OÒα2J-~βkJZk豆PJ

k=l

( j = 1，…，

n)

n ( 2 ) ~

r‑.J

i i ) ZJ> 0 o α2J‑ 2 : βkJZk=Pj k=l

これらの式は，図lの

( c )

に示されるように，最終需要が需要曲線によって価格と線形関係にある，と解釈することが出来る。

( j = 1，…， n)

@のケースも，⑨と同様の結論に到達する。

( 2

.4)の式を詳しく書くと，

以下のようになる。

n ( 1 )

戸

i ) Cj= 0 o α I J 一予丁 βωk

三三P

J k=l

( j

= 1

，…， n)

n ( 1 ) ~

i i ) CJ> 0 o α1J‑ 2 : skjCk=PJ k=l

これらの式も，最終需要が需要曲線によって価格と線形関係、にある，乙とを ( j =

1

，…， n)

示しており，図

l

の

( d )

によって描出される

o

(注)

1) 数理計画問題が，等号f!j!J約式と不等号制約式をともに含む場合のキューン=タッ

(7)

1 2

次計画としてのマクロ経済モデル」

³⁷

カ一条件は，以下のとおりである。

x

が，数理計画問題

Max f ( x )

，

x=

乞(1，...，

x

n)'，

s u b . t o .

gl

( x )

豆

b

i> i

= 1

，…，

u g J ( x )

二三

bJ

^，

j=li+l

， …，

V

，

gk(x)=bk

^，

k=V+l

，…，

m

，

and x

ミ

0

に対する局所的最大値であり，かつ制約想定が満足されるならば，そのとき

y'f (;)

-:E~

^y'^g^l⁽^;^)亘

o

二

{ZJQ‑ 土 ζ 芸ぁ } = o ^j ⁼ ¹

^，…， ^n，

A

J { b

i‑

g j G ; ' ) } = 0

^， ⁱ

⁼ ¹

^，・^・^・^，

^m

^，

入 t

三三()， i

= 1 ，

・・・， u，

^ ' J

壬

0

，

j=U+l

・・・，

V

，

しな件条号

符する

h

立成

よ川

N

k=V+

l，・・・，

m

，

図

1 ( a )

^E^{︐ ︐} ^{・ ︑}

^h ^u

^{︑ . ︐ ︐}

部門 ] の単位利潤

輸入業者の部門 jにおける単位利潤

。。

m

l

x . x .

(8)

38

経営と経済図

1 ( c ) ( d )

z

j

c

j

2 )

この結果は，1.で行なった経済的前提(ゼロ利潤条件)と矛盾している。

Glasseyは

，

r

乙の前提は，正の単位利潤を，稀少生産能力に対し産業によって支払われる賃貸料と解釈することで，満足される。J(参考文献

(5

)の

p . 3 5 )

と言っているが，私lとは，その説明が上記の状況を説明しているとは，考えられない。1.の注の

3)でも述べた乙とであるが，私は，むしろゼロ利潤条件を除くことによって， r

本源的投入物の需要が供給より小さい場合，価格はゼロに下落する」という伝統的な理論と矛盾する乙ともなく，かつまた図lの(a)の状況も説明できると考える。

むすび

本稿は，エネノレギー，モデノレとしての

QP

の有用性を確認する上で書き始めた論文であったが，結果的には，双対変数ないしはラグランジュ乗数

π

に対する独特の解釈を与える，というにとどまった。

π

が，生産能力に対して支払われる賃貸料を与える一方で，国内生産者の各部門における単位利潤を表わし，それが，図 lの

( a )

にみられるような利潤最大化行動として解釈できるという議論は，経済学的な理論的枠構造としては，興味深い。しかし，長期均衡条件であるゼロρ単位利潤という仮定をモデノレ内に導入したことで，

モデル全体の斉合性については疑問が残った。筆者としては，今後

1)

政策変

(9)

r 2

次計画としてのマクロ経済モデノレ」

39

数

S

と

t

の内生変数化による

2)

スカーフ流の均衡計算問題として，乙の研究を展開してゆきたいと思うO

(注)

1 )

いま，第i。部門の財1i(たとえば石油)の海外価格

di O

と国内価格

Pio

が，極端に垂雌している状態があるとする

(dio>PiO)

。政府は，

Plo

が

di O

まで上昇することを防止しようとするが，単なる価格統制は，同じ第i。財を，国内部門から調達する第 j。部門(たとえば石油精製部門)の企業休と海外から輸入する第 j。部門の企業体との間に不平等を生じさせることになる。そとで，政府は，資格付与計画を政策としてとり入れることにする。すなわち，第 j。財を国内価格

Pi

。で購入する資格を，政府が，

第j。部門の企業体

l

乙販売し，海外価格

d l O

で購入する同部門の企業体

l

乙補助金として支払うというものである。

この政府介入政策を前の

QP

モデル!ととり入れるために，次の

2

つの変数

s . t

がモデノレ!と迫加される。

s

輸入された第i。財・への補助率

t

国内の第 i。財への課税率

補助金の財源、が，他から調達できないとすれば，以下の条件が，成立しなければならな

し、。

tXlo=Smlo ( a . 1 )

モデノレの図

1

の

( a )

で示されたように，介入がないとすれば，向。=示

>0

のとき， 7l'

l o (=Plo‑ki PI al

，

io‑ViO)

ミ

0

である。しかし，政策当日は，次の条件が満たされるように，市場に介入するものとする。

7l'

lo= 0 ( a . 2)

条件式

( a .1)

と

( a .2)

をこのままにしては，政策変数

S

および

t

を経済的に解釈することは，不可能である。そこで，

( a . 1)

と

( a .2)

の代りに，以下の条件式

( a . 3)

と

( a .4)が，モデノレ V

'3!と導入されることになる。

Plo=α3io + . L :

sk，

i O m

k

+ . L : P1bi

，

10‑S ( a . 3)

n

Plo= . L : Plal

，

I O 十 Vio

什

10+ t ( a . 4

J

(10)

4 0

経営と経済すなわち，条件

( a .3)

および

( a .4)

をモデノレの中にくみこみ，

2 .

で示したような最適条件の中に

( a .1)

と

( a .2)

を見出そうとしたが，乙の試みは，今日にいたるも成功していない。そこで，本稿では，今後の研究の方向を示すにとどめておくこととする。

2 ) Glassey (1

)の

p . 8 8 3の

1.

4

'"'‑'1.

5

を参照せよ。

参考文献

( 1) Glassey

，

C. Roger

，

P r i c e S e n s i t i v e Consumer Demands i n Energy Modeling‑A Quadratic Programming Approach t o t h e Analysis o f some Federal Energy Agency P o l i c i e s

，"

Management S c i e n c e

，

Vol 2 4

，

No. 9 May 1 9 7 8 .

( 2) Houthaker

，

H and S . Magee

，

Income and P r i c e E l a s t i c i t i e s i n World Trade

，"

The Review 0 / Economics and S t a t i s t i c s

，

Vo

l.

5 1 May 1 9 6 9 .

( 3) Samuelson

，

P S p a t i a l P r i c e Equilibrium and

Li

near Programming

，

"American Economic Review

，

V o l . 4 2 June 1 9 5 2 .

(4) Scar

，f

H. E.

，

The Computation 0 / E q u i l i b r i a

，

Yale Univ. Press

，

1 9 7 3 . (5) Glassey

，

C. Roger and P . Benenson

，

A Quadratic A n a l y s i s o f Energy i n t h e United S t a t e s Economy

， "

E l e c t r i c Power R e s e a r c h R e p o r t ES 1 1 6 ; NITS NO. PB252209

，

DEC 1 9 7 5 .

(6) Henderson

，

J . M and R. E. Quandt

，

Microeconomic Theory A

M a t h e m a t i c a l Ap ρ r o a c h

，

Second e d i t i o n

，

McGrawHill

，

1 9 7 1 ;

小宮，兼光訳『現代経済学一価格分析の理論ー』増訂版，創文社，

1 9 7 9

年。