P (10) の場合 - スピノル群の極大対蹠的部分群について

(2) A_1,2={1,2,3,4,5,6,7,8}を取る。すると A(A1,2) =P4(8)

となる。これらはS(A_1,2) = Sym({1,2,3,4,5,6,7,8})× {9}より軌道になっていることが分かる。

(2.1) P4(8)の最小元{1,2,3,4}を取り、A1,2に加えると A_2,3={{1,2,3,4},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られるので、(1.3)に帰着する。

が得られる。よって A(A2,1) = {{3,4,5,6}}

∪ {{1,2},{3,4}} ×P2({7,8,9,10})

∪ P1({1,2})×P1({3,4})×P1({5,6})×P1({7,8,9,10})

∪ P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})

∪ P₄({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P6({5, . . . ,10})

となる。A(A2,1)において、{3,4,5,6}と他の元は対蹠的なのでA_2,1に加え

A(3,1) ={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6}}=A(4,6) が得られる。そして

A(A3,1) = P1({1,2})×P1({3,4})×P1({5,6})×P1({7,8,9,10})

∪ {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7,8,9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P2({7,8,9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P4({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5, . . . ,10})

となる。S(A3,1)は{{1,2},{3,4},{5,6}}の置換作用なので、これらは軌道になっている。

(1.1.1) P1({1,2})×P1({3,4})×P1({5,6})×P1({7,8,9,10})の最小元{1,3,5,7} を取り、A3,1に加え、

A_4,1={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7}}

が得られる。よって

A(A4,1) = {{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}}

∪ {{1,3,6},{1,4,5},{2,3,5},{2,4,6}} ×P1({8,9,10})

∪ {{1,2,7},{3,4,7},{5,6,7}} ×P1({8,9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P1({7})×P1({8,9,10})

となる。{{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}}はそれぞれ対蹠的であり、

A(A4,1)において他の元とも対蹠的なのでA4,1に加え

A(7,1) = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7}, {1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}}

が得られる。また、A7,1とB(4,7) =B_3,7^c は合同なので A(A7,1) = {{1,2,7},{3,4,7},{5,6,7},{1,3,6},{1,4,5},

{2,3,5},{2,4,6}} ×P1({8,9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P1({7})×P1({8,9,10})

= A^c_7,1×P1({8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₁({7})×P₁({8,9,10}) となる。これらはS(A7,1)の軌道になっている。

(1.1.1.1) A^c_7,1×P1({8,9,10})の最小元{1,2,7,8}を取り、A7,1に加えると A8,1 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7},

{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{1,2,7,8}}

が得られる。よって

A(A8,1) = {{3,4,7},{5,6,7},{1,3,6},{1,4,5}, {2,3,5},{2,4,6}} ×P1({8})

∪ {{1,2,3,4,5,6,7,8}}

となり、これらをA8,1に加え、極大対蹠的部分集合A15,1=B(4,8)∪ {{1,2,3,4,5,6,7,8}}が得られる。

(1.1.1.2) P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P1({7})×P1({8,9,10})の最小元 {1,2,3,4,5,6,7,8}を取り、A7,1に加えると

A_8,2 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7},

{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A_8,2) = {{1,2,7},{3,4,7},{5,6,7},{1,3,6},{1,4,5}, {2,3,5},{2,4,6}} ×P1({8})

となり、これらをA8,2に加え、極大対蹠的部分集合A15,1=B(4,8)∪ {{1,2,3,4,5,6,7,8}}が得られる。

(1.1.2) {7,8,9,10}をA_3,1に加えると

A_4,2={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,2) = {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7,8,9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})× {{7,8},{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5, . . . ,10}) となる。

{{1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}}

はそれぞれ対蹠的で、A(A4,2)において他の元とも対蹠的なのでA_4,2 に加え

A9,1 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。そして

A(A9,1) ={{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7,8,9,10}) となり、これはS(A9,1)の軌道になっている。

1.1.2.1 {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7,8,9,10})の最小元{1,2,7,8} を取り、

A_9,1に加えると

A_10,1 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{1,2,7,8},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10},

{3,4,5,6,7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって

A(A10,1) = {{3,4},{5,6}} ×P2({7,8})

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({9,10})

となり、A10,1に加えると極大対蹠的部分集合A15,2=A(4,10)∪A(8,10) が得られる。

(1.1.3) {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P₂({7,8,9,10})の最小元{1,2,7,8} を取り、

A3,1に加え

A4,3={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8}}

が得られる。よって

A(A4,3) = P1({1,2})×P1({3,4})×P1({5,6})×P1({7,8})

∪ {{7,8,9,10}}

∪ {{3,4},{5,6}} × {{7,8}}

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} × {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})× {{7,8},{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P6({5, . . . ,10})

となる。{{3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}はそれぞれ対蹠的で、A(A4,3)において他の元とも対蹠的なのでA_4,3に加え

A_7,2 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8} {3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。そして

A(A_7,2) = P₁({1,2})×P₁({3,4})×P₁({5,6})×P₁({7,8})

∪ {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} × {{9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P2({9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P4({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P6({5, . . . ,10}) となり、これらはS(A7,2)の軌道になっている。

(1.1.3.1) P₁({1,2})×P₁({3,4})×P₁({5,6})×P₁({7,8})の最小元{1,3,5,7}を取り、A7,2に加え

A8,3 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8}

{3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,3,5,7},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A8,3) = {{1,3,6,8},{1,4,5,8},{1,4,6,7},{2,3,6,7}, {2,4,5,7},{2,3,5,8},{2,4,6,8}}

となり、A8,3に加えると極大対蹠的部分集合

A15,1=B(4,8)∪ {{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。

(1.1.3.2) {7,8,9,10}を取り、A7,2に加え

A_8,4 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8}

{3,4,7,8},{5,6,7,8},{7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A8,4) = {{1,2},{3,4},{5,6}} × {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5, . . . ,10})

となり、これらをA_8,4に加えると極大対蹠的部分集合A_15,2=A(4,10)∪ A(8,10)が得られる。

(1.1.3.3) {{1,2},{3,4},{5,6}} × {{9,10}}の最小元{1,2,9,10}を取り、A7,2に加え

A8,5 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8}

{3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A8,5) = {{7,8,9,10}}

∪ {{3,4},{5,6}} × {{9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P2({9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P4({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P6({5, . . . ,10})

となり、これらをA8,5に加えると極大対蹠的部分集合A15,2=A(4,10)∪ A(8,10)が得られる。

(1.1.3.4) {1,2,3,4,5,6,9,10}を取り、A7,2に加え

A_8,6 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8} {3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって(1.1.3.3)に帰着する。

(1.1.3.5) {1,2,3,4,7,8,9,10}を取り、A7,2に加え

A_8,7 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8} {3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.1.3.3)に帰着する。

(1.1.3.6) {{1,2},{3,4}}×P₆({5, . . . ,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、

A7,2に加え

A8,8 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,7,8} {3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.1.3.3)に帰着する。

(1.1.4) P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P2({7,8,9,10})の最小元 {1,2,3,4,5,6,7,8}を取り、A3,1に加え

A_4,4={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A_4,4) = P₁({1,2})×P₁({3,4})×P₁({5,6})×P₁({7,8})

∪ {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} × {{7,8},{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P4({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P6({5, . . . ,10})

となる。{{1,2,7,8},{3,4,7,8},{5,6,7,8}}はそれぞれ対蹠的で、

A(A_4,4)において他の元とも対蹠的なのでA_4,4に加え

A_7,2 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{1,2,7,8},{3,4,5,6},

∪ {3,4,7,8},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

= A(4,8)∪ {{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって(1.1.3)に帰着する。

(1.1.5) P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})を取り、A3,1に加え

A_4,5={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A_4,5) = {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P₂({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5, . . . ,10})

となる。{{7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的で、A(A4,5)において他の元とも対蹠的なのでA4,5に加え

A7,3={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A7,3) = {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7,8,9,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6})×P2({7,8,9,10})

となる。これらはS(A7,3)の軌道になっている。

(1,1,5,1) {{1,2},{3,4},{5,6}}×P2({7,8,9,10})の最小元{1,2,7,8}を取る。これをA_7,3に加え

A_8,9={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{1,2,7,8},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A_8,9) = {{1,2},{3,4},{5,6}} × {{9,10}}

∪ {{3,4},{5,6}} × {{7,8}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})× {{7,8},{9,10}}

となり、これらはそれぞれ対蹠的なのでA_8,9に加え、

極大対蹠的部分集合A15,2=A(4,10)∪A(8,10)が得られる。

(1.1.5.2) P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})の最小元 {1,2,3,4,5,6,7,8}を取り、これをA7,3に加え

A8,10 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よってこれは(1.1.5.1)に帰着する。

(1.1.6) {{1,2},{3,4}}×P₆({5, . . . ,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、

A3,1に加え

A_4,6={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,6) = {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})

∪ {{3,4,5,6,7,8,9,10}}

{{7,8,9,10},{1,2,3,4,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的なのでA_4,6に加え

A7,3={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。これは(1.1.5)に帰着する。

(1.2) P4({5, . . . ,10})の最小元{5,6,7,8}を取り、A1,1に加え A_2,2={{1,2,3,4},{5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A2,2) = P2({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})

∪ P₂({1,2,3,4})× {{9,10}}

∪ P₂({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({5,6,7,8})

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})×P2({9,10})

∪ P2({1,2,3,4})×P6({5,6,7,8,9,10})

となり、{1,2,3,4,5,6,7,8}はA(A2,2)において他の元と対蹠的なので A2,2に加えられ

A3,2={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A3,2) = P2({1,2,3,4})×(P2({5,6,7,8}),{9,10})

∪ P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})×P2({9,10})

∪ P₂({1,2,3,4})×P₆({5,6,7,8,9,10})

となり、これらはS(A_3,2)の軌道になっている。

(1.2.1) P2({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})の最小元{1,2,5,6}を取り、A3,2に加えると

A_4,7={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A4,7) = {{1,2}} × {{7,8},{9,10}}

∪ {{3,4}} × {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5,6,7,8,9,10})

となり、これらは互いに対蹠的なのでA_4,7に加えられ、極大対蹠的部分集合A15,2=A(4,10)∪A(8,10)が得られる。

(1.2.2) P2({5,6,7,8})× {{9,10}}の最小元{5,6,9,10} を取り、A3,2に加えると

A4,8={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A4,8) = P2({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{7,8,9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ P2({1,2,3,4})×P6({5,6,7,8,9,10})

となる。A(A4,8)において{7,8,9,10}と他の元は対蹠的なのでA4,8に加えると

A_5,1 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10}, {7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A5,1) = P2({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ P₂({1,2,3,4})×P₆({5,6,7,8,9,10}) となり、これらはS(A_5,1)の軌道になっている。

(1.2.2.1) P₂({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}の最小元{1,2,5,6} を取り、

A5,1に加え

A_6,1 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,5,6},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって(1.2.1)に帰着する。

(1.2.2.2) P₄({1,2,3,4})×{{5,6},{7,8}}×{{9,10}}の最小元{1,2,3,4,5,6,9,10} を取り、A5,1に加え

A6,2 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって

A(A6,2) = P2({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})× {{7,8}} × {{9,10}}

∪ P2({1,2,3,4})×P6({5,6,7,8,9,10})

となり、{1,2,3,4,7,8,9,10}はA(A_6,2)において他の元と対蹠的なのでA6,2に付け加えられ

A_7,4 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A7,4) = P2({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ P2({1,2,3,4})×P6({5,6,7,8,9,10}) となり、これらはS(A7,4)の軌道になる。

(1.2.2.2.1) P2({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}の最小元{1,2,5,6} を取り、

A_7,4に加えると

A8,11 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10},

{1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A8,11) = {{1,2}} × {{7,8},{9,10}}

∪ {{3,4}} × {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5,6,7,8,9,10})

これらは互いに対蹠的なのでA_8,11に加えられ、極大対蹠的部分集合 A15,2=A(4,10)∪A(8,10)が得られる。

(1.2.2.2.2) P2({1,2,3,4})×P6({5,6,7,8,9,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、A7,4に加えると

A8,12 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.2.2.2.1)に帰着する。

(1.2.2.3) P₂({1,2,3,4})×P₆({5,6,7,8,9,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、A5,1に加え

A_6,3={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A6,3) = {{1,2},{3,4}} × {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{1,2,3,4,}} × {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ {{3,4}} × {{5,6,7,8,9,10}}

となる。これらは互いに対蹠的なのでA_6,3に加えられ、極大対蹠的部分集合A15,2=A(4,10)∪A(8,10)が得られる。

(1,2,3) P4({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})×P2({9,10})の最小元 {1,2,3,4,5,6,9,10}を取り、A3,2に加えると

A4,9={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって

A(A_4,9) = P₂({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ {{1,2,3,4,7,8,9,10}}

∪ {{1,2},{3,4}} ×P6({5,6,7,8,9,10})

となり、{{5,6,9,10},{7,8,9,10},{1,2,3,4,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的でA(A4,9)において他の元とも対蹠的なのでA4,9に加えられ、

A7,5 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A_7,5) = P₂({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{1,2},{3,4}} ×P₆({5,6,7,8,9,10}) となる。これらはS(A_7,5)の軌道になっている。

(1.2.3.1) P2({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}の最小元{1,2,5,6} を取り、

A_7,5に加え

A_8,11 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10},

{1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。これは(1.2.2.2.1)に帰着する。

(1.2.3.2) {{1,2},{3,4}} ×P6({5,6,7,8,9,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、A7,5に加え

A8,13 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。これは(1.2.2.2.1)に帰着する。

(1.2.4) P₂({1,2,3,4})×P₆({5,6,7,8,9,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、A3,2に加え

A4,10 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,10) = {{1,2},{3,4}} ×P2({5,6,7,8})

∪ {{1,2},{3,4}} × {{9,10}}

∪ P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ {{3,4}} ×P₆({5,6,7,8,9,10})

となり、{{1,2,9,10},{3,4,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的でA(A4,10)において他の元とも対蹠的なのでA4,10に加えられ

A7,6 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,9,10},{3,4,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A7,6) = {{1,2},{3,4}} ×P2({5,6,7,8})

∪ P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

となる。これらはS(A7,6)の軌道になる。

(1.2.4.1) {{1,2},{3,4}} ×P₂({5,6,7,8})の最小元{1,2,5,6}を取り、A7,6 に加え

A8,13 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{5,6,7,8},{1,2,9,10},{3,4,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10},

{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A8,13) = {{1,2,7,8}}

∪ {{3,4}} × {{5,6},{7,8}}

∪ {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})× {{5,6},{7,8}} × {{9,10}}

となり、これらは互いに対蹠的なのでA8,13に加えられ、極大対蹠的部分集合A15,2=A(4,10)∪A(8,10)が得られる。

(1.2.4.2) P₂({5,6,7,8})× {{9,10}}の最小元{5,6,9,10}を取り、A7,6に加え A8,14 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{5,6,7,8},{1,2,9,10},{3,4,9,10},

{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。これは(1.2.4.1)に帰着する。

(1.2.4.3) P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6,7,8})×{{9,10}}の最小元{1,2,3,4,5,6,9,10} を取り、A7,6に加え

A8,15 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,9,10},{3,4,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって(1.2.4.1)に帰着する。

(1.3) P₄({1,2,3,4})×P₄({5, . . . ,10})の最小元{1,2,3,4,5,6,7,8}を取り、

A1,1に加え

A_2,3={{1,2,3,4},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A_2,3) = P₂({1,2,3,4})×P₂({5,6,7,8})

∪ P₂({1,2,3,4})× {{9,10}}

∪ {{5,6,7,8}}

∪ P2({5,6,7,8})∪ {{9,10}}

∪ P4({1,2,3,4})×P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P2({1,2,3,4})×P6({5,6,7,8,9,10})

となる。{{5,6,7,8}}はA(A_2,3)の他の元と対蹠的なのでA_2,3に加えられ、

A_3,2={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

となり、(1.2)に帰着する。

(1.4) P₂({1,2,3,4})×P₆({5, . . . ,10})の最小元{1,2,5,6,7,8,9,10}を取り、

A1,1に加え

A_2,4={{1,2,3,4},{1,2,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A_2,4) = {{1,2},{3,4}} ×P₂({5, . . . ,10})

∪ P4({5, . . . ,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P4({5, . . . ,10})

∪ {{3,4}} ×P6({5, . . . ,10})

となる。{3,4,5,6,7,8,9,10}はA(A_2,4)において他の元と対蹠的なのでA2,4に加えられ

A_3,3={{1,2,3,4},{1,2,5,6,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。そして

A(A_3,3) = {{1,2},{3,4}} ×P₂({5, . . . ,10})

∪ P₄({5, . . . ,10})

∪ P4({1,2,3,4})×P4({5, . . . ,10})

となり、これらはS(A_3,3)の軌道になる。

(1.4.1) {{1,2},{3,4}} ×P₂({5, . . . ,10})の最小元{1,2,5,6}を取り、A3,3に加え

A_4,11 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,11) = {{1,2}} ×P2({7,8,9,10})

∪ {{3,4,5,6}}

∪ {{3,4}} ×P2({7,8,9,10})

∪ {{7,8,9,10}}

∪ P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6})×P₂({7,8,9,10})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({7,8,9,10})

となり、{{3,4,5,6},{7,8,9,10},{1,2,3,4,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的でA(A4,11)において他の元とも対蹠的なのでA4,11に加えられ

A_7,3 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{7,8,9,10}, {1,2,5,6,7,8,9,10},{1,2,3,4,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

となり、(1.1.6)に帰着する。

(1.4.2) P4({5, . . . ,10})の最小元{5,6,7,8}を取り、A3,3に加え A4,12 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10},

{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,12) = {{1,2},{3,4}} ×P2({5,6,7,8})

∪ {{1,2},{3,4}} × {{9,10}}

∪ P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P₄({1,2,3,4})×P₄({5,6,7,8})

∪ P₄({1,2,3,4})×P₂({5,6,7,8})× {{9,10}}

となり、{{1,2,9,10},{3,4,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}はそれぞれ対蹠的でA(A4,12)において他の元とも対蹠的なのでA4,12に加えられ

A_7,6 = {{1,2,3,4},{1,2,9,10},{3,4,9,10},{5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.2.4)に帰着する。

(1.4.3) P4({1,2,3,4})×P4({5, . . . ,10})の最小元{1,2,3,4,5,6,7,8}を取り、

A_3,3に加え

A4,13 = {{1,2,3,4},{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.2.4)に帰着する。

(2) A1,2={1,2,3,4,5,6,7,8}を取る。よって

A(A_1,2) = P₆({1, . . . ,8})× {{9,10}}

∪ P₄({1, . . . ,8})

∪ P₂({1, . . . ,8})× {{9,10}}

となり、これらはS(A1,2)の軌道になっている。

(2.1) P6({1, . . . ,8})× {{9,10}}の最小元{1,2,3,4,5,6,9,10}を取り、A1,2

に加え、

A2,5={{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって

A(A2,5) = (P4({1, . . . ,6})× {{7,8}} × {{9,10}})

−{{1,2,3,4,5,6,9,10}})

∪ P₄({1, . . . ,6})

∪ P₂({1, . . . ,6})× {{7,8},{9,10}}

∪ {{7,8,9,10}}

となり、{{7,8,9,10}}はA(A_2,5)において他の元と対蹠的なのでA_2,5 に加え

A_3,4={{7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって

A(A3,4) = (P4({1, . . . ,6})× {{7,8}} × {{9,10}})

−{{1,2,3,4,5,6,9,10}})

∪ P4({1, . . . ,6})

∪ P₂({1, . . . ,6})× {{7,8},{9,10}}

となり、これらはA3,4の軌道になっている。

(2.1.1)

(P4({1, . . . ,6})× {{7,8}} × {{9,10}})

− {{1,2,3,4,5,6,9,10}})

の最小元{1,2,3,4,7,8,9,10}を取り、A3,4に加えると

A_4,14 = {{7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,14) = (P2({1,2,3,4})× {{5, . . . ,10}}

∪ P4({1, ,2,3,4})

∪ P2({1, ,2,3,4})× {{5,6},{7,8},{9,10}}

∪ {{5,6}} × {{7,8},{9,10}}

となり、{{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10}}はそれぞれ対蹠的で A(A_4,14)において他の元とも対蹠的なのでA_4,14に加えられ

A7,5 = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{5,6,9,10},{7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.2.3)に帰着する。

(2.1.2) P₄({1, . . . ,6})の最小元{1,2,3,4}を取り、A3,4に加えると A4,15 = {{1,2,3,4},{7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8},

{1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。後は(1.2.3)に帰着する。

(2.1.3) P₂({1, . . . ,6})× {{7,8},{9,10}}の最小元{1,2,7,8}を取り、A3,4に加えると

A4,16 = {{1,2,7,8},{7,8,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,16) = {{1,2}} ×P2({3,4,5,6})× {{7,8,9,10}}

∪ {{3,4,5,6,7,8,9,10}}

∪ {{1,2}} ×P₂({3,4,5,6})

∪ {{3,4,5,6}}

∪ {{1,2,9,10}}

∪ P2({3,4,5,6})× {{7,8},{9,10}}

となる。{{3,4,5,6},{1,2,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的でA(A_4,16)において他の元とも対蹠的なのでA_4,16に加えられ

A_7,7 = {{1,2,7,8},{1,2,9,10},{7,8,9,10},{3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。そして

A(A7,7) = {{1,2}} ×P2({3,4,5,6})× {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2}} ×P2({3,4,5,6})

∪ P2({3,4,5,6})× {{7,8},{9,10}}

となり、これらはS(A7,7)の軌道になっている。

(2.1.3.1) {{1,2}}×P2({3,4,5,6})×{{7,8,9,10}}の最小元{1,2,3,4,7,8,9,10} を取り、A7,7に加え

A8,16 = {{1,2,7,8},{1,2,9,10},{7,8,9,10},{3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {1,2,3,4,7,8,9,10},{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A8,16) = {{1,2,5,6,7,8,9,10}}

∪ {{1,2}} × {{3,4},{5,6}}

∪ {{3,4},{5,6}} × {{7,8},{9,10}}

となる。これらをA_8,16に加え、極大対蹠的部分集合A_15,2=A(4,10)∪ A(8,10)が得られる。

(2.1.3.2) {{1,2}} ×P₂({3,4,5,6})の最小元{1,2,3,4}を取り、A7,7に加え A8,17 = {{1,2,3,4},{1,2,7,8},{1,2,9,10},{7,8,9,10},

{3,4,5,6},{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。これは(2.1.3.1)に帰着する。

(2.1.3.3) P2({3,4,5,6})× {{7,8},{9,10}}の最小元{3,4,7,8}を取り、A7,7に加え

A8,18 = {{1,2,7,8},{1,2,9,10},{7,8,9,10},{3,4,5,6}, {3,4,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。これは(2.1.3.1)に帰着する。

(2.2) P₄({1, . . . ,8})4の最小元{1,2,3,4}を取り、A1,2に加え A2,6={{1,2,3,4},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A_2,6) = {{1,2,3,4}} ×P₂({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ P₂({1,2,3,4})× {{5,6,7,8}} × {{9,10}}

∪ {{5,6,7,8}}

∪ P₂({1,2,3,4})×P₂({5,6,7,8})

∪ P2({1,2,3,4})× {{9,10}}

∪ P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

となり、{{5,6,7,8}}はA(A_2,6)において他の元と対蹠的なのでA_2,6 に加え

A3,2={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって(1,2)に帰着する。

(2.3) P2({1, . . . ,8})× {{9,10}}の最小元{1,2,9,10}を取り、A1,2に加え A_2,7={{1,2,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}}

が得られる。よって

A(A2,7) = {{1,2}} ×P4({3, . . . ,8})× {{9,10}}

∪ {{3,4,5,6,7,8,9,10}}

∪ {{1,2}} ×P2({3, . . . ,8})

∪ P4({3, . . . ,8})

∪ P2({3, . . . ,8})× {{9,10}}

となり、{{3,4,5,6,7,8,9,10}}はA(A_2,7)において他の元と対蹠的なのでA2,7に加えられ

A_3,5={{1,2,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8},{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A_3,5) = {{1,2}} ×P₄({3, . . . ,8})× {{9,10}}

∪ {{1,2}} ×P₂({3, . . . ,8})

∪ P₄({3, . . . ,8})

∪ P2({3, . . . ,8})× {{9,10}}

となり、これらはS(A3,5)の軌道になっている。

(2.3.1) {{1,2}} ×P4({3, . . . ,8})× {{9,10}}の最小元{1,2,3,4,5,6,9,10}を取り、A3,5に加え

A4,17 = {{1,2,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8},{3,4,5,6,7,8,9,10}, {1,2,3,4,5,6,9,10}

が得られる。よって

A(A4,17) = {{1,2}} ×P2({3,4,5,6})× {{7,8,9,10}}

∪ {{1,2}} ×P2({3,4,5,6})

∪ {{1,2,7,8}}

∪ {{3,4,5,6}}

∪ P₂({3,4,5,6})× {{7,8},{9,10}}

∪ {{7,8,9,10}}

となる。{{1,2,7,8},{3,4,5,6},{7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的で A(A4,17)において他の元とも対蹠的なのでA4,17に加えられ

A7,7 = {{1,2,7,8},{1,2,9,10},{7,8,9,10},{3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって(2.1.3)に帰着する。

(2.3.2) {{1,2}} ×P2({3, . . . ,8})の最小元{1,2,3,4}を取り、A3,5に加え A_4,18 = {{1,2,3,4},{1,2,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8},

{3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって

A(A4,18) = {{1,2,5,6,7,8,9,10}}

∪ {{1,2}} × {{3,4}} ×P2({5,6,7,8})× {{9,10}}

∪ {{1,2}} ×P2({5,6,7,8})

∪ {{5,6,7,8}}

∪ {{3,4}} ×P₂({5,6,7,8,})

∪ {{3,4,9,10}}

∪ P₂({5,6,7,8})× {{9,10}}

となる。{{3,4,9,10},{5,6,7,8},{1,2,5,6,7,8,9,10}}はそれぞれ対蹠的でA(A4,18)において他の元とも対蹠的なのでA4,18に加えられ

A_7,6 = {{1,2,7,8},{1,2,9,10},{7,8,9,10},{3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,6,9,10}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。よって(1.2.4)に帰着する。

(2.3.3) P4({3, . . . ,8})の最小元{3,4,5,6}を取りA3,5に加え、

A_4,19 = {{1,2,9,10},{3,4,5,6},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。後は(2.3.1)に帰着していく。

(2.3.4) P2({3, . . . ,8})× {{9,10}}の最小元{3,4,9,10}を取りA3,5に加え、

A_4,20 = {{1,2,9,10},{3,4,9,10},{1,2,3,4,5,6,7,8}, {3,4,5,6,7,8,9,10}}

が得られる。後は(2.3.2)に帰着していく。

ドキュメント内スピノル群の極大対蹠的部分群について (ページ 40-62)