10 ２重積分　問題演習

Revised at 00:18, December 18, 2015 解析学Ｂ 第10回 http://my.reset.jp/˜gok/math/ 1

10

^{２重積分 問題演習}

10.1

複雑な領域の場合

例題10.1 次の領域Dでの２重積分をたて切り・よこ切り２種類の累次積分に直し て計算して下さい：

ZZ

D

2(y−2)dxdy, D :





(x−2)²+ (y−2)²≤9 x²+y²≤1

２円周の交点を求めると円周の方程式を辺々引いて

−4x+ 4−4y+ 4 = 8, 従って x+y = 0

となりますからx²+y²= 1に戻してx²= ¹₂ 従ってx=±^√₂²が得られます。

領域Dをたて切りにすると不等式：



 2−p

9−(x−2)²≤y≤√ 1−x²

−^√2² ≤x≤^√2²

または、





−√

1−x²≤y≤√ 1−x²

√2

2 ≤x≤1 で表され、横切りにすると





−p

1−y²≤x≤p 1−y²

√2

2 ≤y≤1

または、



 2−p

9−(y−2)²≤x≤p 1−y²

−^√2² ≤y≤ ^√2²

です。

まずたて切りで累次積分にすると ZZ

D

2(y−2)dydx= ZZ

(2−p

9−(x−2)²≤y≤√ 1−x²

−^√₂² ≤x≤^√₂²

2(y−2)dydx

+ ZZ

(−√

1−x²≤y≤√ 1−x²

√2 2 ≤x≤1

2(y−2)dydx

ですので右辺の積分をJ1, J2としましょう。すると

J1= ZZ

(2−p

9−(x−2)²≤y≤√ 1−x²

−^√₂² ≤x≤^√₂²

2(y−2)dydx

= Z ^√₂²

−^√2²

Z ^√1−x² 2−√

9−(x−2)²

2(y−2)dydx

= Z ^√₂²

−^√2²

£(y−2)²§^√1−x² 2−√

9−(x−2)²dx

= Z ^√₂²

−^√2²

Ω≥p1−x²−2¥2

−≥

−p

9−(x−2)²¥2æ dx

= Z ^√₂²

−^√2²

n≥1−x²+ 4−4p 1−x²¥

−©

9−(x−2)²™o dx

= Z ^√₂²

−^√2²

≥−4x−4p 1−x²¥

dx

=−8 Z ^√₂²

0

p1−x²dx

J2= ZZ

(−√

1−x²≤y≤√ 1−x²

√2 2 ≤x≤1

2(y−2)dydx

= Z 1

√2 2

Z ^√1−x²

−√ 1−x²

2(y−2)dydx

= Z 1

√2 2

Z ^√1−x² 0

(−8)dydx

=−8 Z 1

√2 2

p1−x²dx

Revised at 00:18, December 18, 2015 解析学Ｂ 第10回 http://my.reset.jp/˜gok/math/ 2 ですので

ZZ

D

2(y−2)dydx=J1+J2=−8 Z 1

0

p1−x²dx

ですが、この積分は原点中心半径1の円のうち第１象限部分の面積にほかなりません から

ZZ

D

2(y−2)dydx=−2π

が分かります。

一方よこ切りによる累次積分は ZZ

D

2(y−2)dydx= ZZ

(−p

1−y²≤x≤p 1−y²

√2 2 ≤y≤1

2(y−2)dxdy

+ ZZ

(2−p

9−(y−2)²≤x≤p 1−y²

−^√₂² ≤y≤ ^√₂²

2(y−2)dxdy

=H1+H2

と置けば、

H1= Z 1

√2 2

Z √

1−y²

−√

1−y²

2(y−2)dxdy

= 4 Z 1

√2 2

(y−2)p

1−y²dy

= 4 Z 1

√2 2

yp

1−y²dy−8 Z 1

√2 2

p1−y²dy

=−4 3

Z 1

√2 2

≥

−3yp 1−y²¥

dy−8 Z 1

√2 2

p1−y²dy

=−4 3

h(1−y²)³²i1

√2 2

−8 Z 1

√2 2

p1−y²dy

=

√2 3 −8

Z 1

√2 2

p1−y²dy

H2= Z ^√₂²

−^√2²

Z √

1−y²

2−√

9−(y−2)²

2(y−2)dxdy

= Z ^√₂²

−^√2²

2(y−2)≥p

1−y²−2 +p

9−(y−2)²¥ dy

= Z ^√₂²

−^√2²

2(y−2)np

1−y²−2o dy+

Z ^√₂²

−^√2²

2(y−2)p

9−(y−2)²dy

=−8 Z ^√₂²

0

np1−y²−2o dy−2

3 Z ^√₂²

−^√2²

n

−3(y−2)p

9−(y−2)²o dy

=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy+ 16

√2 2 −2

3

hp9−(y−2)²³i^√₂²

−^√2²

=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy+ 8√ 2−2

3





 vu ut9−

√√ 2 2 −2

!23

− vu ut9−

√

−

√2 2 −2

!23





=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy+ 8√ 2−2

3





 s

9 + 4√ 2 2

3

− s

9−4√ 2 2

3





=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy+ 8√ 2− 1

3√ 2

(r≥

2√

2 + 1¥23

−r≥

2√

2−1¥23)

=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy+ 8√ 2− 1

3√ 2

Ω≥2√ 2 + 1¥3

−≥ 2√

2−1¥3æ

=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy+ 8√ 2− 50

3√ 2

=−8 Z ^√₂²

0

p1−y²dy−

√2 3 となるので、

ZZ

D

2(y−2)dxdy =H1+H2=−8 Z 1

0

p1−y²dy=−2π

が得られ、さっきの答えと同じになります。

まあ、難しいと言うか何と言うか、単に面倒なだけでしょうかね。

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10.2

被積分関数が難しい場合

例題 10.2 ZZ

0≤u≤1,0≤v≤π

pu²+v²dudv

Z px²+Adx=1 2

n xp

x²+A+Alog|x+p

x²+A|o によれば、

ZZ

0≤u≤1,0≤v≤π

pu²+v²dudv

= Z π

0

ΩZ 1 0

pu²+v²du æ

dv

= Z π

0

1 2 h

up

u²+v²+v²log|u+p

u²+v²|i1 0dv

= 1 2

Z π 0

np1 +v²+v²log|1 +p

1 +v²| −v²log|v|o dv

= 1 2

Z π 0

p1 +v²dv+1 2

Z π 0

v²log≥ 1 +p

1 +v²¥ dv−1

2 Z π

0

v²logv dv ですが、右辺の３つの積分をJ1, J2, J3とすれば、

J1= 1 2

Z π 0

p1 +v²dv

= 1 4

hvp

1 +v²+ log|v+p

1 +v²|iπ 0

= 1 4

nπp

1 +π²+ log≥ π+p

1 +π²¥o J3=−1

2 Z π

0

v²logv dv

=−1 2

Ω∑1 3v³logv

∏π 0

− Z π

0

1 3v³1

vdv æ

=−1

6π³logπ+1 6

Z π 0

v²dv

=−1

6π³logπ+ 1 18π³

です。残りのJ2は、部分積分して J2= 1

2 Z π

0

v²log≥ 1 +p

1 +v²¥ dv

= 1 2

Ω∑1 3v³log≥

1 +p

1 +v²¥∏^π

0

− Z π

0

1

3v³ 1 1 +√

1 +v² · v

√1 +v²dv æ

= 1

6π³log≥ 1 +p

1 +π²¥

−1 6

Z π 0

v⁴

√1 +v²+ 1 +v²dv です。ここで右辺の積分をJ4として、更に√

1 +v²=t−vと置換すれば、

1 +v²= (t−v)² 1 =t²−2tv v=t²−1 p 2t

1 +v²=t−v=t−t²−1

2t = t²+ 1 2t dv

dt =2t(2t)−(t²−1)2

4t² =t²+ 1 2t² から、

J4=−1 6

Z π 0

v⁴

√1 +v²+ 1 +v²dv

=−1 6

Z π+√ 1+π²

1

(t²−1)⁴ (2t)⁴ t²+1

2t +^(t_(2t)²⁺¹⁾2²

t²+ 1 2t² dt

=−1 6

Z π+√ 1+π²

1

(t−1)⁴(t+ 1)² 8t⁴ dt

=−1 48

Z π+√ 1+π²

1

t⁶−2t⁵−t⁴+ 4t³−t²−2t+ 1

t⁴ dt

=−1 48

Z π+√ 1+π²

1

µ

t²−2t−1 + 4 t − 1

t²− 2 t³ + 1

t⁴

∂ dt なので、

=−1 48

∑1

3t³−t²−t+ 4 logt+1 t + 1

t² − 1 3t³

∏π+√ 1+π²

1

=−1

12[logt]^π+

√1+π²

1 − 1

48

∑1

3(t³−t⁻³)−(t²−t⁻²)−(t−t⁻¹)

∏π+√ 1+π²

1

=−1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1 48

∑

(t−t⁻¹) Ω1

3(t²+ 1 +t⁻²)−(t+t⁻¹)−1 æ∏π+√

1+π²

1

Revised at 00:18, December 18, 2015 解析学Ｂ 第10回 http://my.reset.jp/˜gok/math/ 4 となりますが、T =π+√

1 +π²としたとき、

T⁻¹= 1 π+√

1 +π² =p

1 +π²−π なので、

T−T⁻¹= 2π T²+ 1 +T⁻²= 4π²+ 3

T+T⁻¹= 2p 1 +π² がわかり、従って

J4=−1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1 48

∑

(t−t⁻¹) Ω1

3(t²+ 1 +t⁻²)−(t+t⁻¹)−1 æ∏T

1

=−1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1

48(T−T⁻¹) Ω1

3(T²+ 1 +T⁻²)−(T+T⁻¹)−1 æ

=−1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1 482π

Ω1

3(4π²+ 3)−2p

1 +π²−1 æ

=−1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1 24π

Ω4

3π²−2p 1 +π²

æ

=−1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1

18π³+ 1 12πp

1 +π² なので、結局、

J2= 1

6π³log≥ 1 +p

1 +π²¥ +J4

= 1

6π³log≥ 1 +p

1 +π²¥

− 1 12log≥

π+p

1 +π²¥

− 1

18π³+ 1 12πp

1 +π² です。

以上を合わせれば、求める積分Jは J=J1+J3+J2

= 1 4

nπp

1 +π²+ log≥ π+p

1 +π²¥o

−1

6π³logπ+ 1 18π³ +1

6π³log≥ 1 +p

1 +π²¥

− 1 12log≥

π+p 1 +π²¥

− 1

18π³+ 1 12πp

1 +π²

= 1 3πp

1 +π²+1 6log≥

π+p 1 +π²¥

−1

6π³logπ+1

6π³log≥ 1 +p

1 +π²¥ となります。

Exercise

基本演習1 次の２重積分を計算して下さい：

ZZ

(y² ≤x³+ 17 0≤x≤2,0≤y

y dxdy

基本演習2 (問題集8.2(4)) 次の累次積分の積分順序を交換して計算して下さい：

Z 1 0

Z 2x x

2x²y dydx.

基本演習 3 (問題集8.11(4)) a >0の時に次の２重積分をたて切り・よこ切りの２ 通りの累次積分に直して計算して下さい：

ZZ

D

x dxdy, D :





a²≤x²+y²≤2ay x≥0, y≥0.

基本演習 4 (問題集8.7(4)) 次の２重積分をたて切り・よこ切りの２通りの累次積

分に直して計算して下さい：

ZZ

x²≤y≤2−x

x²dxdy.

基本演習5 (問題集8.3(4)) 次の２重積分を計算して下さい：

ZZ

y≤2x, y≥2x²

(3y²−xy)dxdy.

基本演習6 (問題集8.19) 次の２重積分を計算して下さい：

ZZ

|x|+|y|≤1

(x²+y²)dxdy.

基本演習7 (問題集8.18(2)) 次の２重積分を計算して下さい：

ZZ

D

y dxdy, D :



 p_x

2+py 3 ≤1 x≥0, y ≥0.