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10
２重積分 問題演習10.1
複雑な領域の場合例題10.1 次の領域Dでの２重積分をたて切り・よこ切り２種類の累次積分に直し て計算して下さい：
ZZ
D
2(y−2)dxdy, D :
(x−2)2+ (y−2)2≤9 x2+y2≤1
２円周の交点を求めると円周の方程式を辺々引いて
−4x+ 4−4y+ 4 = 8, 従って x+y = 0
となりますからx2+y2= 1に戻してx2= 12 従ってx=±√22が得られます。
領域Dをたて切りにすると不等式：
2−p
9−(x−2)2≤y≤√ 1−x2
−√22 ≤x≤√22
または、
−√
1−x2≤y≤√ 1−x2
√2
2 ≤x≤1 で表され、横切りにすると
−p
1−y2≤x≤p 1−y2
√2
2 ≤y≤1
または、
2−p
9−(y−2)2≤x≤p 1−y2
−√22 ≤y≤ √22
です。
まずたて切りで累次積分にすると ZZ
D
2(y−2)dydx= ZZ
(2−p
9−(x−2)2≤y≤√ 1−x2
−√22 ≤x≤√22
2(y−2)dydx
+ ZZ
(−√
1−x2≤y≤√ 1−x2
√2 2 ≤x≤1
2(y−2)dydx
ですので右辺の積分をJ1, J2としましょう。すると
J1= ZZ
(2−p
9−(x−2)2≤y≤√ 1−x2
−√22 ≤x≤√22
2(y−2)dydx
= Z √22
−√22
Z √1−x2 2−√
9−(x−2)2
2(y−2)dydx
= Z √22
−√22
£(y−2)2§√1−x2 2−√
9−(x−2)2dx
= Z √22
−√22
Ω≥p1−x2−2¥2
−≥
−p
9−(x−2)2¥2æ dx
= Z √22
−√22
n≥1−x2+ 4−4p 1−x2¥
−©
9−(x−2)2™o dx
= Z √22
−√22
≥−4x−4p 1−x2¥
dx
=−8 Z √22
0
p1−x2dx
J2= ZZ
(−√
1−x2≤y≤√ 1−x2
√2 2 ≤x≤1
2(y−2)dydx
= Z 1
√2 2
Z √1−x2
−√ 1−x2
2(y−2)dydx
= Z 1
√2 2
Z √1−x2 0
(−8)dydx
=−8 Z 1
√2 2
p1−x2dx
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ZZ
D
2(y−2)dydx=J1+J2=−8 Z 1
0
p1−x2dx
ですが、この積分は原点中心半径1の円のうち第１象限部分の面積にほかなりません から
ZZ
D
2(y−2)dydx=−2π
が分かります。
一方よこ切りによる累次積分は ZZ
D
2(y−2)dydx= ZZ
(−p
1−y2≤x≤p 1−y2
√2 2 ≤y≤1
2(y−2)dxdy
+ ZZ
(2−p
9−(y−2)2≤x≤p 1−y2
−√22 ≤y≤ √22
2(y−2)dxdy
=H1+H2
と置けば、
H1= Z 1
√2 2
Z √
1−y2
−√
1−y2
2(y−2)dxdy
= 4 Z 1
√2 2
(y−2)p
1−y2dy
= 4 Z 1
√2 2
yp
1−y2dy−8 Z 1
√2 2
p1−y2dy
=−4 3
Z 1
√2 2
≥
−3yp 1−y2¥
dy−8 Z 1
√2 2
p1−y2dy
=−4 3
h(1−y2)32i1
√2 2
−8 Z 1
√2 2
p1−y2dy
=
√2 3 −8
Z 1
√2 2
p1−y2dy
H2= Z √22
−√22
Z √
1−y2
2−√
9−(y−2)2
2(y−2)dxdy
= Z √22
−√22
2(y−2)≥p
1−y2−2 +p
9−(y−2)2¥ dy
= Z √22
−√22
2(y−2)np
1−y2−2o dy+
Z √22
−√22
2(y−2)p
9−(y−2)2dy
=−8 Z √22
0
np1−y2−2o dy−2
3 Z √22
−√22
n
−3(y−2)p
9−(y−2)2o dy
=−8 Z √22
0
p1−y2dy+ 16
√2 2 −2
3
hp9−(y−2)23i√22
−√22
=−8 Z √22
0
p1−y2dy+ 8√ 2−2
3
vu ut9−
√√ 2 2 −2
!23
− vu ut9−
√
−
√2 2 −2
!23
=−8 Z √22
0
p1−y2dy+ 8√ 2−2
3
s
9 + 4√ 2 2
3
− s
9−4√ 2 2
3
=−8 Z √22
0
p1−y2dy+ 8√ 2− 1
3√ 2
(r≥
2√
2 + 1¥23
−r≥
2√
2−1¥23)
=−8 Z √22
0
p1−y2dy+ 8√ 2− 1
3√ 2
Ω≥2√ 2 + 1¥3
−≥ 2√
2−1¥3æ
=−8 Z √22
0
p1−y2dy+ 8√ 2− 50
3√ 2
=−8 Z √22
0
p1−y2dy−
√2 3 となるので、
ZZ
D
2(y−2)dxdy =H1+H2=−8 Z 1
0
p1−y2dy=−2π
が得られ、さっきの答えと同じになります。
まあ、難しいと言うか何と言うか、単に面倒なだけでしょうかね。
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10.2
被積分関数が難しい場合例題 10.2 ZZ
0≤u≤1,0≤v≤π
pu2+v2dudv
Z px2+Adx=1 2
n xp
x2+A+Alog|x+p
x2+A|o によれば、
ZZ
0≤u≤1,0≤v≤π
pu2+v2dudv
= Z π
0
ΩZ 1 0
pu2+v2du æ
dv
= Z π
0
1 2 h
up
u2+v2+v2log|u+p
u2+v2|i1 0dv
= 1 2
Z π 0
np1 +v2+v2log|1 +p
1 +v2| −v2log|v|o dv
= 1 2
Z π 0
p1 +v2dv+1 2
Z π 0
v2log≥ 1 +p
1 +v2¥ dv−1
2 Z π
0
v2logv dv ですが、右辺の３つの積分をJ1, J2, J3とすれば、
J1= 1 2
Z π 0
p1 +v2dv
= 1 4
hvp
1 +v2+ log|v+p
1 +v2|iπ 0
= 1 4
nπp
1 +π2+ log≥ π+p
1 +π2¥o J3=−1
2 Z π
0
v2logv dv
=−1 2
Ω∑1 3v3logv
∏π 0
− Z π
0
1 3v31
vdv æ
=−1
6π3logπ+1 6
Z π 0
v2dv
=−1
6π3logπ+ 1 18π3
です。残りのJ2は、部分積分して J2= 1
2 Z π
0
v2log≥ 1 +p
1 +v2¥ dv
= 1 2
Ω∑1 3v3log≥
1 +p
1 +v2¥∏π
0
− Z π
0
1
3v3 1 1 +√
1 +v2 · v
√1 +v2dv æ
= 1
6π3log≥ 1 +p
1 +π2¥
−1 6
Z π 0
v4
√1 +v2+ 1 +v2dv です。ここで右辺の積分をJ4として、分母の有理化を施せば
J4=−1 6
Z π 0
v4(1 +v2−√ 1 +v2) (1 +v2)2−(1 +v2)dv
=−1 6
Z π 0
v2(1 +v2−√ 1 +v2) 1 +v2 dv
=−1 6
Z π 0
v2dv+1 6
Z π 0
v2
√1 +v2dv
=−1 18π3+1
6 Z π
0
1 +v2
√1 +v2dv−1 6
Z π 0
√ 1
1 +v2dv
=−1 18π3+1
6 Z π
0
p1 +v2dv−1 6 h
log≥ v+p
1 +v2¥iπ 0
=−1
18π3+ 1 12
h vp
1 +v2+ log(v+p
1 +v2)iπ 0−1
6log≥ π+p
1 +π2¥
=−1
18π3+ 1 12
nπp
1 +π2+ log(π+p
1 +π2)o
−1 6log≥
π+p
1 +π2¥ なので、結局、
J2= 1
6π3log≥ 1 +p
1 +π2¥ +J4
= 1
6π3log≥ 1 +p
1 +π2¥
− 1 12log≥
π+p
1 +π2¥
− 1
18π3+ 1 12πp
1 +π2 です。以上を合わせれば、求める積分Jは
J=J1+J3+J2
= 1 4
n πp
1 +π2+ log≥ π+p
1 +π2¥o
−1
6π3logπ+ 1 18π3 +1
6π3log≥ 1 +p
1 +π2¥
− 1 12log≥
π+p 1 +π2¥
− 1
18π3+ 1 12πp
1 +π2
= 1 3πp
1 +π2+1 6log≥
π+p 1 +π2¥
−1
6π3logπ+1
6π3log≥ 1 +p
1 +π2¥ となります。
Revised at 01:39, December 17, 2016 解析学Ｂ 第10回 http://my.reset.jp/˜gok/math/ 4 J4の計算を置換積分でやるとどうなるでしょうか。√
1 +v2=t−vと置換すれば、
v= t2−1 2t , p
1 +v2=t−v=t2+ 1 2t , dv
dt = t2+ 1 2t2 から、
J4=−1 6
Z π 0
v4
√1 +v2+ 1 +v2dv
=−1 6
Z π+√ 1+π2
1
(t2−1)4 (2t)4 t2+1
2t +(t(2t)2+1)22
t2+ 1 2t2 dt
=−1 6
Z π+√ 1+π2
1
(t−1)4(t+ 1)2 8t4 dt
=−1 48
Z π+√ 1+π2
1
t6−2t5−t4+ 4t3−t2−2t+ 1
t4 dt
=−1 48
Z π+√ 1+π2
1
µ
t2−2t−1 +4 t − 1
t2 − 2 t3 + 1
t4
∂ dt
=−1 48
∑1
3t3−t2−t+ 4 logt+1 t + 1
t2− 1 3t3
∏π+√ 1+π2
1
=−1
12[logt]π+1 √1+π2− 1 48
∑1
3(t3−t−3)−(t2−t−2)−(t−t−1)
∏π+√ 1+π2
1
=−1 12log≥
π+p
1 +π2¥
− 1 48
∑
(t−t−1) Ω1
3(t2+ 1 +t−2)−(t+t−1)−1 æ∏π+√
1+π2
1
となりますが、T =π+√
1 +π2としたとき、T−1= 1
π+√
1+π2 =√
1 +π2−πなので、
T−T−1= 2π, T+T−1= 2p 1 +π2 がわかり、従って
J4=−1 12log≥
π+p 1 +π2¥
− 1 48
∑
(t−t−1) Ω1
3(t2+ 1 +t−2)−(t+t−1)−1 æ∏T
1
=−1 12log≥
π+p 1 +π2¥
− 1
48(T−T−1) Ω1
3(T2+ 1 +T−2)−(T+T−1)−1 æ
=−1 12log≥
π+p 1 +π2¥
− 1 482π
Ω1
3(4π2+ 3)−2p
1 +π2−1 æ
=−1 12log≥
π+p 1 +π2¥
− 1
18π3+ 1 12πp
1 +π2 となります（同じ答えです）。結構大変ですね。
Exercise
基本演習1 次の２重積分を計算して下さい：
ZZ
(y2 ≤x3+ 17 0≤x≤2,0≤y
y dxdy
基本演習2 (問題集8.2(4)) 次の累次積分の積分順序を交換して計算して下さい：
Z 1 0
Z 2x x
2x2y dydx.
基本演習 3 (問題集8.11(4)) a >0の時に次の２重積分をたて切り・よこ切りの２ 通りの累次積分に直して計算して下さい：
ZZ
D
x dxdy, D :
a2≤x2+y2≤2ay x≥0, y≥0.
基本演習 4 (問題集8.7(4)) 次の２重積分をたて切り・よこ切りの２通りの累次積
分に直して計算して下さい：
ZZ
x2≤y≤2−x
x2dxdy.
基本演習5 (問題集8.3(4)) 次の２重積分を計算して下さい：
ZZ
y≤2x, y≥2x2
(3y2−xy)dxdy.
基本演習6 (問題集8.19) 次の２重積分を計算して下さい：
ZZ
|x|+|y|≤1
(x2+y2)dxdy.
基本演習7 (問題集8.18(2)) 次の２重積分を計算して下さい：
ZZ
D
y dxdy, D :
px
2+py 3 ≤1 x≥0, y ≥0.
