Further let us pm and Po =Prob.L510nX321く 十

209  The Sciellce R巴portsof  the Kalla古awaUlliversity， Vol.  III， No， 2， pp. 209‑212， ]uly， 1955 

On the Series of Some Iudependent Random Variables.  By 

Shigem T AKAHASHI 

(Rec巴iv巴d21 January， 1955) 

1.  Let { X，.!  } be a s色quenceof independent random variables with a common distribution  function F(吋 and{ιJ be a decreasing sequence of positive numbers.  Further  let  us  pm 

and 

Po =Prob.L510nX321く 十 ∞ ] P1 = Prob.

' f } ， [  

~ a" Xⁿ convergesJ 

pzニ Prob.

う [

a"( X^lI  ‑

J X  

^{dF(x)) conv何}

e S J

laJlXI三1

It is  seen that each of 

(1.1)  PF04fob[fE

吋

^IXil豆1J=l 

and 

(1.2)  P'l = Prob. [

恒

101221Xzlg/も]=1 implies 

(1.3)  Prob.  [

便

^{Ian Xn I壬1J=1}

and therefore， by the Borel‑Cantelli lemma， (1.1)  and also (1.2) imply  (1.4) 

子

^Prob.

[ 1  

Xlll 

>  ~去〕ニ?fdF(的く十∞

Ixl>~ _an 

In this note we prove that under 80me conditions on ‑ (an  ，}(1.4) implies Pi = 1 (i=O，  1， 2).  Especially， by  Knopp's  theorem  in  the  theorγof  series， Po = 1 (01' P1 = 1)  imp1ies P'o = 1 (or P'l = 1). 

2.  THEOREM 1.  If for some A 

> 

1  (2.1)  ^{山一→さく}

all 

then (1.4) implies Po = 1. 

(

竺

_{幻 十 1 /}

y

^{n  1， 2，} 

PROOF. By the three series theorem， it  is  sufficient to show that  一 (

I 

^{1 an x I dF (X))2} 

J

^く十回

k Vη =

ヱ

I

I 

(an X)2 dF(x) 

n  11¥ aノ

la"x・1~三 1 九nd

S.  T AKAHASI‑II 

ヱ

lilnく十∞.

210 

3M

^戸

? f l G n z i

lanxl三I

On the other hand， it  may be seen that 

0豆 Vn豆

f l a

^{nxI2dF(x)豆 恥}

lah丸￨壬1

and hence， it  is  sufficient to  prove that 

く」∞.

Xi dF(x)  an 2n : 

1nτ1 

dF (x) =

ヱ

三

^a"xl 

I anX l~三 1

We have 

n G 

削

∞ ヱ =

¥l

ノ 一

n

Z 1 一 %

/t

¥ 一tF d 

く

f 1

α一 一 戸

dF〔Z〉

=zJ‑

_{m=1 u m}  

∞ n 

主玉玄 an 玄 J^二

1 1 = τ 1 η包=)l‑f/m 

where 

一 一 三1  O. ao  From (2.1)， we have 

戸

d m ( C ) A

^{for n 二三 m} 

Jf

^豆

h n z A F g t ( ; j A

^豆

and we have 

A amm  wh古reA is  a constant independent of  m. 

dF(x) 

: : s  

^m I 

m~l

百三っくlxl三

M刀1‑1 u m  

Therefore， it  follows that 

ヱ

Mn 三玉 A 

n=l 

ニ A

三 l C J

^{dF(約 十}

J

^{dF(り く 十 ∞}

lxl>

誌

ず二王<:lxl

三 。 レ

Let F(x) be a symmetric distribution function and for some A >弘 く {~-V

¥ n十1/ 

THEOREM 2. 

n  1， 2， 

αn+1  an  Then (1.4) implies Pl 

= 

L 

PROOF. It is  sufficient to  show社lat (2.2) 

子 J

^(an X)2 dF(x)く 十 ∞ lanxl

，

三1

and this can be proved by. the same way as the proof of  L M nく+∞.

n 

n  1， 2， 

，1>唱

。

^{n+1 ̲̲̲̲  (  n} ¥，1  an  =  ¥ n+1 )  If for some 

THEOREM 3.  (2.3) 

。

^nthe Series of Some IndelうE幻dentRandOJn Variables.  211  then (1.4') implics 1"'2 = L 

PI¥'OOF.  Let us define random variables Y" ancl  Zηas follows.  if  iXη1>  ¹ 

y

， ， =   。 J l

X'I1，  if  1  [X"l三 一

a" 

anc1 

if  IXn

!>

1 ー

Z

， ， =  

^an 

0，  if  _IXnl4  1  _{n =}  1，2..  a}l 

From (1.4) and the above definitions， it  follows that  (2.4) 

1Dr

此 ( ミ

^{ia}/ Zn 1く→∞〕= I，}

and 

DnzE[(GJM〉2]‑[E(GJM〉了

= j .

〔GFlddF〔同一(

I 

^{a!1 x dF(x))2} 

Ml1 = E(an Y" ) = 

I 

^a" x dF(x) 

lanxl ^でさ1

As the proof of Theorem 2， we can show that 

O~ ヱD"三玉ヱ (an x)^】 dF(x)く+∞.

多 n，; 

lan忽 1壬，1

On the othεr  hand， the  random  variable (an Yn ‑ 111[n  ) has the mean value zero and  the dispersion Dn.  Hence， by Khintchine‑Kolmogoroff's theorern， we have 

(2.5)  Prob. 

r

^{ヱ(酌:VYI‑1!;f"  ) conv仰 ts}

〕

^=1.

From (2.4) and (2.5)， we get the required result.  3 . 1^{0 • Suppose that} 

( 日

P f o b ‑ B i ‑ f L ￨

^く+∞

J = 

1 

Then， by the Borel‑Cante1li lemrna， it  follows that for any constant c > 0， 

手

Prob.[: X^Il I >ー]く十∞.

Therefore， we have 

. f

 

^{1 x I dF(x)く + ∞}

紅lC1the strong law oI  large numb巴r8shows that 

Pfob[t;1(Xjc￨→

( r  

x[ dF(的

J = 

1  On the othεr hand， fγom (3.1)， we have 

，‑' 1  n 、

Prob. 1

云

F1￨Xhl→

o J 

^= 1. 

Hence， we have 

212  S.  T AKAHASHl 

̲l， Dつ

f!xi dF(x)ニ O and this is  equivalent to 

(3.2) 

P r o b .   [Xη=oJ = 

^{1  n  1， 2，} 

Therefore， A in Theorem 1 can not be rε，placed by 1既 cepta trivial回 目 (3 .  2^{0 •} Let F(x) be symmetric and 

(3.3) 

P r o b .  

1 

Xn

仰 1仰 初I=L 

n V n  Then we have， by the same way as 1⁰， 

斗じっ

x² dF(めく+∞

and from the central 1imit theorem and (3. 3)， we have 

f

^がdF(x)

⁼ 

⁰ 

This shows that  .3)  implies (3.2).  Therefore^多 Ain  Theorern  2 can  not  be  replaced  by ]7白色xcepta trivial  case (3 

30 • Lεt 

prob 

i‑bL(Xη‑ I 

co附 吋ω J

= 

1 

、 n Vn 

!ぇ!三

vn

alld 

X 

n denote the symmetriz吋 randomvariable of X^{I'  "} 

Then we have 

ω =  1 

Therefore， by the discussion in 2⁰， we have 

Pyob.[Xn=OJ

^ニ l This shows that 

(3.4) 

Pr

め

[X

，.，

= 

111 

J  ⁼ 

¹ 

where m is  a constant independent of n. 

n=l， 2， 

n =  1，2， 

Hence A in Theorem 3 can not bを replacedby弘 excepta trivial  case (3.4).