た誓豊是認警…24という計算で面積を求める。　．

計 算 も 正 確 に 求 め る 方 法 の − つ な ん だ 4 年2組 『 広さを正確な数値で表すこと』の実践より−

小   林   伸 生

【子ともたらの姿】

〇円の学習で、輪投げをした時、子どもたちは、まとが 動かないように置く場所に印をつけたり、ガムテープ

で固定したりした。その後、コンパスで円をかいた時 には、コンパスの芯が動かないように手でおさえて円 をかいた。中心からの正確な距離を記すには、中心の

しっかりとした国定が最も大事だと考えていた。

O「教室の前から後ろまで1辺が2cmの立方体を並べ ると何個並ぶだろうか？」という課題を投げかけると、

計算で求めようとする子、実際に並べて求めようとす る子がいた。実際に並べていった子は、一辺の長さが 2cmではない立方体（10個並べると19．5cmくらい になる場合）もあることに気づいた。子どもたちは、

大きさがぴったり2cmではない立方体では、計算で 求めても正確な結果にならないと考え、実際に並べた 個数を課題の答えとした。

■       ●

●       ●

【私が考える子ともたちのとらえ】

○根拠となる事実があってこそ、正確な数値で結果を表 せると考える子たちである。

【教材名】

【素材の魅力・価値】

○長方形8、bそれぞれの大きさ

・長方形aは32cmX24cm（768cm2）、長方形bは28cmX27cm

（756cm2）である。この大きさのため、計算しようとしたり、

1cm2の正方形を並べたりして面積を求めようとする。

・数が多いため、正方形を並べ切るのには、難しさをともなう。

・2桁×2桁のかけ算は、既習である。かけ算の式が意味あるも のであれば、計算結果は、面積を求める正確な数値となり得る。

02つの長方形の面積の比較方法

・長方形a、bはともに机上に固定するので、直接比較はできな い。そこで、広さを数値で表す必要がある。

・1辺が1cmの正方形の広さを1cm2 ということを最初に学 習する。実際に1cm2の正方形を並べ切れれば、長方形a、

bそれぞれの面積を数値として表せるので、比較できる。

○長方形の材質

・凹凸がないアクリル板を使うので、正方形を並べやすい。

【教材の本質】

Oa、bそれぞれの長方形の面積を、正確な数値で表すことが必 要なこと。

F広さを正確な義女偏■で轟すこと」

【予想される子ともたちの表れ】

√￣‖￣‥￣￣￣￣‥

＜2つの長方形（a）、（b）はどちらがどれだけ広いでしょうか？＞

…−……一一一…−…一一一…」−「

長方形a、bに1cm2の正方形を隙間なく並：

；べ、その正方形の個数を数えようとする。

し‥＿＿＿●‥‖●●−＿‥＿＿●‖＿‥‥

【関わり】

√…￣日日‥

﹁ l

⊥

： ． ノ

リ．し    ■

rL……一一………一一……−…………−「

；理由は分からないけど縦×横で求める。 ；

‥￣￣￣￣ヽ

十

；正方形を隙間なく最後まで並べ切ることは難；

：しい。縦×横の計算で求めるしかないな。；

LHH‥‖＿＿＿＿ ●●＿＿＿＿●‖＿＿●ノ

＿日日＿＿＿＿＿日日＿●＿＿＿＿＿＿ノ

長方形aの面積は、1cm2の正方形の個数を数えることである。

・実際に正方形が隙間なく並んだ長方形aを見せ、数える。

「【願 い】√−

；768個隙間なく並んだ1cm2の正方

；形の数を、1つ1つ印をつけなが

：ら正確に数えて、長方形の面積を

：求める。

768個隙間なく並んだ1cm2の正方；

た誓豊是認警… 24という計算で面積を求める。 ．

」

正確 な数 値 で結果 を表 したい か ら、 その根拠 を納 得 した ものに したいん だ よな。

欝①②時

〔実際の追究の流れ〕

■●■一一■■一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一●一●■●●−■■一一一■日■一一一一一一一一一一一一一一一■

【基礎知職】一辺が1〇mの正方形の広さがlqn一である

・……一・……・一一……−…丁………一・‥j

＜2つの長方形8、bはどちらがどれだけ広いでしょうか？＞

…○什雷で面積を求める．

：・1cm王の正方形が縦に2個、横に

：2個並んでいると2×2で4m量。

い計算の信頼度を高めるために、実

：二：二二二二二二二二二二二仁二二二二二二二二二二二二二二：二．

かけ算でl Cmlの正方形が何個並 んでいるかを求める。

この大きな長方形も、2×2みた いに考えれば面積が求まるかな？

○臭鴨に並べて面積を求める．

・隙間なく、動かないようにのりで 貼っていこう。

きれいに貼ったっもりなのに、最；

後がズレてしまい貼れないんだ。：

隙間があるところがあるから最後；

］二二二二二二二二二二二二

が貼れなくなっち _{やうんだ。  ：}

一 一 一 一● ● 一 ● ■ ■■ 一一 ■● ■ ■■ ■l

計算で求め 隙間なく並べることはできないか← る方法しか

計算はどこで間 違えたか分から

くく嘉｛なく曾つ与りと正方欝t▲べた轟方欝轟、bt鼻tて）轟■仁義べた正方欝の■ht徽え書方が徽用で●書．＞

■■■■− ■ ■■ 一 ■− ■ ■ ■ ● ■ − ■ 一 一● ■ ■1−− − − −−■ 一 一 ■ ■ 一 一 ● ■● 一 一 一 ■ ■− ■

隙間なく並んだ正方形の個数を数えることと 並んでいるか

…・・薫繁華鯉筆廷聖千旦ラ・牢ミ…………‥‖……一一「……

ら、数えればいいな。

簾⑥時

＜Dさんたちが隙間なく並べた長方形Cで考えてみよう．＞

1

ノートで言うと32マスある行が16行あるって 考えれば32×1 で求められる。Dさんが数え た数と同じになるはず。

1セット16個が32セットあるってことだから、

1 ×32で面積が分かるな。

実齢こ並べて数えるのもいいけど、数が多いか ら数え間違えることがある。

．＿……」…‖…＿＿…

数えれば、計算が苦手な：

人でも椎が見ても借用で：

きる。     ： 数え間違えないように・：

10ずつ印をつけて数え：

ていけばそれが確実。；

計算だとミスがあるかも；

l

T r（今並べてあるところまでを）長方形eと し、この面積を求めよう。」

D・正方形の数を数え始める。

D r32×1 の計算では515になった？もし かしたら、数え方間違ったかもしれない。」

＊第⑳時は、少ない時間の中だったため、

自分の教え方に納得できていない．離 間なく並んでいる正方形の個数を、一 つ一つ数えていくことも、計算をする ことも、正確な面積を求めようとして いることに何ら変わりはないと考え始 めている．計算での求め方を慣用して いないのではないのだと思った．

D「かけ算できる人はできるだろうけど、（そ の）人がやれば借用できるけど。」

＊繊×糠の計算をして面積を求めること

は、正方形の個数を一つ一つ教えてい

くことと同じであることに気ついてい

ったと私は替える．

1 本教材前のDさん

（1）私が見たDさんの特徴的な姿

本教材に入る前のわり算の学習で、「25個の積み木を3人に同じ数ずっ分けると、一人分は何個に なるでしょうか。」という課題を出したことがあった。

Dさんは、手元にあった25個の積み木を、まず3人に1個ずつ分けた。次に残った22個の積み木 を、再び3人に1個ずつ分けた。Dさんは、その後も3人に1個ずつ積み木を分け続け、3人それぞ れに分けられた積み木の数と残った積み木の数を数えて、「一人分は8個で1個あまる」という結果 を出した。

（2）私が考えるDさんの見方・感じ方・考え方

Dさんが、1個ずつ積み木を分け続けるのはなぜだろうかと考えてみた。Dさんは、1個ずっ3人 に分けられていく積み木の数の動きと、減っていく残りの積み木の数の動きを、実際に見て、その確 実な方法で結果を出そうとしている。それは、目に見える方法を使うことで、正確な結果を求める理 由になるという見方・感じ方・考え方をDさんがもっているからだと私は考えた。

（3）本教材に込めるDさんへの私の願い

このような見方・感じ方・考え方をもっているDさんが、本教材に出会うと、目に見える確実な方 法である1皿2の正方形を，長方形に隙間なく並べ数えようとするだろう。しかし、1cm2の正方 形を長方形に最後まで並べ切れず、目に見える確実な方法では答えが出せないと感じる。そんな彼に、

私は、長方形上に隙間なく並べ切った1cm2の正方形の様子を見せることで関わる。Dさんには、

目に見える確実な方法を使うことで、正確な結果を求める理由になるという見方・感じ方・考え方が ある。だからこそ、Dさんに、長方形上に隙間なく並べ切った正方形の様子を「32＋32＋・・・＋32」

＝「32×24」という式に表しているだけであって、縦×横の計算で面積を求める方法も、正方形の 個数を数えるという目に見える方法と同じであることに気づいていってほしいと願い、本教材を考え

た。

2 本教材に入ってからのDさん

（1）1cm2の正方形を並べていく

私は、第①時で、本教材の追究の基礎となる

一辺が1皿の正方形の面積と同じ広さを「1皿2」いうこと

を一辺が1皿の正方形を見せながら伝えた。「1皿2の正方形が○個あるから、面積は○皿2にな る」と子どもたちが、結果を求めた時の理由として必要な知識になるからである。

その後、私は、長方形a（32cmX24cm）と長方形b（28cmx27cm）を見せ、「長方形a、bは どちらがどれだけ広いでしょうか。」と投げかけた。

Dさんは、長方形aに1cm2の正方形を並べ始めた。1cm2の正方形を並べ切り、その個数を数 えて面積を求めることが、目に見える確実な方法になると考えたからだ。しかし、長方形aの上に正 方形を隙間なく置いたとしても、数多く並べていくうちにその正方形が動いてしまう。これでは確実 な方法にはならない。そこで、第②時以降、正方形一つ一つをのりで固定し、隙間なく並べることで、

目に見える確実な方法としていった。

（2）正確に求めるための理由をはっきりさせる Dさんは黙々と並べ続けた。しかし、長方形aに 1cm2の正方形を最後まで並べ切ると、700個を越え る個数になる。そこで、第③時（並べる活動に入っ て2時間目）の途中からは、隣で同じ活動をしてい たKさんと一緒に活動を始めた。一人だと10分かか るところが、二人だと5分で済むからという理由で ある。算数の授業でよく言われる「団やく、圏んた ん、固いかく」の「団やく」を意識し、少しでも速

く結果を求めようとしていたのだ。その第③時（並 ▲正方形を長方形aにのり付けしている子どもたち べる活動に入って2時間目）も終了に近づき、既に長方形a、bの面積を「縦の長さ×横の長さ」と いう計算で求めた子もいる状況をDさんは見ていた。それでいて、並べる活動に入って2時間目の授 業も終わろうとしているのに、正方形が並べ切れていないという現状を、Dさんがどのように考えて いるのか、私は気になった。そこで、「並べる方法を選んでいるのはどうして？」と尋ねてみた。す ると、Dさんからは、「計算は見えないからさあ。」という言葉が返ってきた。Dさんが「見えない」

という言葉を使ったのは、「32×24」という計算は、どこから32や24という数字が出てくるのか、そ れらを掛け合わせるとなぜ長方形aの面積を求めることになるのか、目の前の正方形を並べているだ

けでは見えないからだろう。周りの子の「計算は速く求めることができる」という理由は、計算その ものが目に見える方法ではないので、今は納得できない。でも、「速く」という観点を否定している のでもない。「正方形を少しでも速く置くために2人で並べ、その個数を数えることで、速く結果を 求めることができる」という考え方で進めていったのだ。Dさんは、正方形がずれないようにのりで 貼り固めながら、一つ一つの正方形を並べてその個数を数えるという方法を使えば、面積を正確に求 める理由になることをはっきりさせていたのだ。

（3）数値として表す

私は、一つ一つ数えて面積を求めることと、縦×横の計算をして面積を求めることは、ともに長方 形上に正方形を最後まで並べ切った時の個数を数えようとしているのであって、同じことをしている のだと気づいてはしいと願って第⑤時（本時）を迎えた。

本時で、私はまず、子どもたちにどちらの方法で面積を求めようとしているのか（求めたのか）意 見を出し合わせた。

Zさん：「計算は間違えることもあるから、並べて数える方法。」

Pさん：「実際に置くと隙間が空いて、いくつ並ぶかわからないから計算でやる方法。」

0さん：「並べるのがずれるのはその人のミス。だから並べる方法。」

Nさん：「ほんのちょっとずれてもダメで、1mmずれたのが10個続いたら、1cmもずれてしまうこ とになる。（だから、計算でやる方法。）」

このように、その方法を選んだ理由を友達が発言している間、Dさんは、Zさんや0さんの方法は、

自分と同じ方法で、PさんやNさんは違う方法だと思っていただろう。ここで私は、

1cm2の正方形が隙間なく768個並んだ長方形a、752個並んだ長方形bを実際に見せること。

「数が多くても1皿2の正方形が何個並んでいるか数える方法が、広さを正確な数値として表す最

もいい方法だと思う。」と投げかけること。

で、全体へ関わった。それは、

・隙間なく並べられた正方形の個数を正確に数えるにはどのように数えたらいいのか、実際に隙間な く正方形が並んでいる様子を見て計算で求められるその理由を考えてほしい。

という意図があったからである。

Dさんに対しても、全体の関わりと同じ意図で関わりたいと思っていた。そこで、Dさんが第④時

（前時）までに、実際に並べ終えている広さまでで長方形aをカットし、そのカットした長方形を、

▲関わっている教師と、それを聞く子どもたち

新たに長方形C（縦32皿、横16cm）と名付けて、「長 方形Cの面積を出してごらん。」と関わった。Dさん に最後まで正方形を並べ切ってほしいのではなく、自 身がつくってきた長方形で、計算でも求められるその 理由を考えてはしいからだ。実際に隙間なく並んだ正 方形の個数を、数えるという活動があって、前述した

本時の願いにつながる根拠はスタートする。Dさんは、

私の関わりに対して、「お−、やる、やる。」と答え て、並べた正方形の個数を口に出しながら数え始めた。

その結果、515個という数値を出した。この時、Dさ んは、初めて数値として面積を表したが、根拠のある数値として515という数値を求めたとDさんが 思っているかどうかは、私には分からなかった。そこで、第⑥時（次時）、Dさんが表した515とい

う数値を、Dさん自身がどう考えているのかをつかんでいきたいと思った。

（4）Wさんの発言によって立ち止まる

最終時（第⑥時）、私は、Dさんが一つ一つ正方形の個数を数えた結果、515個正方形があったと いう長方形Cを全員に紹介した。そして、実際に一つ一つ正方形の個数を数えるよりも信用できる方 法があるのか尋ねた。すると、それまで、計算によって正方形の個数を数え、長方形a、bの面積を 求めてきたWさんが、

Wさん：「縦に32個あって横に16個あって、ノートで考えると32個マス目があって、それが16行あ るってことだから、32マスの行が16行あるって考えれば32×16で（Dさんが数えたのと 同じ）515って出ると思う。」

と発言した。Wさんは32×16の計算をしていないのに、515になるはずだと言えている。Wさんが 言っていることは、Dさんがやっている一つ一つ正方形の個数を数えて面積を求める方法を認め、D

さん自身が求めた結果を使って、計算で正確に求めることができる理由を言っている。もしかしたら、

自分がやっている一つ一つ数えて面積を求めるという方法も、32×16という計算で面積を求めると いう方法も、ともに目に見える確実な方法なのかもしれないと考え、Dさんは立ち止まった。そして、

Dさん：「32×16の計算で515って出た？もしかしたら自分の数え方が間違っているかもしれな い。」

と言いながら、並べてある正方形に一つ一つ「1、2、3、4、……」と数字を書きながら、昨日以 上に慎重に数え始めたのだ。

私は、Dさんが「自分の数え方が間違っているかもしれない」と思ったのはなぜだろうか考えた。

それは、Wさんの発言によって、目に見えている正方形が並んでいる様子を「32×16」という計算

で求めていることに納得してきているからだと考えている。隙間なく並んでいる正方形の個数を、一

つ一つ数えて面積を求めていくことも、縦に何マス、横に何行あるから32×16という計算で面積を 求めていくことも、ともに正確に結果を出そうとしていることに何ら変わりはない。Dさんは、15 分近くかけて目に見える確実な方法で数え、512個という正確な数値を面積として表した。一方で計 算で求めてきた子たちは、32×16の計算をして、512という数値を得た。長方形Cに隙間なく並ん だ正方形の個数を一つ一つ数える方法と、32×16という計算の方法は、数値としても一致し、とも に正確な数値を求めることに何ら変わりはないことにDさんは気づいていった。

3 Dさんの学び

どんな長方形であっても、面積は一つの数値として求まる。その数値を正確に求めようとDさんは、

隙間なく正方形を並べ、その並べた正方形の個数を数えることで正確に求めようとし、そして実際に 求めてきた。そんなDさんがWさんの発言に立ち止まった。Wさんが発言した「32×16」という計 算は、長方形Cに並んだ正方形の個数を正確に数えるための計算であり、それは、自分がやってきた 隙間なく並べた正方形の個数を数えていくことと同じであることに納得している。「縦（に並んだ正 方形の個数）×構（に並んだ正方形の個数）」を計算すれば、長方形Cに並んだ正方形の個数を数え ることになるという公式を、自分自身がしてきたことと同じなんだと納得したところに、Dさんの学 びがあったと私は思う。

4 本教材をふり返って

本時、私は、Dさんが実際に正方形を並べ終えているところまででカットし、それを長方形Cと新 たに名付け、「長方形Cの面積を出してごらん。」と投げかけることで、関わりとなり得ると考えた。

しかし、時間を十分とれば、Dさんは長方形aに正方形を並べ切り、個数を数え始めていたかもしれ ない0そうなると、「長方形Cの面積を出してごらん。」という私の投げかけは、Dさんの「個数を数 える」という活動を速めただけの「支援」だったという思いも当初はもった。

そんな思いももちながら、Dさんが立ち止まったWさんの発言の場面をふり返ってみた。Wさんは、

長方形C上に隙間なく並べられた正方形の個数を一つ一つ数えて面積を求めるというDさんの方法を実 際に見た。だからこそ、Wさんは、縦×横の計算で面積を求めようとしているのは、Dさんと同じよう に並んでいる正方形の個数を数えるためだと言えたのだと思う。そのWさんの発言によって、Dさんは、

一つ一つ正方形に数字を書いて個数を数えるという自分がしてきた方法に立ち止まった。「長方形Cの 面積を出してごらん。」という投げかけによって、「一つ一つ 数える 」と「計算で 数える，」が相 互に影響し合う場面が訪れ、Dさんは、それぞれの方法が同じことをしているのだと気づいていった。

そう考えると、「長方形Cの面積を出してごらん。」という投げかけは、「支援」ではなく「関わり」だっ たと今は考えている。

このように私にとって、「関わり」と「支援」の違いについて考える機会になった授業だった。こ れを機会に、

O「支援」と「関わり」とを区別して、授業を構想していく。

・「こんなこと試したいな。」、「こうしたいけどどう考えればいいのかな。」というような思いがある 子に対し、手伝ってあげたり方法を教えてあげたりするのは、「支援」だと考える。

・自分の考えをはっきりさせてきた子どもたちに、自分自身の方法をふり返る機会となる投げかけは、

「関わり」だと考える。

に留意し、子どもの学びを支える授業を展開していきたい。