ゴ
となるR−1（κ）の成分E1，＿，Elqの最小個数のものを考える。この時， E1，＿，Eq
はR『1（κ）のすべての成分であると主張できる。このことを示すために，Qは
R｝1（κ）の別の成分であると仮定し，．E＝．EI U…U−Egとする。この時， Eと QはR−1（κ）の互いに素なコンノぐ外部分集合である。Ne㎜an［11，定理5．6， p．82］より，R−1（κ）のコンパクト部分集合AとBが存在し，
ノ4UB＝R−1（K）， ノ4∩B＝の， Q⊂／1， E⊂B （2．11）
となる。Oo∈R−1（D）と仮定してよい。この時，みとβは0の互いに素なコンパ
クト部分集合である。従って，それぞれが有限個のジョルダン（Jordan）曲線で境界をつけられている有限個の成分Ωゴをもつ有界な開集合Ωを見つけることができ，Ω は
．4⊂Ω， β∩Ω＝の， ∂Ω∩（、4UB） （2．12）
を満たす。（2．11）より，
∂Ω⊂R−1（P） （2．13）
が従う。
今，ΩQを連結集合Qを含むΩの成分とする。（2．10）と（2．11）を用いると，各r に対して，
∂鱈⊂E⊂B
が従う。よって，（2．12）より，ΩQと∂鱈は互いに素であることがわかる。ΩQは弧
状連結であるので，ΩQ⊂鵬か，または，ΩQ∩鱈＝ののうちのどちらかが成り立
つ。ΩQ⊂妬が成り立つならば，G⊂ΩQ⊂露⊂況一1（o）
となり，Q⊂芹1（κ）に矛盾する。従って，ΩQは各砥と互いに素である。各面 は開集合なので，ΩQの閉包はU蕗と互いに素であると結論できる。
ア
このことの結果として，ΩQの各有界成分（ジョルダン（Jordan）曲線）物は，ある 単連結な領域5mに含まれる。というのは，（2．13）より，ッゴはR−1（D）に含まれる
からである。よって，物の一方は3mに含まれるが，もう一方はπ1（κ）と各砿 に含まれる。従って，払の中の任意の之1とQの中の任意の之2に対して，
η（％9，21）＝η（％，22）
が成り立ち，そして，ゆえに，
η（∂ΩQ，z1）＝η（∂ΩQ， z2） （2．14）
が成り立つ。ここで，一般に，η（7，2）はzのまわりのッの回転数を表す。今，
ΩQ＝｛z∈σ：z￠∂ΩQ，η（∂ΩQ，z）≠0｝
であるので，（2．14）より，z1∈ΩQ。しかしながら，このことは，ΩQと払は互いに 素であるという事実に矛盾する。従って，そのような成分Qは存在しない。よって，
R 1（κ）一E、U…UE，
であることを証明した。
R−1（κ）はコンパクトなので，各Eゴもコンパクトであり，ゆえに，E（動）もコ ンパクトである。従って，R（Eゴ）はんの閉部分集合である。各R（Eゴ）が1（にお いて相対的に開集合であることを示そう。というのは，各R（Eゴ）がんにおいて相 対的に開集合であることが示されたならば，κは連結なので，R（．Eゴ）＝んである
ことがわかり，よって，q≦dが従い，一R−1（κ）は高々4個の成分をもつことが示 されるからである。
R（Eゴ）がんにおいて相対的に開集合であることを示すために，R（Eゴ）の中の任 意のくをとり，ζ＝E（ω），ω∈．Eゴとする。 E−1（κ）は有限個の成分しかもたない ので，別のどの瓦とも共通点をもたないωの近傍ノVを見つけることができる。こ
の時，
κ∩R（A／）＝R（Eゴ∩ノv）⊂R（Eゴ）
なので，R（Eゴ）はんにおいて相対的に開集合であることが従う。 □
3．1 周期点の分類
本節では，有理写像Rの周期点の体系的でかつ詳細な吟味を行う。Rの不動点ζ
は，ζにおけるEの乗数m（R，ζ）により分類される（1．6節参照）。ζにおけるR の乗数m（R，ζ）は共役不変量であるので，ζはσに含まれると仮定してよい。従っ て，m（R，ζ）＝R，（ζ）。不動点の分類は純粋に局所的な問題であるので，不動点の分 類を任意の解析関数に適用する。そして，特に，有理写像の局所的な逆写像が存在 するときは，不動点の分類を有理写像の局所的な逆写像に適用する。定義3．1．1 σの中のζは解析関数！の不動点であるとする。この時，ζは，
（1）！ （ζ）＝0のとき，超吸引的である，
（2）0＜i！ （ζ）1〈1のとき，吸弓1的である，
（3）1！ （ζ）1＞1のとき，反発的である，
（4）∫ （ζ）が1のべキ根であるとき，有理的に中立的である，
（5）1∫ （ζ）1＝1だが，！ （ζ）は1のべキ根ではないとき，無理的に中立的である という。
【注意】 （1）と（2）の区別は，超吸引的不動点は！の臨界点であるのに，吸引的不 動点は臨界点ではないことである。従って，ζが吸引的であるときは，！はζの近
くで局所的な逆写像をもつが，ζが超吸引的であるときは，！はζの近くで局所的 な逆写像をもたない。ところで，（1）と（2）の場合を結合したときは，ζは（超）吸引 56
的であるということにする。同様に，（4）と（5）の場合を結合したときは，ζは中立 的であるということにする。中立的不動点ζに対して，ζの近くでの∫の最良の線 形近似は，ζのまわりの回転であり，（4）と（5）の区別は，この回転が，有限位数をも つか，無限位数をもっかのどちらかを単にいう。
点ζが有理関数Rのある反復Rmの不動点であるとき，ζはRの周期点であ
るという。そのような点ζに対して，ある正の整数πが存在し，
ζ，1宅（ζ），R2（ζ），．．．，Rπ一1（ζ） （3．1）
は相異なるが，餅（ζ）＝ζとなる。（3．1）における点の有限集合をζのサイクルと
いい，整数πをζの周期という。もちろん，Rの不動点は周期1の点である。もっ
と一般的にいうと，くが周期ηをもっための必要十分条件は，ζは，Rηの不動点で あるが，Rπより低位数の反復の不動点ではないことである。周期ηの周期点ζは，郡の不動点として分類されるが，このことよりもう少し
多くのことが成り立つ。共役化により，サイクルはOoを含まないと仮定してよい。そして，
ζ7π＝1〜m（ζ）， η⑦＝0，1，2ラ．＿，
とする。よって，蘇＋η＝ζ㎜。連鎖比のη回の適用により，
れ ユ
圃 （くm）一R （Rη一1（ζ祝））・R （Rπ一2（ζm））…R （ζm）¶R （Rた（ζ鵬））
た；0 となる。更に，ζ鵠＝Rm（ζ），ζm糎＝ζm，ζπ＝ζより
れ ユ
HR （R鳶（ζm））一R （ζm）・R （ζm＋・）…R （ζ魁耐）
た＝0
＝R （ζ0）・R （ζ1）…R （ζη＿1）
れ ユ
＝rlR （ω
ゐ＝0となる。このことから，導関数（Bπ） はサイクルの各県において同じ値をもつこと が従い，よって，各点くゴは，サイクルの中の他の任意のζ鳶とちょうど同じように 分類される。このことの結果として，定義3．1．1の分類をサイクルへ拡張すること
ができる。
点くは周期的ではないが，ある像R㎜（ζ）が周期的であるとき，ζはRのもとで
前周期的であるという。この場合，ある正の整数mとηが存在し，
ζ，R（ζ），R2（ζ），．．．りRm（ζ），．．．，R卿一1（ζ）
は相異なるが，Rm＋π（ζ）＝R㎜（ζ）となる。ほとんどの周期点は前周期的な点と付随 していた。
例3．1．2 Rが多項式22−2のとき，
0，R（0）＝一2， R2（0）＝2，1宅3（0）＝2， R4（0）＝2，…
となり，原点は多項式z2−2の前周期的な点である。
3．2 周期点の存在
有理写像Rの周期πの周期点を見つけようとするとき，自然に
Rπ（z）＝z （3・2）
の解を計算する。方程式（3．2）のどの解も周期的であるはずだが，必ずしも周期ηの 周期点であるとは限らないかもしれない。というのは，方程式（3．2）の解はすでにもっ
と早いある反復Rm， mくπによって固定されているかもしれないからである。
例3．2．1 R（2）＝22−zのとき，
R2（之）一2＝之4−223＝z3（z−2）
となり，一方，
R（2）一2＝之2−2之＝2（2−2）
となるので，R2（の＝2のすべての解は， R（2）＝2の解でもある。従って，このR に対して，周期2の周期点は存在しない。
例3．2ユより，存在の問題が提起される。すなわち，例えば，有限個の周期点のみ をもつ有理関数は存在しうるのか。その答えはいいえである。実際に，大多数の場 合，与えられた周期の周期点は存在し，多項式に対して，その状況は特に著しい。
定理3．2．2 −Pを次数が少なくとも2の多項式とし，一Pは周期ηの周期点を
もたないと仮定する。この時，η＝2でかつPは2ト→22−2と共役である。
この証明は3．8節で述べる。要するに，例3．2．1において与えられた例は，共役性 を度外視して，この型の唯一の例である。有理関数に対する対応する結果もまた存
在する。
定理3．2．3 Rを次数d≧2の有理関数とし，Rは周期ηの周期点をもたな
いと仮定する。この時，対（d，η）は，対
（2，2）， （2，3）， （3，2）， （4，2）
のうちのどれか1つである。更に，そのような各対に対して，周期をもたないよ うな有理関数が存在する。
【証明】
Baker［18，定理3］参照。
例3．2．4 （Baker［18］参照）
（・）恥）一・＋＠一1
P望一1），ω一・xp（聖）のとき・Rは周期3の周期点
をもたない，
之3一ト2
のとき，Eは周期2の周期点をもたない，
（2） 1宅（2）＝
322
（3圃・）晃撃3）のとき，Rは周期2の漏壷もた帆
定理3．2．3により，例えば，すべての有理関数は周期4，5，6，．．．，の周期点をもつ こと，そして，次数が5以上のすべての有理関数はすべての位数の周期点をもつこと が従う。大ざっぱに言って，ある有理写像が周期πの周期点をもつことができない ならば，Rη（の＝zのすべての解は， nより小さくかつηを割り切るある鵬に対す る方程式Rm（z）＝之の解でもなければならない。このことは，上の2つの結果によ
りめったに満足されないRの係数に，強い代数的な制約をおいている。
定理3．2．3は，いくつかの例外的な対（d，η）が生じるという点で，定理3．2．2よ り弱いということばかりでなく，例外的な対（d，η）によって必ずしも例外的な写像 一Rの唯一の共役類が決定されないという点で，定理3．2．2より弱いということもま たいえる。
反復RPが恒等写像とならない，すなわち，有理回転でないメービウス（M6bius）
変換のときは，例1．4．1より，周；期点の集合は有限集合である。今，次数：4≧2の各 有理写像に対する周期点全体の集合は無限集合であることが，次の推論からわかる。
Rは次数d≧2の有理関数で，周期p，pは素数，の周期点をもたないと仮定する。
この時，躍（勾＝zのすべての解ζは，ある周期ん，南くpかつ鳶はpを割り切る，
の周期点である。従って，た＝1であり，ζはそれ自身Rの不動点である。RとRP はそれぞれd＋1個と潔＋1個の不動点をもつので，Rがくにおいてもつ不動点よ
りも多くの不動点をRPがζにおいてもつようなRのある不動点ζが存在しなけれ
ばならない。そして，系1．6．9より，この時，R （ζ）≠1であるが，（Rノ（ζ））P＝1で
ある。最後に，擢㈲＝2の解ζがRの高々d＋1個の不動点と一致するようなp を除くすべての素数pに対して，有理関数Rは素数の周期pの不動点をもつ。素
数全体は無限集合なので，よって，周期点は無数にある。Rが周期2の周期点をもたない2次の多項式のとき，上の推論より，共役性を度
外視して，R（0）＝0， Rノ（0）≠！，（Rノ（0））2＝1なので， R，（0）＝一1とわかる。従っ て，R（2）＝αノーzとなり，うまくスケールを変換することにより， R（の＝α22−2 は例3．2．1における多項式之2−2と共役であることがわかる。
3．3 （超）吸引的サイクル
ζは有理写像Rの（超）吸引的不動点であると仮定する。この時，lRノ（ζ）1＜1な ので，ある正数α，lRノ（ζ）1〈α〈1が存在し，そして，αを中心とするある円板D が存在し，Dにおいて，
lR（2）一ζ1＝IR（z）一R（ζ）i〈ψ一ζ1
となる。このことより，盲射はDをそれ自身の中へ写すことがわかる。従って，
Dはファトゥ集合F（R）に含まれ，D上で一様にRη→ζ。ピタリ（Vit翫li）の定理
（定理2．3．1）より，ζを含むF（E）の成分上で局所的に一様にRπ→ζとなり，定
理2．1．7より，任意の反復Rqに対してF（Rり＝F（R）であるので，次の定理を
得る。
定理3．3．1 ｛ζ1，．．．，ζq｝をRの（超）吸引的サイクルとする。この時，各も はファトゥ集合F（R）のある成分Fゴに含まれ，η→Ooのとき，．Fゴ上で局所 的に一様にRηq→窃。
定理3．3．1を考慮して，ある用語を導入する。Rの（超）吸引的不動点ζが与えら
れたとき，ζを含むF（R）の成分を局所鉢または直接鉢という。従って，2が局 所鉢Bのある肖像R−m（B），m≧0，に含まれるとき，正確にRη→ζとなり，そ
のようなzの集合をζに対する鉢または安定集合という。もっと一般的に言うと，（超）吸引的サイクル｛ζ1，＿，ζg｝の局所鉢は，定理3．3．1におけるように，F（R）の