1♂一11≦げ4 （349）

le2π惚一11

1e鷹1 −le禰一・一瀧1

＝ 21乞卜lsin（η7r￠）1 ＝ 2［sin 7r（γz∬一m）1

となる。［0，1］において，

1＞・inω〉呈

9 π

が成り立つので，、inω≧聖である．よって，

21sinπ（γL￠一m）1≧41γz￠一mi＞iηω一ml

となり，

i♂一！1＞1η￠一ml

が成り立つ・このことより・これらのηとmに対して・1…ml懐であるとわ

かる。従って，￠はEδに含まれ，αはん（Eδ）に含まれる。よって，定理3．6．5が示された。 □

3．7 ジュリア集合の中の無理的に中立的サイクル

「無理的に中立的サイクル」がJに含まれるという可能性が次の定理より見いだ

される。

定理3．7．1

P（之）瓢α2十… 十一2d，（∫≧2， 1α1＝1

で，αは1の累乗根ではないと仮定する。無限に多くのηに対して，

【証明】

定理2．5．8より，」は周期点の閉包に含まれるので，まず，Pの周期点は原点において集積するということを示す。任意のηをとり，N＝dπ一1とおく。そして，

0，ζ1，＿，ζNを0におけるPπのN＋1個の不動点とする。ここで，

0＜1ζ11≦… ≦ 1ζNl

とする。今，

Pη（・）一・一（♂一1）辞…＋・N＋1一・（・一ζ、）…レーζN）

である。このことから，

（一1）N・ζ、…ζN一απ一1 となる。また，（3．49）より，

ゴれ

1♂一・1寿≦（∴）T一声

なので，

1 1 1 【ζ、1≦1ζ、…ζNl万一1♂一11万≦一

が成り立つ。nを十分大きくすると⊥は零に近づくので，原点とは異なるが，原点に十分近いPの周期点が存在すると結論される。

今，原点はF（P）に含まれると仮定する。定理3．6．2より，原点のある近傍ノVと原点を中心とするある円板一Dが存在し，P（ノV）＝πとなり，かつ， P：Ar→κは

Dからそれ自身の上への写像2目α2と共役となる。ここで，万の中の零でない任意のPの周期点ζを選ぶ。その周期を観としよう。この時，対応するDの中の零でない点ηは，写像zgα之に対する周期mの周期点である。従って，αm＝1

となり，仮定に矛盾する。従って，原点はJ（P）に含まれると結論できる。よって，

定理3．7．1が示された。・ □ もちろん，定理3．7．1より直ちにJに含まれる無理的に中立的不動点の存在は立証されたわけではない。というのは，（3．49）を満たす数αが存在することをまだ示していないからである。実際に，そのような数αは単位円周において稠密であるとわかるので，α；exp（2π乞θ）ならば，条件（3．49）は有理数によるθの近似と密接に関係があることから始める。

今，任意の正の整数mとηに対して，

iαη一1i−i♂π￠θイ乞θ1 ＝ 21si11（γLπθ）1 ＝ 21sinπ（ηθ一m）i ≦ 27rlηθ一γγLl

となる。従って，無限に多くのηに対して，（ηに依存する）あるmが存在し，

1θ一二≦諦（N一礁・）（35・）

となるならば，（3．49）は成り立つ。というのは，その時，η＞2πとすると，

固≦2−1θ一誓｝≦轟≦歩

となるからである。

以上のことより，我々の問題は，（3．50）を満たすθの集合はRにおいて稠密であるということを示すことに帰着する。今，各実数皿は連分数展開をもち，その連分数の近似分数は∬に対する特によい有理数の近似である。θを指定された連分数展開を用いて定義することにより，（3．50）を満たす多くのθを構成することができ，その構成から，そのようなθの集合はRにおいて稠密であることは明らかである。

【注】連分数展開による近似については，森永［20，§2．4，例2−16］参照。

3．8 周期点の存在の証明

本節では，定理3．2．2，すなわち，次数d≧2の多項式Pが周期Nの周期点をもたないならば，N＝2でかつPは之H22一之と共役であるということを証明す

る。

【定理3。2．2の証明】

Pを定理3．2．2の仮定を満たす多項式とする。よって，N≧2である。

K＝｛・∈σ・pN（の＝・｝

とし，

．M＝｛γη∈Z：1≦m＜N，ηL12V｝

とする。この時，κの中の各2はMの中のあるmに対する1）mの不動点であり，

m（勾をそのような最小のmとする。

証明は，次の不等式を示すことに大きく依存する。

dN−1（d−1）≦Σ［μ（N，・）一μ（m（・），・）】≦N（d−！）

z∈K

ここで，μ（γちω）はωにおけるPπの不動点の数である。

N＝1十（N−1）≦1十（N−1）（d−1）

で，二項定理より，

［1＋（d−1）］N一1≧1＋（N−1）（d−1）

であり，（3．51）より，dN｝1≦Nであるので，

N≦1＋（N−1）（d−1）≦［1＋（♂一1）］N−1；dN−1≦N となる。よって，dN−1＝1Vが従う。

（3．51）

dN−1二NとなるdとNを求める。まず， N≧2より， N−1＝m≧1とおく。

d≧3とすると，dN−1≧3N−1となり， m＋1≧3mとなる。そして，

m十1≧3m＝（2十1）m≧2m十1

なので，2m〈mとなる。ところが，このようなmは存在しないので，矛盾を生じる。よって，d＝2である。 d＝2のとき， dN−1コNが成り立つのはN＝2のときであるので，d＝N＝2となる。3．2節において， d＝N＝2ならば， Pは

2目22−gと共役であるということはすでに証明済みなので，（3．51）が成り立つこ

とを示すことだけが残った。

最初に，（3．51）における下界がdN｝1（d−1）であることを示す。 Kにおける和 ΣμσV，2）は，単純に0におけるPNの不動点の数の合計であるので， dNである。

そして，κの中の各之はpmの不動点で， m＝m（のであるので，

Σμ＠（・），・）一ΣΣμ（皿（・），・）≦Σ讃

z∈1て m∈Mm（勾＝ηL m∈M

z∈んである。よって，

L−dN一Σ讃

m∈M

は（3．51）の中央の項に対する下界である。ここで，1V＝2のとき， L二♂一d＝

d（4−1）となり，（3．51）における下界となる。よって，N≧3と仮定してよい。今，

N一（N−1）＝1なので，N−1とNは互いに素である。 m∈Mなので， m≦2V−2 となる。よって，N−2≧1ならば，

潔m≦d＋…押一41占1一・一d；占d≦d飴・

であるので，すべてのN≧2に対して，

♂V＿（JN一1＜五

であることが従う。よって，（3．51）における下界が得られた。

今，κの中の各2は長さ皿（z）のあるサイクルに含まれる。これらの対ごとに素なサイクルを01，＿，らで表す。更に，（ろ・の長さをmゴで表す。よって，zが傷に含まれるならば，m（2）＝mゴである。（3．51）における中央の項は

ぽ

ΣΣ［μ（N，・）一μ（mゴ，・）］（3・52）

ゴ；1z∈0ゴ

であるので，各サイクル個々について考えることができる。今，系1．6．9より，之が有理的に中立的でないあるサイクル（％・に含まれるときはいつもμ（N，の＝μ（mゴ，2）

となる。従って，（3．52）が唯一零とならないのは，之が有理的に中立的サイクル傷に含まれるときである。

今，のを有理的に中立的サイクルとする。よって，定理3．5．9より，定理3，5．9におけるん，m， qそしてpに対応する整数砺， mゴ， gゴそしてpゴが存在する。ここで，

皿ゴはサイクルらの長さと同じである。（3．52）における上界を求めようとするので，

正の項のみに着目する。というのは，系1．6．9と皿（2）＝皿ゴの定義より，（3．52）の項が負となる場合はすべて零で置き換えられるからである。今，μ（mゴ，21）≧1なので，（3．52）の項が正となるのはμ（N，2）≧2のときだけである。この時，定理3．5．9

より，mゴqゴはNを割り切る。従って，のの中のすべての2に対して，

μ（N，z）一μ（mゴ，の瓢qゴ砺である。よって，qの中のすべての之に関して合計すると，

Σレ（ノv，の一μ（㎜ゴ，・）1初ゴんゴ・ηゴ≦N砺

z∈oゴ

となる。従って，

σ＝NΣ鳶ゴ

を（3．51）における中央の項に対する上界としてとることができる。Beardon［16，§9，定理9．3．2］によると，F（P）の成分のサイクルが花弁を含むならば，それもまたPの臨界点も含むということが成り立つ。このことを仮定すると，有理的に中立的サイ

クルらに対する成分のそのようなサイクルは砺個存在するので，0においてP の臨界点が少なくともΣ秘個存在するとわかる。Pの臨界点はPノ（2）＝0となる

ゴ

点であるので，Pノの次数はd−1である。よって，Σたゴ≦d−1である。従って，

ゴ

上界をN（d−1）ととることができる。よって，定理3．2．2が示された。 □

3．9 ジュリア集合と周期笠

原，ジュリア集合を周期点と関係させることができる。

定理3．9．1 Rを次数d≧2の有理写像とする。この時，」はRの周期点の

導集合である。

2がEの導集合に含まれるための必要十分条件は，Eの中に異なる点筋が存在し，

妬→2となることである。Beardon［16，§9．6］によると， Rは高々2d−2個の反発的でないサイクルをもち，このことを用いると，定理3．9．！より，」は反発的サイクルの導集合であることが従う。各反発的サイクルは」に含まれるので，Beardon［16，

§9．61の結果を仮定すると，次の定理が従う。

定理3．9．2 JはRの反発的周期点の閉包である。

【定理3．9．1の証明】

Jと共通点をもつ任意の開集合Wを選ぶ。そして，W∩Jの中の点ωを選び，

ωはR2の臨界値ではないとする。この時， d≧2なので， R−2｛ω｝は少なくとも4 つの点を含む。よって，それらのうちωとは異なる3つの点を選ぶことができ，例えば，ω1，ω2，ω3とする。今，ω，切1，ω2，切3に対し，互いに素なコンパクト近

傍W，凧，肪，恥を構成すると，各ゴに対して，R2が喝・からWの上への同相写像となるように構成できる。そして，5ゴ：W→鴨をR2の逆写像とする。

冊の中のすべての2，｛1，2，3｝の中のすべてのゴ，そして，すべてのη≧1に対

して

躍（之）≠5》（z）

であるならば，定理2．3．3より，｛Rπ｝はWにおいて正規である。｛Rη｝がWにおいて正規であるならば，W⊂F（丑）となるが， Wは」と共通点をもつので，｛Rπ｝

はWにおいて正規ではない。従って，Wの中のあるz，あるゴ，そして，あるη

が存在し，Rπ（2）＝5ゴ（2）となる。よって，

Rπ＋2（・）竃R2（3ゴ（・））一・

となる。このことから，之（∈W）はEの周期点であるとわかる。よって，WはJ と共通点をもつ任意の開集合であるので，％をJの中の任意の点とすると，Wは 20の近傍と考えることができる。従って，20はRの周期点の導集合に含まれるとわかる。よって，JはRの周期点の導集合に含まれることが従う。

Rの周期点の導集合はJに含まれるということを示すには，次の補題を証明すれば十分半ある。なぜならば，補題3．9．3が成り立てば，Fのある成分をFoとする

と，Foは無限個の周期点に含まれるということが従い，

Fo⊂F＝JC⊂（周期点の導集合）c