定理3。5．4の（5）は，補題3．5，5の（3）より直ちに従うので，補題3．5．5の（3）を証 明することだけが残った。そのために，gη（2）の漸近的な性質を吟味し続ける。
η→Ooのときarg（gπ（ω））→0となることの議論を考慮に入れ，ん≧1に対して，
（3．21）の右辺において，gた（ω）を初で置き換えると，
蜘《潮＋麟θ（枷）
一ω柳＋参（慧1）＋麟θ（ゆ）
≦ω柳＋参（1十lo9η）＋慧θ（初）
一ω＋犀bgη÷無θ（初）
となる。そして，関数妬を
9π（ω）二γZjρ一1一一logπ十駕π（ω） （3．26）
により定義する。ここで，次の補題を与える。
補題3．5．6 妬はrlにおいて， H上で正則でかつ単葉なある関数uに局所
的に一様収束する。補題3．5．6が成り立つと仮定すると，
瞬・）P＋41。9（η十1）＋駕。＋、（ω）一9…＠）
算 9π（9（ω））
＝ γLP十一109η 十錫η（9（ω））
となる。これより，
η十1
十駕π＋1（ω）＝uη（9（ω））
P十一109 P η
となり，η→Ooとすると，
鴛（ω）十P＝u（9（ω）） （3．27）
が成り立つ。κを十分大きく選んだとき，！は原点の近くで単射であるので，gは Hにおいて単射である。よって，gπも単射であり，賜も単射である。フルヴィッツ
（Hurwitz）の定理（赤座［2］参照）より，錫は単射であるか，または定数である。 p≠0 に関して（3．27）が成り立つので，uは定数ではない。このことより， gのHへの制限 は，u（H）からそれ自身の中への写像2→2＋pと共役であることが示される。よっ て，補題3．5．6が成り立つと仮定して，補題3．5．5と定理3．5．4が示された。 □
【補題3．5．6の証明】
（3．26）より，
嘱ω）一砺（ω）一幽イ（ω）ト弓bg（・＋去
となり，（3．20）より，
扁ω）一ψ）一
X竈）・＋θ（9π＠））一歪bg（・＋一A孟）一掬＋θ（鋼）＋参卜bg（・÷］
となる。また，
Uπ（ω）＝賜1（ω）＋（駕2（ω）一鴛、（ω））＋…＋（駕。（ω）一三一、（ω））
と表すことができるので，妬＋1（ω）一鋭π（ω）が絶対収束することを示す代わりに，
写孟）一毒，写｝θ（♂（ω））1，写i岩一hg（嶋）i（328）
が，Hの任意のコンパクト部分集合において一様収束することを示す。
（3．28）の2番目の級数については，（323）より，
写1θげ（ω））1≦写声
となる・・
?Eなの畔諺は収束する・よって・写1θ（9π＠））脚束す
ることが従う。
次に，（3．28）の3番目の級数について考察する。閉区間［0，吉］における関数 ん（ω）＝ω一lo9（1十￠）
を考える。平均値の定理より，
（。）一吉一 ・9∫1＋告）
五
となる・が存在する・ところが・〃＠）一・「≒一山は増力麟（ん ＠）〉・）
なので，
房（・）〈〃（去）
すなわち，
務一1・9（1＋1÷詣÷蓋一毒
が成り立つ。従って，
写［岩一1・9（・硝）］≦鉱毒
となる・よって・⇒ま収束するの℃烈尭一1・g（・＋は収束することが示
された。
最後に，（3．28）の1番目の級数について考察する。
孟）一毒一1暴論）〒謂1≦離號一（旦01P） 饗一q響
となる。ロピタル（L Hospital）の定理（赤座［2］参照）より，
lim壁一lim五司im」ニー。
η→oo γz2 π→∞2η
π→。・2π2
となるので
坙ﾐ）一毒は収束することカ・示さ紘よって・翻5・6が示
され，もちろん，定理3．5．4も示された。 □ 定理3．5．4は，Rの係数に関する仮定（3．13）のもとでのみ証明することができた。
次の段階は，！（0）＝0かつ！ （0）＝1を満たすが，条件（3．13）を必ずしも満たさな い関数！に対する対応する結果を証明することである。このために，次の結果を必 要とする。
定理3．5．7 ！は0の近くで解析的であり，2→0のとき，
！（・）一・＋・・P＋1＋0（・P÷2），・≠・
となると仮定する。この時，！は0の近くで関数
F（・）一・一・P＋1＋・（・2・＋1）
と共役である。
この定理3．5．7を用いると，
ル）一・＋α2P＋1＋…
の形の解析写像に対する花弁の存在やこれらの花弁における芦の力学が直ちに従
う。実際に，定理3．5．7より，そのような！は原点の近くであるFと共役であり，定理3．5．4がFに適用できる。従って，！に対する花弁をFに対する花弁の共役
写像のもとでの共形像として定義することができる。定理3．5・4の（4）を正当化する のに補題3．5．2を用いれば，定理3．5．4の結論は，これらのようなもっと一般的な場 2π合においても成り立つ。更に，！に対する各花弁は原点において角一を張ること，
そして，！をFと共役化する関数は弓形変換であるので，花弁は，十分小さくとる ならば，対ごとに素であることを知っている。
【定理3．5．7の証明】
最初に，適当な写像2D肋を用いた共役化により，α＝1と仮定してよい。証明
は，、与えられた！から出発し，！を！1へと共役化し，テイラー（Taylor）級数が必要とする形になるまでゐ，．．．，と順次に共役化しながら，有限回の帰納法により行う。
今，共役化により，
九（z）訟2＋2P＋1＋b之P＋「＋1＋…，δ≠0，1≦T
となったと仮定する。γ≧pならば，求める結論は成り立つ。よって，1≦rくpと
する。ここで，
6 9（2）＝2＋β♂＋1， β＝
P一γ と定義する。そして，関数
九＋1＝9姦9『1 （3．29）
を得るために，gをもって姦を共役化する。補題1．6．3より，九＋1と∫kは原点に おいて同じ数の不動点をもつので，九＋1は，
九＋・（の一・＋Σ孟鵬・m m＝P十1
によって与えられなければならない。（3．29）より，ム＋1g＝g姦が成り立つ。この両
辺を，原点において少なくとも位数p＋T＋2の零点をもつ関数の加法を法とした
（別の言い方をすれば，各行の終わりに0（zP曾÷2）が加えてあると考えた）ベキ級
数で表す。この時，
9九（・）（・＋・・＋1＋わ・・枡1＋…）＋β（・＋・・＋1＋δ・・＋・＋1＋…ア＋1 ＝ z＋β♂＋1＋ノ＋1＋［6＋β（1＋リレP＋T＋1
等 2＋β♂＋1＋ノ＋1＋β（1十P）ノ＋γ＋1 となり，
姦＋・9（・）一（・＋βノ＋1）＋Σ孟m（・÷β・γ＋1）m ｛m＝P÷1
となる。原点における位数2叶7÷2の関数を法として表すと，上式から
・P＋1＋β（1十P）・P播 一Σ孟m（・＋β♂＋1）m m＝P十1
＝・4P＋1ノ÷1＋…＋・4P＋。＋12P＋T＋1 ＋・4P＋1β（P十1）2P＋T＋1
となる。このことから，
・4P＋1＝1， ・4P＋2訟…＝・4P＋r＝・4P＋r＋1＝0
であるとわかる。従って，五は原点の近くで写像
五＋・（・）詔＋・・＋ ＋0（・p＋T＋2）
と共役であることが従う。これは一般的な帰納法の段階である。
∫ん＋1に対するp＋r＋2次以上を無視した級数が2p＋2より少ない次数の多項式 として終わるかもしれない。もしそれが成り立つならば，証明は完成する。もしそ うでなければ，p＋r＋2≧2p＋2より， r≧pとなり， rの仮定と矛盾する。よっ
て，姦÷1に対するp＋T＋2次以上を無視した級数は2p＋2より少ない次数の多項
式として終わることが成り立つ。従って，T〈pなので， r＝p−1まで成り立ち，この時，p＋T＋2＝2p＋1である。よって，！はある写像
胴・＋・叶1＋0（・2P＋1） （3・3・）
と共役である。ある写像2Dλ2を用いて（3．30）を共役化することにより，（3．30）は
Fの形の関数と共役であるとわかるので，∫はFと共役である。 □
定理3．5。4と定理3．5．7は，原点における！のp個の花弁上での！（z）＝之＋αノ＋1＋…
の形の任意の写像の反復のふるまいについて述べている。今，！が有理写像Rのと きの場合を考察し，花弁のRのファトゥ集合との関係についての情報を得る。
定理3．5．8 Rを有理写像とし，原点の近くで
E（・）朔＋αgP＋1＋…，α≠o
と仮定する。HゴをRの花弁とし，各ブに対して， FゴをHゴを含むF（R）の成 分とする。この時，以下のことが成り立つ。
2πん
（1）F鳶においてRη（z）→0かっarg（Rη（2））→一，
（2）Fo，＿，Fp−1はF（R）の異なる成分である。
この時の幾何学的な図は以下の通りである。有理的に中立的不動点0は∬（R）の
P個の成分F、の境界上に存在し，各F、｝ま。において角…竺を張る花弁H諺含 む。次に，Rは二二をそれ自身の中へ写す。そして，∬たの中の任意の2に対し て，花弁取の軸に対して漸近的なある路において群（2）→0となるように，各疏 において局所的に一様にRπ→0となる。異なる花弁はF（R）の異なる成分に含ま
れるということは，このことから直ちに従う。加えて，この収束から，任意のzに 対して，Rπ（2）は究極的に臨の中に含まれるということがわかる。従って，瓦の中の花弁恥の逐次の三門は，成分瓦全体を満たすように拡張する。
最後に，有理的に中立的不動点は，Fゴとは別のFの成分の境界上にも含まれる
かもしれない。実際に，P（2）＝2＋…が任意の非線形多項式であるならば，原点 は，p個の成分Fゴそれぞれの境界上に含まれるばかりでなく，○○を含むFの完全 不変成分F。。の境界上にも含まれる。更に，F。。において一Pη→OGであるので，源 点は各Fゴとは異なる。．F。。は連結であるので， F。。は，それゆえに，花弁の間を原点へと伸びる細い舌を含まなければならない（p＝5のときの図8とp＝3の
ときの図9を参照，そこでは，花弁は黒く着色されている）。【定理3．5．8の証明】
まず，Rが、Vから駈の上への同相写像となり，R−1で表す逆写像をもつように原 点の開近傍ノvと駈をとる。次に，Eに対する花弁Ho，＿，rlp−1とR−1に対する花 弁Σ0，＿，Σp−1をすべてAru《4に含まれるように選ぶ。最後に，50，＿，5pdを，
補題3．5．2において述べられたようなΣo，＿，Σp−1の内部に含まれるΣo，＿，Σp−1 の軸のまわりの扇形とし，5ゴにおいてIR−1（Z）1く同となるとする。ある正数オに
対して，
｛1水孟｝⊂（Un、）u（u島）⊂κu駈
図8 ！（z）＝22−0．5＋0．55歪の場合の花弁とジュリア集合
図9 ！（之）＝e響z＋22の場合の花弁とジュリア集合
となる。
今，疏をH鳶を含む∬（E）の成分とし，瓦の中の任意の2をとる。0∈」（R）
なので，Rπ（z）≠0であり，ピタリ（Vitali）の定理（定理2．3．1）より，恥において Rπ→0なので，瓦においてRπ（z）→0回忌る。従って，あるηに対して，
o〈IEπ＋1（2）ト犀（2）kオ
となる。Rは万の中のRη（2）を駈の中のRη＋1（Z）に写すので， R−1（Rη÷1（g））＝
Rη（2）とならなければならない。よって，
陛＋1（2）1〈1酬加判R−1（Rη＋1（之））｝
となる。このことから，Rη＋1（勾はどの5ゴにも含まれないということが従う。従っ て，Rη＋1（z）はある叫に含まれる。よって，
Fた ＝ DoU… UDp＿1，
Dゴ＝｛z∈Fゼあるηに対して，Rπ（2）∈Hゴ｝
であることが示された。もちろん，集合Dゴは凡の開部分集合であり，Hゴは互い
に素でかつ前進不変であるので，0ゴは対ごとに素である。従って，疏は開集合Dゴの互いに素な和集合であり，瓦は連結であるので，Dゴの1つを除くすべては空集 合である。今，臨⊂疏なので，環≠のである。従って，次のことが成り立つ。
（1）Fた＝Dん，
（2）ブ≠鳶に対して，Dゴ＝の。
（1）より，定理3．5．8の（1）が示される。そして，（2）より，定理3．5．8の（2）が示され る。というのは，もし」砿がゴ≠んとなるHゴを含むならば，Hゴ⊂0ゴとなるので，
よって，Dゴ≠のとなり，（2）と矛盾するからである。 □ 花弁定理にその十分な一般性を与える前に考察しなければならない結果がもう一 つある。すなわち，定理3．5．8のR（0）＝0かつ丑ノ（0）が1とは別の1の根である
ときの場合への拡張である。その時，
R￠）一㏄＋晒…，・≠・，・一∞Φ（27rか q） （33・）
で，ここで，rとgは互いに素であると仮定する。従って，π＝qのとき♂＝1だ
が，任意のより小さいηに対して♂≠1である。この場合，ある孟に対して，Rq（の一z＋cz士＋1＋…