n
2 κ
補題3．5．5
（1）Hはgのもとで前進不変である，
（2）Hにおいて一様にReレη（ω）］→＋Ooとなる，
（3）g：n→nは平行移動と共役である。
補題3．5．5は定理3．5．4と密接に関連しているので，補題3．5．5の証明を行いなが ら，定理3．5．4の証明を行う。
【補題3．5．5の証明】
ω＝ω十ゼシ， 9（ω）；x十乞y； 一十θ（ω）＝α一十一乞6
ω
とおく。（3．15）より，
x＝￠＋P＋α，y＝9＋6
となる。よって，ω∈Hならば，
y2−41（（1（一♪（） ＝ （〃十6）2−4κ（1（一ω一∫）一α）
＝ ［〃2−41（（κ一灘）1十62十2ッ6十4κ（α十p）
＞ 4．κp一ト296−1−4κα ≧ 4κp一（21ッ61十4κ1αD となる。ωはnに含まれると仮定しているので，
1ω12＝￠2−1一ツ2＞ω2十41（（1（一￠）＝（ω一21（）2 となり，1ω1＞κ＞1が従う。このことと（3．16），（3．17），（3．！8）より，
2惚61十41（1α1 ≦ 21ω1・1α十乞6｝十41ω1・1α十盛61
＝61ωト1α三盛bl
−61ω1恰θ（ω）
≦61ω1（凶＋Blωll初［1＋歩）
一6（ Bl孟1＋一 1ω1多）
（3．18）
（3．19）
≦ 6（1刈十β）
＜ 2、κ ＜ 4」κP
となる。このことを（3．19）に適用すると，y2−41（（κ一X）＞0とわかる。よって，
g＠）∈H：となり，補題3．5．5の（1）が示された。
定理3．5．4の（1）が成り立つことを示すために，Ho＝σ一1（H）とおく。∫はgと共 役であることより，直ちに！はrlOをそれ自身の中へ写すことが従う。そして， rlO が適当なオに対する花弁であるということを確かめるには，σ一1が放物線を花弁の 境界に写すことをチェックすればよい。極座標を用いてこのことは容易に示される。
ここで，
之一γe琶θ（∈5），ω一ρe勿（∈助，ω一σ（の とおく・こ嚇σ（・）一歩より・
ρ，ゆ一⊥一。†・θP gP
となるので，ρ＝一pθ，ρrP＝1である。そして， nは極座標で H一｛ρeゆ・2κ〈ρ（1＋・6・￠）｝
と表されるので，直ちに
IIo＝｛γ・♂θ：2κγ・P＜1十・cos（Pθ）｝
と表される。花弁の定義より，Hoが花弁であることは明らかである。
次に，補題3．5．5の（2）を考察する。Hを右側に距離オ平行移動することによって 得られた集合をH＋オとすると，
H十オ＝｛z十乞〃：〃2＞4κ（1（一1一オーω）｝
となる・鞭＆5・5の（1）の証鵬glまH＋オをH＋（オ＋ξ）の中一写すというよ
り強い命題を証明することに簡単に修正することができる。実際に，g∈H＋オのとき，（3．19）の証明をまねると，
y2−4κ
iκ＋オ＋2＿x 2）一（＋6）2−4κ（K＋オー÷・）一［y2−4κ（κ＋卜明＋62＋2ψ＋4κ（書＋・）
＞ 2κp十2ッb一ト41（α ＞ 21ぐP一（21シδ1十4．〜（1α1）
となり，21ψ1＋41（id〈2κ＜2κPより，
y2−4κ（κ＋オ＋2＿x 2）〉・
となる・このことから・9伽）⊂H＋（オ紛が従う・
上のことより・・∈Hならば幽∈H愕となる・このことの結果として・H
においてig物（・）1＞而となる・とレ・うのは畿何学的に考えると・H愕1ま円板
｛121≦〉／万｝と互いに素である，すなわち，解析的に考えると，
X2＋y2＞X2＋4κ（κ＋塑＿X 2）一（X−2κ）2＋2ηPκ〉η
であるからである。このことから，補題3．5．5の（2）が示され，ん＝0のときの定 理3．5．4の（2）も示された。事実上，同じ証明が他の花弁に対して成り立つので，こ
こでは省略する。
次に，定理3．5．4の（3）を証明する。（3．15）より，gn（ω）の最初の近似はω＋叩と なるとわかるが，π→Ooのときのgη（ω）の漸近的な性質のもっと繊細な評価を必
要とする。（3．15）より，
9た・1（ω）一9＠（ω））一9た（ω）＋P＋9竈）＋θ＠（ω）） （a2・）
となる。これを繰り返し用いることにより，
鋼一ω柳＋且（慧9毒））＋慧θ（gk＠）） （32・）
を得る。
今，Hの任意のコンパクト部分集合Qをとる。そして， Qにのみ依存する正数を表 すのに，01，02，＿，を用いる。簡単のために，（ろ・を含む任意の式において，点ωは 必ずQに含まれていると仮定することにする。例えば，ω∈r【ならば，1姻〉κ＞1，
1ぐ＞3（レ引十β）＞1なので，
1歪＋θ（ω）1≦1響く凶蓄B〈1
となる。よって，
鞠（ω）］≧R・［ω］＋卜結＋θ（ω）＞R・［ω］＋雪
となる。このことから，．
，R・［9π（ω）】＞R・［ω］＋響≧号π
が従う・よって・すべての＋分大きいη1こ対して…男とすると・
｝9η（切1≧01π
となる。次に，（3．16）と（3．22）より，すべてのηに対して，
1θげ（ω））1≦1♂（蕩1耳圭≦η薯岩
となる。最後に，（3．21），（3．22），（3．23）より，
1 （ω）一叩［一ω《慧9右））＋慧θ＠＠））
≦1ω1＋倒＋讐（慧去）＋1θ（ω）1＋G（無）
一1ω1＋倒ギ1θ（ω）1＋（掛＋q）（慧去）
一1ω1＋膿＋1θ（ω）1＋α（慧1）
となる。今，Qはコンパクトなので，ある定数．Mに対して，
1ω1≦ノレf「， 1θ（ω）1≦！しf
である。更に，
麟1く・＋葎一bg（一・）〈1＋bgη
であり，十分大きいπに対してlogη＞！である。よって，1ω1＞1なので， Mを 十分大きいとすると，
｝ω｝十1θ（ω）1頑隷）≦1ω1＋倒＋1θ（嘱（・＋bgη）
≦M＋睾＋脇q＋ql・9η ≦（2M＋q）bgη囎η
一（2M＋2磁）1・gη ＝0410gη
（3．22）
（き．23）