となる・q≧2℃1≦1〈・であるの構沸1ま収束し・嵩1妬・・￠）一・1も
収束するので，無限乗積9（之）＝2Hんπ（z）
π＝1
はD上で一様収束する。よって，gはD上で解析的であり， g（0）＝0であるので，
鋤9（の一9（0之一〇）一応準一鶉か（・）一・
となり，g （0）＝1となる。
最後に，
［ん。＋・（！（・））ド＋1一・＋ん（！π＋1（・））一隔・（・）］qπ＋㌧［（ん・＋・（・））q］qπ＋1
なので，
ん。＋、（∫（之））一（ん。＋2（2））q
となる。従って，
9η（之）；之・ん1（z）…んπ（之）
のとき，
9π（∫（2））＝ ！（z）［ん2（2）…1Lπ＋1（之）｝q
＝ zq［1十1L（2）］・［ん2（2）… んπ＋1（2）］q ＝ zq・［ん1（2）…んη＋1（之）］q
＝ （9π＋1（z））q となる。そして，η→Ooのとき，
9（！（z））＝（9（z））q
となる。従って，g（2）＝ωとすると，2＝g−1（ω）であるので，
9！9−1（ω）＝ωq
が成り立つ。よって，定理3．10，1が示された。 目 α1＝1のときの！の局所的な解析的な共役について考察する。この場合，！は ！（・）一・（1＋α〆P＋α，・・ノ＋1＋…） （3・56）
の形をもつ。そして，日数定理（定理A．4．5）より，
・（！）一壷ん一器ゴ・
1 を
で定義された関数τ（のは，T〈Toに対するrと独立である。更に，
∫（の一z 原点についてのローラン（Laurent）級数に展開するとき，丁（∫）はある多項式Pに対 する
P（αP，．．・，α2P）
（αP）P＋1 の形であるとわかる。例えば，p＝1のとき，
・（∫）一一i篭 α1
となる。今，関数7が解析的な共役写像のもとで不変であることを示す。
定理3．10．3 ！が（3．56）の形で，原点の近くでgと解析的に共役であるなら
ば，7（∫）と7・（g）となる。
【証明】
んを任意の共役関数とする。すなわち，んは原点の近くで解析的であり，ん（0）＝0 かつん （0）≠0とする。この時，12i〈r，（r：十分小）に対し，
楓｛ 1 ん （2）ω一2 ん（ω）一ん（之）｝一誉）
であるので，リーマン（Riemann）の除去可能な特異点に関する定理より，
1 ん （の
＝P（の ！（z）一之 ん（ア（2））一ん（z）
とおくと，P（z）は121〈Tにおいて解析的である。2つの関数 1 ん （2）
！（2）一之， ん（！（2））一ん（2）
は，原点の近くである解析関数pによってのみ異なるということがわかる。よって，
原点を取り囲む任意の小さな曲線ρ上で積分すると，
ゐル｝一沖一∠ん（ ん （之）！（之））一ん（2・）d・一〃融一・
1 と ん （β）
となり，2つの関数
は同じ積分をもつ。
！（2）一2
ん（！（2））一ん（z）
今，F＝好㌃1とする。そして，7を原点のまわりのある小さな円とし， r＝ん（の とする。7上の点をω，r上の点を2とすると，ん（ω）；之となり，ぬ＝ん （ω）伽 となる。よって，
・（F）一儲F湯ゴ・
一撃F（ん（缶〜響ん（ω）dω
一部ん（ ん （ω）∫（ω））一1L（ω）伽
1 と ん ㈲
は同じ積分をもつので，となる。
！（2）一之
ん（！（2））一ん（2）
鉱ん（ ん （ω）！（ω））一ん（ω）dω一志！（ω1一評
となる。従って，「
藷F（。髭下墨！（ω｝一ωdω
が成り立ち，よって，定理3．10．3が示された。 □
定理3．10．3の適用として，定理3．5．7より，！が（3．56）の形であるならば，アは，
関数
・D・（・＋・p曲2P＋0（・2P＋1）） （3・57）
と局所的に共役となり，この場合，実際に計算すれば，
T（！）＝一孟
となる。
更に，次の定理を得る。
定理3．10．4 ！は（3．56）で与えられた関数であると仮定する。この時，q＞2p となる任意の整数qに対して，！は，ある関数
一・
i1＋・P曲2P＋0（・q））と解析的に共役である。
定理3．10．4の証明は，定理3．5．7の証明と本質的に同じであるので，省略する。
対比により，次の定理を得る。
定理3．10．5 ！はテイラー（Taylor）展開
！（2）一・、・＋・，・2＋…
をもっと仮定する。ここで，α1は1の累乗根ではない。この時，任意の正の整
数Nが与えられたとき，原点の近くで解析的であり，原点において零になるあ
る関数gが存在し，原点の近くで
9−1！9（・）一…＋0（・N）
となる。
【証明】
F（の一…＋o（の の形の任意の解析関数Fは，原点の近くである写像
・吟…＋0（押）
と共役であるということを示せば十分である。よって，
が与えられたとき，
とおく。この時，
F（2）＝α1z＋、4ノ＋…，．4≠0
9（2）＝之＋6ノ，わ＝鳶 α1一α1 9一1Fg（・）二α、・＋げ＋C3之3＋…
（3．58）
とすると，
・・（・＋bの＋孟（・＋6ガ＋…
（α、z＋解2＋…）＋6（…＋勉・2＋…）た
とならなければならない。ノ（ん≧2）を含む項まで係数を等式にすると，
c2＝c3＝…＝cた＿1＝0 かつ
・、b＋五一。た＋わ・を が得られる。（3．59）に（3．58）のδの値を代入すると，
孟（αを一1−1）
孟一・を一M
＝．4−
cた＝．4十
＝0 ・を一L1
・を｝し1となる。従って，
9−1Fg（・）一…＋0（押）
が成り立つ。よって，定理3．10．5が示された。
（3．59）
口
附記
本論文に使用した図1・〉図10は，文献Beardon［！6］より引用した。
付録A 複素関数論の諸定理
付録では，この論文に必要な関数論の基礎的な結果をまとめておく。その証明に
ついては，辻［8｝，三木［9］，アールフォルス［1］，竹之内［6］を参照。
A．1 正則関数
定義A．1．1 0の領域Dで定義された！：D一→σにおいて，点Zo∈Dで
！（20十△2）一△2 1im
△z→o △z
が存在するとき，！はZoで微分可能といい，上の極限値を∫ （20）で表す。
Dの各点で！が微分可能のとき，！はDで正則であるといい，％ト→！（20）で
導関数診畑が議される．
定理A．1．2 ！（之）＝ψ，〃）＋勿（∬，〃）がDで正則となる条件は，駕， が連続 な偏導関数をもち，コーシー・リーマン（Cauchy・Riemann）の関係式
∂錫 ∂り ∂￠ ∂9 がみたされることである。
∂㊨ ∂駕
∂：r ∂影
定理A．1．3 ！がDで正則で，！により％で交わる2曲線01，02が曲線
0｛，0乙にうつるとき，！ （の≠0ならば，
之。での01と02の接線のなす角＝∫（20）でのOl，0乙の接線のなす角
が成り立つ。すなわち，！は等角写像である。127
定理A．1．4 レ1〈1を1ω1＜1に写像し，之＝α（1α1〈1）をω＝0にうつす 一次分数変換（メービウス（M6bius）変換）は，
ゑ ゆ
切一1一。、♂（か実数）
と表される。
A．2 複素積分
定義A．2．1 長さ確定のσの連続曲線0詑＝g（オ）（α≦オ≦b）上で∫：0一→C が定義されて，分割
△：オ0＝α＜オ1＜オ2＜・・…・〈孟η一1〈オπ＝わ
に対して娠＝之（勾とおき，任意のη：砿≦％≦転1に対して，ζた＝2（恥）として，
れ
5△一Σ！（ω（・鳶一・・．・）
た＝＝1
が1△i＝max悔一砿11→0のとき，分割の仕方，鳥のとり方に無関係な極限5を もつとき，3は0に沿って積分可能といい
θ一 﨟轣i・）d・
とかく。
定理A．2．2 0上で！（2）が連続ならば，！は常に積分可能である。
定理A．2．3 0が滑らかなとき，積分は
ゐ！（・）d・一∠b！（・（オ））ノ（オ）dオ
で求められる。
定理A．2．4 領域DでF （2）二！（勾が成り立つような正則なF（のが存在
すれば，Dの2点α，δをそれぞれ始点，終点にもつD内の任意の0に対して
鴻！（のd・一F（δ）一F（・）
が成り立つ。
定理A．2．5（コーシー（Cauchy）の積分定理）
！が領域Dで正則で，内部も0の点からなる単純閉曲線0に対して
ゐル）d・一〇 が成り立つ。
定理A．2．6（多重連結な領域でのコーシー（Cauchy）の積分定理）
∂Dが有限個の単純閉曲線からなり，Dを含むある開集合で正則な！（のに対
して
鴻Dル）d・一〇 が成り立つ。
定理A．2．7（コーシー（Cauchy）の積分表示）
Dは単純閉曲線σで囲まれた領域であるとき，Dで正則な関数∫（2）につい て，β∈Dに対して
∫（勾魂ゐ鵠dζ
が成り立つ。ただし，0の向きは常に正とする。
定理A．2．8 −Dが有限個の単純閉曲線によって囲まれる領域のとき，八2）が
Dで正則ならばz∈Dに対して
！（η）（z）一蓋ノ2D（ζ三二等＋1 drζ （7z−1，2ツ… ）
定理A．2．9 ∫（之）がD上で正則ならば，そのすべての導関数がD上で正則
（したがって無限回微分可能）である。
A．3 関数列とテイラー（Taylor）展開
定義A．3．1 Dで定義された関数列ム：D一→σを考える。各点2∈Dで
1imム（2）が定まるとき，これを ！（2）
η→oo
とかき，｛ム｝の極限関数という。また，このとき任意のε＞0に対して，あるN
が存在して，π≧Nならば，任意のz∈一〇に対して，協（の一！（凹くεが成り立つ（Nが之に無関係にεのみに依存して選べる）とき，んは！にPで一様収束
するという。
もし，ムがDの任意のコンパクト領域んで∫に一様収束するならば，ムは！
にDで広義一様収束するとして，
凡（の＝ん（の一げ1（2）＋……＋ん（z）
とおき，凡がFに刀で（広義一様）収束するならば，無限級数
Σ九（・）
π＝0
はDで（広義一様）収束するといい，F（勾を上の級数の和という。
定理A．3．2 ム（2）（η＝1，2，・…一）がすべてDで連続で，！（之）に広義一様 収束するならば，！（のはDで連続である。
定理A．3．3（ワイエルシュトラス（Wbierstrass）のM−tes七）
任意のz∈」0に対して
1ム（之）1≦雌 （γz＝0，1，2，・・・… ）
となる定数鵡があって，級数Σ．Mηが収束すれば，Σ∫π㈲はDで一様収
π＝0 η＝0 旧する。
定理A．3．4 収束すれば
ム（2）（π＝0，1，2，……）が0上で連続で，0上で！（2）に一様
鴻！（撒一無か（・）ぬ
定理A．3．5（コーシー・アダマール（Cauchy・：Hadamard）の定理）
べき級数Σα。（2一α）ηにおいて πコ0
λ一認桐
が（＋ooも許して）存在するとする。収束半径Rは
1 （1） 0＜λ〈OGのときは R＝天 （2） λ＝0 のときは R＝Oc （3） λ＝Oo のときは R＝0
で与えられ，与べき級数は1之一α1〈Rで広義一様（絶対）収束する。
注 lim l璽1が存在するときは，これをλとしてもよい。
π →Oo απ
定理A．3．6（項別微分）
べき級数Σαη（2一α）ηの収束半径をR（R＞0またはR＝Oo）とする。この
れニむ
べき級数の和をP（2）とするとき，P（2）はレーd＜Rで正則で
P（た）（・）一Ση（η一1）一・（π一厨1）ψ一・）儲（鳶一1，2，……）
η＝た
定理A．3．7（正則関数のテイラー（Taylor）展開）
！（2）は領域Dで正則とする。Dの1点αと∂Dの距離をRとし，0〈r〈R であるrに対して
砺」艶）一壷し（ζ筆4ζ
とおく。プ（2）はレーd〈Eにおいて，べき級数
（1）量砺（・一・）一！（・）＋孕（・一・）＋一＋！（箒α）（一・）・
π篇0
十 ……
に展開される。（！）の収束半径はRより小さくない。八2）をべき級数に展開す る方法は一通りに限る。
注べき級数（1）を∫（2）のテイラー（Taylor）級数という。
定理A．3．8（リウヴィル（L，iouville）の定理）
C上で有界な正則関数は定数に限る。
定理A．3．9（一致の定理）
｛9n｝は領域D内の相異なる点からなる無限二二で，D内の1点Zoに収束し
ているとする。！（z）がDで正則で！（2π）＝0 （γL＝1，2っ・・・… ）
が成り立つならば，ア（の≡0である。
定理A．3．10（最大絶対値の原理）
八2）が領域Dで正則で！（2）≠定数ならば，Dの内部において，1∫（釧が
：最大値をとることはない。
定理A．3．11（シュヴァルツ（Schwarz）の定理）
！（勾が121〈Rで正則，！（0）＝0，1！（2）1＜Mならば121＜Rで
M
l！（釧≦7τ1之l
M
が成り立つ・ユ点・・（0＜1・・1〈R）で等号成立かまたは1！ （0）1一万のとき ア（・）≡・・筆（オはある実数）である。
注 M＝R＝1のときがよく使われる。
定理A．3．12（シュヴァルツ・ピック（Schwarz−Pick）の定理）
！（2）が121〈1より［21＜1への正則関数のとき
1ル・）一ル2）l l2・一Z21 1！ （Z）1 1
1！一！（之、）ル2）1
が成り立つ。
≦ μ一彫21 1−1！（9）12 ≦
1一同2
A．4 有理型関数
定理A．4．1（ローラン（］コaurent）展開）
！（のは0≦Rl＜12−d＜R2で正則とする。 R1＜TくR2であるrに対して
！ ア（く）一・1一・（ζ一α）π＋1
とおく（αηはTに無関係である）。このとき，！（のは
α＿m
・・一 dlζ （γz＝0，＝ヒ1，二』2，・・・… ）
ル）＝黒（。一。）m＋轟ψ一α）η とあらわされる。このあらわし方は一意に定まる。
注 この級数をE1〈レーdくR2における！（2）のローラン（Laurent）級数
という・さらに・∫（・）の・一ラン（L・urent）繍・おいて・混（両雄）mをこの 級数の主要部（principal part）という。定義A．4．2 主要部が有限項で
ル）一（α＿ん之一α）・＋一・＋凱＋9（・）
（ただし，α＿h≠0で，g（のは12一α1＜Rで正則な関数）のとき，∫（2）は2＝αに おいてh位の極をもつという。このための条件は，lim（2一α）辱（之）が有限値とな z→α
ることである。
！（のがDで極を除いて正則であるとき，Dで有理型であるという。
定義A．4．3 ！（2）が0〈レーα｝〈rで正則であるとき，0〈ρ＜rであるρに
対して壷鴻＋ノ（・）ぬ
を考えると，この値はρに無関係である。これをz＝αにおける八2）の留数
（residue）といい，これを記号でR、とあらわす。すなわち