同 く三
1ψ1≦同・固≦同一1−2
となる。従って，2がHに含まれるならば，y『2＞12（3−X）が成り立ち，そして，
ゆえに，Q（2）についても成り立つ。よって， QはHをそれ自身の中へ写し，σ（H）
において．Pπ→0となる。 Pのジュリア集合は図5において説明され，図の中の
黒い領域はσ（H） である。
図5 −P（2）＝画一z2の場合のジュリア集合
一般的な有理的に中立的不動点に対する状況を解析するために，花弁の概念を必 要とする（大ざっぱに言って，花弁は上の例における領域σ（H）の役割を演じる）。
各正数オ，各正の整数p，そして｛0，1，＿，p−1｝の中の各んに対して，集合
H、（オ）一｛。，・θ，。・〈オ（1＋，。、ゆθ））；i璽一θ＜丞｝
P P
を定義する。これらの集合を（原点における）花弁といい，p＝6のときの図6に
おいて説明している。花弁は，丸ごとに素で，それぞれ原点において赤塗を張る。P
従って，すべての花弁が原点において張る角の合計は2πである。H維）の対称の直
線（半直線θ一堂）をH、の軸という。
今，本節の第一の主要な結果に達する。この結果において，Rノ（ζ）＝1となる不動
点ζでの花弁における反復餅の力学を述べる。共役化により，ζ＝0と仮定して
n2ω
n盲（f）
noω n3ω
n4ω
n5（ ）
図6 原点における6つの花弁
よい。加えて，原点においてRは
R（・）一・（・一・P÷b・2P＋・・2P＋1＋…）
の形のテイラー（Taylor）展開をもつと仮定しよう。もちろん， Rを2日α2の形の 写像と共役化することにより，zP＋1の係数は一1であることをいつも保証すること ができる。従って，この仮定の重要な部分は，Rに対するテイラー（Taylor）級数に おける項2P＋1と22P＋1の間に項が存在しないということである。この仮定は，花弁 についての明白な記述をすることを可能にするという重要な役割をもっている。
有理関数に対してではなく，一般的な解析関数に対する結果を証明することは望 ましいことである。というのは，解析関数をR−1の分枝に適用することができるか
らである。
定理3．5．4（花弁定理） 解析写像！は原点においてテイラー（Taylor）展開
ル）一・一・P＋1＋0（・2叶1） （a・3）
をもっと仮定する。この時，すべての十分小さい孟に対して，以下のことが成り
立つ。
（1）∫は各花弁D：維）をそれ自身の中へ写す，
（2）η→ooのとき，各花弁において一様に！η（2）→0，
2んπ
（3）η→Ooのとき，取において局所的に一様にarg（芦（z））→一，
（4）各花弁の軸の近傍において1！（2）1〈121，
（5）∫：翫㊨一→H維）は平行移動と共役である。
【証明】
各正数roに対して，
ガ
5 ＝ ｛Te￠θ：0〈γ・くγ℃， 1θ1〈一｝
w一｛・e・θ・・〉姦，1θ1〈π｝
To
とする。そして，To＜！と仮定する。しかし，後で様々な他の条件を満たすように γoを減少させる。
写像σ：2H⊥は複素球面からそれ自身の上への解析写像である。そして，σは
2PθからWの上への解析的な同相写像でもある。従って，逆写像 σ一1：W→5
が存在するので，Wにおける関数gを
1 9（z）＝σ！σ 1（z）；
［！（・一士）r
によって定義することができる。この手続きは，単に，5における∫のふるまいを，
冊におけるgのふるまいで置き換えたにすぎない。
まず，（3．13）で与えられた∫の係数の構造を，gに関する対応する情報に翻訳す
1
る。今，（3．13）を用いた計算により，のローラン（Laurent）展開は，
［！（之）］P 1
［ル）］・＝ガP＋囲之P＋ （z） （3・14）
となる。ここで，孟はある定数で，刀は，例えば，原点のある近傍ノVにおいて解析
的であり，
1刀（2）1≦B121P＋1， β＞0
を満たすものである。Toは，5⊂万となるように十分小さいとする。今，ωは
wrに含まれると仮定する。この時，σ一1（ω）は3に含まれ，σ一1（ω）＝Zとおくと，ユ2＝ω万となるので，
9（ω）一σ！グ1（ω）下1（ω）］・一＋P÷θ＠）（3・5）
となる。ここで，
1θ（ω）■・（σ一1（ω））1≦BI （ω）ピーiω嵩 （3・6）
である。
今，（3．15）と（3．16）より，1ωiが大きければ，gはほぼ平行移動ω目ω＋pのよう にふるまうことがわかる。そして，αが十分大きければ，gは半平面｛ω：Re［ω］≧α｝
をそれ自身の中へ写すとわかる。しかしながら，例3．5．3のようにもっとうまく行 うことができるので，ここで，半平面を，ある放物線7によって左側が境界をつけ られている領域Hで置き換えることができることを示す。
γo〈1のとき，
1
κ＞max｛孟，3（レ41十β）｝＞1 （3．17）
To を満たす任意のκを選ぶ。そして，
H＝｛の十∫y：〃2＞4κ（1（一灘）｝
とする。この時，Hは放物線によって境界をつけられており， H⊂Wとなる（図7
参照）。
n
2 κ