。一レ1）嗣
であるので，
・ll酬慧（噛（禦）㌦llμllG≒1）嗣
が従う。よって，補題3．6．6が示された。 r □
次の段階として，どこでgがふるまうかを調べる。そのために，正数δ，θそして Tが次を満たすと仮定する。（1）！（そして，ゆえにのは｛團≦r｝において解析的である，
1
（2）θ〈5・（3） 0δ＜θた＋2，
（4）1司≦rならば，1−Fノ（z）1≦δとなる。
θ鳶＋2
となり，0〈δ＜θが従う。
0＞1かつθ〈1なので，0δくθ糾2より，δ〈
0
よって，同≦Tに対して，F（0）＝0，ζ＝誘，0≦孟≦1とすると， dζ＝z・認とな
り， 11ア （2）1≦δより，
lF（之）1＝ IF（之）一F（0）1 1μ（ζ）dζ1 孟1殉）・・司
≦孟1隣孟）卜1鋤
≦δ呪1砒
＝δ1之1
≦θγ となり，
117（2）1≦δlzl≦θγ・
が従う。
今，縮小円板列
Do⊃一D1⊃…⊃D5
を導入する。ここで，
Dm＝；｛2：1之1＜γ・（1−mθ）｝
である。この時，次の補題を得る。
補題3．6．7 写像曽，！そしてザ1は，図表 D、物、4D、蝦D1
に従ってふるまう。
【証明】
まず，仮定（1）一（4）と補題3．6．6より，2∈D1なら、ば，
1σ￠）i≦・δ
fぞ1副）嗣≦・δ信a一θ））副一諾くllll一θ（348）
となる。よって，1Φ（之）1≦θ121となる。従って，04の中の2に対して，
1望（z）1≦ 121十1Φ（の1
≦ 同十θ121
＝ i21（1一トθ）
＜ γ・（1−4θ）（1十θ）
一・（レ3θ一4θ2）
＜ γ・（1−3θ）
となる。よって，曽によってD4は一D3の中へ写されることが従う。
次に，2∈D3ならば，δ〈θなので，
11ア（2）1≦δ1之1〈θ12∫1 となり，
1ル）i≦1α卜1之1＋IF（z）1 ＝ 121十IF（之）1
≦1之1十θlzl
＝ ｝之1（1−1一θ）
＜ γ・（1−3θ）（1−i一θ）
一・（・一2θ一3θ2）
＜ γ・（1−2θ）
となる。よって，∫によってP3はD2の中へ写されることが従う。
最後に，妖21）＝妖22），21とZ2はD1に含まれると仮定する。妖21）＝ψ（Z2）
より，
21−22＝Φ（Z2）一Φ（21）
である。
Φ（・・）一Φ（・・）一階Φ （ζ）dζ
と表すことができ，ζ＝21＋オ（之2−21），0≦オ≦1とすると，dζ＝（22一之1）読とな る。よって，（3．48）より，
121−221＝ 1Φ（之2）一Φ（21）1
≦孟11σ（刷・・一・・））卜1勉一・・ldオ 〈θ1・・一・・1孟㌦オ
＝ θ122−211
となる。従って，θ＜1なので，21＝之2が従う。このことから，￠のD1への制限
は，D1から境界が曽（∂D1）に含まれる領域の上への同相写像であるということがわ かる。しかしながら，∂D1上では，1Φ（2）1≦θレ1より，1（ρ（z）1 ≧ i21−1Φ（2）1 ≧ Izl一θlzl ＝ 1之1（1一θ）
＝ γ・（1一θ）2 一・（・一2θ＋θ2）
〉 γ （1−20）
となる。従って，∫）2⊂曽（D1）となり，補題3．6．7が示された。 □
補題3．6，7より，gはD4をD1の中へ写すことがわかる。よって，σ を評価で
きる。このことは次の補題で与えられる。補題3．6．8 D5において
20δ2
1G （・）1≦θ・＋・
となる。
【証明】
まず，恒等式望g＝加をF，Φそしてσを用いて書くと，
α2＋o（z）＋Φ（α之＋σ（2））一α之＋αΦ（2）＋F（2＋Φ（z））
となる。（3．46）より，αΦ（2）＝Φ（αz）一．F（愚なので，
G（z）＝Φ（α之）一Φ（α2十σ（2））十F（z十Φ（2））一F（2）
となる。α2∈D4のとき，ζ＝α之＋姶（2），0≦オ≦1となり， dく＝σ（の協なので，
≦ sup IΦノ（z）卜【σ（の1
＝ 1σ（9）IsuplΦ （2）l D4
となる。同様にして，2∈D3のとき，
lF（z十Φ（之））一F（9）｝≦iΦ（之）lsuplF （z）l D3
となる。従って，（3．48）より，2∈D4ならば，
lG（2）1 ≦ IG（2）lsup lΦノ（z）1十1Φ（之）lsup IF （2）1 りる ヨ
≦ θ1σ（の1十δiΦ（2）1 となる・仮定（2）よりθく1であり・（348）より 0δ 1Φ（・）1≦θ・＋・レ1 なので，
θ關1＋δ1Φ（・）1≦IG亭）1＋舞1
【Φ（ ）一Φ（ ＋σ（・））1−i孟Φ （ζ）dζl
if1Φ （ ＋嫌））・G（・）dオ1 ズ1砒
となる。よって，
1σ（・）1≦1σ12）1＋矯1・1 なので，121〈Tより，
IG㈲1≦1（0δ2θゐ＋1）】司≦発
となる。このことと，2を中心とする半径丁θの円のまわりを積分するコーシー
（Cauchy）の積分公式（定理A．2．8参照）を用いると，
αレ）一払1一、（讐・dζ
と表すことができ，ζ一2＝Tθ・♂，0≦τ≦2πとすると，dζ＝TθゼTd7なので，
1碗）1≦2纂θズ諭一雑
となる。よって，補題3．6．8が示された。 □ これまでの過程を要約すると，αが（3．43）を満足し，θ，δそしてrが仮定（1）一（4）
を満足するとき，写像の構成
ル）＝α2＋F（之）→9（z）；α2＋G（之）
をし，1（γ（z）iを評価した。
今，列＠η），（ん）そして（凡）を帰納的に定義する。ここで，
。ん（2）＝α2＋F亮（の
である。プb＝！とおき，望がノから作られたように，悔をんから作る。その後 で，ム＋1＝需1ん怖とおく。よって，GがFから得られたように，凡＋1が凡か
ら得られる。各段階において，パラメーターθπ，δηそして㌦のある選択を必要と する。この選択において，ある注意を働かせなければならない。例えば，すべての ηに対して，θη＝θかつ㌦＝rならば，凡は半径γ（1−5θ）ηの円板上で定義され
ることができ，1−5θ＜1なので，η→○○のとき，r（1−5θ）π→0となる。
パラメーターの選択は次の通りである。
砺一、。（11十2η），㌦一席（・＋2一）
とおく。そして，
Dη，m＝｛2∫：121〈γ●η（1−mθπ）｝
とおく。
1 1−i−2η＋1 1十2一η一1 ・1−5θ・＝1−2（1＋2・）＝2（・＋2・）＝・＋2一・
であり，㌦＋1＝㌦（1−5θπ）であるので，
㌦・・一1（1十2一η）1詳≒（・＋2…・）
となる。
㌦（1−4θπ）一巻（・＋r）（・一、。（、睾 ））
r（1十2一η） 3・2一π一i−5
25（1−1−2一π）
一1（ 3・2π1十 5）
＞1
であり，㌦＝㌦＿1（！−5θη＿1）なので，
V⊂D。，4⊂D。，3⊂Dπ，・篇P。一・，5⊂D。一・，4 となる・ここで・y一｛・・1・1〈1である・
次に，ある小さな正数δを選ぶ。そして，この時，δηを帰納的に
20δ2
δ…＝θ講
η で定義する。輸一2砺（綱
0δη であり，δは十分小さいと仮定すると，
〈1となるので，すべてのπ≧0に対
θ傷＋2して，
0δ。〈θ盈＋2 となる。そして，π→○○のとき，δπ→0となる。
仮定（！）一（4）が，ん（＝！），δo，θoそしてroによって置き換えられた！，δ，θそし てrに対して成り立つように，δoとTo（訟丁）も十分小さく選ぶことができる。もつ
と一般的に，今，（1）一（4）がム，δ。，θηそして㌦によって置き換えられた∫，δ，θ そしてrに対して成り立つと仮定する。そうすれば，んはDπ，oにおいて解析的で ある。この時，一般的な段階F日σの議論より，
D・，・一D・，5⊂D・，4，D。，4⊃D。＋・，・
であるので，ム＋1はDπ，4において解析的であり，ゆえに，1）η＋1，0上で解析的であ る。更に，Dη，o上で1瑠（z）i≦δ．であるので， Dη，5上で
1罵．、（・）1≦道川翻・・
となる。ゆえに，Dπ＋1，0上でも成り立つ。従って，この仮定は繰り返しすべてのη
に対して満たされているとしてよく，各ムはV上で定義され，そして，V上で解
析的であり，罵そして，ゆえに，瑞もまたV上で零に一様収束すると結論される。ψπ＝（ρo… （ρπ
と書くとき，
ん＝！， ！1＝蛎1プb〜Oo，
乃＝所1∫1（ρ1
＝斬1曽δ1九曽0ψ1
＝（〜ρ0曽1）一1ん（幹0曽1）
であるので，帰納的に
ψ計！ψη（之）＝！π＋1（の；αz＋凡＋1（之）
となる。δη→0のとき鑑＋1（2）→0となるので，ψπとψがが原点のある近傍に おいてある非定数関数ρとψ一1にそれぞれ一様収束することを示すことだけが残っ た。もちろん，｛ψη｝が原点のある近傍において正規族であるということを示せば十 分である。というのは，もしも，ある部分列において，ψπ→ψならば，
曽 （0）＝lim艦（0）＝1
であり，よって，望は定数ではなく，そして，ψガ→曽一1となるからである。補 題3．6．7より，怖は五）π，4をDη，3の中へ写し，ゆえに，Dη一1，4の中へ写す。よっ
て，ψπはDη，4をDo，3の中へ写すとわかる。従って，定理2．3．2より，｛ψπ｝はy
において正規となる。よって，定理3．6．4が最終的に示された。 □
【定理3．6．5の証明】
んをRから｛レ1＝1｝の上への写像のHexp（2π励）とする。 R上での線形測度 をmで表し，単位円上での線形測度をmoで表す。よって，［0，1］の任意の部分集 合Eに対して，mo（ん（E））＝2πm（E）となる。次に，30を｛回＝！｝における3 の補集合とする。各0＜δ＜1に対して，
δ E・一｛￠∈［0，1］・あるm，π≧Uこ対して・1…ml＜戸｝
とする。各正数δに対して，m（Eδ）≦4δであり，更に，50⊂奴Eδ）であることを 示そう。この時，mo（50）≦8πδであり，δ→0のとき， mo（50）＝0を得る。
δ まず・1η￠一ml〈葎より・
δ
1ηω1−lml≦瞬一ml＜戸
となり，
，． 1ωト悪く泰
となるので，
1m δ
1到く万＋葎
となる。同様に，
δ
1刎一1刎≦瞬一団く葎
となり，
鵬 δ
万一1副く葎
となるので，
m δ 万一葎く1ω1
となる。よって，
m δ m δ
万一葎くω＜万＋葎
が成り立つ。m＞ηならば， m≧η＋1となり，0〈δ＜1より m δ η＋1 δ η2一δ
＞1一一＝1十
＿＿＿〉
η3
γτ γL3一 η γL3
となり矛盾するので，処≦1となり，鵬≦ηとなる。従って，
島一鼎圓∩（m δm δ万一・葎，万＋葎）、
一鼎圓∩（m
δ m δ万一葎，万＋葎）となる。
嘱）≦慧η（2δη3）
書鉾
2δ 2δ 2δ 2δ
＝戸＋夢＋寧＋…＋葎＋…
一2δ（養＋歩÷…÷一う
一2δ（1＋書（嗣
≦2δ（1＋書κ（訴、））
一2δ（1＋嵩（去一計、））
＝ 4δ
なので，
m（姻≦書η（鍵）≦4δ
が従う。
最後に，（0，1）の中の任意のδを選び，αは50に含まれると仮定する。この時，
すべての正数，Mと鳶に対して，あるηが存在し，
1
＞Mη鳶
1απ一11となる。そして，鳶＝2かつM＝δ一1ととると，
δ 1απ一11＜葎
となるあるηが存在することがわかる。今，ん（勾＝αとなる［0，1］の中のωをと り，mをπ￠に最も近い整数とする。この時，
1απ一11判e2禰一・1
le2π惚一11
1e鷹1 −le禰一・一瀧1
＝ 21乞卜lsin（η7r￠）1 ＝ 2［sin 7r（γz∬一m）1
となる。［0，1］において，
1＞・inω〉呈
9 πが成り立つので，、inω≧聖である．よって，
π
21sinπ（γL￠一m）1≧41γz￠一mi＞iηω一ml
となり，
i♂一！1＞1η￠一ml
が成り立つ・このことより・これらのηとmに対して・1…ml懐であるとわ
かる。従って，￠はEδに含まれ，αはん（Eδ）に含まれる。よって，定理3．6．5が 示された。 □
3．7 ジュリア集合の中の無理的に中立的サイクル
「無理的に中立的サイクル」がJに含まれるという可能性が次の定理より見いだ
される。
定理3．7．1
P（之）瓢α2十… 十一2d， （∫≧2， 1α1＝1
で，αは1の累乗根ではないと仮定する。無限に多くのηに対して，