第 3 章 不安定量子状態の異常緩和と Fibonacci 格子中における波の伝播 55
A.5 Symplectic Integrator
で定められるものとする。対角型の時と同様に、xn = 12TrMnの漸化式
xn+1= 2xnxn−1−xn−2 (n≥4) (A.58)
が導出できた。ただし、初期条件は x2= 1
2tAtB
(E2−tA−2−t2B) (A.59a)
x3= 1 2t2AtB
(E2−2t2A−t2B) (A.59b)
x4= E 2tAt2B
{ 1
t2A(E2−t2B)(E2−2t2A−t2B)−(E2−2t2A) }
(A.59c) で与えられ、保存量Iは
I = 1 4
[tA
tB
−tB
tA
]2
(A.60) となる。これより、非対角型のFibonacci格子において系の性質を決定する重要なパラメータはホッピン グの強さの比である事が読み取れる。
の場合を考えると、以下の関係式が得られる。
u1+u2= 1, k1+k2= 1 u1k1+u1k2+u2k2= 1
2, u2k1= 1 2
(A.64)
4つの未知数に対して3本の関係式が与えられているので、係数の決定に一意性がないことが分かる。あ とで述べる、Symmetric分解のことを考えてここではu1=u2 = 12 及びk1= 1,k2= 0と選ぶことにす る。従って
S2(x) = exp (1
2Ax )
exp(Bx) exp (1
2Ax )
(A.65) となる。ここで、より一般的な形で以下の定理を考えよう。
定理 1. 非可換作用素{Ak}の有限和を指数の肩に持つ作用素のm次近似をQm(x)とする。
exp(
∑q k=1
Ak) =Qm(x) +O(xm) (A.66)
この時、Qm(x)は∑r
j=1pm,j = 1及び∑r
j=1(p2m,j) = 0を満たす係数pm,j用いてQm−1(x)の有限積で 書き表すことができる。
Qm(x) =
∏r j=1
Qm−1(pm,jx) (r≥2) (A.67)
証明 1. 同じ作用素同士は可換なので、一般に恒等式 exp(x
∑q k=1
Ak) =
∏r j=1
exp(pm,jx
∑q k=1
Ak), (
∑r j=1
pm,j = 1) (A.68)
が 成 立 す る 。Qm−1(pm,jx) を 用 い て exp(x∑q
k=1pm,jAk) = Qm−1(pm,jx) + α(pm,jx)m + O((pm,jx)m+1) と書けることに注意すると(A.68)は
exp(x
∑q k=1
Ak) =
∏r j=1
(Qm−1(pm,jx) +P({Ak})(pm,jx)m+O(
(pm,jx)m+1))
(A.69) Qm−1(pm,jx)は指数関数の積で書かれているので、xについて展開した時のリーディングタームは1で ある。したがって(A.68)の右辺は
∏r j=1
Qm−1(pm,jx) +P({Ak})xm
∑r j=1
pmm,j+O(xm+1) (A.70)
と書くことができる。したがってQm(x)をQm−1(pm,jx)の積で書き表すための条件は∑r
j=1pmm,j = 0 であることが示された。
{pm,j}に課される条件は∑r
j=1pm,j = 1と∑r
j=1pmm,j = 1のみなので、{pm,j}の選び方には任意性 があることが分かる。一旦{pm,j}が決定すれば、一般のQm(x)について再帰的に近似式を得ることが
可能である。以下ではq = 2の場合におけるいくつかの{pm,j}の選び方を見てみよう。
例 1. r= 2の場合
r = 2は最も単純な場合である。pm,1+pm,2= 1かつpmm,1+p2m,2= 1より解は自動的に定まり、一 般のmについて
pm,1= 1
1 + exp(iπ/m), pm,2= 1
1−exp(iπ/m) (A.71)
と取れば良いことが分かる。
しかし、この場合は作用素の時間反転に対しての対称性(Qm(x)Qm(−x) =E)が破れているため、作用 素の近似方法としては扱いにくい点がある。時間反転対称性を保つような{pm,j}の選び方はSymmetric Decompositionと呼ばれているが、Symmetric Decompositionの場合、2m−1次の近似と2m次の近 似が等しいという特徴が存在する。
定理 2. xに関して、以下の意味で対称な作用素F(x)を考える。
F(x)F(−x) =E, F(0) =E (A.72)
この作用素F(x)に対し2m−1次のSymmetric DecompositionQ2m−1(x)
F(x) =Q2m−1(x) +O(x2m) (A.73)
Q2m−1(x)Q2m−1(−x) =E (A.74)
が存在したならば、Q2m−1(x)とQ2m(x)の誤差は共にx2mまでの近似となっている。
証明 2.
F(x) =Q2m−1(x) +x2mR({Ak}) +O(x2m+1) (A.75) と書くと、(A.72)及び(A.74)より
1 = 1 +x2mR({Ak})(Q2m−1(x) +Q2m−1(−x)) +O(x2m+1)
(Q2m−1(x) +Q2m−1(−x))R({Ak}) +O(t) = 0 (A.76) これにt= 0を代入するとQ2m−1(0) =Eより、R({Ak}) = 0であることがわかり、題意は示された。
Symmetric Decompositionの例としては、次のようなものが考えられる。
例 2. r= 3の場合
S1(x) = exp(xA1/2) exp(xA2) exp(xA1/2)をスタートに取るとこれは明らかにS2(x)と同じオーダー の近似を与えている。S2m(x)とS2m−1(x)は共にx2mオーダーの近似を与えるので
S2m−1(x) =S2m−3(kmx)S2m−3((1−2km)x)S2m−3(kmx) (A.77)
という関係式が成立する。この時kmは2k2mm −1+ (1−2km)2m−1= 0の解で km= 1
2− 2m−√1
2 (A.78)
と取れば良い。
この分解方法はkmが実数で書けるため、実用上便利であるが、km>1となるために高次項の計算を 行う際に発散を生じる恐れが生じてくる。したがって、実際の数値計算においてはkmが実数でかつ大き さが1未満となる分解法を知ることが重要である。
例 3. r= 5の場合
今度は、S1(x)は前の例と同じ形を採用し、S2m−1(x)を以下のように分解することにする。
S2m−1(x) = [S2m−3(pmx)]2S2m−3((1−4pm)x)[S2m−3(pmx)]2 (A.79)
この時pmは4p4m+ (1−4pm)4= 0の解で
pm= 1 4− 2m−√1
4 (A.80)
と取れば良いことが分かる。
この場合、|pm|<1,|1−4pm|<1を満たすのでこの分解が求めていたSymmetric Decompositionを 与えることが示された。
付録 B
数値計算の部
ここでは、本論文を通しての数値計算についての注意点を述べることにする。本論文では特異連続スペ クトルを扱った数値計算を多く行っているが、特異連続スペクトルは多くの場合フラクタルな微細構造を 累積状態密度やバンド構造に内包している。そのため、数値計算を行う際には、常にこの微細構造の情報 を失わないように心がけなければいけない。たとえば、本文中で行ったような特異連続スペクトルの累積
状態密度(µ(ω))を測度に取ったStieltjes積分を数値的に実行する場合には、µ(ω)を数値的に近似した
ときの精度程度でωを離散化してあげる必要がある。この精度を大幅に超えて離散化してしまうと、積分 の結果が特異連続スペクトルの特徴を失ってしまう可能性があるからである。µ(ω)が滑らかな関数であ る場合にはあまり離散化の精度を考える必要がない場合が多いため見落とされがちな点であるが、特異連 続スペクトルを扱う際には注意が必要となる。一方で、必要以上に精度を上げるとコンピュータのリソー スや計算時間などの面で著しくパフォーマンスが悪化する場合が発生するため、実際には近似のオーダー を様々に変え、求めたい物理量において特異連続スペクトルの特徴が十分に反映されるような最低次の近 似を見つけることが重要となってくる。
B.1 スケーリング指数の決定について
こ の 節 で は 、本 文 中 で 行 っ た ス ケ ー リ ン グ 指 数 を 数 値 的 に 求 め る 方 法 に つ い て の 手 法 を 解 説 す る 。も し 、生 存 確 率 P(t, λ) に 対 し て ス ケ ー リ ン グ 則 が 成 立 し て い る な ら ば P(t, λ) = F(ληt) = F(exp(lnt+ηlnλ))という関係式を満たしているはずである。このとき、異なるλに対してのP(t, λ) のグラフは lntの関数としてみると、互いに平行移動の関係にある。スケーリング則が完全に成立し ているのならば、適当な生存確率P0 を一点取り、P0 = P(ti, λi) = P(tj, λj) となるようなti, tj を 適当に求めることで、lntの関数としての二つの生存確率のグラフの（lnt方向に関しての）距離dを dij =|lnti−lntj|=η|lnλj−lnλi|と求めることができる。しかしながら、現実の生存確率のグラフに は完全なスケーリング則の成立は成立していないため、スケーリング指数ηを求めるためにはこの考えに 計量的な手法を加えて以下の様な計算を行った：スケーリング則の成立を調べるための生存確率P(t, λi)
のサンプルがS個あったとしよう（i= 1,2,· · · , S）。このとき最も小さい結合定数をλ1 その次に小さ いものをλ2、その次に小さいものを· · ·、と結合定数の小さい順に番号は振られているとしよう。経験的 に、ある時刻t0の時にP(t0, λ1) =yであるならばP(t, λj), (j ̸= 1)は少なくともある時刻t1< t0で P(t1, λj) =yとなる事がわかっているので、全てのP(t, λi)間の距離を測るyの値はP(t, λ1)値域から 選ぶようにする。数値計算において、過度に長時間な領域の結果は繰り返し演算の累積誤差の影響や、ま た解析計算の近似の範囲を逸脱する項の影響が効いてくる場合があるために時刻tM をスケーリングの議 論をするときの上限の時刻として上手に選ぶ必要がある。0≤t≤tM におけるP(t, λ1)のとりうる範囲 を[1, ym]とする。つまり
{P(t, λ1)|0≤t≤tM}= [1, ym] (B.1)
と定義し、この範囲から等間隔に距離を測るyの値をサンプリングする y(l)= 1− 1−ym
M0−1(1−l), (l= 1,2,· · ·, M0) (B.2) ただし、M0はグラフの形状に応じて適当に選ぶべきパラメータである。
次に、異なるλi, λj の組に対して、t(k)i , t(k)j を
y(k+n0) =P(t(k)i , λi) =P(t(k)j , λj), (k= 1,2,· · · , M =M0−n1) (B.3) ここで、n0, n1は0≤n0< M0−n1を満たすような整数で、P(t, λ1)の傾きが0またはtM 近傍でなだ らかな場合には、その近傍では距離を測らないようにするために導入されるパラメータである。この時、
図B.1に示すように2つの曲線間では幾つもの距離を得ることができる。ここでは、二つの曲線間の距離 dij を平均値を用いて
dij = 1 M
∑M k=1
ln (
t(k)i /t(k)j ) (B.4)
２つの曲線間の距離を定義した。
Survival Prob.
Ln(t) dij(1)
dij (M)
dij(k) λi λj
図B.1 結合定数の異なる２つの生存確率の曲線間距離
全てのi, jの組に対して２次元データ(ln(λi/λj), dij)を求め、それらのデータを最小二乗法を用い、原 点を通る直線でフィッティングするとスケーリング指数ηはその傾きとして得ることができる：
η=
S∑−1 i=1
∑
i<j
dijln(λi/λj)
S∑−1 i=1
∑
i<j
(ln(λi/λj))2
(B.5)
またこの時、ηについての誤差δηはδη =√
Ve/Sxx となる。ただしここでVe, Sxxは
Ve= 1 M SC2−1
∑
i̸=j
∑M k=1
(d(k)ij −η|ln(λi/λj)|)2 , Sxx=M∑
i̸=j
(|ln(λi/λj)| −x)¯ 2 ,
¯ x= 1
SC2
∑
i̸=j
|ln(λi/λj)|.
で与えられる。本文中で述べられた数値計算においてはパラメータM0, n0, n1は以下の様に取っている。
M0= 2×103 n0= 100 n1= 200
(B.6)
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謝辞
この論文で論じられている内容の殆どは、大学四年生から研究指導をしていただいた故田崎秀一教授と の共同研究の成果をまとめたものです。論文を田崎教授がご存命のうちにまとめあげられず、直接御礼を 申し上げる機会を失ってしまったことが残念でなりません。この場を借りて感謝と追悼の意を表します。
また、田崎教授の奥様である田崎博子様には論文の執筆中何度も激励の言葉をいただき励みとさせて頂き ました。感謝しております。
主査を務めていただいた相澤洋二教授には、論文に関してのコメントやまとめるに際しての心掛けや 注意点等、時宜を踏まえたご指導を賜り心より感謝しております。副査をお受けいただいた栗原進教授、
中里弘道教授、山崎義弘教授には論文についての有意義なコメントや間違いに対してのご指摘を頂きま したこと、厚く御礼申し上げます。九州工業大学の高橋公也教授には、Husimi関数の物理的意味付けや
Fibonacci格子内での振る舞いについて有意義なコメントを頂けましたこと、感謝しております。
最後に自分を支えてくれた家族(特に妻明子と論文執筆の真最中であった2011年6月3日に生まれた 満陽には多くの励まし与えてくれた)に感謝の意を表します。