＝（99 ）2（∫9（朔一∫ gl）＋∫ 9 （9五一∫9む））
イP（5）＋多P（1）
となるからPはκ導分である．従って1）一ψ娠を満たすK準同型ψ：
Ω（K）→Kが存在しψ（娠6）＝P（孟）ニち皿1となるのでdK孟≠0が得られ る．以上で定理が証明された． 一
非特異射影曲線Vの有理関数体の微分加群Ω（κ（y））の元ωをVの有理微分という．点 Pでの局所パラメータを孟とすると，有理微分ω≠0に対して定理5。11より，0でない有
理関数∫が存在してω＝∫砒と表される（4＝噸v））．ここでωのPでの位数を
・rdp（ω）：ニ・rdp（∫）
と定める．これは．Pでの局所パラメータの選び方によらない．なぜならば5も一Pでの局所 パラメータであるとし，RニOp（y）とおくと，4（R）ニRd5＝R砒であるから45ニα砒，
砒＝β45となるα，β∈Rが存在する．このときαβ＝1となりα，βはRの可逆元とな
る．ω＝∫dl孟二β∫45より
・rdp（∫）＝・rdp（β∫）
が成り立つからである．
以下において4二喚v）とする．
補題5．124（Op（γ））⊆Op（y）砒が成り立つ。ただしPは非特異射影曲線γの点，孟 はPでの局所パラメータである．
Proof R＝Op（γ）とおく．dのRへの制限d，：R l→Ω（κ（y））はRのκ 導分であるから，R準同型ψ：Ω（R）一Ω（κ（y））が存在して4 ＝ψ娠が成
り立つ．Ω（R）は定理5．10より階数1の自由R加群であるからψ（Ω（R））＝
ψ（R4R孟）＝R読が成り立つ．従って
4（R）＝d （R）＝ψ（dR（R））⊆ψ（Ω（R））ニR砒
が得られる． ■
、定理5．13非特異射影曲線Vの0でない有理関数gがordp（dg）く0となるならばP はgの極である、従って有理微分ωに対してordp（ω）＜0を満たす点Pは有限個で
ある．
Proof g∈OP（γ）ならば，補題5．12より49∈OP（γ）砒となり，ordp（49）≧0 が成り立っ。ただしオはPでの局所パ7メータである。これよりordp（4g）＜0
となるならばPはgの極である．また定理5。11より，有理微分ωは有理関数
∫により∫吻と表されるので
・rdp（ω）；・rdp（∫49）＝・rdp（∫）＋・rdp（49）
となり，ordp（ω）く0となる点は∫またはgの極であるから有限個である．■
5．Riemann−Rochの定理 131 有理微分ωに対してordp（ω）＞0となる点Pも有限個であるが（定理5。29），その証明に は留数定理を必要とする．
5．3 留数定理
この節を通じてVは非特異射影曲線を表すものとする．
∫≠0を有理関数，オを点Pでの局所パラメータとする．ordp（！）ニーm＜0のとき
九
∫＝一， ∫ε∈OP（γ）×
仰
と一意的に表される， Op（γ）／孟Op（y）望κよりOp（y）＝κ＋ p（V）となるので ゐ≡∫一m mod p（V）を満たす定数∫一mが存在する．従ってガ∈Op（y）が存在して ゐ＝∫＿m＋醜と表される．このとき
∫一争＋轟，・・dp（冷）一・・dp（諾）≧一（肌一・）
となるので浩に同様の操作を施していけば
∫弁＋≒浩1）＋…＋与＋／（∫．乞∈げ∈・P（γ））
と表される．∫＿肌，＿，∫＿1，∫ がオから一意に定まるので
∫＿m ∫＿（m＿1） ∫＿1 即む（∫）：＝一十 十…十一 押 仰一1 オ
とおき，∫での局所パラメータオに関するローラン展開の主要部という．ただし∫∈Op（γ）
のときはppむ（∫）＝0とする．一方，有理微分ωは有理関数∫によりω＝∫砒と表され るが
ReSp（ω）：＝∫一・
をωの点Pでの留数という。なおReSp（ω）が局所パラメータオの選び方によらないこ とは定理5．18で示される．以下定理5．18まで哲は点Pでの局所パラメータを表す．
定理5．14有理微分ω1，＿，ωmに対して次式が成り立つ．ただしq∈κである．
隔（琴→一琴縣調
Proof妨＝∫誠（義∈κ（V））とおき，義のオに関するローラン展開を
蕉 ∫曾
義＝二竺＋…＋一＋溜 （1イ∈OP（V））
オm琶 孟 とする．このとき
隔（琴の一》挫1一琴幽（叫）
が成り立っ， 1
4のOp（V）への制限d ：Op（γ）卜→Ω（ん（γ））はOp（y）のκ導分であるから，Op（V）準 同型ψ：Ω（Op（y））→Ω（κ（V））が存在して4 二望dRが成り立つ。Ω（Op（V））がdOP（v）む を基底とする自由Op（y）加群，Ω（κ（γ））が砒を基底とする1次元双y）線型空問であ るから
ψ：Ω（OP（γ））∋7d・P（y）むト→Tdオ∈Ω（κ（y）〉 （γ∈OP（V））
は同型である，従ってωとψ（ω）を同一視してΩ（Op（γ））⊆Ω（κ（y））と見なすことがで きるので，以下ω∈Ω（Op（γ））に対して
ReSp（ω）：＝ReSp（幹（ω））
とおくことにする。ω∈Ω（Op（y））のとき定理5．10より，∫∈Op（y）が存在してωニ∫d孟 となるので次の定理を得る．
定理5。15ω∈Ω（Op（γ））のときReSp（ω）＝0が成り立っ．
補題5．165をPでの局所パラメータとする」に関する留数についてReSp（告d5）ニ1
が成り立っ．
Proof5ニ8 d5 ∈Op（V）×）と表されるので d5ニ5 砒十掘3 が成り立っ．これより
1 5 孟 1 1
一（オ8＝一（泥十一48 ＝一砒十一（オ5，
3 5 8 オ 5
5．Riemann−Rochの定理
133
となるが，妾45 ∈Ω（Op（y））であるから，定理5。14，定理5．15より Re・p（14・）一R・・p（ld孟）＋Re・p（シ4）一・＋・一1
が成り立っ． ■
補題5．17∫∈双y）×のとき，任意の整数物≧0に対してReSp（∫ ガ）＝0が成り
立っ．
Proofまずchar（κ）ニ0とする。
d（∫η＋1）＝（η十1）∫㌔ゲ であるから
1
∫π〃瓢 4（！η＋1）
η十1 が成り立っ．ここで∫η＋1のローラン展開を
∫η＋・一』＋＿＋皇＋∫ （∫・∈・P（v），∫一乞∈κ）
胆 孟 とすると
4（∫ 1）一力m4（素）＋…＋匹・4（1）＋4（／）
一∫一肌（一舞）4オ＋…＋み・（諺）4オ＋d（ヂ）
となるので
解一η｝14（芦＋1〉一一η拳1（鷲磐＋…＋争）4オ＋η圭14（／）
が成り立っ・ここで詣4（∫ ）∈Ω（OP（y））に注意すれば，ReSp（芦ガ）；0が 得られる．
次にchar（κ）ニp＞0とする．ordp（∫）≧0ならば∫πガ∈Ω（Op（V））である から定理5．15よりResp（pガ）＝0が成り立つ．従ってordp（∫）；一m＜0と
してよい．∫のローラン展開を ∫覗 ∫一1
∫一一＋…＋一＋ゐ＋∫、ε＋…＋撮π拠＋卿＋1∫ （∫ノ∈OP（γ））
孟m 舌
とする．ここで声ガにおける｝砒の係数は匹m，＿，あηの整数係数多項式 わ（∫一m，．．．，温π）からpを法として計算されるものである．char（κ）ニ0のと
き任意の匹肌，一．，翫ηに対してδ（∫覗，＿，乱η）ニ0となるから，整数係数多 項式としてδ（∫噸，＿，茄η）＝0が成り立つ．従ってchar（κ）＝p＞0のとき
もわ（∫覗，＿，ん物）；0，すなわち1砒の係数は0となる。よってこの場合も ReSp（∫πガ）＝0が成り立っ， 一
定理5．18有理微分ωの留数ReSp（ω）は局所パラメータのとり方によらない．
Proof．Pでの局所パラメータ3を任意に選び，5に関する留数とオに関する
留数が一致することを示す．ω＝∫砒と表し，オに関する留数をReSp（ω）＝∫一1 とおく．5に関してω＝gd5，
9−m 9−1 ， ，
9一下＋…＋一＋9 （9∈OP（γ），9ゴ∈κ）
5 5
であるとして∫，1ニg−1を示せばよい．定理5．15より ReSp（945）一ReSp（（睾＋・D・＋与＋4）45）
一9−mResp（素d5）＋…＋仏2Resp（湊d3）＋倶・Resp（シ5）
となるが，4（告）ニー幸45より
麺一一（1）擁）（m≧2）
が成り立つ．従って補題5．17より
￠耽ReSp（毒45）一・一一倶2ReSp（毒45）一・
が得られる．よって補題5。16よりReSp（945）ニ9−1が成り立っ． 一
以下では非特異射影曲線γの関数体κ（γ）をκ線型空間，点Pでの局所環Op（γ）をそ の部分線型空間と見なし，§1。2の結果を利用して留数定理を証明する．
補題5．19有理関数∫の誘導するκ線型変換κ（γ）∋g卜→∫g∈双レ）は∫Op（γ）イ Op（γ）を満たす，
Proof ordp（∫）≧0ならば∫Op（γ）⊆Op（γ）であるから∫Op（y）KOp（γ）
が成り立つ．ordp（！）ニーm＜0とすると，点Pでの局所パラメータ孟により ∫＝オーm∫ ， ∫ ∈OP（γ）×
と表される．従って
∫Op（V）二孟一m∫ Op（V）＝fmOp（V）⊇Op（V）
より dimκ∫OP（γ）＋OP（γ）一dimんがmOP（γ）一m
OP（γ） OP（V）
となるので，∫Op（V）一《Op（y）を得る． 1 補題5．19と定理1．20より，任意のκ線型な射影π：κ（γ）｝→Op（γ）と任意の∫，g∈κ（γ）
に対して［π∫，g］は双γ）のκ線型変換としてべき有限次である。またα，わ∈κに対して
Trκ（v）［π（α∫），91ニαTrκ（v）［π∫，91，Trκ（v）［π∫，わ91一δTrκ（v）［π∫，9］
は明らかであるが，さらに次の補題が成り立ち，Tr角（v）［π∫，g］は∫，gに関して双線型と
なる．
5．Riemann−Rochの定理 135
補題5・20任意のκ線型な射影π：κ（γ）卜→Op（γ）と任意の∫，∫ ，g，g ∈κ（V）に対 して次が成り立っ．
（1）顎（v）［π∫，9＋9 1ニTr舟（y）［π∫，gl＋Trん（y）［π∫，9 】
（2）Trκ（v）［π（∫＋∫ ），9卜Trκ（v）［π∫，gl＋−κ（v）［π∫ ，gl
Proof（1）補題5。19より，補題1．19の仮定を満たすので，π ニπとして
∫，∫ノ，g，g を適当に選べば，κ線型部分空問
1π∫，912（κ（y）），［π∫，gllπ∫，9 】（κ（γ）），［π∫，9 ］［π∫，gl（κ（γ）），［π∫，9 ］2（κ（V））
がすべて有限次であることがわかる。従ってψF［π∫，g］，ψ2ニ［π∫，g ］とおけ ば，定理1．12の仮定を満たすので
Tr紀（y）［π∫，9＋9 1−Trゐ（v）（［π∫，gl＋［π∫，9 ］）一Trん（v）【π∫，9】＋Trκ（v）［π∫，9 1
が得られる。（2）についても同様である． 1
補題5。21点P，およびκ線型な射影π：κ（V）レ→Op（γ）に対して次が成り立つ．た だしオは点．Pでの局所パラメータ，m，ηは整数である，
琳州一儲淵
Proof定理1。20よりTr南（v）［雇m，列は射影πの選び方によらないから，πと してπ（pp重（∫））ニ0（∀∫）を満たすものを選んでおく。m＋η＋7≧0かつ
m＋γ≧0となる整数7，およびm＋η＋〆く0かつm＋〆く0となる整数
〆を選びUニ｛∫∈κ（V〉lordp（∫）≧T｝シ U ニ｛オゴ∈κ（y）け≦〆｝
とおくと，明らかにU，U は［π理，刑の核に含まれる。従って適当な整数5，
3 を選べば
［πオm，孟π1（κ（V））＝｛［πオm，オη1（が）1〆＜ゴ＜7｝⊆〈オ5，孟ε＋1，＿，孟5 〉
が成り立つ．ただしげ，オ5＋1，＿，♂8 〉はが，．．，〆で生成されるん線型空問である．
VVニ〈ド，舌5＋1，＿，オε 〉とおくと［嬬m，刑（双γ））⊆VVであるからTrκ（v）［冠m，刑二
Trw［冠m，門となる。ここで
ノと行列表示するとTrw［需m，珊＝Σ契，αガである。さて
［7r肥，州（め冨7rオm概ゴー凸r孟mが＝π孟肌＋η＋ゴー孟ππオm＋ゴ
は0または土ρ枕＋ゴであるから，4≠m＋η＋ブのとき勉篇0である。従っ てm＋η≠0ならばゴ≠m＋η＋ゴより，任意のゴに対してαガ＝0となる のでTrw［π理，列＝0が得られる．
次にm＋η＝0とする．m＝η＝0のときは1蛇㎜，刑篇π一π＝0となる のでTrw［π理，列二〇＝ηが成り立っ．
5、Riemann−Rochの定理
137 m，η≠0，m＞ηのときはm＞0だから
0， ゴ≧0
［π野，珊（のニπ〃一fηπ謬＋ゴニ ーが，一m≦ゴ≦一1
Q， ゴ＜一m となるのでTrw［π桝，例二一m＝ηが成り立つ。
肌，η≠0，m＜ηのときはm＜0だから
0，ゴ≧一m
［π孟m，オη］（め一πオゴー㍑m＋毎むゴ，o≦ゴ≦一一m−1
0，ブ＜0
となるのでTrw［π桝，州＝一mニηが成り立つ． ■ 系5．22Pでの局所パラメータオについて次が成り立っ，
ReSp（門（孟η））一Trκ（v）［π孟m，列
P「oof孟m4（オπ）＝孟m（η費一14亡）二窺隅＋η｝1砒であるから
隔（岬））一儲1認
となる。従って補題5．21よりReSp（鐸4（鋤）＝Trた（v）［π理，刑が成り立つ，■
補題523∫，g∈双γ），点P，およびκ線型な射影π：κ（γ）一〇p（γ）に対して次が 成り立つ、特にいずれの場合も丁職v）［π∫，g］＝0となる．
（1）∫，g∈Op（V）ならば［π∫，g12篇0である．
（2）ordp（∫）＝一η≦0かつordp（g）≧2πならば［π∫，g13＝0である，
（3） ordp（g）；一η≦0かつordp（∫）≧2冗ならば［π∫，g］2ニ0である．
Proof（1） ∫，g∈Op（V）より［πノ，g］（κ（γ））⊆Op（V）となるから，
ん∈OP（V）⇒ ［π∫，9］（ん）＝7r∫9（ん〉一9π∫（ん）ニ∫9ん一9∫ん＝0
が成り立つことに注意すれば
1π∫，912（κ（γ））⊆［π∫，gl（OP（γ））＝0
となり，［7τ∫，g］2・＝0が得られる．
（2）g∈Op（γ）より［π∫，g］（双V））⊆Op（γ）である。ordp（∫g）≧ηである
から
ん∈OP（γ）⇒［π∫，9］（ん）；π∫9（ん）一9π∫（ん）∈オηOP（γ）
が成り立つ，従って
［π∫，9］2（κ（V））⊆［7ザ，9］（OP（V））⊆孟冗OP（y）
を得る．ん ∈伊Op（V）とすると∫（ん ）∈Op（γ）であるから
［π∫，gl（ん ）＝π∫9（ん ）一9π∫（ん ）ニ∫9（ん ）一9∫（ん ）瓢0
となる．ゆえに
［π∫，gl3（κ（γ））⊆［π∫，g］2（Op（V））⊆［π∫，gl（むηOp（γ））ニ0
が成り立つので［π∫，g］3＝0を得る．
（3） この場合も上と同様に［π∫，gl（κ（V））⊆オ覗Op（γ）となり，
ん∈孟｝ηOP（γ）＝＞ ［7r∫，9］（ん）ニπ∫9（ん）一9π∫（ん）＝∫9ん一9∫ん篇0
が得られ
［7ザ，9］2（κ（V））⊆［π∫，9］（孟一ηOP（γ））ニ0
となるので，1π∫，9］2鳳0が成り立っ． 一
補題5・24∫，g∈κ（V）と点Pが次のいずれかの条件を満たせばReSp（∫4g）；0が成
り立っ．
（1） ∫，9∈OP（γ）
（2）・rdp（∫）；一η＜0かつ・rdp（9）≧η＋1
（3）・rdp（9）；覗＜0かつ・rdp（∫）≧η＋1
5．Riemann−Rochの定理 13g Proof∫4g∈Ω（Op（γ））のとき定理5．15よりResp（ノ4g）＝0が成り立つの
で，いずれの場合も∫吻∈Ω（Op（γ））であることを示せばよい。以下孟は点P での局所パラメータとする．
（1）∫，g∈Op（y）のときは明らかに∫4g∈Ω（Op（γ））が成り立っ．
（2）ordp（g）≧η＋1よりg＝孟η＋1g （g ∈Op（γ））と表される。従って 49−4（孟η＋1）9 ＋むη＋149 一（η＋1）孟π9 砒＋オη＋149
となるが，4g ＝g 砒（g ∈Op（γ））と表されるので，費∫∈Op（V）に注意す
れば
∫dg一（η＋1）群9 4辞桝1∫9 4孟一（（η＋1）班9 刊児＋1∫9 ）d旋Ω（OP（V））
が成り立っ．
（3）ordp（g）ニーηよりg＝オーηg （g ∈Op（γ））と表される。従って 49−4（6−n）9 ＋孟一π49 一（一η）孟一呪一19 砒＋孟一冗49
となるが，4g ニg 砒（g ∈Op（γ））と表されるので，孟一η∫，オ覗一1∫∈Op（γ）
に注意すれば
∫dgニ（一η）孟一冗一1∫9 協十r孔∫9 4孟二（（一η）rη｝1∫9 十ポπ∫9 ）4孟∈Ω（OP（V））
が成り立っ． ■ 定理5．25∫，g∈κ（γ）と点P，およびκ線型な射影π：κ（γ）卜→Op（γ）に対して次が 成り立っ，
ReSp（∫49）一Tr勘（v）（［π∫，9］）
Proof∫；0またはgニ0ならば明らかに成り立つので，以下∫≠0かつ
g≠0とする．ordp（∫）＝一ηとおく．整数召をπ≦0のときはぞニ0，η＞0 のときは召二2ηと定め，9一Σ9ゴεゴ＋9・一9・＋9・，
ゴく乏
9・一Σ9ゴ孟ゴ，9・∈オ召OP（V）
ゴく乏