P乞
一 一9 一
ゐr∫ニ1了一二σ∈0ん（γ）
ん
となる多項式σが存在する．これよりπgニ0んが得られるが，17，g，んは斉
次元であるからσも斉次元となり，degg嘉degんよりdegσニdegH＝1〉
が成り立つ．以上で∫Eニσ∈SNが示された．
さてSNのκ基底をコp1，．。。，吻とする，∫鮨∈SNであるから 掴＝C乞・∬・＋…＋C乞曲 （C乞ゴ∈κ）
と表される．従って
∫にHli∵北1
となるので
・働一團）「蕪］（一一列
を得る．SN≠0より，ある紛は0でないので，連立1次方程式が自明でない 解を持っ条件から
det（∫Eα一［c司）ニ0
が成り立ち，∫はκ係数d次多項式の根（4≧1）となる．すなわち∫はκ上 代数的となるが，κは代数的閉体であるから∫∈κが得られる． ■
0ん（γ）の0でない元gに対して
・ん（V）［1］，：一｛訴∈刷1∫∈・ん（V）は斉次 deg∫一m・d一≧・｝
と定義する．0ん（γ）［1］oはκ（γ）の部分整域である，ただし0ん（V）を含んでいないこと に注意されたい．
定理3。18 1／⊆IPη（κ）を射影多様体，（穿∈κ［Xo，＿，Xη1−1（γ）を斉次多項式でg＝σ とする、このとき0ん（γ）［1］oはV−V（σ）上の正則関数全体0（γ一V（σ））に一致す る，また0ん（γ）［1］oの分数体はκ（γ）となる．
3．射影多様体
Proof 診∈0ん（γ）［言loとすると∫，〆は斉次元であり，deg∫＝deggmで あるから訴はκ（y）の元で，V−V（σ）上正則である。従って0ん（γ）卿o⊆
0（γ一V（σ））が成り立っ。
逆に∫∈0（V−V（σ））とする。∫∈κのときは明らかに∫∈0ん（V）［毒loと なるので，以下∫￠κとする．このとき定理3．16より
の≠V（」∫）＝Z∫⊆V（σ）
が成り立っ．従って射影零点定理（定理3，8）より
面＝i（▽（」∫））⊇τ（▽（σ））⊇〈σ〉
を得る。これより，ある自然数mが存在してσm∈みとなるので，
Glm∫＝9m∫∈0ん（γ）
が成り立っ．んニ〆∫は斉次元で，degん二mdeggとなるから∫＝藷∈
9
0ん（V）［毒］oが成り立つ。以上で0（γ一V（σ））瓢0ん（γ）［舌］oが示された．
最後に0ん（γ）［言loの分数体が双γ）に一致することを示す，0ん（y）llloの 分数体がκ（γ）に含まれることはよい。∫∈双γ）を任意に選ぶと
ん
∫ニー （ん，んノ∈0ん（V）は斉次元でん≠0，degん＝degん ＝γ）
ん
と表される、deggニ5とおくと
んノゲ ん ん ん8−1 gr
∫二万＝ ん5＝ 星
9γ と表され鍔一1∈卿［1］，・夢≠・
が成り立つ。従って0ん（γ）園oの分数体はκ（γ）に一致する． ■
射影多様体V⊆IPη（κ）の次元dimγを
dimγ：＝tLdegκκ（V）
73
で定義する．dimγ＝1のとき射影曲線，dimγニ2のとき射影曲面などという．定
理3．14で示したように，mp（レ）はOp（γ）のただ1つの極大イデアルである．mp（V），mp（y）2をOp（V）加群と見なすと，κ⊆Op（γ）より，剰余加群mp（V）／mp（γ）2はκ線 型空間と見なすことができる．Vが点P∈VFで非特異であるとは，
dimκ（mp（y）／mp（γ）2）罵dimγ
が成り立っときにいう，またすべての点で非特異であるとき，γは非特異であるという．
点Pで非特異でないとき，γは点．Pで特異であるといい，このとき点Pをγの特異点
という．
3．3 アフィン多様体と射影多様体
多項式F∈κ［X1，＿，Xπ］，F≠0に対して
F＃（X・，…，ろ）：一X許gFF（熱，…》舞）
とおき，Fの斉次化という．定義よりFロは斉次多項式である．なお00ニ0と定める．
κ［X1，＿，X司のイデアル∫に対して
∫ロ：一〈刑F∈∫〉
と定める．Fロが斉次多項式であることから∫目はκ［Xo，＿，X．］の斉次イデアルである．多 項式F∈κ［Xo，＿，Xη」に対して
現（X1，＿，Xη）：＝F（1，X1，＿，Xπ）
と定め，Fの非斉次化という．κ［Xo，＿，Xη1の斉次イデアル1に対して
10：ニ〈堀F∈1〉
と定める．次の（1）〜（6）は上の定義から容易に導かれる．
（1）F∈κ［X1，＿，X範］に対して（Fロ）rFである．
（2）斉次多項式F∈κ［Xo，＿，Xπ1がFニX部Gl（σとXoは互いに素）と表されるとき
（現）ロ＝0である．
3．射影多様体
75（3）F，σ∈κ［X1，＿，Xη1に対して（Fσ）L．列ぴである。
（4）F，Gl∈κIXo，＿，Xη1に対して（F＋σ）ロ＝馬＋0昌，（．FGl）ロ二列qである．
（5）κ［X1，、、．，X司のイデアル1，」に対して1⊆」ならば10⊆」ロである。
（6）κIXo，＿，Xη］の斉次イデアル1，」に対して1⊆」ならば10⊆」ロである，
補題3。19κ［Xo，＿，Xη1の斉次イデアル1に対して1r｛尋l F∈1｝が成り立っ、
Proof｛現I F∈1｝⊆10は定義より明らかである．以下∫ロ⊆｛現I F∈1｝
を示す．σ∈∫ロを任意に選ぶ．10＝〈へl F∈∫〉であるからη∈1，
昂∈κ［X1，＿，Xη1が存在してσ＝Σ⊃芭私（瓦）目と表されるが，上の（1），（4）
より
σ一琴姻ロー琴（碑咽躊一琴（晦）ロー（琴晦）、
となるので勾⊆｛現1．F∈1｝が成り立つ． ■
補題3。20κ［X1，＿，X司のイデアル1に対して（10）r1が成り立つ．
Proof任意のσ∈1に対してGl＝（00）ロ∈（1甘）ロとなるので1⊆（1耳）昌が成り 立つ，逆にGl∈（10）ロとすると，補題3。19よりGl二盈となるF∈10が存在 する．ここで
F一Σ私理，私∈κ［X・，…，X司，瓦∈1
乞と表されることから
σ一列一（琴研），一琴（疏）ロ（理）ロー琴（璃）ロη∈・
となり，（10）ロ⊆1が得られる，以上で（10）ロニ1が示された． 一
補題3．21斉次イデアル1⊆ん［λ：o，＿，Xπ1に対して1⊆（」ロ）ロ，および次が成り立つ。
（勾）L｛F∈κ［Xo，＿，XηI l．Fは斉次多項式で，あるm≧0に対してX♂．F∈7｝
Proof斉次多項式．F1，．．．君が存在して∫ニ〈F1，＿耳〉と表される．ここで
現二X辞σ￠， 恥≧0， qとXoは互いに素
と表すと，（（瓦）ロ）ロ＝（7￠であるから
瓦＝X3誘qニX舘（（η）ロ）ロ∈（10）目 が成り立っ．これより1＝〈昂，＿1弘〉⊆（1艮）ロが得られる。次に
」ニ｛F∈κ［Xo，＿，Xπ］I Fは斉次多項式で，あるm≧0に対してX3F∈1｝
とおく。」が斉次イデアルであることは明らかである。まず（∫ロ）韓⊆」を示す．
（10）ロニ〈（興）01．F∈∫〉であるから．F∈1に対して（現）ロ∈」が成り立つこと を示せばよい。FニΣ1乞F（乞）と斉次成分へ分解すると
F（￠）；X3璃， ち≧0， 私とXoは互いに素
と表される．X6乞（F（乞）目）』．F（乞）∈∫であるから（F（乞）ロ）ロ∈」が成り立っ，一方
適当な整数5乞≧0が存在して
（堀）目一Σx8乞（F（乞㌔）ロ
乞
と表されるので（現）ロ∈」が成り立っ．従って（∫耳）ロ⊆」が示された。
逆にF∈」とする．あるm≧0が存在してX8葛．F∈1である．
Fニxl（7， 4≧0， GlとXoは互いに素
と表すとF ＝X部＋6σ∈1が成り立っ．ここでσ一（列）目∈（1目）ロ となるので
F＝xlσ∈（10）ロ
を得る．よって7⊆（勾）ロが示された． ■
補題3．227⊆κ［X。，．．．，X．］が斉次イデアルのときV7も斉次イデアルである，
3．射影多様体
77Proof任意に一F∈Vゲを選び
F一ΣF（ゴ）一F（o）＋F（1）＋…＋F（d）
ゴ
と斉次成分に分解する．F（ゴ）∈Vケが成り立つことを示せばよい．
より，ある自然数ノVが存在してFN∈∫となる．ここで
F∈》7
FN一（ΣF（ゴ））N一（F（0））N＋N（F（0））N−1F（1）＋……＋（F（d））N
ゴ
となる．FNのdN次斉次成分は（F（d））Nであるが，1が斉次イデアルだか
ら（F（4））κ∈1となり，．F（4）∈〉ゲが得られる．次に
F ＿F（・）＋F（・）＋．．．＋F（4一・）∈〉ケ
に同様の議論をすればF（d−1）∈〉ケが得られ，以下同様にしてF（ゴ）∈V7を
得る． ■
定理3．23（1）イデアル1⊆κ［X1，．．．，Xη1に対して》πニ（面）昌が成り立つ．
（2）斉次イデアノレ7⊆κ［X・，…，Xη］に対して俸（置）ロが成り立っ・
Proof（1） （面）ロが斉次イデアルであることと，補題3．22より〉願も斉次 イデアルであることを注意しておく．まず〉仮⊆（面）昌を示す．任意の斉 次多項式F∈〉価に対してF∈（面）ロを示せばよい．自然数ノ〉が存在し
てFN∈ となるから（．FN）目∈（10）目となる，p．75，（4）と補題3。20より （馬）N一（FN）ロ∈（1目）ロニ1
が得られる．これより尋∈▽7となるので（昂）ロ∈（π）回が成り立つ．ここ でF＝X部（7，σとXoは互いに素，と表すと，（7＝（現）ロ∈（π）＃であるか
らFニX♂σ∈（面）ロを得る．
逆にF∈（面）ロを斉次多項式とする．このとき補題3．20より現∈（（ガ）ロ）ロ＝
V7であるから，ある自然数Nに対して（丹）N∈∫となる．p．75，（3）より
（（尋）目）N一（（馬）N）目∈1目
となり，（丹）ロ∈〉価を得る。ここでF＝X誹σ（σとXoは互いに素）と表す と，（丹）眞；σ∈v傭であるから∫ア＝Xぴ0∈V励となるので，（v／ア）ロ⊆〉仮 が成り立っ．以上で（1）が示された．
（2）F∈画とすると，ある自然蜘が存在してFN∈祉なることから，
（．FN）ロ＝（Fロ）N∈（1目）昌が成り立っ。従って補題3．21より，あるm≧0が存在 してX誹（Fロ）N∈∫となる．ここでノ〉 ；max｛m，ノV｝とすると（Xo−Fロ）N ∈1 となり，X。．列∈〉7が得られる．これより
（x・F目）鶴一（F昌）は一F∈（育）ロ
となるので轟⊆（弄）暫が成り立っ・逆にF∈（⑳ロとすると，ある
σ∈〉ケが存在して．Fニ（㍉と表される．α∈7とすると（（3γ）躊二（σ肖）7＝FT∈（∫）口
となるのでF∈緬を得る・ゆえに（ガ）ロ⊆画が成り立ち，（2）が示さ
れた。 ■
κ［X1，＿，Xη］のイデアル1から定まる代数的集合γニV（1）に対して
γロ：ニV（10）
と定める．V目はIPη（κ）の射影代数的集合であり，1の選び方によらない（定理3．24）、ま たκ［Xo，＿，＆］の斉次イデアル1から定まる射影代数的集合V＝V（∫）に対して
巧：ニV（10）
と定める． 巧はAη（ん）の代数的集合であり，1の選び方によらない（定理325）。
定理3．24イデアル1，」⊆κIX1，，。．，Xη1がV（1）ニV（」）を満たすときV（10）；V（」ロ）
が成り立っ．
Proof仮定より1（V（1））＝1（V（」））となるので，零点定理（定理2．10）よ りV 7＝vσとなり，（面）昌二（面）ロが得られる．さらに定理3．23よ り》万二V7を得る．ここで1』κ［Xo，＿，X．1と仮定すると
覇一緬一κ［X。，＿，X．］
3。射影多様体
79よりJLκ［Xo，．．．，X．】を得る．従ってこの場合V（10）＝V（」目）が成り立っ・
」ロ＝κ［Xo，＿，Xη］と仮定しても同様であるから10，」目はκ［Xo，＿，X．］の真の
イデアルであるとしてよい．V（酌二のと仮定すると補題3。7より 緬一緬一〈X。，＿，X．〉
となるのでV（1目）＝V（」ロ）ニのが成り立つ．V（」ロ）＝のと仮定しても同様で あるから，V（1目），V（」ロ）≠のとしてよい，このとき射影零点定理（定理3，8）よ
り1（V（10））＝1（V（」目））が成り立ち，定理3、4よりV（10）ニV（」ロ）が得られる。
□
定理3．25斉次イデアル1，」⊆κ［Xo，＿，X司がV（1）＝V（」）を満たすときV（1目）ニ V（」ロ）が成り立っ，
Proof V（1）＝V（」）瓢ののときは，射影零点定理より
｛F∈κ［Xo，＿，Xη】I degF≧N，．Fは斉次多項式｝⊆1，
｛F∈κ［Xo，＿，X訓degF≧N ，Fは斉次多項式｝⊆／
となる自然数ノ〉，ノ〉 が存在する．これより1＝（X6〉）目∈ん，1ニ（X部 ）員∈Jlと なるから，1r Jロ＝κIX1，＿，Xη］を得る。従ってこの場合はV（10）ニV（内）；
のが成り立つ．次にV（1）＝V（」）≠のとすると1（V（1））ニ1（V（」））となる
ので，射影零点定理よりガー〉7が得られ，これより（⑳ロー（万）ロが 成り立つ。よって定理3．23より画一画となり，零点定理（定理2，・・）よ
り1（V（1員））；1（V（」ロ））となるので，定理2，2よりV（1員）＝V（」ロ）が成り立つ。
■
定理3．26（1）代数的集合玩W⊆Aη（κ）がγ⊆VVを満たすとき桝⊆玩！ロが成り 立っ，
（2）射影代数的集合γ，W⊆P冗（κ）がγ⊆Wを満たすとき巧⊆鴨が成り立つ，
Proof（1） 1（γ）＝1，1（VV）ニ」とおくとp．25，（1），（8）より1⊇」，およ びV（1）；γ，V（」）ニVVが成り立つので，1目⊇」目となり
yロ冨V（10）⊆V（」ロ）ニWロ
が得られる，
（2） 1・＝1（V），」＝1（W）とおく。p。61，（1），（8）より1⊇」，およびV（1）＝γ，
V（」）＝四が成り立つので，10⊇乃となり
巧＝V（∫ロ）⊆V（」ロ）＝叫
が得られる． ■
写像ψo：Aπ（κ）∋（α1，＿，απ）→（1：α1＝＿：αη）∈IPη（κ）は中への単射であり，
Uo：ニ｛（Po：＿：P冗）∈P物（κ）IPo≠0｝
とおくと，ψoはUbへの全単射を誘導する．
定理3。27（1）代数的集合γ⊆Aη（ん）に対してψo（y）＝Vロ∩砺が成り立つ。
（2）射影代数的集合γ⊆Pη（κ）に対してψδ1（V）二隔が成り立つ・
Proof（1） イデアル1によりyニV（1）と表すと，定義より 10＝〈Fl I F∈1〉， γ昌＝V（1 ）
である，幹o（V）から任意にψo（α1，＿，α丑）＝（1：α1：＿：αη）を選ぶ．このとき
（α1，＿，αη）∈γであるから，任意の．F∈1に対してF（α1，＿，αη）瓢0が成り 立ち
Fロ（1，α1，．．．，αη）＝F（α1，＿，αη〉ニ0
となるので（1：α1：＿：α冗）∈桝を得る．従ってψo（y）⊆桝∩Uoが示された。
逆にP∈桝∩Uoを任意に選び，．Pの斉次座標の1つを（1：α1：＿：α．）とす る・このとき任意のF∈1に対してF（α1，・・，，απ）＝Fロ（1，α1，…，αη）ニ0が成り 立っので（α1，＿，αn）∈yとなり，P∈ψ0（γ）を得る．従ってψ0（γ）⊇硝∩Ub も成り立つので（1）が示された．
（2） 斉次イデアル1によりγ＝V（∫）と表すと，定義より 1目＝〈σ01（穿∈1＞， 巧＝V（10）