R5十∫ニR
9 幹＊（9）
暢：oψ（バ）（w）∋万一→ψ・（ん）∈oみ（γ）
と定めると，φ＊：0（VV）→0（γ）がκ準同型であることから，吸がwell−de価edである こと，κ準同型であることが確かめられる。また0ψ（A）（W）の元が0（VV）の元の商とし て表されることから，κ準同型ψ：0ψ（A）（VV）1→OA（y）でψIo（w）＝ψ＊となるものが吸 に限ることがわかる．
定理2．30γ⊆Aπ（κ）を閉部分多様体，F∈κ［X1，＿，Xη］一1（γ），∫ニF∈0（γ）と する．このとき次が成り立っ．
（1）γ＝V（1（γ）∪｛X．＋1．F−1｝）はAπ＋1（κ）の閉部分多様体である，
（2）0（γ）∫禦0（y）である。ただし0（y）∫は積閉集合｛∫mh＿o，1，2，＿による0（V）
の局所化である．
（3）0僻（A）（γ）盤OA（γ）（κ同型）である，ただし．A∈γ，幹1γ∋（α1，＿，αη＋1）H （α1，＿，αη）∈γは多項式写像である．
Proof（1） 0（y）∫は有理関数体κ（y）の部分整域であり，0（γ）にナを添 加して得られる，すなわち0（γ）∫篇0（γ）［ナ］である．準同型
・（γ）［ろ＋・Dσ（塩＋・）一σ（1）∈・（V）∫
は全射準同型であり，その核が単項イデアル〈∫Xπ＋1−1〉であることは容易に 確かめられる。ここで準同型κ［X1，＿，Xπl H O（γ）から生じる全射準同型
κ［X1，＿，Xπ］［Xη＋1レ→0（γ）［Xπ＋1］
2，アフィン多様体 45 との合成
κ［X1，＿，Xη］［Xη＋11卜〉0（γ）［Xη＋1］卜〉0（V）∫
は全射準同型
恥…，蕩］［嗣∋琴q（渇，・・ ）隔琴弗∈・（γ）∫
となり，その核は
1＝〈1（γ），X呪＋1F−1〉＝1（y）κ［X1，＿，Xπ，Xη＋11十〈Xπ＋1F−1〉
である．準同型定理から
κ［X1，＿，Xπ，Xπ＋11／1鯉0（V）∫
が成り立つので1は素イデアルであり，γニV（1）は閉部分多様体である．
（2） 上で定めた1は素イデアルであるから，1（γ）＝〉7ニ∫が成り立つ，
従って（1）で示したことから
0（γ）ニκ［X1，＿ラXη＋11／1態0（γ）ノ
が成り立つ．このとき次の写像ψが全単射であることを注意しておく（矢印の 向きに注意）．
ψ・・（9）∋琴q（風…，ろ）X扁一琴蚕（1）憾∈・（γ）∫（24）
（3〉 、4∈Vとすると，定理の前に説明したように多項式写像 ψ：9∋（α・，…，砺7∫（α1，1．，砺））一（α・，…，％）∈γ
から生じるκ準同型ブ：0（y）卜〉0（γ）はκ準同型 暢：OA（y）←一〇ψ（湾）（γ）
を誘導する．ψ（孟）∈γ一Vv（∫）より0（V）∫⊆0ψ（A）（γ）となるので暢 はκ準同型0（γ）∫H OA（V）を引き起こすが，任意のg∈0（y）∫に対して
ψ気g）＝ψ（g）が容易に確かめられる。従って
暢：0（γ）←一〇（γ）∫
はκ同型である．これより吸は分数体の同型双y）製κ（γ）を導き，定理の 前の説明と同様にしてOA（9）蟹0．（ハ）（γ）が得られる． ■
2．6 アフィン多様体の次元
閉部分多様体γ⊆Aη（κ）の次元dimyを
dimV：ニtLdegκκ（V）
と定義する．dimγ編1のときアフィン曲線，dimγ＝2のときアフィン曲面という．ま たκ⊆Rである整域Rに対してRの分数体のκ上の超越次数をtr．deg南Rと表す．
定理2．31 Aη（κ）の閉部分多様体Vに対して次の（1）と（2）は同値である、
（1）Vは1点集合である．
（2） dim y＝0
Proof（1）⇒（2） 『V；｛（α1，＿，αη）｝のとき定理2・12より
1（γ）＝（X1一α1，＿，Xπ一αη＞
となりκ（γ）＝κ［X1＿，Xη1／1（y）盤んとなるのでtr．degκκ（γ）＝0が成り立っ。
（2）⇒（1） κが代数的閉体であることに注意すると
dimγ冨0⇔tr．degκκ（y）＝0⇔κ（γ）／κは代数拡大である⇔κ（V）ニκ が成り立つので1（V）はκ［X1，．．，，灘．1の極大イデアルとなる，従って定理2，12
よりγは1点集合である． ■ 定理2．32A脆（κ）の曲線Vに対して，W⊆γを満たす代数的集合VVは有限個の点
からなる．
2。アフィン多様体
47
Proof VVニののときは明らかであるから，W⊆只VV≠のとする．このとき 定理2．8よりVVニVV1∪…∪監となる既約な代数的集合VV1，．．．，監が存 在する．従ってWが既約な代数的集合の場合に示せばよい．W⊆γであるからIv（レ）⊆Iv（VV）が成り立っ，従ってIv（VV）に0でない 元∫が存在する。いま∫がκ上代数的であると仮定すると，κ（∫）／κは代数拡 大となる。κは代数的閉体であるからκ（∫）罵κとなる。従って∫∈んより，∫
は定数となるが，これは∫がWの上で0，yのある点且に対して∫（ハ）≠0 となることに矛盾する．よって∫∈0（V）はκ上超越的である．
dimyニ1であることから，ん（γ）／κ（∫）は代数拡大である．任意にg∈0（y），
g≠0を選ぶと，∫，gはκ上代数的従属であるからF（∫，g）ニ0となる多項式 F∈κ［X1，X21，F≠0が存在する，このような多項式の中で次数が最小のもの
を選び，改めてFとおき
．F（X1，X2）＝∫も（X2）十昂（X2）X1十…十瑞（X2）Xf
とする．Fb（X2）ニ0ならば
F（X1，X2）＝X1（F1（X2）十…十現（X2）Xf−1）＝X101（X1，X2）
となるが，．F（∫，g）ニ∫01（∫，g）ニ0，∫≠0かつ0（V）が整域であることか らG∫1（∫，g）ニ0となる。F≠0よりGl1≠0となり，degGl1＜（iegFよりF の選び方に矛盾する．従って恥（X2〉≠0が成り立つ，これよりF（0，X2）≠0 であるととがわかる。一方∫∈Iv（W）であるから
0＝F（∫，g）≡F（0ラg）mod Iv（VV）
が成り立っ。ゆえにg∈0（γ）／Iv（W）＝0（W）はκ上代数的である．gは任 意であったから0（四）はκの代数拡大となり0（W）＝κが得られる．よって 定理2．31よりWは1点集合となり，定理が証明された． ■ 定理2．33Aη（κ）の曲線Vに対して，V上の有理関数∫≠0の極および零点は有限
個である，
Proof補題223，定理2・24より∫の極全体のなす集合Z∫はZ∫⊆V を満た す代数的集合である。よって定理2。32よりZ∫は有限集合である．一方∫の 零点全体のなす集合は定理2．22から｝の極全体のなす集合に含まれるので有 限集合である． ■
An（κ）は閉部分多様体であり，1（A鴨（κ））＝0であるから
0（Aη（κ））ニκ［X1，＿，X司／〈0〉＝κ［X1，＿，X司
となり，κ（Aη（κ））ニκ（X1，．。，Xπ）が成り立つ，従ってdimAη（κ）＝η，すなわちAη（κ）
はη次元多様体である．
定理2．34既約多項式F∈κ［X1，．．．，X．1に対して，V（F）はAn（κ）のη一1次元閉部 分多様体である．
Proof〈F〉は素イデアルであるから，γ＝V（F）とおくとγは閉部分多 様体である．以下dimV篇η一1であることを示す．κ（X1，＿，Xη）の元と 見てFはκ上超越的であるから，適当に番号を付けかえて瓦X2，．．．，Xπが
κ（X1，．，．，Xπ）のκ上の超越基になるようにできる．このときκ（X1，…，X物）は κ（．F，X2，．．，，Xη）上代数的であるからた［X1，＿，Xη］もκ［瓦X2，＿，Xη1上代数的 である。従って阿X1，＿，X司／〈F〉はκ［夙X2，＿，Xη1／〈F〉上代数的である．ゆ えに
tLdegκκ［X1ラ＿，X鴨1／〈F〉ニtr。deg諮lF，X2，＿，Xη】／〈F〉
となるのでκIF，X2，＿，Xη］／〈F〉盤κ［X2，＿，Xη1に注意すれば
dimV＝tr．deg諮［X1，＿，Xη】／〈F〉ニη一1
が得られる， ■
定理2．35Aπ（κ）のη一1次元閉部分多様体γに対してV冨V（F）となる既約多項
式F∈κ［X1，＿，Xη］が存在する．
Proof Vが閉部分多様体であることから1（V）はκIX1，＿，Xη1の素イデアル である．またdimy＝η一1＜π篇dimAπ（κ）よりV⊆Aη（κ）となるので定 理2．2より1（γ）⊇1（Aπ（κ））＝0が得られる・1（y）の0でない多項式は既約 多項式に分解され，1（γ）が素イデアルであることから，1つの既約多項式F が1（γ）に含まれる。
〈F〉は素イデアルであるから0（F）ニκ［X1，＿，Xη］／〈F〉は整域で，定理2．34 よりdimV（F）；η一1が成り立っ。〈F〉⊆1（y）より自然な全射準同型
幹：0（F）＝κ［X1，＿，Xη］／〈F〉卜一→ 0（γ）＝κ［X1，．．．，Xπ］／1（γ）
2．アフィン多様体
49
が存在する。ψが同型であることを示せば〈F〉＝1（γ）となり，γニV（F）が 導かれる．
dimγ＝π一1よりκ上代数的独立な元肋，．．．，腕一1∈0（γ）が存在する，ψ が全射であることから
ψ（21）＝肋， ．，ψ（Zπ＿1）＝9η＿1
となるz1，．．．，zπ一1∈0（F）が存在する，いま之1，＿，βη一1がκ上代数的従 属であると仮定すると，η一1変数多項式σ∈κ匿，．．．，琉＿11が存在して
σ（z1，．．。，概＿1）＝0となる．このとき
ψ（σ（z1？＿，之π＿1））ニσ（y1，＿，〃η＿1）＝0
となるが，これはッ1，＿，gπ一1がκ上代数的独立であったことに矛盾する．
従って之1，．．．，zη一1はκ上代数的独立である．ここでKer（ψ）≠0と仮定する と，0でないz∈Ker（￠）が存在する。整域0（F）の分数体をκ（F）とする とκ（F）／κ（Z1，…，Zπ＿1）は代数拡大であるからZはκ（Z1，…，砺＿1）上代数的 である，よって
H（z1，＿，砺＿1ラz）＝0
となる多項式H∈κlyi，＿，瑠，H≠0が存在する．Hとしてこのような多項 式の中で次数最小のものを選んでおく．Hを之で整理して
丑（之1，。．，Zπ一1，Z）ニ∬0（Z1，．．，之η一1）＋H1（之1り．．，Zπ＿1）Z＋…＋Hd（Z1，．．，Zπ一1）ノ
とする，∬o（之1，．．．，zη一1）＝0と仮定すると，之1，＿，之η一1がκ上代数的独 立であったことから1∫o（巧，．．．，琉一1）ニ0となり，Hが瑞の倍数となる。
0（F）が整域であることに注意すればHより次数の小さいH＊＝H／琉≠0
がH＊（z1，，．．，之η一1，2）ニ0を満たすことになり，Hの選び方に矛盾する，従っ てπo（z1，．．。，砺＿1）≠0が成り立っ。このとき
幹（∬（β1，．，，2η＿1，z））ニπ（ツ1，＿，Ψπ＿1，0）＝πo（ツ1，＿，シη＿1）；0
となるが，これはッ1，。．．， η一1が代数的独立であったことに矛盾する．以上で Ker（ψ）ニ0であること，従ってψが同型であることが示された。 1
2．7 非特異アフィン多様体
閉部分多様体γ⊆A冗（κ）と点、4∈γに対して，定理228で示したように mAニ｛∫∈0（γ）1∫（A）＝0｝
は0（γ）の極大イデアルである。特にV＝Aη（κ）のときは nAニ｛（ヌ∈ん［X1，＿，X訓（7（A）＝0｝
と表すことにする．0（γ）のイデアルmA，mみ2を0（y）部分加群と見なすと，その剰余 加群mA／mハ2は0（V）加群であり，κ⊆0（y）よりκ線型空間とも見なすことができる．
ここで
dimκmA／mみ2ニdim y
が成り立つとき，γは点・4で非特異であるという．Vが点みで非特異でないとき，γは 点直で特異であるといい，このとき点且をγの特異点という．またすべての点で非特異 であるときVは非特異であるという．γが非特異であるかどうかはVの座標環0（γ）
のみから定まる性質である．
定理2．36Aη（κ）の閉部分多様体Vと点。4∈γに対してdimんmA／m湾2≧dimVが
成り立っ．
定理2。36の証明には次の定理2．37，2．38を必要とする．証明については付録Aを参照され たい．ただし閉部分多様体Zが閉部分多様体Vに含まれるとき
codimv Z：＝max｛T I ZニZI l…・
とおく．
・・ Z．⊆玩易は閉部分多様体｝
定理2．37閉部分多様体Zが閉部分多様体Vに含まれるとき次が成り立つ。
codimy Z＝dimγ一dim Z
定理2．38（Krullの標高定理）V⊆Aη（κ）を閉部分多様体，∫1，＿，み∈0（y）と し，Vv（∫1，．．．，み）が空でないとする．このときVv（∫1，＿，ル）の既約成分Zについて
codimvZ≦7が成り立っ．
2．アフィン多様体 51 定理2．36の証明 mA＝（！1，＿，乱）とし，∫1，＿，みをm4mA2のκ基底とす
るとmA／mA2は0（γ）加群として∫1，．．．，ガで生成される．このときγのハで の局所環OA（γ）の極大イデアルmA（V）に対してmA／mA2製mA（γ）／mみ（γ）2
より，mA（V）／mA（γ）2もOA（γ）加群として∫1，＿，ヵで生成される．OA（γ）
の根基（極大イデアルすべての共通部分）がmA（γ）に一致するから，中山の補 題（定理1．7）が適用できて，OA（γ）加群として
mA（V）一〇A（V）∫、＋…＋OA（V）∫．＋m五（γ）2＝OA（V）∫、＋…＋OA（γ）∫．
が成り立つ．従って