2．アフィン多様体 51 定理2．36の証明 mA＝（！1，＿，乱）とし，∫1，＿，みをm4mA2のκ基底とす
るとmA／mA2は0（γ）加群として∫1，．．．，ガで生成される．このときγのハで の局所環OA（γ）の極大イデアルmA（V）に対してmA／mA2製mA（γ）／mみ（γ）2
より，mA（V）／mA（γ）2もOA（γ）加群として∫1，＿，ヵで生成される．OA（γ）
の根基（極大イデアルすべての共通部分）がmA（γ）に一致するから，中山の補 題（定理1．7）が適用できて，OA（γ）加群として
mA（V）一〇A（V）∫、＋…＋OA（V）∫．＋m五（γ）2＝OA（V）∫、＋…＋OA（γ）∫．
が成り立つ．従って
となり，nA／砺2がκ線型空間としてX1，＿，＆で生成されることがわかる．
一方勘2は次数が2以上の多項式からなるイデアルであるから
clX1十…十〇ηXπ∈nA＝⇒01＝…二砺＝0
が成り立っ．ゆえにX1，．，。，X．はnA／nA2の基底である． □
定理2．40y⊆Aπ（κ）を閉部分多様体，1（y）ニ〈昂，．．．，君〉，η∈κ［X1，．．．，X司とす る．このときVの点。4ニ（α1，＿，αη）について次が成り立っ。
（1） 自然な準同型ψ：0（Aπ（κ））H O（V）が誘導するκ線型写像
φ：nA／n五2∋（7（X1，．。．，Xη）卜→σ（の1，，．．，コじη）∈mA／m且2 （妨＝幹（瓦））
の核Ker（ψ）は次式で与えられる．
㎞（ψ）一〈醗（A）楓…書巽（ハ）ろ一砺＞
（2）dimκmA／mA2一η一rank［舞（A）］効ゴ
Proof、4ニ（0，＿，0）として証明する．
（1）ψ（nA）＝mハ，ψ（nA2）ニmハ2となるのでψはκ線型写像ψ：nA／恥2−
mA／mA2を誘導する．＠一1（mA2）＝1（γ）＋nA2であることから Ker（φ）＝（1（γ）十nA2）／nA2
が成り立っ．従ってKer（ψ）は丹，＿，君で生成される部分空間である。ゆえに
君≡書巽（且）珂（一耐
を示せば定理が証明されたことになる．
恥は1次以上の多項式全体，nA2は2次以上の多項式全体であるから，瓦∈
1（γ）⊆n且より
れ
瓦一ΣC楢＋q（qゴ q∈nA2）
ゴ＝1
2．アフィン多様体
と表される．よって舞に定数項がないことに注意すれば
∂現 ∂q
砥（A）＝c乞ゴ＋函（且）＝c吻 となる，従って
η一書設（ハ）兀＋q≡醗（ハ）瓦（一d硝
が示された．
（2）ん線型写像ψ：nA／nA2H m4mA2が全射であることから dimκmA／mA2十dimκKer（ψ）＝dimκnA／nA2 が成り立っ．さらに（1）より
晩1（の）一〈携（且）現…・書舞（且）兀〉
であるから，X1，＿，XπがnA／nA2の基底であることに注意すれば
di蜘（ψ）一融［巽（み）］ぢ
となるので
dim A／mノーη一舳［巽（A）］瑠
が成り立っ．
定理2．40から次の定理が得られる．
53
■
定理2．41V⊆Aη（κ）を閉部分多様体，1（V）＝〈F1，＿，瓦〉，君∈κ［X1，＿，Xη］とす る．このときγの点。4＝（α1，＿，砺）について次の（1）と（2）は同値である，
（1）Vが点且で非特異である．
（2）rank［舞（且）］廟ゴーη一dimγ
系2．42定理2．41と同じ条件の下で次の（1） と（2） は同値である．
（1） 点みが特異点である．
（2） rank［舞（且）］明ゴ＜η一dimγ
Proof定理2．41より
点且がVの 一舳降）］評一一
が成り立っ．一方，定理2．36，2．40より
dimκmみ／mA2一η一rank［畿（且）］効ゴ≧dimγ
となるので
rank［艦（ハ）］勾ゴ≦η一dimy が成り立っ．従って
yの繍一舳隣沌）1砺ゴ＜η一dimy
が成り立っ． ■
定理2．43閉部分多様体γ⊆Aπ（ん）の特異点全体のなす集合臨．gは代数的集合であ り，砿殉⊆γを満たす。
Proof I（γ）；〈．F1，…，君〉とする．系2。42より
点ハがyの特異点一叫巽（且）］転ゴくη一一
が成り立っ・rank［舞（孟）］鴬ゴは行列隈（盈）1亀ゴの・でない桁列式の次数
の最大値に一致するから，閾効ゴ飾一di醐次の桁列式の共通零点に
含まれるVの点が特異点である・ゆえに玲．gは代数的集合である・次に罵殉⊆γを示す．まず1（V）ニ〈F〉，Fは既約多項式，の場合を示し，次 いで一般の場合を示す．
2 アフィン多様体
1（γ）＝〈F〉のとき，定理2．34よりdimγ＝π一1となる．ここで塩ηg＝V と仮定して矛盾を導くことにする．η一dimγ＝1に注意して系2，42を適用
すると，任意のハ∈Vに対して
㎜k［舞（ハ）…農（且）1一・
となるので
∂F ∂F
璃（み）＝…二颪（オ）ニo
が得られる，ここで敢乞二轟とおくと
＆1シ＿．，双xπ∈1（γ）＝〈F〉
が成り立っ．従って
取1＝σ1瓦＿，Fxπ＝σηF， σ1，＿，（7れ∈ん［X1，．，。，X司
と表されるが，deg＆、，…，deg＆．＜deg−FであるからGl1＝…＝σπ＝0
となり
取1＝…ニ＆π翼0 （2．5）
が得られる。κの標数が0のときは，FをX1，，．．，Xπでそれぞれ整理して
︷
F一丹。＋一・＋Fldlxf1（＆∈κ［X2，．。．，Xη］，塩1≠0）
i （2。6）
F＝瑞o十…十鑑dπX砂 （F搦∈κ［X1ヲ＿，Xη＿11り鑑dπ≠0）
と表すと（2。5）より
昂1ニ…＝Fld1ニ……＝瑞1ニ… コ鑑砺二〇
となる．よって
F冨FIo∈κ［X2，＿，Xη1，。．．，F＝瑞o∈κ［X1，＿，Xη＿11 となりFは定数となるが，これはFが既約多項式であることに矛盾する．
κの標数がp＞0のときも同様に（2．6）のように表すと，（2。5）より
揚ゴ≠0 ＝⇒ ゴはpの倍数
55
となるから，一FにおけるX1，．．．，Xηの指数はすべてpの倍数となるので F一Σcゴ1，．，．痂Xfゴ1…X召ゴn（cゴ1，…森∈κ）
と表される．ここでκは代数的閉体であるからc∈κに対して♂∈κである ことに注意すれば
F一（Σ4，…轟xl・…Xか）P（4，．．，轟∈κ）
と表されるが，これはFが既約多項式であることに矛眉する．以上で1（γ）＝
〈F〉の場合は匹吻⊆Vであることが示された。
次に一般の場合について示すことにする。この場合も鴨吻＝yと仮定して 矛盾を導くことにする．4；dimγとおく．定理1．27よりVの関数体ん（V）
はκ上d＋1個の元g1，．．．，駒＋1で生成されるので κ（γ）竃κ（ツ1，＿，駒＋1）
と表される、ここで肋，．．．，ッd＋1が生成するκ（V）の部分整域をκ［肋，，。。，ッd＋11 とすると，定理2．21より
0（V ）；ん匿，．．．，｝宕＋1］／1（γ ）∋｝窒一→跳∈ん［ッ、，。。．，Ψ4＋、］
を満たすAd＋1（κ）の閉部分多様体y が存在して
dimV，ニtLdegκ0（V ）ニtr．deg遺（ツ1，＿，Ψ4＋1）ニtr、deg沸（γ）；4
となるから，定理2，35より
1（V ）ニ〈F〉り γ ニV（F）
を満たす既約多項式F∈た［yi，＿，埼＋11が存在する．このとき上で示したこと から瑠ηg⊆y が成り立つことを注意しておく。さて0（y）＝ん［X1，＿7Xη1／1（y）
であるから賜二X乞modI（V）とすると
κ（γ）＝κ（Z1，＿，賜）ニκ（ツ1，＿，駒＋1）
2．アフィン多様体
57
である．従って
EI Ed＋1
Ψ1＝；一，．．。，9d＋1＝一 （H≠0，E乞∈ん［記1，。。。，灘司）
H E
およびσ1 ση
記1ニー一一，．D。，灘η＝一 （σ≠070ゴ∈κ［Ψ1，，．。，駒＋11）
σ （7 と表される．このとき
κ［∬・，一 ・去1一ゴ∈κレ・，… ・・き］
であるから
κ［灘・，…晴き］一κレ・，…ラ9d＋・，き，去］ （2・7）
が成り立っ．ここで閉部分多様体W⊆Aπ＋2（κ），VV ⊆Ad＋3（κ）を次のように 定める．
W＝V（1（γ）∪｛Xη＋1H−1｝∪｛Xη＋2σ一1｝）
VV ＝V（（F）∪｛埼＋2（7−1｝∪｛埼＋3H−1｝）
『V二玲．gと仮定したから，定理2，30，（3）を繰り返し適用するとWの点がす べて特異点であること，すなわち肌乞．gニWであることがわかる。一方σは κ肱，．．。，駒＋11の0でない元であり，V ，が既約であることから
唯η9U Vv （σ）⊆V
となるのでy 一Vv，（σ）にV の非特異点が存在する．従って定理2。30，（3）よ りV（（F）∪｛埼＋2GL1｝）に非特異点が存在する．同様にHがκ［肋，＿，駒＋1，罰 の0でない元であり，V（（F）U｛均＋2σ一1｝）が閉部分多様体であることから W に非特異点の存在することがわかる．これは式（2。7）から0（VV）盤0（VV ）
が得られることに矛盾する，以上で臨物g⊆yが示された． 嘔
定理2，32，2．43より次の定理が得られる．
定理2．44アフイン曲線上の特異点は高々有限個である．
3章射影多様体
この章では射影多様体の基本事項にっいて述べる，特に§3．2で証明する 射影 多様体上の正則関数が定数に限る という定理はRiemann−Rochの定理の証明 で必要となり，§3．3で述べる斉次化・非斉次化による射影多様体とアフィン多 様体の1対1対応においてそれぞれの関数体が同型になるという結果は4章
における近似定理の証明で必要となる．
§3．1では，射影空間，斉次イデアル，射影代数的集合等の概念を導入した後，ア フィン空間の場合と同様に既約な射影代数的集合として射影多様体を定義す る、さらに射影零点定理を証明した後，空でない射影代数的集合とくXo，＿，Xの と異なる斉次な根基イデアルとが1対1に対応すること，この対応において射 影多様体と素イデアルが対応することなどを証明する，
§3．2では，射影多様体の斉次座標環を定義し，その分数体の元で分母と分子が 同次数の斉次元で南るもの全体のなす部分体として有理関数体を定義する．有 理関数の極全体が真の射影代数的集合になることを示した後，射影多様体全体 で正則な有理関数が定数に限ることを証明する．有理関数体のκ上の超越次 数を射影多様体の次元と定め，1次元射影多様体を射影曲線と定義する．さら
にアフィン多様体の場合と同様に1点における局所環の極大イデアルをその平 方で割った剰余空問の次元が多様体の次元に一致しない点を特異点と定義し，
非特異射影多様体の概念を導入する。
§3．3では，多項式の斉次化，非斉次化を定義し，イデアルおよび代数的集合の斉 次化，非斉次化とその相互関係について考察する．特にアフィン代数的集合と，
その既約成分が斉次座標のある成分を0にすることがないような射影代数的 集合との間に斉次化・非斉次化による1対1対応が存在すること，この対応で アフィン多様体と射影多様体が対応し，それぞれの関数体が同型になることな
どを証明する，
§3．4では，有理写像，射，および正則行列から定まる射影変換等にっいて述べる．
なおこの章でもκは代数的閉体を表す．
58
3．射影多様体
593．1 射影代数的集合
Aれ＋1（κ）一｛0｝の2点P＝（Po，＿，p鶴），（2冤（90，＿，g物）に対して
P〜（2 〈＝⇒・ （Po，．．．，Pη）＝λ（（10，．．．，λ（1η） （ヨλ∈κ×）
と定めると〜はAπ＋1（κ）一｛0｝上の同値関係となる．商集合 Pη（κ）ニ（Aη＋1（κ）一｛0｝）／〜
をπ次元射影空間，各同値類をIPπ（κ）の点という．P＝（Po，＿，p冗）∈Aπ＋1（κ）一｛0｝を 含むPη（κ）の点を（Po：＿：p．）と表し，その点の斉次座標という．
点♪∈Pπ（κ）が．F∈κ［Xo，＿，X．］の零点であるとは，Pの任意の斉次座標（Po：．。．：pη）
がF（Po，＿，pη）ニ0を満たすときにいう，またPがFの零点であることをF（P）＝0と 表す．ん［Xo，＿，Xπ］の部分集合Sに対して
V（S）：＝｛P∈IPπ（ん）1任意の．F∈Sに対してF（P）＝0｝
とおく。V（S）と表されるPη（κ）の部分集合を射影代数的集合という．Pη（κ）の部分集合 γに対して，
1（γ）：ニ｛．F∈κ［Xo，＿，XηH任意の．P∈yに対してF（P）ニ0｝
とおくと1（γ）はκ［Xo，．．．，Xη】のイデアルとなる。1（γ）をγのイデアルという。
κ［Xo，＿，X司のイデアル1が斉次イデアルであるとは F∈1ならばFの斉次成分はす べて1に含まれる が成り立つときにいう．以下Fのゴ次の斉次成分をF（ゴ）と表すこと にする．このときm次多項式Fは次のように斉次成分に分解される．
ル
FニΣF（ゴ）＝F（o）＋F（1）＋…＋・F（m）
ゴ＝0
定理3．1κ［Xo，＿，Xれ1のイデアル1について次の（1）と（2）は同値である．
（1）1は斉次イデアルである。
（2）斉次多項式昂，＿，耳が存在して1ニ〈昂，＿，君〉と表される，
Proof（1）⇒（2） κ［X1，＿，Xπ1がネーター環であるから1ニ〈F1，＿，瓦〉と表 され，1が斉次イデアルであるから尋ゴ）∈1となる，従ってdeg瓦二碕とお