と表される。この等式の右辺をκ［X1，＿，Xη1の分数体κ（X1，．．．，X．）上の変数 X。＋1の多項式と見なしてXπ＋1に歩∈κ（X1，＿，Xη）を代入すると
ア
1
・一Σ照（X・，…，＆，ア）
乞＝1
が成り立っ．上式の両辺に，すべての．FNq（X1，…，Xπ，歩）がκ［X1，…，Xπ］に
含まれるようなFNをかけると ヂ
1
匹Σ酬σ乞（X・，…，Xη7ア）∈・乞＝1
となるので．F∈〉ゲが成り立つ．よって1（V（1））⊆而が示された． 1
定理2．11κ［X1，＿，Xη］の根基イデアル1に対して1（V（1））ニ1が成り立つ，特に次 の写像1は全単射であり，逆写像はVである。
1：｛A覧（κ）の代数的集合｝∋γけ1（『V）∈｛κ［X1＿，X司の根基イデアル｝
V：｛κ［X1＿，Xη1の根基イデアル｝∋S H V（S）∈｛Aη（κ）の代数的集合｝
Proof∫が根基イデアルのときHilbertの零点定理（定理2．10）より1（V（1））ニ V17ニ1が成り立つ．これより写像1が全射であることがわかる．単射であるこ とは定理2。2で示したので，1は全単射である．またp．25，（8）よりV（1（γ））冨γ
となるので1−1＝Vが成り立っ． ■ 定理2．7より，γが既約な代数的集合であることと1（V）が素イデアルであることは同値 であるから，1は次の全単射を誘導する．
1：｛Aπ（ん）の既約な代数的集合｝トー→｛κIX1＿，X司の素イデアル｝
またκが代数的閉体であるから，定理1．6より極大イデアルMはハ4＝〈Xrα1，．．．，Xη一αη〉
と表されるので，1は次の全単射も誘導する．
1：Aπ（κ）∋（α1，＿，αη）→〈X1一α1，。一，Xη一αη〉∈｛κ［X1＿，Xπ］の極大イデアル｝
以上を次の定理にまとめておく．
定理2．12定理2．11の全単射1は次の2つの全単射を誘導する．
1：｛Aη（ん）の既約な代数的集合｝卜→｛κ［X1＿，Xη］の素イデアル｝
1：Aη（κ）∋（α1，＿，α冗）卜→〈X1一α1，＿，Xπ一αη〉∈｛κ［X1＿，Xη1の極大イデアル｝
定理2．13κ［X1，＿，Xπ］の真のイデアル1に対して，次を満たす素イデアル．P1，＿，1㌔
が一意に存在する．
v7−P【∩…∩瑞，R望乃（乞≠ゴ）
Proof1が真のイデアルであることからγニV（1）≠のである．このとき定
理2．8より
γ一v1∪…∪臨，砺￠巧（乞≠ブ）
2．アフィン多様体 33 を満たす既約な代数的集合巧，＿，臨が一意に存在する．写像1を施すと
1（γ）一1（巧）∩…∩1（脇）， 1（砺）勇1（巧）（乞≠ゴ）
が得られる．1（砺）＝Rとおけば疏は素イデアルで
〉7−R∩…∩瑞，疏￠弓（乞≠ゴ）
を満たす。次に素イデアル⑦で
v7−Q、∩…∩Qぞ，Q4Qゴ（乞≠ゴ）
を満たすものがあったとする．写像Vを施すと
γ＝V（百）ニV（（21）∪…UV（（〜乏）， V（（2￠）コV（（〜ゴ）（乞≠ゴ）
が得られる．V（（〜琶）は既約な代数的集合であるから定理2．8より召二mで，適 当に番号を付け替えるとV（（諭＝砺となる．このとき
1（V（（〜￠））ニ1（砺） ＝⇒ （2乞二君
となるので一意性が示された。 1
2．4 アフィン多様体
Aη（κ）の既約な代数的集合をアフィン閉部分多様体，アフィン多様体，または単に閉部分 多様体という。この論文では閉部分多様体と呼ぶことにする．既約多項式F∈κIX1，＿，X司 によりγニV（F）と表されるVを超曲面という，〈F〉は素イデアルであるから超曲面は 閉部分多様体である．A2（κ）の超曲面を平面曲線，A3（κ）の超曲面を曲面という．
代数的集合Vに対して剰余環
0（y）1ニん［X1，＿，Xπ！／1（V）
をγの座標環という，γが閉部分多様体のとき0（V）は整域である．
写像∫：γ1→κが代数的集合V上の多項式関数であるとは，任意の（α1，＿，α几）∈γ
に対して
∫（α1，＿，αη）ニF（α1，＿7αη）
となる多項式F∈畷X1，＿，X．】が存在するときにいう．∫をFで定まる多項式関数とい う．VF上の多項式関数全体を9（γ）と表すことにする。
代数的集合γからκへの写像全体はよく知られているように可換環の構造を持ち，
多項式関数全体丁（V）はその部分環である．また多項式を多項式関数に対応させる写像 ん［X1，＿，Xπ1∋ハ→∫∈？（γ）
はκ代数としての全射準同型であり，その核は1（V）である．これより次の定理を得る．な お，以下においてκ代数としての準同型，同型をそれぞれκ準同型，κ同型という。
定理2．14代数的集合γ上の多項式関数全体のなす環？（γ）とγの座標環0（γ）は κ同型である。
Aη（κ）の閉部分多様体玩Wに対してW⊆γであるときVVはγの閉部分多様体であ るという．閉部分多様体γと代数的集合VV⊂Vに対して
Iv（W）：ニ｛．F∈0（γ）1任意の。4∈Wに対してF（ハ）ニ0｝
をγにおけるWのイデアルという．また閉部分多様体Vと0（y）のイデアル1に対
して
Vy（1）：；｛。4∈γ1任意のF∈1に対してF（且）；0｝
と定義する，自然な準同型π：κ［X1，＿，Xη］卜→0（γ）により
π（1（W））ニIy（VV）， V（ズ1（1））ニVv（1）
が成り立つ。また定理2．14より0（γ）製，（γ）であるから，0（V）と，（V）を同一視し Iv（VV）＝｛∫∈0（V）1任意の．A∈VVに対して∫（且）；0｝
Vv（1）ニ｛。4∈γ1任意の∫∈1に対して∫（且）ニ0｝
のように見なすことがある．
定理2．11の全単射1はγに含まれる代数的集合Wを1（γ）を含む根基イデアル1（W）
に対応させる．1（W）は自然に0（γ）の根基イデアルと見なせるので1は次の全単射を
2．アフィン多様体 35
誘導する．
1：｛γに含まれる代数的集合｝ 一→ ｛0（y）の根基イデアル｝
1が閉部分多様体を素イデアルに，1点を極大イデアルに移すことに注意すれば次の定理 を得る．ただし1点からなる集合は1点と同一視する．
定理2．15定理2，11の全単射1は次の3つの全単射を誘導する．
1： ｛yに含まれる代数的集合｝ 一→ ｛0（γ）の根基イデアル｝
I l｛γに含まれる閉部分多様体｝卜→ ｛0（γ）の素イデアル｝
1： VF ト→ ｛0（y）の極大イデァル｝
定理2．16 yをAπ（κ）の閉部分多様体，VVをyの閉部分多様体とする．
次の写像は上へのκ準同型であり，κ同型0（γ）／Iv（W）望0（VV）を導く．
このとき
σ （y）∋∫ ←一〉 ∫Ivv∈〔P（VV）
Proof ∫lwがWの多項式関数であること，および
（∫＋9）lw＝∫lw＋glw，（∫9）lwニ（∫Iw）（伽）
は明らかである．またα∈κによる定数関数α∈？（y）に対してαlwはαに よるW上の定数関数であるので，この対応はκの元を不変にする．さらに，
g∈IP（W）が多項式Fから定まるとき，Fから定まるγ上の多項式関数∫
のWへの制限∫Iwがgに一致するので，この対応は上へのκ準同型である。
？（＊）と0（＊）の同一視をすると，この準同型の核がIv（W）であることも容易 に確認できる．よって準同型定理より0（γ〉／Iy（VV）製0（W）が得られる．■
Aπ（κ）の閉部分多様体yとAm（κ）の閉部分多様体VVに対して写像ψ：γト・▽Vが多項 式写像であるとは，7、，＿，塩∈κ［X1，＿，Xπ1が存在して，任意の44∈γに対して
幹（A）ニ（男（且），＿，塩（ハ））
が成り立っときにいう．ψをT＝（71，＿，塩）が定める多項式写像ということもある．ま た多項式写像ψ：V H Wが同型写像であるとは，多項式写像ψ：VV l→γが存在して
幹ψニidw， ψψ＝idy
であるときにいう．ただしidw，idyはそれぞれVV，yの恒等写像である．
定理2。17γをAη（κ）の閉部分多様体，VVをAm（κ）の閉部分多様体とし，p：V→W を多項式写像とする。多項式関数∫∈歌W）に対して〜グ（∫）；γ卜・κを
＠（∫）（且）ニ（ノψ）（且）ニ∫（幹（ハ）） （み∈γ）
と定めると，幹・（∫）はγ上の多項式関数である．
Proof ψは多項式写像であるから，任意の盈∈γに対してψ（盈）＝（丑（盈），＿，恥（盈））
となる丑，＿，7玩∈κ［X1，．．．，X司が存在する．また∫はVV上の多項式関数で あるから，任意の．θ∈Wに対してF（β）＝∫（β）となるF∈κIX1，…，Xm］が 存在する．このとき任意の、4∈Vに対して
ψ＊（∫）（且）＝∫（丑（ハ），＿，職（ハ））ニF（z（河），＿，塩（孟））
；（F（男，＿，臨））（ハ）
が成り立っ．ここで
F（男，＿，塩）；F（T1（X1，一，Xη），＿，7玩（X1，＿，Xπ））∈κ［X1，＿，X司
であるからψ＊（∫）∈9（γ）となる． ■ グ（∫）∈：P（γ）をψによる∫の引き戻しという。
定理2．18 VをAn（κ）の閉部分多様体，VVをAm（κ）の閉部分多様体，ψ：V｝→W を多項式写像とする，多項式関数∫∈｛P（WP）に，ψによる引き戻しを対応させる写
像ψ＊：IP（VV）∋∫卜→ψ＊（∫）∈，（γ）はκ準同型である．
Proof∫，g∈IP（W）に対して
ψ＊（∫＋9）＝ψ＊（∫）＋ψ＊（9），ψ＊（∫9）＝甲＊（∫）幹＊（9）
は容易に確かめることができる．またc∈κによるVVの定数関数が，cによ るγの定数関数に対応するので，ψ＊はん準同型である． 一 κ準同型ψ㌔IP（W）1→9（y）を幹による引き戻し写像という．同一視歌γ〉禦0（レ），
？（w）望0（vv）により￠：0（w）一〇（y）と見なすことができる。恒等写像idyによる 引き戻し写像id＊：0（γ）H O（y）が恒等写像であることは明らかである，
2．アフィン多様体
37
定理2．19γ⊆Aπ（κ），W⊆Am（κ），U⊆A召（ん）を閉部分多様体とする．このとき多項 式写像幹：V卜→W，ψ：VVけUに対して合成写像ψ幹も多項式写像で（ψψ）＊＝ψ＊ψ＊
が成り立っ．
Proofψψが多項式写像であることは明らかである．任意の∫∈，（U）に対
して
（幹＊ψ＊）（∫）ニブ（ψ＊（∫））ニブ（∫ψ）ニ（∫ψ）ψ＝∫（ψψ）ニ（ψ￠）＊（∫）
となるので（ψψ）＊ニブψ＊が成り立っ． 一 定理2．20y⊆Aη（ん），PV⊆Am（海）をそれぞれ閉部分多様体とするとき次の写像は全 単射である．
Φ：｛V卜〉W l多項式写像｝∋ψ卜→グ∈｛0（W）卜〉0（γ）1ん準同型｝
またψが同型写像である条件はブがκ同型となることである．
ProofまずΦが全射であることを示す．
0（γ）翻κ［X1，＿，Xη］／1（V）， 0（W）ニκ［yi，＿，塩］／1（W）
とおき，κ準同型α：0（VV）H O（γ）を任意に選ぶ．巧∈0（W）に対し てα（巧）＝男とおく，処，＿，賑∈κ［X1，＿，X司である。男から定まる多項 式写像φを
ψニ（71，＿，7玩）：y∋A卜一→（ρ（且）；（Z（み），＿，7輪（且））∈Am（ん）
とする．任意のσ∈1（W）に対して，σ（耳，．．．，琢）ニσであり，αはκ準同型 であるから
σ（丑，＿，職）＝α（σ（yi，＿，｝銭））＝α（o）ニo
よりσ（Z（オ），＿，窺（孟））ニ0となる．0∈1（四）は任意であったから
幹（且）ニ（丑（A），＿，塩（ハ））∈V（1（W））ニW
が成り立っ．ゆえに幹はγからVVへの多項式写像である．幹による引き戻 し写像ψ＊は
ψ＊（巧）ニyi・ψ二男二α（巧）
を満たすので，巧が0（VV）を生成することに注意すれば＠＝αであること がわかる．ゆえにΦは全射である．
次にΦが単射であることを示す，ψ1，吻をVからWへの異なる多項式写
像とする．このときある・4∈γに対してψ1（且）≠幹2（A）である．ψ1（五）に対 応する0（VV）の極大イデアルをMとするとIv（M）はψ1（A）のみからなる
ので，ある∫∈ハ4が存在して∫（幹2（孟））≠0となる．このとき
ψ1（∫）（A）軍∫（ψ、（且））ニ0，ψ1（∫）（且）ニ∫（幹2（且））≠0⇒ψ1≠暢
となるのでΦは単射である．以上でΦが全単射であることが示された．
後半の主張について，まずψ y H VVを同型写像とすると，多項式写像 ψ：VV卜〉γが存在して
が成り立っ．このとき
ψψニidy， ψψ＝idw
ψ＊ψ＊＝（ψψ）＊＝（idlv）＊＝ido（γ）， ψ＊ψ＊＝（ψψ）＊ニ（idvv）＊＝ido（w）
となるのでψ＊はκ同型である．
最後にψ＊：0（VV）H O（V）がκ同型であると仮定する．Φが全射であるか らグの逆写像は多項式写像ψ：W｝→γの引き戻し写像ψ＊：0（y） →0（W）
として得られ
ψ＊＠㌔（ψψ）＊ニid・（w）， ψ＊ψ＊＝（ψψ）＊一id・（v）
が成り立つ。ここでΦは単射であり，
（idv）＊＝id・（γ）， （idw）＊＝id・（w）
であるから
ψψニidw， ψψ；idv
が成り立つ．従ってψは同型写像である． ■
2．アフィン多様体
39
定理2．21κ上有限生成な整域Rに対して，R製0（γ）（ん同型）を満たすAπ（κ）の 閉部分多様体Vが同型を除いて一意に存在する．Proof Rがκ上η個の元で生成されるとすると，全射準同型
κ［X1，＿りX司卜〉R
が存在する．この核を1とおくと，1は素イデアルでκ同型κ［X1，．．．，Xη］／1型R が得られる．Rは単位元を含むので1は真のイデアルで，V（1）はAπ（κ）の
閉部分多様体となり，0（V）ニκ［X1，．．．，Xπ］／∫望Rが成り立っ．
γの一意性については，0（γ）鯉0（y ）となる閉部分多様体y があるとする と，定理2。20より同型な多項式写像レ H y が存在することになるので，レF とγノは同型である． ■
2．5 有理関数
閉部分多様体γ⊆Aη（κ）の座標環0（γ）の分数体をVの関数体といい，κ（γ）で表 す．またκ（y）の元をV上の有理関数という。
咽一｛考i9，ん∈・（γ），ん≠・｝
有理関数∫が点・4∈γで定義されるとは，あるg，ん∈0（γ），ん（ハ）≠0，が存在して ∫＝旦，
ん
と表されるときにいう．∫が定義されないγの点を∫の極という．、4で定義される有 理関数全体を
OA（γ）罫｛∫∈κ（y）1∫は孟で定義される｝
とおく，∫∈OA（V）のとき，点且での∫の値∫（み）を 9（み）
∫（ハ）＝一
（ん（且）≠0）ん（ハ）
で定義する．これはwel1−de且nedである．なぜならば ノ
∫＝皇 （ん （且）≠o）
ん，