ψψ94＝ψψ4ニψ4y∫ニP ∫ニgd R 一一一一ゆ ハ4 一一一一一レ Ω（γ）
となるが系L25より4（R）が一4 ψ
としてΩ（R）を生成するので吻叩 Ω（R） P〃 、
となり，gが全射であるから ψ
ψψ＝i叱田）伊 9↓
Ω（R）／N が成り立っ。
また
ψψ（オy∫＝ψP ∫＝ψ9（1＝（オy∫
であるが，上と同様にして
ψψ＝idΩ（v）
が成り立っ．よってψ，ψはR同型でΩ（R）／ノV蟹Ω（M）が成り立っ． □
定理5．7よりγの微分加群Ω（γ）は0（γ）加群として4v瓦で生成される，これより次 の定理が得られる．
定理5．8閉部分多様体γ⊆Aη（ん）の微分加群Ω（γ）は有限生成0（γ）加群である．
補題5．9Rをκ可換な代数，躍をR加群，P：R日Mをκ導分とする．このとき P（1）一IP（z）手P（Ψ）
が成り立つ。ただし灘，軍∈R，ッ≠0とする。
Proofκ導分の定義よりP（署）＝P（場）二毒P（z）＋￠1）（岩）が成り立つ、こ ・一P（・）一P（結）一IP（ッ）＋ψ（1）こで
よりP（毒）一誹P（Ψ〉となるので求める式力§得られる・ ■
定理5．10y⊆猶（κ）を射影曲線，Pをその非特異点，孟を点Pでの局所パラメータとする。このときOp（γ）の微分加群Ω（Op（γ））はオの微分説を基底とする階数1 の自由Op（V）加群である。ただし4＝40．（y）とする，
Proof R＝Op（y）とおく．定理3．38よりRはあるアフィン曲線％の座標 環0（％）の局所化Roに一致する．0（％）が苅，＿，z．で生成されるとき，定 理5．8の前で述べたようにΩ（％）は0（％）加群として4％苅，＿，d％∬．で生成
される．このときRoの元は0（％）の元￠とΨ≠0により弄と表されるの で4 ＝娠。とおくと，補題59より
♂（1）ウ（∬）手♂（y）
が成り立つ，これよりΩ（1記o）はRo加群として4 苅，＿，4 ∬．で生成される．
従ってΩ（R）は有限生成R加群である，一方R＝κ＋侃であるからRの元 はα＋加，α∈た，7∈Rと表され
4（α十加）＝d（加）＝7（泥十孟（オγ∈R（泥十オΩ（R）
となるのでΩ（R）＝1観＋孟Ω（R）が得られ，中山の補題（定理L7）より
Ω（R〉ニR（泥
を得る．砒がΩ（R）のR基底であることを示すには任意のRの元γ≠0に 対して7砒≠0を示せばよい．ここで7＝αが，α∈」〜×と表されることから
α一1航＝α一1α孟ε砒二オS砒
5。Riemann−Rochの定理
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となるので孟5砒≠0を示せばよい．ここでm＞5を満たす整数㎜で，m＋1 がchar（κ）の倍数でないものを1つ選ぶ．Rの元∫は！一・。＋C、孟＋…＋Cm＋、オm＋1＋孟肌＋2∫ ，∫ ∈R
と表され00，．．．，Cm＋1，∫ノは∫から一意的に定まるので
P（∫）一c、＋2c2孟＋…＋（m＋1）Cm＋、孟m∈R／研＋1〉
となる写像1）：R目R／〈鐸＋1〉が定義できる．Pはκ導分であるので，定理
1．23よりP＝幹dを満たすR準同型
ψ：Ω（R）←→R／〈孟m＋1＞
が存在し
図（カm＋1）＝P（孟m＋1）ニ（m＋1）オm≠0 を満たす．これより4稗＋1≠0となるので
0≠砒m＋1ニ（m十1）オm4孟＝（m十1）オm−3孟3砒
が成り立ち孟3砒≠0が得られる．よってΩ（R）は砒を基底とする階数1の自
由R加群である． 1
定理5．11Pを射影曲線yの非特異点，オを点Pでの局所パラメータとする．この
ときκ（V）の微分加群Ω（κ（y））はオの微分4κ（v）哲を基底とする1次元κ（y）線型空 問である．
Proof K＝κ（γ），R＝OP（γ）とおく。包含写像R l→κとκ微分dK：κH Ω（K）の合成4 ：R一Ω（κ）はκ導分となるので定理L23より4 ニψ4R
を満たすR準同型幹：Ω（R）HΩ（κ〉が存在する。補題5。9よりΩ（K）は 4K∬（コロ∈1〜）で生成されるK線型空間であるが，定理5。10よりΩ（R）は4湛
を基底とする自由R加群であるから，dκ（R）は4κ君で生成されるR加群と なる．これよりΩ（K）はdκオで生成されるK線型空間である．すなわち
Ω（κ）＝K4K哲
が成り立つ．これより娠孟≠0を示せばよい．Ω（R）ニR碗孟であるから
∫∈Rに対して
4R∫＝五4R哲
（！ε∈1〜）と表される．ここで
∫ 1
P：・κ∋一ト→万（9∫ε一∫9ε）∈・κ （∫，9∈R，9≠0）
9 9
とおく。まずPがwel1．de且nedであることを確認するために工二ζとする
9 9
と，∫g ＝ヂgであるから
4R（∫9 一∫ 9）一∫9μRオ＋9 擢R卜∫ 9ぬト9銅R麓0 より
∫gl＋9 五イ 9r9∫1；0 が成り立っ．従って
（会一肇）一（多一静）一会拶一多＋詳
五 ∫ 9古刃 ∫gl
＝一一一一一十一
ノ ノ ノ