順序数の和: 順序数α,β の和 α+β を定義するために, 整列集合 A= (A,A), B = (B,B)で ordA =α, ordB =β かつ A∩B =∅ となるものをとり, A∪B 上につぎ のように 順序 を定義すると, A∪B = (A∪B,)は 整列集合となるの で,α+β = ord(A∪B) と定義する:
xy⇔
def(x∈A, y ∈B) or (x∈A, y ∈A, xA y) or (x∈B, y∈B, xB y).
演習 8.5 順序数α,β の和 α+βが well-defined であることを示せ.
ヒント ordA=α, ordB =β かつ A∩B=∅となる整列集合A, Bが 取れ ること, 上で 定義された が A∪B 上の整列順序となること,α+β が A,B の取り方に 依 存し ないことを 示せ.
演習 8.6 順序数の和に 関し て, つぎ の基本的な性質が 成り立つを 示せ: (1) α+ 0 = 0 +α=α;
(2) (α+β) +γ =α+ (β+γ);
(3) α < β ⇔ν+α < ν+β.
(4) α < β ⇒ ∃1ν such that β =α+ν.
注意: 上記(1)は 定義より自明.
一般に,α < β であっても, α+ν < β+ν とは 限らない. 演習 8.7 任意の n < ω に 対し て, 0 +ω =ω =n+ω を示せ.
順序数の和に 関する交換律 α+β=β+αは, 一般に 成り立たない. 演習 8.8 1 +ω =ω < ω+ 1 を示せ.
ヒント 最初の等号は 前の 演習. 不等号は, ordW =ω+ 1とな る整列集合 W とし て,つぎ のRの順序部分集合を 考えよ:
W ={(n−1)/n|n∈N} ∪ {1}.
演習 8.9 Rの整列部分集合 W で ordW =ω+ω となる例を上げ よ. 演習 8.10 順序数 αより大きい最小の順序数は α+ 1である.
順序数 α+ 1を αの直後の順序数[successor]と呼ぶ. 順序数 βがαの直後の順 序数(すなわち,β =α+1)となるとき,順序数αをβの直前の順序数[predecessor]
と 呼ぶ. 直前の順序数を 持たない 0 以外の順序数を 極限順序数[limit ordinal]と 呼ぶ.
順序数の積: 順序数 α, β の積 αβ を 定義するために, 整列集合 A = (A,A), B = (B,B) で ordA = α, ordB = β とな るものをとり, 直積集合 A×B 上に 順序 をつぎ のように 定義すると, A×B = (A×B,)は 整列集合となるので, αβ = ord(A×B)と定義する:
(x, y)(x′, y′)⇔
def (y <B y′) or (y =y′, xA x′) この順序を反辞書式順序[anti-lexicographic order]59という.
演習 8.11 順序数 α, β の積 αβ が well-definedであることを示せ.
ヒント 上で 定義され たが,A×B 上の整列順序となること,αβが A, B の取り 方に 依存し ないことを 示せ.
演習 8.12 順序数の積に 関し て, つぎ の基本的な性質が 成り立つことを示せ: (1) 1α=α1 =α; 0α=α0 = 0;
(2) (αβ)γ =α(βγ);
(3) α(β+γ) =αβ+αγ;
(4) α < β, ν >0⇒να < νβ;
(5) α < β ⇒αν βν.
注意: 上記(1)は 定義より自明.
演習 8.13 0< n < ωに 関する帰納法を用いて,つぎ を示せ: α+· · ·+α
n個
=αn
演習 8.14 Rの整列部分集合 W で ordW =ωω となる例を上げ よ. 順序数の積に 関する交換律 αβ =βα は,一般に 成立し ない.
演習 8.15 1< n < ωに 対し て, nω =ω < ωn を示せ.
また,演習 8.11(3)とは逆側の分配律(α+β)γ =αγ+βγ も, 一般に成立し ない. 演習 8.16 (1 + 1)ω <1ω+ 1ω を示せ.
一般に,α < β であっても αν < βν とは 限らない.
59水平辞書式順序[horizontal lexicographic order]ともい う.
直積集合A×B におけ る通常の辞書式順序[lexicographic order]は次のように 定義する: (x, y)(x′, y′)⇔
def(x <Ax′) or (x=x′, yBy′)
演習 8.17 α < β であるが,αν =βν となる例を上げ よ. [補足事項]
超限帰納法: 順序数全体は 集合とはならないが,順序数 αに 関する条件P(α)が 与えられ ているとき,「 すべての順序数 α に 対し て, P(α)が 成立する 」ということを 示す際にも, 超限帰納法を 用いることが でき る. 実際, 以下を 満たせば, すべて の 順序数 α に 対し て, P(α)が 成立する:
(∗)∀β < α, P(β)が 成立⇒P(α)が 成立 実際,P(α)が 成立し ないよ うな順序数 αが 存在し たと 仮定する Ord(α+ 1)は 整列集合なので,定理7.3が 適用でき,つぎ を 得る:
∀β ∈Ord(α+ 1), P(β)が 成立 これはP(α)が 成立し ないことに 矛盾
— 証 明 の 詳 細 — 整列集合の比較定理 7.9 の証明
3 つの 場合のいずれ の2 つも両立し ないことを 示す (1)と (2)が 共に 成立するなら W′ ≃W ≃W′(a′)
これは 補題 7.6(1)に 矛盾
(1)と (3)が 共に 成立し ても同様に 矛盾
(2)と (3)が 共に 成立するなら,W ≃W′(a′),a∈W であるから, 補題 7.8より,∃a′′∈W′(a′) such thatW(a)≃W′(a′)(a′′)
切片に 関する基本的性質 (3)より,W′(a′)(a′′) =W′(a′′)であるから, W′≃W(a)≃W′(a′′)となり,補題 7.6(1)に 矛盾
3 つの 場合のいずれか 1 つが 成り立つことを示す まず,A⊂W,A′ ⊂W′ をつぎ のように定義する: A={x∈W | ∃x′∈W′, W(x)≃W′(x′)}, A′ ={x′ ∈W′| ∃x∈W, W(x)≃W′(x′)}. x∈Aとすれば,∃x′ ∈W′ such that W(x)≃W′(x′) さらに y∈W(x)とすれば,補題 7.8より,
∃y′∈W′(x′) such that W(x)(y)≃W′(x′)(y′)
切片に 関する基本的性質 (3)より,W(y)≃W′(y′) ∴y∈A 補題 7.4によれば,AはW に 等し いか,またはその切片となる
同様に,A′ もW′ に 等し いか,またはその 切片とな る このとき,つぎ の 4つの 場合が 考えられ る:
(1)A=W,A′=W′;
(2)A=W,∃a′ ∈W′, A′ =W′(a′);
(3)A′=W′,∃a∈W, A=W(a);
(4)∃a∈W, A=W(a),∃a′∈W′, A′ =W′(a′).
A≃A′ であれば, (1), (2), (3)の場合に 応じ て,つぎ を 得る: (1)W ≃W′;
(2)∃a′ ∈W′, W ≃W′(a′);
(3)∃a∈W, W(a)≃W′. また, (4)の場合は 生じ ない
∵)W(a)≃W′(a′) とすれば,
Aの定義より,a∈A=W(a) ∴a < a —これは 矛盾 以下,A≃A′ を示せば よい
まず,∃f :A→A′ such that∀x∈A, W(x)≃W′(f(x))を 示す このためには,以下を 示せば よい
∀x∈A,∃1x′ ∈A′ such that W(x)≃W′(x′)
A の定義より,∀x∈A, ∃x′ ∈W′ such thatW(x)≃W′(x′) ここで,A′ の定義より, x′ ∈A′
さらに, y′ ∈A′,W(x)≃W′(y′)とすると, W′(x′)≃W(x)≃W′(y′) となるので, 補題 7.6(2)より,x′ =y′
同様にし て,∃g:A′ →A such that∀x′∈A′, W′(x′)≃W(g(x′)) このとき,∀x∈A,W(x)≃W′(f(x))≃W(gf(x))であるから,
補題 7.6(2)より,x=gf(x) ∴ gf = idA 同様に,f g= idA′
∴ f は 全単射で f−1=g
x < y ⇒f(x)< f(y)とな ることを 示す W(y)≃W′(f(y)), x∈W(y)であるから,
補題 7.8より,∃x′ ∈W′(f(y)) such that W(y)(x)≃W′(f(y))(x′) 切片に 関する基本的性質 (3)より,W(x)≃W′(x′)
このとき,W′(f(x))≃W(x)≃W′(x′)となるので,
補題 7.6(2)より,f(x) =x′ ∈W′(f(y)) ∴f(x)< f(y) 同様にし て,x′ < y′ ⇒g(x′)< g(y′)
g=f−1 なので,これはf(x)< f(y)⇒x < y 意味する
し たが って,f は 順序同型 ∴A≃A′
ツォルンの補題 7.10 の証明
(背理法) Xが 極大元を 持たないと 仮定し て,矛盾を 導く
Wを X の整列部分集合全体とする —ここで,∅ ∈Wと 見なす X は 帰納的なので,∀W ∈W,W は 上に 有界
仮定より, W のど の上界も極大ではないので,W に 属さない上界が 存在 選出公理を適用し て,
∃ϕ:W→X such that ∀W ∈W, ∀x∈W, x < ϕ(W) このϕを 用いて,つぎ のように Wϕ ⊂Wを 定義:
Wϕ =
def{W ∈W| ∀x∈W, x=ϕ(W(x))} このとき,ϕ(∅) =x0 ∈X とすると{x0} ∈Wϕ より,Wϕ =∅ (1) 互いに 異な るW, W′∈Wϕ に 対し て,一方が 他方の切片となる
∵)必要であれば W とW′を入れ 替えて,W\W′=∅とし てよい W は 整列集合より,∃x= min(W \W′)
このとき, W(x)⊂W′ (xは W′ に 入らない W の最少元) W′=W(x)と 仮定すると,∃y = min(W′\W(x))
このとき,W′(y)⊂W(x)⊂W′ なので,
y′ ∈W′(y), x′ ∈W(x), x′ < y′ ⇒x′∈W′(y′)
補題 7.4より,W′(y) =W(x)または W′(y)は W(x)の切片 W′(y) =W(x)のとき,W, W′ ∈Wϕ より,
W′ ∋y=ϕ(W′(y)) =ϕ(W(x)) =x∈W′ — 矛盾 W′(y)が W(x)の切片のとき,
∃z∈W(x) such thatW′(y) =W(z)
このと き, W, W′ ∈ Wϕ より, W(x) ∋ y = ϕ(W′(y)) = ϕ(W(z)) =z∈W(x) —矛盾
従って,W′ =W(x).
(2) W0 =
Wϕ∈Wϕ
∵) (W0 ∈W, i.e., W0 が 整列集合であること)
∅ =∀A⊂W0,∃W ∈Wϕ such thatA∩W =∅ W は 整列集合であるから,∃a= min(A∩W) a= minA を 示すため,x∈Aとする
x∈W のとき,x∈A∩W より a= min(A∩W)x x∈W のとき,∃Wx∈Wϕ such thatx∈Wx
このとき, x∈Wx\W なので, (1)により,W は Wx の切片 よって a∈W ⊂Wx(x)となり, a < x
(W0∈Wϕ)
∀x∈W0, ∃W ∈Wϕ such thatx∈W このとき,ϕ(W(x)) =x
(1)に よれば W0,W の一方は 他方の切片 x∈W0∩W よりW0(x) =W(x)
∴ϕ(W0(x)) =ϕ(W(x)) =x W1=W0∪ {ϕ(W0)}とすれば,
W0=W1(ϕ(W0))なので, (2) より,W1∈Wϕ
このとき,W1⊂
Wϕ =W0 =W1(ϕ(W0)) —矛盾
し たが って,X は 極大元を持つ
整列定理 7.11 の証明
WをX の空でない部分集合とその上の整列順序の組 (W,) 全体とする: W =
def
(W,)
∅ =W ⊂X, is a well-order on W .
W 上の順序を以下の狭義の順序 ≺に より定義する: (W,)≺(W′,′)⇔
def(W,)は (W′,′)の切片 (狭義の順序)
(O∗1) (W,) ≺(W′,′) とすると,∃x∈W′ such thatW =W′(x) このとき,x∈W′\W より W =W′
(O∗2) (W,) ≺(W′,′), (W′,′)≺(W′′,′′)とすると
∃x∈W′ such thatW =W′(x), ∃y∈W′′ such that W′ =W′′(y) このとき,W =W′(x) =W′′(y)(x) =W′′(x) より, (W,) ≺(W′′,′′)
W= (W,)が 帰納的順序集合となることを示す
Wの全順序部分集合 Vに 対し て,W =
(V, V)∈V とし,
つぎ のよ うに 定義され る狭義の順序に より,W 上に 順序 を 定義する: x < y⇔
def∃(V,V)∈V such that x, y∈V, x <V y (well-defined) (V,V)∈Vの取り方によらないことを 示す
∃(V,V), (V′,V′)∈Vsuch thatx, y∈V,x, y∈V′ とすれば, このとき,Vは 全順序なので,V が V′ の切片か,V′ が V の切片
ど ちらにし ても,xV y⇔xV′ y
(<が 狭義の順序)
(O∗1) x, y∈W,x < yとすると
∃(V,V)∈Vsuch that x, y∈V,x <V y ∴x=y (O∗2) x, y, z∈W,x < y,y < z とすると
∃(V,V), (V′,V′)∈Vsuch that x, y∈V,x <V y,y, z ∈V′,y <V′ z このとき,Vは 全順序なので,V が V′ の切片か,V′ が V の切片 前者の場合,x, y∈V′,x <V′ yより x <V′ zとなりx < z 後者の場合,y, z ∈V,y <V zより x <V z となりx < z (が 整列順序)
∅ =A⊂W とすると ∃a∈A
∃(V,V)∈Vsuch that a∈V
ここで,V は 整列集合であるので,∃a0 = minA∩V このとき,a0 = minAを 示す
∀x∈A,∃(V′,V′)∈Vsuch thatx∈V′
Vは 全順序なので,V が V′ の切片か,V′ が V の切片 V が V′ の切片の場合,
a <V′ xであれば,a0 = minA∩V V aなので a0 <V′ x
xV′ aであれば,a∈V より x∈V なのでa0 = minA∩V V x V′ が V の切片の場合,x∈A∩V′ ⊂A∩V よりa0V x
いずれにせよ,a0 xとなり,a0= minV
Mにツォルンの補題を適用し て,Wの極大元 (W0,0)を得る このとき,X =W0 を示せば 0 が X 上の整列順序とな る X =W0 とすれば ∃x0 ∈X\W0
W1 =W0∪ {x0}とおき,x0 を最大限とすることに より
W0の順序0 をW1 上の順序1に拡張する (i.e.,∀x∈W0,x <1x0)
∅ =A⊂W1 に 対し て,
A={x0}であれば,x0= minA
A={x0}のとき, W0 は 整列集合なので,∃minA\ {x0} このとき, minA\ {x0}= minA
∴ 1 は 整列順序となり, (W1,1)∈M
さらにW0=W1(x0)なので, (W0,0)≺(W1,1)
これは (W0,0)の極大性に 矛盾 ∴ X=W0
定理 7.12 の証明 m= cardX とし,
MをA⊂Xと全単射 f :A→A× {0,1} の組(A, f) 全体とする mℵ0 より,∃A0 ⊂X such that cardA0=ℵ0
ℵ0= 2ℵ0 より全単射 f0:A0 →A0× {0,1}が 存在 このとき, (A0, f0)∈M ∴ M=∅
Mにつぎ のように順序 を 定義: (A, f)(A′, f′)⇔
defA⊂A′ and f =f′|A (が 順序)
(O1)は 明らか
(O2) (A, f)(A′, f′)か つ (A′, f′)(A, f)とすると, A⊂A′ かつ A′ ⊂A より A=A′
さらに f =f′|A=f′ より(A, f) = (A′, f′)
(O3) (A, f)(A′, f′)か つ(A′, f′)(A′′, f′′) とすると, A⊂A′,A′ ⊂A′′ より A⊂A′′
さらに f =f′|A= (f′′|A′)|A=f′′|Aより (A, f)(A′, f′) ((M,)が 帰納的)
Mの全順序部分集合 Nに 対し て,A =
(A,f)∈Aとし, f :A →A× {0,1}をつぎ のように 定義する:
f(x) =f(x) ifx∈A, (A, f)∈N (f のwell-definedness) (A, f)の取り方によらないことを 示す
x∈A∩A′, (A, f),(A′, f′)∈Nとすると
Nが 全順序部分集合なので, (A′, f′)(A, f) とし てよい このとき,x∈A′ ⊂A,f′ =f|A′ より,f′(x) =f(x)
f :A →A× {0,1}が 全単射であることをを示せば, (A, f)∈M (A, f)の定義より, (A, f)は Nの上界
すなわち,∀(A, f)∈N,A⊂A,f|A=f こ うし て,Nは 上に 有界 (単射) x=y∈A
とすると
∃(A, f),(A′, f′)∈Nsuch thatx∈A,y∈A′
Nが 全順序部分集合なので, (A′, f′)(A, f) とし てよい このとき,A′ ⊂A,f′ =f|A′ より x, y∈A
f は 単射より,f(x) =f(x)=f(y) =f(y)
(全射) ∀(z, i)∈A× {0,1},∃(A, f)∈Nsuch thatz∈A f は 全射より,∃x∈A⊂A such that f(x) =f(x) =z ツォルン の補題が 適用でき,Mに 極大元(A∗, f∗)が 存在 X\A∗が 有限とな ることを 示せば,
演習 6.2よりcardA∗ = cardX=m f∗:A∗→A∗× {0,1}が 全単射であるから,
m= cardA∗= cardA∗× {0,1}= 2m— 結論 (X\A∗ が 有限) X\A∗ が 無限と 仮定し て 矛盾を示す
∃A1⊂X\A0 such that cardA1 =ℵ0
ℵ0= 2ℵ0 より全単射 f1:A1 →A1× {0,1}が 存在 このとき,A2 =A∗∪A1 とおくと,A∗∩A1=∅より
f2 :A2 →A2× {0,1}をf2|A∗=f∗,f2|A1=f1 と 定義できる f2(A2) =f∗(A∗)∪f1(A1) = (A∗× {0,1})∪(A1× {0,1}) =A2× {0,1}
x, y∈A2,f2(x) =f2(y) とする f2(x) =f2(y)∈A∗× {0,1} のとき,
x, y∈A∗,f∗(x) =f∗(y)で f∗ は 単射だから x=y f2(x) =f2(y)∈A1× {0,1} のとき,
x, y∈A1,f1(x) =f1(y)で f1 は 単射だから x=y し たが って,f2 は 全単射 ∴ (A2, f2)∈M
定義より, (A∗, f∗)<(A2, f2) — (A∗, f∗) の極大性に 矛盾
定理 7.13 の証明 m= cardX とし,
Mを無限部分集合A⊂X と 全単射f :A→A2 の組 (A, f) 全体とする mℵ0 より,∃A0 ⊂X such that cardA0=ℵ0
ℵ0=ℵ20 より全単射f0 :A0 →A20 が 存在 このとき, (A0, f0)∈M ∴ M=∅
前定理 7.12と同様にMに 順序を定義,すなわち, (A, f)(A′, f′)⇔
defA⊂A′ and f =f′|A
前定理 7.12と 全く同じ ようにし て,が 順序とな ることと(M,)が 帰納的 であることが 証明できる— 各自で 確かめよ
ツォルン の補題が 適用でき,Mに 極大元(A∗, f∗)が 存在 card(X\A∗)<cardA∗ を示せば,
定理 6.9よりcardA∗ = cardA∗+ card(X\A∗) = cardX =m f∗:A∗→A2∗が 全単射であるから,
m= cardA∗ = cardA2∗ =m2 — 結論
(card(X\A∗)<cardA∗) card(X\A∗)<cardA∗ と 仮定し て 矛盾を示す 濃度の比較定理(定理6.4)により, cardA∗card(X\A∗)
∴∃A1⊂X\A∗ such that cardA1 = cardA∗
このとき,A2 =A∗∪A1 とおくと定理 6.9より cardA2 = cardA∗ さらに,
A22 =A2∗∪A21∪(A∗×A1)∪(A1×A∗)
ここで, A2∗,A21,A∗×A1,A1×A∗ は 互いに 対等であるから,定理 6.9より, card(A21∪(A∗×A1)∪(A1×A∗)) = cardA2∗ = cardA∗ = cardA1 よって, 全単射f1 :A1 →A21∪(A∗×A1)∪(A1×A∗)が 存在
f2 :A2 →A22 を f2|A∗ =f∗,f2|A1=f1 と 定義できる
f2(A2) =f∗(A∗)∪f1(A1) =A2∗∪A21∪(A∗×A1)∪(A1×A∗) =A22 x, y∈A2,f2(x) =f2(y) とする
f2(x) =f2(y)∈A2∗ のとき,
x, y∈A∗,f∗(x) =f∗(y)で f∗ は 単射だから x=y f2(x) =f2(y)∈A21∪(A∗×A1)∪(A1×A∗)のとき, x, y∈A1,f1(x) =f1(y)で f1 は 単射だから x=y し たが って,f2 は 全単射 ∴ (A2, f2)∈M
定義より, (A∗, f∗)<(A2, f2) — (A∗, f∗) の極大性に 矛盾
索 引
ℵ0,アレ フ・ゼロ, aleph zero, 56 ℵ1,アレ フ・ワン, aleph one, 60
∩,キャップ, cap, 7
∪,カップ, cup, 7 c,ツェ−, tse, 56 値, value, 16
アルキ メデ スの公理, Archimedes’ Axiom, 50, 54
1対1上への写像, one-to-one onto map, 19 1対1の写像, one-to-one map, 19
一般連続体仮説, generalized continuum hy-pothesis, 64
上に 有界, upper bounded, 31 上への写像, onto map, 19 well-defined, 33
裏, inverse, 2
ガ ウ スの定理, Gauss’ Theorem, 52 下界, lower bound, 30
可換環, commutative ring, 35 可換群, commutative group, 35 可換半群, commutative semi-group, 34 可換律, commutative law, 7, 34 下極限, limit inferior, 15
下限, infimum, greatest lower bound, 31 可算集合, countable set, enumerable set, 58 可算濃度, countable cardinal, 56
環, ring, 35 関数, function, 16
カント ールの逆理, Cantor’s Paradox, 60 カント ールの対角線論法, Cantor’s diagornal
process, 60
カント ールの定理, Cantor’s Theorem, 60 基数, cardinal number, 55
基底, basis, 73 帰納的, inductive, 70
帰納的定義, inductive definition, 38, 40 帰納法, induction, 36
基本列, fundamental sequence, 47 逆, converse, 2
逆元, inverse (element), 35
逆写像, inverse map, 19 逆像, inverse image, 18 吸収律, absorptive law, 7
狭義の順序, order in the strict sense, 29 狭義の全順序, total order in the strict sense,
29
共通部分, intersection, 7, 12 極限, limit, 51
極限順序数, limit ordinal, 76 極小元, minimal element, 30 極大元, maximal element, 30 クラス, class, 4, 56
グ ラフ, graph, 16 群, group, 35
結合律, accosiative law, 7, 34 元, element, 1
原像, preimage, 18 合成, composition, 21 恒等写像, identity, 16
コーシー列, Cauchy sequence, 47 再帰定理, Recursion Theorem, 40 再帰的定義, recursive definition, 38, 40 最小元, minimum, 30
最大元, maximum, 30 差集合, difference, 8 座標, coordinate, 9, 10, 24 三分律, trichotomy, 29 始集合, initial set, 16
辞書式順序, lexicographic order, 77 始切片, initial segment, 68
自然数, natural numeber, 36 自然数の集合,N, 36
自然な写像, natural map, 33 下に 有界, lower bounded, 31 実数, real number, 47, 53
実数の完備性, completeness of the reals, 51 実数の集合,R, 47, 53
実数の連続性, continuity of the reals, 53 射影, projection, 17, 24
写像, map, 16
集合, set, 1
集合族, family of sets, 11 集合列, sequence of sets, 25 終集合, terminal set, 16 収束, convergent, 51
十分条件, sufficient condition, 2 順序(関係), order, 28
順序型, order type, 66 順序集合, ordered set, 30 順序数, ordinal number, 74 順序数の積, 77
順序数の和, 76
順序体, ordered field, 35 順序単射, order injection, 66 順序対, ordered pair, 9
順序同型, order isomorphic, 66 順序同型写像, order isomorphism, 66 順序を 保つ, order preserving, 66 上界, upper bound, 30
上極限, limit superior, 15
上限, supremum, least upper bound, 31 商写像, quoitent map, 33
商集合, quotient set, 33 序数, ordinal number, 74 真の クラス, proper class, 4, 56 真部分集合, proper subset, 2 推移律, transitive law, 28
水平辞書式順序, horizontal lexicographic or-der, 77
数学的帰納法, mathematical induction, 36 制限, restriction, 17
整数, integer, 42 整数の集合,Z, 42 成分, factor, 24
整列集合, well-ordered set, 67 整列集合の比較定理, 69 整列順序, well-order, 67
整列定理, well-ordering theorem, 71 絶対値, absolute value, 36
切断, cut, 52
切片, initial segment, 68 切片の特徴付け, 69
零元, zero, null element, 35
線形空間の基底, basis for a linear space, 73 線形順序, linear order, 29
線形順序集合, linearly ordered set, 30 全射, surjection, surjective map, 19 選出関数, choice function, 26 選出公理, Axiom of Choice, 26 全順序, total order, 29
全順序集合, totally ordered set, 30 全称記号, universal quantifier, 5
選択関数, choice function, 26 選択公理, Axiom of Choice, 26 全単射, bijection, bijective map, 19 像, image, 16, 18
添字集合, index set, 25
添字付けられた集合族, indexed family of sets, 25
存在記号, existential quantifier, 5 体, field, 35
対角線集合, diagonal, 17
対偶, contraposition, contrapositive, 2 代数学の 基本定理, fundamental theorem of
algebra, 52 対等, equipotent, 55 代表元, representative, 33 互いに 素, disjoint, 7
高々可算, at most countable, 59 単位元, unit (element), 34 単射, injection, injective map, 19 値域, range, 18
稠密, 47, 50
超限帰納法, transfinite induction, 68, 78 直後, successor, 68
直後の順序数, successor, 76 直積, direct product, 10, 24 直前, predecessor, 68
直前の順序数, predecessor, 76 直和分割, decomposition, 32 ツォルン の補題, Zorn’s lemma, 70 定義域, domain, 16
定値写像, constant map, 17
デデキント の切断, Dedekind cut, 52 ド ・モルガン の法則, De Morgan’s laws, 8
等化写像, identification map, 33 同値, equivalent, 3
同値関係, equivalence relation, 32 同値類, equivalence class, 32
特性関数, characteristic function, 20 2項関係, binary relation, 28
濃度, power, cardinality, 55 濃度の積, 62
濃度の比較定理, 58 濃度の巾, 63 濃度の和, 61
半群, semi-group, 34
反辞書式順序, anti-lexicographic order, 77